类型理论（二）

通常给出的另一个数学示例是错误的定义是定义有界类的实数的最小上限。 如果我们用少于这一少于这一真实的理性识别一个真实，我们会看到这个最小的上限可以被定义为此类中所有元素的联合。 让我们识别理性的子集像谓词。 例如，对于Rational Numbums Q，P（Q）保持IFF Q是识别为P的子集的成员。现在，我们将谓词LC（Rational的子集）定义为C类的最小上限为：

∀q[lc（q）↔∃p[c（p）∧p（q）]]

这是令人难以置信的：我们通过对所有谓词的存在量化定义了谓词L. 在划分的层次结构中，如果C是一类一阶级的理性，那么L将是二阶类的理性。 一个人获得那么不是一个概念或实数，而是实际不同的命令1,2，......一般的订单1的收集的最小上限将是一般的。

正如我们早先看到的那样，莱布尼斯的平等定义给出了一个令人手机定义的又一个例子。 对于Leibniz，谓词“等于A”是真正的，对于B IFF B满足满足A的所有谓词。

如何处理分布层次结构引入的并发症？ Russell在对Principia Mathematica的介绍中显示出来，在某些情况下可以避免这些并发症。 他甚至认为，在第二版Principia Mathematica的附录B中，命令1,2，...处于命令5的分布层次，以定义关系的反向传递关闭的顺序5。 然而，哥德尔后来在他的论点中发现了一个问题，实际上，它被MyHill 1974所示，这个层次结构实际上不会在任何有限级别崩溃。 Russell在宣布向Principia Mathematica介绍中讨论了类似的问题，以颂歌的定理证明，从收集所有对象的集合中没有任何谓词（Russell的Paradox版本）中没有任何重新设计的函数我们在介绍中提供的弗雷格的系统）。 这可以在分布层次结构中完成吗？ 罗素怀疑这可以在雷尼特的分歧等级中完成，这确实确实证实了（见Chwistek 1926，Fitch 1939和Heck 1996）。

由于这些问题，Russell和Whitehead在Principia Mathematica的第一版中引入了以下还原性公理：谓词，一阶，二阶等的层次结构在级别1中折叠。这意味着对于任何订单的任何谓词，那么是相当于它的一阶级的谓词。 在例如平等的情况下，我们假设了一阶关系“A = B”，其等同于“满足B满足B的满足”。 这种公理的动机纯粹是务实的。 没有它，就像真实或自然数一样的所有基本数学概念都分为不同的订单。 此外，尽管有了非法定义的明显循环，但还原性的公理似乎并不导致不一致。

然而，如注意到首先是Chwistek，后来通过Ramsey在存在的情况下，实际上没有任何意义介绍了划分的层次结构！ 从一开始就可以容纳犯罪性定义更简单。 个人，类，类类的简单“扩展”层次结构，然后就足够了。 我们以这种方式通过这种方式在Gödel1931年或教会1940年展示的更简单的系统。

还原性的公理旨在注意非法定义的有问题状态。 为了引用1946年的Weyl，还原性的公理“是一个大胆的，一个几乎奇妙的公理; 在我们生活的真实世界中，它对此有很小的理由，并且没有任何证据表明我们的思想基于其建筑的证据“！ 到目前为止，没有发现使用可还原结构的矛盾。 然而，正如我们所看到的，证明理论调查确认了这种原则的极端强度。

分枝层次结构的想法在数学逻辑中非常重要。 罗素仅考虑了层次结构的有限迭代：一阶，二阶等，但从一开始，考虑了延长延伸枝条的可能性。 Poincaré（1909）在这个方向提到了Koenig的工作。 对于上面的不同顺序的示例，如果它是归纳所有有限订单，他还定义了一个归纳的数字。 然后，如果x和y都是，他指出x + y是ω的归纳。 这表明，在某些情况下引入Transfinite订单可以发挥可再造性的作用。 通过Gödel进一步分析了分枝层次的这种经甲酸盐延伸，他注意到，突出的重复性公理的关键事实实际上是可证明的：当一个人将分枝物质的分布层次延伸到Transfinite中时层次结构在Ω1级，最小无数序列（Gödel1995，以及普拉威茨1970）。 此外，虽然在所有级别＜ω1，但谓词的集合是可计算的，而谓词ω1的谓词是基数ω1的集合。 这一事实是Gödel的结构套装模型的强烈动机。 在该模型中，该集合的自然数集（由谓词表示）的所有子集的集合是基数ω1，并且类似于划分的层次结构。 该模型以这种方式满足连续假设，并给出了该公理的相对一致性证明。 （Gödel的动机最初只是建立一个模型，其中所有自然数量的集合是众所序的。）

