KurtGodel（四）

2.5.2 经典算术可以用 Heyting 算术解释

我们现在考虑 1933e 年的哥德尔，其中哥德尔实际上表明直觉主义或 Heyting 算术只是表面上比经典的一阶算术弱。这是因为后者可以通过简单的翻译在前者中解释，因此要确信经典算术的一致性，只需确信 Heyting 算术的一致性即可。Heyting 算术的定义与经典算术相同，只是底层谓词逻辑由直觉主义公理和推理规则给出（见下文）。

此结果将同一断言扩展到命题情况。让 H 表示直觉主义命题逻辑，A 表示其经典对应物（如上所述）。归纳定义：

A′ ≡ ¬¬A（A 原子）

（¬A）′ ≡ ¬A′

（A → B）′ ≡ ¬（A′ ∧ ¬B′）

（A ∨ B）′ ≡ ¬（¬A′ ∧ ¬B′）

（A ∧ B）′ ≡ A′ ∧ B′

然后，

定理 9。

设 F 为命题公式。则 H ⊢ F 当且仅当 A ⊢ F′，

从 Glivenko (1929) 的结果可知，对于任何命题公式 F，¬F 从 H 得出当且仅当 ¬F 从 A 得出。

哥德尔所谓的双重否定解释将定理 9 扩展为将经典一阶逻辑简化为直觉谓词逻辑。在这种情况下，对于原子 A，可以采用平移将 A′ 映射到 A。此外，我们让 ∀xA(x)′ = ∀xA′(x) :

定理 10。

假设 A 是一阶公式。如果 A 在经典一阶逻辑中是可证明的，则 A′ 在直觉一阶逻辑中是可证明的。

上述结果是由 Gentzen（与 Bernays 一起）独立获得的，但在听说哥德尔的结果后，Gentzen 撤回了他的论文。Kolmogorov 也在 1925 年的“论排中律”中预见到了这一点（英文翻译 van Heijenoort 1967），但这篇论文对 Kolmogorov 圈子之外的逻辑学家来说基本上是未知的。

Bernays 写道（参见 Bernays 在 Edwards 1967 中关于 David Hilbert 的条目），Gödel 的这一结果引起了 Hilbert 学派对两个观察结果的关注：首先，直觉逻辑超越了有限主义，其次，从基础的角度来看，有限主义系统可能不是唯一可接受的系统。

对于算术的情况，以下定理由定理 10 得出：

定理 11。

假设 A 是算术的一阶公式。如果 A 在经典皮亚诺算术中是可证明的，那么 A′ 在直觉一阶算术中是可证明的。

有关直觉一阶逻辑的公理和规则的列表，请参阅 Gödel 1958，重印时附有 A.S. 的详细介绍性说明。 Troelstra 在 Gödel 1990 中。另请参阅 Troelstra 1973 和 Troelstra 在 Barwise 1977 中撰写的“构造性数学方面”。有关上述定理的详细证明，读者还可以参阅后者。

2.5.3 直觉命题逻辑在 S4 中是可解释的

哥德尔 (Gödel 1933f) 的这一结果标志着可证明性逻辑的开始，它明确区分了“在特定形式系统中的可证明性”和“通过任何正确方法的可证明性”的概念。

哥德尔在 1929 年论文的引言中已经注意到了这种差异。背景如下：哥德尔在那里认为，他对完备性定理的证明可能是循环的，因为证明它时使用了排中律。这是因为，虽然完备性定理主张“一种可判定性”，即每个量化公式要么是可证明的，要么可以给出它的反例，但“排中律似乎只表达了每个问题的可判定性”：

……（根据排中律）肯定的是，可解性根本不是通过指定的方法，而是通过任何可以想象的方法……[20]

哥德尔考虑了直觉命题逻辑（以下称为 IPL）；他还考虑了第二个系统，即由运算符“B”丰富的经典命题逻辑，其中“B”的预期含义是“可证明的”。现在称为 S4 的公理系统（有关这些公理的列表，例如，请参阅本百科全书中的模态逻辑条目）与一条新的证明规则一起添加到经典命题逻辑的标准公理中：从 A 可以推断出 BA。我们将第二个系统称为 G。哥德尔定理指出，IPL 可以通过以下平移在 G 中解释：

