信念合并和判断汇总（二）

上述方法都不会考虑特定信息项的普及。 这意味着这些运营商无法捕捉大多数人的观点。 第一个介绍了一大多数假设用于融合几个知识库的融合是林和孟德尔佐（1999）。 这个想法是受到社会选择理论的多数统治的启发。 然而，他们的大多数假设包括部分支持的概念，该概念捕获了涉及投票的知识合并的特异性，并且不仅限于计算支持A族的基础的基础数量。 如果有一个命题A.没有出现在L中没有原子的命题A，则会被定义为部分地支持文字L，使得代理人认为L或A是真实的，而不是知道哪一个。 林和孟德尔佐顿（1999）给出了假设和特定合并运营商的模型 - 理论表征。 在信仰合并文献中，通常认为信息来源同样可靠。 帮助解决冲突的一种方法是放宽这一假设，例如，在扩展到合并（Lin 1996）或优先知识库（Benferhat等人1998; Cholvy 1998; Delgrande等，Choldrande等）中给予的加权知识库2006）。

Konieczny和PinoPérez（1998年）介绍了仲裁和多数运营商之间的合并运营商和符合他们满足的公理方面的一组新的杂项 在随后的作品（Konieczny和PinoPérez1999,2002）中，他们将框架扩展到包括在完整性约束下的合并，即，一组必须由合并基础满足的外部施加条件（Kowalski 1978;重新1988年）。 在下一节中，我们介绍了Konieczny和PinoPérez所介绍的正式框架，现在是信仰合并的标准框架，因为它克服了以前提案的局限性。

在信仰合并中制定的正式方法已出口和适用于社会认识论，如选举和偏好聚合（Meyer等，2001），团体共识（Gauwin等，2005）和判断汇总（Pigozzi 2006年）我们在第2.2节返回。

2.1在完整性约束下合并的框架

Konieczny和PinoPérez考虑从一个原子命题和通常的连接器（¬，∧，∨，→，↔）的有限套装建立的命题语言l。 解释是→{0,1}的总函数，它为每个原子命题分配0（false）或1（true）。 例如，如果在= {p，q，r}处，那么（1,0,1）是解释为t true to p和r和false的解释。[1] 通过w = {0,1}表示所有解释集。 对于任何公式φΣ1，mod（φ）= {ωw|ωνφ}表示φ，即，这组实话分配的模型集，使φ为true。 如果我们拍摄在教义示例中表达合同法的公式，那么Mod（（p∧q）↔r）= {（1,1,1），（1,0,0），（0,1,0），（0,0,0）}。 像往常一样，如果具有至少一个模型，则公式φ是一致的，并且如果每种解释为φ为true，则从一组公式φφ遵循公式φ，使得也是φtrue。

信仰基地Ki是一个有限的命题公式，代表个人持有的明确信仰。 每个ki被认为是一致的。 K表示所有一致的信仰基础的集合。 融合的假设考虑了一组多组信仰基地（信仰概况，或信仰集，早期使用的术语）E = {K1，...，kn}。 使用多套的原因是元素可以出现多次，从而允许两个或更多代理可以保持相同信念的事实的表示。 这需要考虑到一段信息的普及，从而定义多数运营商。 要与通常的套合联合∪标记区别，多套合会表示由⊔并定义为{φ} {φ} = {φ，φ}。 两个信仰轮廓是等效的（e1≡e2），如果且仅在从E1至E2中存在底射f，使得对于任何B甲基，我们具有该⊨∧f（b）↔∧b。

完整性约束代表应遵循合并的基础的额外条件。 完整性约束的利益是确保各个信息的聚合满足一些特定于问题的要求。 例如，假设市议会成员必须决定在某个地区建立什么。 我们可以有限制上可用的预算（足以覆盖只有一些项目），但也约束的共存的不同项目（我们可能无法建立一个停车场和一个游乐场在该地区，但我们可以建立一个游乐场和一个公共图书馆）。 如果（可能为空的）的完整性约束是由信仰基础IC表示的，则ΔIC（e）表示合并给定IC的信念基座的多组E的结果。 直观地，结果将成为代表集体信念和IC的一致信念基础。