划分的层次结构也是证明理论中多大工作的来源。 在通过常规ε0沿着序数ε0的Transfinite诱导（通过可判定的谓词）来证明算术的一致性之后，自然问题是为了找到不同层次的分布层次结构的相应序数。 Schütte（1960）发现，对于划分的层次结构的第一级，即如果我们通过仅通过一阶属性量化来扩展算术，我们得到了一个序数强度εε0的系统。 对于第二级，我们得到了顺序强度εεε0等。我们回想一下，εα表示α-thε序数，ε序号是序数β，使得ωβ=β，参见Schütte（1960）。

哥德尔强调了他对连续假设问题的方法并不建设性的，因为它需要不可数的序数ω1，并且自然地研究建设性顺序的分枝结构。 洛伦登和王的初步作品后，Schütte分析了会发生什么，如果我们以以下更具建设性的方式进行。 由于算术具有序序强度ε0，我们首先考虑将分配的层次结构的迭代到ε0。 Schütte计算了所得系统的序号强度，发现序号强度U（1）＞ε0。 我们迭代然后将其划分的层次结构达到这个序数U（1）并获得一个序号强度U（2）＞U（1）等系统。每个U（k）可以根据所谓的Veblen层次结构计算：U（k + 1）是φu（k）（0）。 该过程的限制给出了称为γ0的顺序：如果我们将分枝层次结构延伸到序数γ0，我们得到了一个序数强度γ0的系统。 通过S. Feferman独立地获得了这样的序数。 已经声称，γ0播放用于预测系统的角色与算术类似的ε0。 然而，最近的证据理论工作涉及具有更大的证据理论秩序的系统，可以被认为是预测性的（参见例如PalmGren 1995）。

除了与分枝层次结构相关的这些证明理论调查外，还致力于证明理论的许多工作，以分析了减少性的公理的一致性，或等效地，令人生畏的定义的一致性。 在绅士分析了序列微积分中的消除性能之后，Takeuti发现了一种优雅的简单类型理论的顺序制剂（无枝条），并使切割消除应该保持这种系统的大胆猜想。 鉴于非法定量的循环性，这种猜想似乎非常可疑，这在这种形式主义中反映出来。 量化规则确实如此

γ⊢∀x[一个（x）]

γ⊢a[x：= t]

其中T是任何术语谓词，其本身可能涉及对所有谓词的量化。 因此，公式A [X：= T]本身可以比公式A（x）更复杂。

一项早期结果是，Takeuti的Impriticative系统的剪切消除暗示了二阶算法的一致性。 （一个人认为这意味着Infinity Axiom的合适形式的一致性，参见Andrews 2002.）由Schütte（1960B）进行工作后，它后来被W. Tait和D. Prawitz所示，实际上是削减消除财产持有（证明这必须使用更强的证明理论原则，因为它应该根据不完整定理。）

以下是，这些研究表明，这些研究揭示了非正式量化的极端力量，或者等效地，可减少的公理的极端力量。 这在某种程度上证实了Poincaré和罗素的直觉。 二阶算术的证明理论强度是Schütte考虑的所有算术扩展的方式。 另一方面，尽管令人生畏的定义循环，但在Takeuti的微积分中进行了如此明确，尚未在二阶算术中发现悖论。

证明理论的另一个研究方向是了解如何从直觉数学中获得的原则解释了多少次要量化。 最强烈的这样的原则是强烈的归纳定义形式。 通过这种原则，人们可以解释一种有限形式的非法性定量，称为π

