类型理论（三）
Martin-Löf1975 [1973]推出了一种新的基本类型IDA（A，B），如果A和B在A类型中，这可以被认为是元素A和B的平等样本类型。 这种新类型的一个重要特征是它可以迭代，因此如果p和q类型为IDA（A，B），我们可以考虑IDIDA（A，B）（P，Q）。 如果我们认为一种类型是一种特殊类型的集合，它很自然地猜想这种类型的平等证据始终居住在任何两个相等的样式P和Q. 实际上，直观地，似乎在两个元素A和B之间存在平等证据。 令人惊讶的是，Hofmann和Streicher 1996设计了一种依赖类型理论的模型，这是无效的，这是一个模型，它们可以是两个元素相等的不同证据。 在该模型中，由A和B之间的同构同构同构同构同构同构同构同构同构同构同构同构同构同构同构同构同构同构同构同构同构同位解释。 该模型的存在使得在类型理论中不能一般证明，平等类型在最多的一个元素中。 该基础解释以下列方式推广，这给出了身份类型的直观解释。 一种类型由拓扑空间解释，拓扑空间，直到同级别，并且通过连接a和b的路径类型来解释类型IDA（A，B）。 （见Awodey等人。2013和[Hott 2013，其他互联网资源]。）
Voevodsky 2015引入了以下类型的分层。 （该分层部分地通过这种类型作为拓扑空间的解释而被激励，但是可以直接理解而不参考这种解释。类型A最多有一个元素）。 我们说，如果IDA类型（A，B）是A的任何元素A和B的命令，则A类型A是一个设置。我们说，如果类型IDA（A，B）是用于A的任何元素A和B的设置，则A类型是GALOIT。术语是可以通过类型理论的规则来显示，即任何这样的类型可以确实被视为在通常的分类意义上的Galoid，其中对象是这种类型的元素，由SET IDA表示的A和B之间的一组态度（a B）。 该组合物是平等的传递效力证明，身份态度是平等反射性的证据。 每个怪异都有一种反向的事实对应于身份是对称关系的事实。 然后可以延长这种分层，我们可以定义类型是2-Gentoid，3-Glainoid等。 在此视图中，类型理论表现为设定理论的巨大概括，因为一组是特定类型的类型。
voevodsky 2015还引入了类型之间的等价概念，概念概括，以统一方式概括了命题之间的逻辑等价之间的概念，集群之间的分类等当量之间的逻辑等效之间的概念等。 我们说，一个地图f：a→b是等价，如果b的任何元素b为单位a，p是IDB类型的P（FA，B），则是一个命题并且被居住。 这以一种强大的方式表示，B中的元素是A中的恰好一个元素的图像，如果A和B被设置，则我们恢复了集合之间的常规概念。 （通常如果f：a→b是等价，则我们有一个地图b→a，这可以被认为是f的逆。）例如，它可以被示出为identity映射始终是等价性。 让Equiv（a，b）是对f的类型，p：f：a→b和p是f是等价的证据。 使用身份图是等价的事实，我们具有任何类型A的Equiv（a，a）的元素。这意味着我们有一个地图
室内单元（一个，b）→当量（一个，b）
和单价的公理指出，这张地图是等价。 特别是，我们有含义
当量（一个，b）→室内单元（一个，b）
因此，如果两种小类型之间存在等价，则这些类型是相等的。
这种公理可以被视为强大形式的扩展原理。 它确实概括了教会1940提到的命题扩展性的公理，这使得两个逻辑上等同的命题是平等的。 令人惊讶的是，它还暗示了在教会1940中的功能扩展性，Axiom 10的公理10，这使得两个点等同的功能相等（Voevodsky 2015）。 它还直接意味着两个同义套相等，即两个分类等效的基础是相等的，因此一个。
这可用于沿着等量制定结构（Bourbaki 1957）的运输概念。 例如，让MA成为集合A上的旋翼结构的类型：这是元组M，E，P的类型，其中M是A和e的二进制操作，并且P a和P a的元素证明这些元件满足通常的长单阀。 平等的替代规则采取表格
室内单元（一个，b）→马→mb
如果在A和B之间存在底射，它们是由单价的公理等于的，并且我们可以使用这种暗示在B的长单阀结构中运输任何单套筒结构。
罗素1919和拉塞尔1959强调了结构概念的重要性。 例如，在拉塞尔1919的第六章中，注意到两个类似的关系基本上具有相同的属性，因此具有相同的“结构”。 （罗素1901年介绍了关系的“相似性”的概念。）我们还可以使用本框架来改进罗素对结构概念的讨论。 例如，让长途是对A的类型，P是MA的元素。 如果存在来自A到B的双孔f，则两个这样的对a，p和b，q是同构。q沿f的p的结构的结构等于p。 单位道的公理的后果是，单醇类型的两个同胞元素是相等的，因此分享相同的性质。 请注意，当在设定的理论框架中配制结构时，不可能实现这种情况的常规运输。 实际上，在一个设置的理论框架中，可以使用隶属关系制定属性，例如结构的载波集包含自然数0的特性，其由同构不保留。 直观地，这种结构的理论描述并不摘要，因为我们可以谈论这种结构建立的方式。 设定理论和类型理论之间的这种差异是y型结构的j.reynolds 1983的表征的另一插图，作为“用于执行抽象级别的句法学科”。