Konieczny和PinoPérez（1999年，2002年）提出了以下在同样可靠的来源之间的IC融合运营商的假设。 让e，e1，e2，信仰概况，k1，k2是一致的信念基础，IC，IC1，IC2，是完整性约束。 Δ是IC融合运算符，如果它仅满足以下合理性假设：

（ic0）

δic（e）⊨ic（ic1）

如果IC是一致的，则ΔIC（e）是一致的。

（ic2）

如果∧e与IC一致，那么ΔIC（e）≡∧e∧ic（IC3）

如果e1≡e2和ic1≡ic2，则ΔIC1（E1）≡δic2ΔIC2（E2）（IC4）

如果k1⊨ic和k2k2⊨ic，则ΔIC（{k1，k2}）ξk1是一致的，只有Δic（{k1，k2}）χk2一致。

（ic5）

δic（素e1）∧δic（e2的）⊨δic（e1⊔e2）（ic6）

如果ΔIC（E1）∧δicΔIC（E2）是一致的，则ΔIC（e1⊔e2）⊨δicΔIC（E1）∧δicΔIC（E2）（IC7）

δic1（e）∧ic2⊨δic1∧ic2（e）（ic8）

如果ΔIC1（e）∧ic2是一致的，则δic1∧ic2（e）⊨δic1Δic1（e）

为了说明这些假设，我们考虑以下示例（Konieczny和PinoPérez1999）。 一群公寓共同所有者希望改善他们的公寓。 在这次会议上，主席提议建立一个网球场，一个游泳池或一个私人停车场。 他还指出，建设三种选择中的两个将导致年度维护费用的大幅增加（这对应于IC）。

（IC0）确保由此产生的合并基座满足完整性约束。 这是一个明显的施加条件，因为这些是假设在完整性约束下合并的假设，其中思想是确保合并的结果满足完整性约束。 通过聘用合并运营商，主席知道该小组将同意开支的增加，如果他们决定建立三个设施中的至少两个。 （IC1）指出，当IC保持一致时，融合运营商的结果也将是一致的。 同样，鉴于在完整性约束的解释中选择合并基地的解释，如果IC是一致的，则结果也将是一致的。 （IC2）表示合并运营商的结果只是信仰轮廓和IC的结合，只要这样的结合一致。 在我们的跑步示例中，如果希望构建两个或更多设施的每个人都赞同费用的崛起和共同所有者给出的意见是一致的，那么合并只会返回IC和个人意见的结合。 （IC3）（IC3）如果两个信念简介E1和E2是等效的，并且IC1和IC2也等同，那么用IC1合并第一信念轮廓将相当于利用IC2合并第二信念轮廓。 这假设表达了一个已经对信仰修订运营商（其中，我们认为，合并运营商是扩展）的原则，即语法不可挽回的原则，这表示合并运营商的结果仅取决于合并基地的语义内容，而不是在他们的语法表达式上。 （IC4）被称为公平假设，因为它指出，当合并两个信仰碱基K1和K2时，应该没有优先考虑其中一个。 如果且仅当它与另一个相一致时，则合并与其中一个符合。 这假设表达了一个对称条件，其优先考虑两个基地之一的运营商将不满足。 （IC5）和（IC6）首先介绍（Revesz 1997），他们的意思是，如果两组至少一体的商品一致，那么融合的结果将与两组同意的这些项目一致。 所以，如果集团有限公司所有者可以分为两个缔约方，这样一个要建立网球场和游泳池和其他希望游泳池和停车场，建设游泳池将被选中的最后一组的决定。 最后，（IC7）和（IC8）保证，如果IC1和IC2下的e的合并之间的结合是一致的，则如果在更严格的条件下，则IC1将保持满意，即IC1和IC2的结合。 这是一种自然需求，施加诸如三个替代方案中的游泳池中选择游泳池，如果我们减少网球场和游泳池的替代方案，仍将选择。 最后两次假设是两种宣传（Katsuno和Mendelzon 1991）中的两个假设（R5和R6）的概括，他们从模型 - 理论的角度分析了修订运营商，并给出了修订运营商的表征根据对解释的订购的最小变化，满足AGM合理性假设（Alchourrón等人。1985）。 像Katsuno和Mendelzon的假设，（IC7）和（IC8）确保接近的概念表现良好，因此如果在IC1下的合并运营商选择了结果，那么该结果也将是最接近的（即，将在更限制的约束ic1∧ic2内选择到IC2（假设ΔIC1（e）∧ic2是一致的）。 在Katsuno和Mendelzon模型 - 理论上的方法中，修订操作员通过在新信息中选择最接近的解释来改变初始信仰基础。 同样，IC合并运算符选择完整性约束的最接近的信仰基础。 因此，信仰合并可以被解释为对多个信仰基地的信仰修订的概括（Grégoire和Konieczny 2006）。