1

1

- 一个人在谓词中仅使用一种级别的非正式定量量。 有趣的是，几乎所有已知的非法量化的用途：leibniz平等，最小界限等，可以用π完成

1

1

-comprehension。 这种减少的π

1

1

-Cututue以相当间接的方式实现的复数，并通过Buchholz和Schütte使用所谓的ω规则简化。 它可以被视为对某些限制而非灾难的非法定义的建设性解释。

4.键入理论/集合理论

类型理论可以用作数学的基础，实际上，罗素在1908篇论文中被罗素展示，这与Zermelo的纸张出现同年，将集理论作为数学的基础提出。

它是明确的，我们如何解释集合理论中的类型理论：简单地被解释为集合，并且可以使用函数的设定理论概念来解释功能类型A→B（作为功能关系，即一组元素对。一组元素）。 A→O对应于PowerSet操作。

另一个方向更有趣。 我们如何在类型方面解释集合的概念？ 由于A. Miquel，有一个优雅的解决方案，这些解决方案是P. Aczel（1978）的补充以前的作品，并且这也具有解释非必然成立的套装La Finsler的优点。 一个简单地将集合解释为指向图（图中箭头表示成员资格关系）。 这在型理论中非常方便地表示，尖锐的图表被A型和一对元素给出

- 答：一个，r：一个→一个→o

然后，当两个这样的组A，A，R和B，B，S相等时，我们可以在类型理论中定义：这是壳体IFF在a和b之间存在双刺激t之间的情况。 双刺激是一个关系

t：一个→b→o

这样，只要TXY和RXU保持，存在V这样的v这样的v和syv保持，并且只要txy和RYV保持，就存在UV和RXU保持。 然后，我们可以定义成员关系：所表示的B，B，S是由A，A，R IFF表示的集合的成员，其中存在A1，使得RA1A和A，A1，R和B，B，S是B不同的。

然后可以检查它的所有常用公理的集合理论的扩展性，电力集，联盟，对有界公式的理解（甚至是反对的，使得成员关系不需要良好地成立）在这个简单的模型中举行。 （有界公式是一种公式，所有量化是∀x∈a...或∃x∈a的形式。 通过这种方式，可以证明教会的简单类型理论与Zermelo的集合理论的有界版本相应。

5.型理论/类别理论

类型理论与类别理论之间存在深处。 我们限制了介绍了两种类型理论的应用到类别理论：免费的笛卡尔封闭类别和免费Topos的建设（参见类别理论的条目，以解释“笛卡尔封闭”和“Topos”）。

为建立免费的笛卡尔封闭类别，我们将简单的类型理论与类型1（单位类型）和产品类型延伸，为B型。 通过添加配对操作和投影和类型1的特殊元素来扩展这些术语。然后，在Lambek和Scott 1986中，可以在术语之间定义术语之间的类型转化的概念，并显示该关系是可解除的。 然后，可以显示（Lambek和Scott 1986），该类别用类型作为对象和来自A的态度的形态，所关闭的A→B类型的封闭项（随着等式转换）是免费的笛卡尔封闭类别。 这可用于显示此类别中箭头之间的平等是可解除的。

教堂类型理论也可用于建立免费的Topos。 为此，我们作为对象对A，E具有类型和e局部等价关系，即闭合术语E：A→A→O是对称的和传递的。 我们在a，e和b之间的形态，f的关系r：a→b→o，这是功能的，这对于任何a：一个满足的eaa存在一个，并且B的一个（模数f）元素b这样的fbb和rab。 对于子obObject分类器，我们使用e：o→o→o定义为f：o→o→o

emn =和（implymn）（implynm）

然后可以证明这一类别形成了顶部，实际上是免费的Topos。

应当注意，Lambek和Scott 1986的类型理论使用Henkin引入的类型理论的变化，并由P. Andrews（2002）改进，这是具有唯一逻辑连接的延伸平等，即a多态性常数

eq：一个→一个→o

并从此连接和常量t，f：o定义所有逻辑连接。 例如，一个定义

∀p= dfeq（λx.t）p

O类型的平等是逻辑等价。

强化制剂的一个优点是它允许基于λ-微分（Martin-Löf1971和彼和1986年）的证据进行直接符号。

6.系统类型，多态性，悖论的扩展

我们已经看到了操作A→A→O在类型上的操作和PowerSet操作之间的类比。 在集合理论中，可以沿着累积层次结构来迭代来迭代Powerset操作。 然后是自然的，寻找类型理论的类似的经细制版本。