¬p ≡ ~Bp

p ⊃ q ≡ Bp → Bq

p ∨ q ≡ Bp ∨ Bq

p ∧ q ≡ Bp ∧ Bq

也就是说，

定理 12。

设 A 为 IPL 公式，设 A′ 为其平移。则 IPL ⊢ A 蕴涵 G ⊢ A′。

哥德尔推测逆蕴涵必定为真，麦肯锡和塔斯基 1948 年确实证明了这一点。

可证明性的两个概念之间的区别：“在给定形式系统 S 中可证明”和通过任何正确方法可证明——表现为哥德尔第二不完全性定理的结果，如下所示。设 S 包含皮亚诺算术，并设运算符 B 被解释为“在 S 中可证明”。如果 S4 的公理对 B 的这种解释有效，则从 B(0 ≠ 1) → (0 ≠ 1)，句子 ¬B(0 ≠ 1) 将是可证明的，与第二不完全性定理相矛盾。

有关哥德尔定理、其前提和扩展以及其哲学意义的进一步讨论，读者可以参阅 A.S Troelstra 为 1933f 所写的导言。

2.5.4 Heyting 算术可解释为有限型可计算泛函。

哥德尔所谓的辩证法解释 (Gödel 1958) 通过涉及有限型可计算泛函系统 T 的具体解释，为 Heyting 算术提供了相对一致性的证明和论证。结合他的 1933e，将经典一阶算术简化为 Heyting 算术，也为经典一阶算术获得了这些方面的论证。

哥德尔对“有限型函数”概念的归纳定义如下：（Gödel 1990，第 245 页）。

0 型泛函是自然数。

如果 t0、…、tk 是类型，并且我们已经定义了 t0、…、tk 型泛函是什么，则 (t0、…、tk) 是一种类型，并且该类型的泛函将 t0 型泛函分配给 t1、…、tk 型泛函的每个 k 元组。

哥德尔考虑了这些有限型泛函的无量词理论，用 T 表示。T 具有以下特点：T 的语言包含每种类型的变量、不同类型的常量以及用于表示 σ 型相等性的三元谓词 =σ。相同类型的项之间的相等是可判定的。 T 的非逻辑公理和规则包括 0 和后继的经典算术公理，以及归纳规则：

(F(0) ∧ (F(x0) → F(S(x0)))) → F(x0)

对于无量词公式 F(x0)。正如哥德尔 (Gödel) 所言 (Gödel 1990，第 247 页)，T 的公理本质上是原始递归算术的公理，只是变量可以是任何有限类型。

哥德尔的翻译将皮亚诺算术语言的每个公式 F(x) 与理论 T 语言的公式 F′(x) = ∃y∀zA(y, z, x) 相关联，其中 A 是无量词的，（粗体）绑定变量是变量的有限序列，被认为范围由变量类型决定的有限类型的函数。直观地讲，y 是构成 F 意义的构造抽象概念的具体类比。

哥德尔定理如下：

定理 13。

假设 F′ = ∃y∀zA(y, z, x)。如果 F 在直觉主义一阶算术中是可证明的，那么存在有限类型的可计算函数 Q，使得 A(Q(x), z, x) 在 T 中是可证明的。

证明是通过对直觉主义一阶算术中 F 证明的结构进行归纳而得出的。（有关详细证明，请参阅 Troelstra 1986。）

该定理作为基础的重要性怎么强调也不为过。[21] 讨论了它的概括，以及 Kreisel、Tait、Howard、Feferman 等人受该定理启发而开展的关于函数解释的后续工作；其基础和哲学意义；最后，它与早期的、非正式的、由 Heyting-Kolmogorov 给出的所谓证明解释的关系，本文将不作探讨。因此，读者可以参考关于该主题的大量文献，例如上述 Troelstra 1986、Tait 1967、Feferman 1993 和 Avigad & Feferman 1998。有关最近有趣的发展，例如在将哥德尔的辩证法解释与 Kreisel 的修改后的可实现性联系起来的领域，请参阅 Oliva 2006。另请参阅 van Oosten 2008。

关于哥德尔提出他的翻译的哲学背景的评论，即有限主义。本文导言中讨论的问题是，为了获得算术的一致性证明，必须在有限数学中添加哪些抽象概念。等价地：有限性观点预设了什么？如果要获得一致性证明，根据第二不完备性定理必须放弃什么？