定义了两个IC融合运算符的子类。 IC多数融合算子最大限度地减少了总不满的水平（林和孟德尔佐顿1996年介绍），而IC仲裁运营商旨在同样地分布药剂中的个体不满水平。 大多数运营商的精神与社会选择理论中的功利主义方法相似，而仲裁则受到自平等主义的启发。

让，对于每个整数N，EN表示包含n次E的多组。IC多数算子满足以下附加假设：

（少校）

∃nδic（e1⊔e

n

2

）⊨δic（e2的）

因此，（Maj）指出，E2的足够重复将使E2对本集团的意见。 所需的重复次数取决于特定实例。

IC仲裁操作员的特点是以下假设（IC0） - （IC8）：

（受体阻滞剂）

让IC1和IC2在逻辑上独立。 如果

ΔIC1（k1）≡δic2ΔIC2（k2），和

δic1↔¬ic2（{K1，K2}）然后（ic1↔¬ic2），然后

δic1∨ic2（{k1，k2}）≡δic1（k1）。

直观地，该公理指出仲裁算子选择IC-Consivally的中位数结果。 在以模型理论的方式表达时，此类运算符的行为将更加清晰，因为我们将在下一节中看到。

一个例子可以有助于欣赏多数和仲裁运营商的不同行为。 假设有三个朋友需要决定是否购买一个共同熟人的生日礼物。 现在假设其中两个人想买她的书并邀请她吃饭，而第三个朋友不想为这些礼物做出贡献。 如果该组织占多数的决定，三个朋友将决定购买一本书并邀请她出去吃饭，让第三个朋友非常不满。 另一方面，如果他们使用仲裁运营商，他们要么买她一本书，要么邀请她到一家餐馆，使三名成员同样不满。 每个人都在他们的信仰基础上完全有一个公式，这是不满足的，因此对每个朋友的不满的“金额”是相同的。

文献中的融合运算符可分为两类：基于语法的融合和基于模型的融合。 第一类型采用命题公式作为信息输入，并且通常考虑信仰轮廓的最大一致的子集。 另一方面，在基于模型的运算符中，它是将被视为合并过程的输入的公式的解释。 因此，每个信仰基础被视为一组模型，其公式的句法表示是无关紧要的。 回想一下我们在第2节开始时使用的示例，以说明信仰基础的组合依赖于语法。 我们有k1 = {a，b}，k2 = {a∧b}和k3 = {¬b}。 基于语法的融合将处理A，B，A 1B，¬B作为输入，而基于模型的融合将采用Mod（k1）= mod（k2）= {（1,1）}和mod（k3）= {（1,0），（0,0）}。 由于基于模型的运算符已应用于判断汇总的问题，我们将专注于那一类合并运营商并参考（Baral等，1992; Konieczny 2000;Grégoire和KonieCzny 2006），以便更多地基于语法融合。

2.2基于距离的方法

基于IC模型的融合运算符在完整性约束IC的模型中选择，这些融合算法是优选的，其中偏好关系取决于所使用的操作员。 因此，集体信念集ΔIC（e）保证是在所有所选模型中的一组真实的一组公式，并满足IC。 示例中的城市理事会看到更早，这意味着建设一个游乐场和一个停车场永远不会被选中作为一个决定的结果。 偏好信息通常采用总预先顺序的形式（预测，预先顺序是反射和传递关系）≤在解释ω和轮廓e之间的距离D概念引起的解释，由d（ω，e）。 直观地，这是为了选择最接近（关于要指定的一些距离的概念）到所有单独的信仰基地的集体结果，同时满足完整性约束。 应该注意的是，基于距离的融合操作员并不总是保证唯一的结果。 当我们查看信仰合并到判断汇总的应用时，我们会回到这一点。