通过添加宇宙（Martin-Löf1970）获得教会简单类型理论的一个这样的延伸。 添加Universe是一个反射过程：我们添加了一个类型的u，其对象是到目前为止所考虑的类型。 对于教会的简单类型理论，我们将拥有

o：你，我：你和一个→b：你如果是的：你，b：你

此外，A是一种类型，如果是：u。 我们可以考虑诸如此类的类型

（ - 答：u）→一个→一个

和诸如

的ID =λa.λx.x：（一个：u）→一个→一个

函数ID作为参数a“small”类型a：u和type a的元素x，并输出类型A的元素。更常见的是如果t（a）是假设a：u的类型，则可以形成依赖类型

（ - 答：u）→t（一）

那个m是这种类型的意思是，每当答：u时，ma：t（a）。 我们以这种方式实现了型理论的延伸，其强度类似于Zermelo的集合理论之一（Miquel 2001）。 在（Palmgren 1998）中考虑了更强大的宇宙形式。 Miqueel（2003）呈现了相当于Zermelo-Fraenkel之一的强度类型理论的版本。

通过添加Axiom U：U来获得一种非常强大的宇宙形式。 这是在1970年的P.Martin-Löf提出的.J.Y. GIRARD表明所得到的类型理论与逻辑系统不一致（Girard 1972）。 虽然似乎首先，可以使用一组所有集合直接再现Russell的悖论，因此由于组和类型之间的差异，实际上是不可能的这样的直接悖论。 实际上，这种系统中矛盾的推导是微妙的，并且已经间接地是间接的（但是，如在Miquel 2001中所注意到的那样，现在可以通过表示作为指向图形的组来减少到Russell的悖论。 j.y. Girard首先获得了他的悖论较弱的系统。 这个悖论后来被精致（互联网1994年和Hurkens 1995）。 （在Barendregt 1992中引入的纯型系统的概念，方便地对这些悖论进行了急剧的制定。）而不是Axiom U：你只是假设

（ - 答：u）→t（一）：u

如果t（a）：你[答：你]。 注意圆形，确实是与被划分的层次结构拒绝的相同类型：通过量化U的所有元素来定义u的元素。例如类型

（ - 答：u）→一个→ - 答：u

将是多态身份函数的类型。 尽管这个圆形，J.Y. Girard能够显示具有这种多态性形式的类型系统的归一化。 然而，教会的简单类型理论与多态性的延伸是不一致的，即逻辑系统，即所有命题（o型术语）可提供。

j.y. GIRARD用于考虑具有多态性的类型系统的动机是将Gödel的派别文（Gödel1958）解释为二阶算法。 他通过TAIT（1967）引入的再介绍了吉尔1958的再介绍了术语，他证明了正常化。非常显着的是，Impriticativity固有的循环不导致非正常术语。 （吉拉德的论点被用来表明，在上面提出的CaIttue的搜索结石中终止剪切终止。）通过J.Reynolds（1974）独立地引入了类似的系统，同时分析了计算机科学中多态性的概念。

Martin-Löf引入了一种类型的所有类型，来自咖喱和霍华德的工作建议的命题和类型的概念。 这是一个值得回顾他三个激励点数：

Russell的类型定义为命题功能的重要性范围

一种需要量化所有命题的事实（简单类型理论的态度）

鉴定命题和类型

给定（1）和（2）我们应该有一种命题（如简单类型理论），给定（3）这也应该是所有类型的类型。 Girard的悖论表明，一个人不能同时拥有（1），（2）和（3）。 Martin-Löf的选择是带走（2），限制型理论是预测的（实际上，宇宙的概念首先出现为所有类型类型的预测版本）。 在1986年讨论了替代选择的脱离（3）。

7.单价基金会

类型理论，设定理论和类别理论之间的连接通过单价基础（Voevodsky 2015）和单价的公理获得了新的光线。 这涉及以前部分中描述的类型理论的基本方式，特别是依赖类型，作为类型的命题视图，以及类型的宇宙的概念。 这些发展也与讨论结构的概念，其重要性在于拉塞尔1959年强调。