无论如何，伯奈斯的评论教会我们区分有限性态度的两个组成部分；即，第一，构造性元素，即我们只有在能够展示或实际通过构造产生数学对象的情况下才被允许谈论数学对象；第二，特定的有限性元素，它进一步要求我们陈述的对象、构造所依据的对象以及我们通过这些构造获得的对象是“直观的”，也就是说，归根结底是元素的时空排列，除了其同一性或非同一性之外，其他特征都是无关紧要的。……必须放弃第二个要求。迄今为止，我们将直觉逻辑和序数理论与有限数学部分联系起来时，已经考虑到了这一事实。接下来我们将表明，为了证明数论的一致性，我们可以使用自然数上的有限型可计算函数的概念以及构造此类函数的某些相当基本的原理。（Gödel 1990，第 245 页）。

因此，除了技术贡献之外，哥德尔的 1958/72 是哥德尔最重要的哲学著作之一；它以对有限数学性质的分析以及对“直觉”概念（如“直觉知识”）和抽象与具体证据的分析而闻名。

在下一节中，我们将讨论哥德尔的哲学观点。但感兴趣的读者可能希望阅读关于哥德尔的遗著的简短讨论，这是哥德尔哲学材料的重要来源：

补充文件：哥德尔的文件

3. 哥德尔的哲学观点

哥德尔的哲学观点可以大致归结为两个重点，或者用现代的说法，即承诺。它们是：现实主义，即相信数学是一门描述性科学，就像经验科学一样。第二个承诺是莱布尼茨哲学中的一种理性主义；事实上，哥德尔的主要哲学影响，特别是在这方面，但也包括许多其他方面，是莱布尼茨、康德和胡塞尔。 （有关这些哲学家如何影响哥德尔的进一步讨论，请参阅 van Atten 和 Kennedy 2003。）

“哥德尔的实在论”和“哥德尔的理性主义”这两个术语必须以免责声明开头：没有单一的观点可以与这两个术语联系起来。哥德尔的实在论随着时间的推移经历了复杂的发展，无论是其本体论主张的性质，还是哥德尔对这些主张的承诺程度。同样，哥德尔的理性主义随着时间的推移也经历了复杂的发展，从最初的试验性版本到 20 世纪 50 年代被判定为相当强大的版本。大约在 1959 年以及此后的一段时间，哥德尔将他发展精确哲学的理性主义计划与胡塞尔发展的现象学方法融合在一起。

下面我们来分析一下哥德尔的两种思想流派：

3.1 哥德尔的理性主义

哥德尔的理性主义根源于莱布尼茨的思想，莱布尼茨认为，世界是完美而美丽的，因此是理性而有序的，而不是我们内在体验到的世界。哥德尔对这一信念的论证部分基于对数学的完美和美丽的归纳概括：

理性主义与柏拉图主义有关，因为它针对的是概念方面，而不是（现实）世界。人们使用归纳证据……数学有一种完美的形式……我们可以期望概念世界是完美的，而且客观现实是美丽、美好和完美的。（Wang 1996，9.4.18）

我们的全部现实和全部体验都是美丽而有意义的——这也是莱布尼茨的思想。我们应该根据我们对现实的真正了解来判断现实。既然我们在概念上完全了解的那部分是如此美丽，那么我们知之甚少的现实世界也应该是美丽的。（9.4.20）

虽然哥德尔对理性主义的信仰根源本质上是形而上学的，但他在这一领域的长期愿望一直是实用的。也就是说，发展精确的哲学方法；把它变成一门精确的科学，或者用胡塞尔的话来说，是严格科学。

这意味着在实践中是什么可以采取最严格的观点，可能是构成辩证的接受，以接受断言; 换句话说，在接近在数学证据中发现的哲学参数中，渴望一个严谨的程度。 一种在朱德尔Nachlass的文献中发现的视图 - 一种稍微象观的（见下文）。 这是一份十四件物品列表Gödel在1960年举行了题为“我的哲学观” 列表中的两个项目在这里相关：

