乔治·布尔（完结）

第1步：命题术语如下所示由代数术语表达; 一个人可以替代X，Y的更复杂的术语。 Boole没有给予递归定义，只有一些简单的例子：

条款玛lt

宇宙1 p.15 1 p.48

空类。--- 0。第47页

不是x。1-x。第20页。1-x。第48页

x和y。XY。第16页。XY。第28页

x或y（包括）--- x + y（1-x）

xy + x（1-y）+ y（1-x）p.56

x或y（独家）--- x（1-y）+ y（1-x）第56页

步骤2：表达了命题术语作为代数术语，然后使用以下将命题表示如等式; 再次可以替代X，Y的更复杂的术语，但不适用于V：

主要

命题。MAL（1847年）LT（1854）

所有x都是y。x（1-y）= 0。第26页。x = vy。PP.64,152

没有x是y。xy = 0。（不是主要）---

所有x都是y。（不是主要）--- x = y

有些x是y。v = xy。vx = vy

有些x不是y。v = x（1-y）（不是主要）---

在LT中，在XV章节之前，aristotelian逻辑上的一个，Boole的示例只使用了普遍的命题。 （人们可以推测他遇到了特定命题并避免了它们的困难。 （同样地，如果x被Not-x等代替等）Bole表示消除V是一种方便但不必要的步骤。 对于所有X的示例，在前十四章中，他可以简单地使用表达式x = xy，跳过参数v的使用。

为了简化他使用相同信的符号，说V，对于一些有几个环球场所，如果一个人接受Boole的声称，没有必要立即消除V的诉讼，那就不需要。 不同的普遍命题需要不同的v在他们的翻译中; 否则可以遇到以下情况。 考虑所有x的两个前提是z，所有y都是z。 对其等式表达式的使用相同的v给出x = vz和y = vz，导致等式x = y，然后到错误结论x等于y。 在XV章节中，他小心使用不同的v来表达独特的场所。

Boole在1847年使用了四个分类命题作为他的主要形式，但在1854年，他消除了负命题形式，注意到一个人可能会改变而不是y。 因此，在1854年，他将表达NO x是y通过x为不是 - y，用翻译x = v（1-y），然后消除v获取

x（1-（1-y））= 0，

这简化了XY = 0。

第3步：在代数形式表达房地后，一个方程式的集合

的p1 =第一季度，的p2 =第2季度，...，pn = qn。

将它们写为等式，右侧有0，即

r1的= 0，r2的= 0，...，rn = 0，

与

r1的：= p1的-第一季度，r2的：=的p2-第2季度，...，rn：= pn-qn。

在第十一章第3节中给出了形成RI以保持幂等性的替代方法以保持幂等性质，以便在第十一节第3节中给出。

步骤4 :(减少）[LT（第121页）]

减少方程式

r1的= 0，r2的= 0，...，rn = 0，

到一个等式r = 0。 Boole有三种不同的方法来做这么做 - 其中一部只是因为RI是幂等的。 他对总结广场的优先偏好：

r：= r

2

1

+⋯+ r

2

n

= 0。

在第X章第3节中还给出了形成r以保持幂等特性的替代方式以保留幂等性质，但是

步骤1到4是Boole的一般方法中的强制性。 执行这些步骤后，有各种持续的选项，具体取决于目标。

步骤5 :(消除）[LT（第101页）]

假设一个人希望从r = 0衍生的最一般的实体结论，它涉及r中的一些，但不是全部，r的阶级符号。 然后一个人想消除某些符号。 假设r涉及类符号

x1，...，xj和y1，...，yk。

然后一个人可以将r写为r（x1，...，xj，y1，...，yk）。

Boole的程序消除符号x1，...，xj

r（的x1，...，xj，y1，...，yk）= 0

去获得

s（y1，...，yk）= 0

如下：

形成所有可能的表达式r（a1，...，aj，y1，...，yk），其中a1，...，aj是0或1，然后

将所有这些表达式乘以获得S（Y1，...，YK）。

例如，消除x1，x2

r（的x1，x2的，y）= 0

给出了

s（y）= 0

在哪里

s（y）：= r（0,0，y）⋅r（0,1，y）⋅r（1,0，y）⋅r（1,1，y）。

步骤6 :(开发或扩展）[MAL（第60页），LT（PP 72,73）]。

给出一个术语，例如，R（x1，...，xj，y1，...，yk），可以相对于类符号的子集扩展该术语。 扩展到X1，...，XJ给出

r =术语R（a1，...，aj，y1，...，yk）⋅c（a1，x1）⋯c（aj，xj），

其中A1，...，AJ范围在0s和1s的所有序列上，并且由C（AI，XI）定义为：

c（1，xi）：= xi，和c（0，xi）：= 1-xi。

产品

c（a1，的x1）⋯c（aj，xj）

是x1，...，xj的成分。 J符号有2J不同的成分 - Venn图的区域提供了一种可视化成分的流行方式。 说表格的等式将方便

c（a1，的x1）⋯c（aj，xj）= 0

是一个组成方程。

第7步：（划分：求解类符号）[MAL（第73页），LT（第86-92页）]