我们已经看到，多数算子的特点是尝试最大限度地减少总不满，而仲裁运营商旨在最大限度地减少当地的不满。 因此，我们可以看到距离捕捉不满的概念。 受到信仰修订中的经济原则的启发，融合的结果应尽可能多地与每个人信仰基地的信息保持尽可能多。 换句话说，由于假设信息来源同样可靠，因此合并应该尽可能地从源中删除。 然后，该想法是选择最小化IC模型与信仰概况E的模型之间的距离的解释，这可以表示如下：

的MOD（δic（e））=分钟（调制（ic），≤d）

解释之间的距离D是总功能D：W×W→R +，使得所有ω，ω'∈w：

d（ω，ω'）= d（ω'，ω）

d（ω，ω'）= 0iffω=ω'。

第一点指出距离是对称的。 假设有三个信仰基础：K1 = K3 = {A，B，¬C，d}和k2 = {¬a，b，c，d}。 如果我们表示ωi的解释，则我们具有ω1=ω3=（1,1,0,1）和ω2=（0,1,1,1）。 第一点要求d（ω1，ω2）= d（ω2，ω1）。 第二点指出，如果两个解释是相同的，则距离为0，因此D（ω1，ω3）= 0。[2]

需要两个步骤来找到最小化信仰概况的距离的IC型号。 在第一步中，我们计算满足IC（即每个候选合并基座）和每个单独信仰基础之间的每个解释之间的距离。 这里的直觉是量化每个可能的意见来自每个可能的集体结果的距离（回想一下，将在令人满意的解释中选择结果）。 在第二步中，我们需要聚合所有那些单独的距离来定义集体距离，即信仰轮廓到每个IC模型的距离。 这增加了这些组来自每个可能结果的距离。 最后，选择最小化这种距离的（可能的多个）基础作为结果。

对于第一步，我们需要定义解释ω和信仰基础K之间的距离。这是ω和K的型号之间的最小距离 如果k具有多于一个模型（例如，ki = {a∨b}有三种模型：{（0,1）（1,0），（1,1）），Ω'将是最接近ω的。

我们现在可以定义解释ω与信仰概况e之间的距离，这是第二步所需的。 我们需要一个聚合函数D：r + n→r +，它在第一步中计算了IC模型和信仰基础Ki之间的距离，并将它们聚集成集体距离。 这是：D（ω，e）= d（d（ω，k1），d（ω，k2），...，d（ω，kn））。 因此获得了所有解释的集合W上的总预订。 合并运算符现在可以选择最小化轮廓E的距离的所有解释。

从技术上讲，聚合函数d：r + n→r +为非负实数字的每个n-ary元组分配非负实数量。 对于任何X1，...，xn，x，y∈r+，d满足以下属性：

如果x≥y，则d（x1，...，x，...，xn）≥d（x1，...，y，...，xn）

D（x1，...，x，...，xn）= 0如果x1 = ... = xn = 0

d（x）= x

合并运算符的结果明确取决于所选距离函数D和D.在第一个提案中（Lin和Mendelzon 1999; Revesz 1993），它是通过D和D和D的总和或MAX采用汉明距（定义）（表示分别为dς和dmax）。[3] 当D是总和时，通过求解个体的总和来获得全局距离。 相应的合并运算符是多数运算符，称为小核心，因为它将选择最小化总和的解释。 使用DMAX的合并运算符被称为MIMIMAX并输出判断集，以最小化到各个基座的最大距离（BRAMS等，2007b）。 直观地，Minimax旨在最大限度地减少与最不满意的个体的分歧。 当使用dς或dmax时，可以选择两个相反的结果（Brams等，2007b; Eckert和Klamler 2007）。