对所有问题的解决方案有系统的方法（也是艺术等）。

有一个科学（确切的）理念和神学，涉及最高抽象性的概念; 这也是科学最富有成效的。

（该清单由Cheryl Dawson转录，并于1996年出版，第316页。）

Gödel早期的理性主义的概念是指数学严格，包括具有真正证明的概念，因此在某种程度上是一个比他以后要订阅的那么激进的概念。 在Gibbs讲座结束时可以看到它在GIBBS讲座的最后，经过一系列有利于现实主义的论据：

当然，我并没有声称，上述考虑因素是对数学性质的真正证明。 我最具言喻的是，将使是被认为的名义上认为数学仅仅以语法公约及其后果组成。 此外，我对数学是我们自己的创造的更常见的观点，我面临了一些强烈的论点。 然而，柏拉图主义的其他替代方案，特别是心理学和亚里士多德的现实主义。 为了建立柏拉图的现实主义，这些理论必须在另一个之后被反驳，然后必须表明它们排出所有可能性。 我现在没有做到这一点; 但是，我想沿着这些行给出一些迹象。 （Gödel1995，p.221-2）。

（对于本段的渗透分析，请参阅Tait 2001.）这种分析必须基于概念分析：

我在印象深刻的印象中，在充分澄清所讨论的概念之后，有可能与数学严谨进行这些讨论，结果将是......谷仓的视图是唯一一个居民。 （Gödel1995，第322页）。

除了方法组分之外，从哥德尔名单上的物品可以看出，也有一个“乐观”的合理主义组件：一旦开发了适当的方法，诸如道德中的哲学问题（例如，项目）列出的9是：“正式权利包括真正的科学。”）可以果断解决。 对于数学断言，例如集合理论中的连续假设，一旦概念分析已经以正确的方式进行，即一旦基本概念，如“集合”，诸如“集合”的基本概念，即连续的假设应该是能够的决定。

虽然在GIBBS讲座的时候，在哲学和数学推理之间的比喻中的比喻可能是一个非常接近的，但在其他时期的观点是设想的方法在自然界中不是数学。 想要的是概念分析的一般非正式科学。

哲学比科学更广泛。 概念理论已经比数学更为一般......真正的哲学精确但不专业。

也许在数学中没有进展的原因（并且有这么多未解决的问题），这是一个将自己限制在ext [ensional]的情况下，在许多理论的情况下也是失望的感觉，例如，所谓的逻辑和形式化完全。 （王1996,9.3.20,9.3.21）[22]

（见笔记本电脑Max IV，第198页（GödelNachlaß，Firestone Library，Princeton，第030090件）。转录Cheryl Dawson;从德国我们的翻译;修正我们的修正案.Gödel的最大约会IV表示它是1941年5月至1942年4月。另见Gödel致伯尼，哥德尔2003A，第283页。）

理解哥德尔向一般概念理论进步的重要来源是Gödel关于逻辑旅程发表的概念分析的讲话。 例如，在备注8.6.10中，哥德尔表示信念，即概念的概念失败的信念，与他在1944年“罗素的数学逻辑”中所说的概念相反，他现在希望收回的备注：

我没有（不再）认为，通常的范围的明确是足以排除两个概念的明显性。

在一些哥德尔的后来讨论中，概念分析的另一个组成部分出现，即找到所谓的原始术语或概念的项目及其关系。 这些是粗略的术语或概念，包括理论“起点”，基于它们的意义完全明确而清晰。 例如，“概念应用于另一个概念”的概念是原始术语，以及“力”。 （王1996,9.1.29）。

他于1972年与王某发表了关于普通项目的说法：

现象学不是唯一的方法。 另一种方法是找到主要类别（例如，因果关系，物质，动作）及其相互关系的列表，但是，要在象智学上到达这一点。 任务必须以正确的方式完成。 （王1996,5.3.7）。

1972年至1975年在1972年至1975年间的苏托莱多谈到了关于寻找原始术语的项目，以及现象学的其他方面。 请参阅托莱多2011.我们在补充文件转向现象学中，我们将进一步讨论Gödel参与现象学。

当代哲学家对哥德尔的理性主义征收的判决是一个苛刻的理性。 （参见例如Gödel1995，第303-4页）。 然而，哥德尔本人仍然乐观。 当他评论王：

说哲学是严谨的科学在可预见的未来不可能变得不可能。 时间不是主要因素; 当出现正确的想法时，它会发生任何时间。 （王1996,4.3.14）。

Gödel在类似乐观的票据上结束了他的1944年。