鉴于等式r = 0，假设一个人想要解决一个类符号之一的这个等式，例如，就另一个类符号表示x，说它们是y1，...，yk。 解决：

r（x，y1，...，yk）= 0

对于X，首先让：

n（y1，...，yk）= r（0，y1，...，yk）

d（y1，...，yk）= r（0，y1，...，yk）受体（1，y1，...，yk）。

然后：

x = s（y1，...，yk）

其中s（y1，...，yk）是：

所有组分C（A1，Y1）⋯（AK，YK）的总和，其中A1，...，AK系列的所有序列为0s和1s，其中：

n（a1，...，ak）= d（a1，...，ak）≠0，

再加上

va1 ...ak⋅c（a1，y1）⋯c（ak，yk）的所有条款的总和，适用：

n（a1，...，ak）= d（a1，...，ak）= 0。

VA1 ... AK是参数，表示任意类（参数的外观类似于线性微分方程解决方案中所看到的，其中Boole是专家的主题）。

对于X的等式（*）毗邻约束条件（这些是欺骗的组成方程称为“独立关系”）

c（a1，y1）⋯c（ak，yk）= 0

只要

d（a1，...，ak）≠n（a1，...，ak）≠0。

请注意，一个是评估术语：

d（a1，...，ak）和n（a1，...，ak）

使用普通算法。 因此，求解等式R = 0对于类符号x给出了等式

x = s（y1，...，yk），

也许是约束组成方程。 在p。 92 Boole指出，解决方案加约束方程可以简单地写成

x =一个+ vb

c = 0，

其中，B和C是不同成分的每种总和。

此演示文稿给出了与Bole完全相同的解决方案，但没有神秘地使用级分，如0/0和1/0。 Boole使用正式划分以表达x作为n除以d，然后是一个正式的扩展，其中组分C（a1，y1）⋯c（ak，yk）的系数是分数

n（a1，...，ak）/ d（a1，...，ak）。

他有以下关于如何解码它们在其成分上的系数的效果的规则：（1）对于带有M≥0的系数m / m，组成部分保持在解决方案中; （2）对于0 / m，具有m≠0，删除成分; （3）系数0/0被改变为任意参数; （4）任何其他系数表明要除去组成部分并设定等于0。这种正式划分和正式扩张最好被视为聪明的助记符。

步骤8 :(解释）[MAL PP。64-65，LT（CHAP。VI，ESP。第82-83页）]

任何多项式方程P（Y1，...，YK）= 0相当于组成方程的集合

c（a1，y1）⋯c（ak，yk）= 0

对于其中P（A1，...，AK）而不是0.组成方程仅仅断言原始类别的某个交叉点及其补充是空的。 例如，

y1（1-y2）（1，y3）= 0

表达所有Y1的命题为Y2或Y3，或等效地，所有Y1而不是Y2是Y3。 它是将组成方程作为命题解释的例程。

6.3。 Boole的二次命题的一般方法

次要命题是Boole的命题的命题，即在aristotelian逻辑中的假设三段中的研究中遇到的命题，如果x为true或y是true的语句，则z为true。 符号x，y，z等引用主要命题。 在保持假设命题的亚里士多德治疗的不完全性质中，Bole没有给出次要命题的可能形式的精确描述。

粘孔使用的关键（但不是原始）观察只是一个人可以将二次命题转换为主要命题。 在Mal中，他通过了在何地（1826年）中发现的“约定”（1826），那就是一个命题符号x，符号x将表示X为真的情况，而在LT Bole中Let X表示x为真的次数。 使用此次级命题如果x为true或y为true，则z为true以x或y表示为z。 等式x = 1是x的等式转换为true（在所有情况下，或所有时间），x = 0表示x是假（在所有情况下，或所有时间）。 所有情况的概念和所有时间都依赖于话语宇宙的选择。

通过这种平移计划，很明显，通过他为主要命题制定的方法，可以分析脱臭的次要治疗次要命题。 这是Bole的命题逻辑。

Boole主要在Mal，使用传统部门与分类和假设的亚里士多德主张一起工作。 在LT中，该司被相似但更一般的主要分类取代，其中允许主题和谓词成为复杂的名称，并且参数中的命题次数变得不受限制。 在这个主要命题的逻辑与次要命题之间的逻辑之间的相似之处变得清晰，有一个值得注意的差异，即似乎脱毛被认为总是转化为普遍主命题的次要命题。

二次

命题。MAL（1847年）LT（1854）

X是真的。x = 1。第51页。x = 1。p.172

x是假的。x = 0。第51页。x = 0。p.172

x是真的，y是真的。xy = 1。第51页。xy = 1。p.172

x是真或y是真的（包括）x + y-xy = 1。第52页。---

x是真的或y是真的（独家）x-2xy + y = 1。第53页。x（1-y）+ y（1-x）= 1 p.173

如果x为true那么y是真的。x（1-y）= 0。第54页。x = vy。p.173