乔治·布尔（三）

直到p才。 脱毛的LT 66明显通知读者添加的读者，这些读者已经在p上引入。 33，是课程的部分操作：

表达x + y似乎确实是不可诠释的，除非假设由x表示的东西和y表示的东西完全分开; 他们拥抱没有共同的人。

关于减法是部分操作的类似陈述直到p直到p才出现。 93：

后一种函数预先假定为其解释的条件，所以由y表示的类完全包含在x所代表的类中。

这里“后一个函数”是指X-y。 关于一个主题的相关事实的分散，例如添加和减法的基本操作的定义，对读者没有帮助。

在使用部分代数时小心需要的另一个例子是Bole选择的基本操作减去是二元减法的重要性，而不是环形理论中标准的Actimative逆的机会。 请注意，标准运营联盟，对称差异，交叉点和课程的Boolean代数的补充是可定义的，通过完全定义的术语可以确定 - 他使用这些能够通过方程式表达关于类的主题：

x∪y：= x +（1-x）y

x△y：= x（1-y）+（1-x）y

x∩y：= xy

x'：= 1-x。

需要减法以找到完全定义的术语即1-x，表示x的补充。 术语1 +（ - x），如-x，仅在Boole的Partial-代数中定义x = 0。

相同的三个方程定义了在类的标准布尔环中的凹槽代数，其中添加是对称差异，除非在这种情况下，减法是派生操作，即1-x被定义为1 +（ - x），即一致减去在布尔环中的基本操作，确实在任何戒指中。

人们可能希望Boole建立了一个逻辑代数的公理基础，因为他（错误地）在Mal中声称，使用普通代数的所有进程都有合理的。 事实上，他确实讨论了推理规则，即增加等于等于等于等于的等于，并且乘以等于等于等于。 但后来的发展是一个公理的方法来到突然停止。 没有讨论是否具有规定的公理（他称为法律）和推理规则（他称为公理）足以获得他的逻辑代数。 （他们不是。）他简单而简单地简单地说，对于他的代数（LT PP 37,38）提出了一个完整的新基础，为他的代数提出了一个根本新的基础：

让我们设想然后是一个代数，其中符号x，y，z，＆c。 漠不关心地承认值0和1，以及单独的这些值。 这种代数的法律，公理和过程将在其整体范围内与逻辑的代数和代数的过程相同。 解释的差异将单独划分它们。 在这一原则上，建立了以下工作的方法。

请注意，此代数将变量的值限制为0和1，但对术语值没有放置此类限制。 没有断言，这是一个两个元素代数。 Burris和Sankappanavar（2013）查看了引用，说这个代数只是通过将变量限制为值0和1来修改的普通代数，以确定参数的有效性。 他们称这个Boole的0和1的规则，并表示他使用了这一规则来证明他的三个主要定理（扩张，减少，消除）。 这些主要定理以及解决方案定理产生了在某些所需约束下发现命题房屋的最强烈后果的粘附方法（例如消除一些变量）。 关于此规则的进一步评论在5.2节中如下。

在第五章中，他捍卫了在他的工作中使用了未解释的物品; 作为他在符号代数中使用未解释的步骤的理由的一部分，他指向众所周知的使用

√

-1

获得三角识别。 遗憾的是，他的符号推理的原则通常不适用于部分代数，即仅部分地区定义的部分代数，例如在Boole的代数中的添加和减法。 尽管如此，事实证明他们可以申请他的代数逻辑。 在后续章节中，他给了扩展定理，新的全力消除定理，改进的减少定理以及正式划分和正式扩展的解决方案定理来解决方程。

Boole转向VI第13章中逻辑函数的解释性主题。他已经在Mal中陈述，每个方程都是可解释的（通过表示等式相当于组成方程的集合）。 然而代数术语不需要可解释，例如，1 + 1不是可解释的。 一些术语是部分解释的，并且等同的术语可以具有不同的可解释结构域。 在第六节第13章中，他得出结论：多项式P的条件相当于（完全）可解释的函数，是它满足P2 = P，在这种情况下，它等同于不同的成分之和，即那些属于那些对p的非消失的modulii。 如果才能且仅当其所有Modulii都是空闲的，则多项式是幂等的，即它们在{0,1}中，在这种情况下，多项式的扩展是不同成分的总和（或者它为0）。

Boole的次级命题章节xi与MAL的治疗平行，除了当x为真的x为true时，他从使用x真实的情况发生了。 在XIII Boole中选择了Clarke和Spinoza的选定论点，在永恒存在的本质上，以逻辑代数的放大镜，从评论（LT，第185页）开始

2.本查询的主要实际难度将包括，而不是在将该方法应用于船舶曾经确定的情况下，但在确定该处所的内容。

一个结论是（LT，第216页）：

19.我认为是不可能的，从克拉克和斯科诺加的争论中崛起，没有深刻地定罪所有努力，完全先验，完全是一个无限的存在，他的属性和他的与宇宙有关。

在关于逻辑的最后一章中，Boole章节XV，提出了他对亚里士多德逻辑的转化和三段论的分析。 他现在认为这种古老的逻辑是一种弱势，分散的逻辑系统的尝试。 这种被忽略的章节非常有趣，因为它是他分析了特定命题的唯一一章，使得必要使用像v这样的附加字母来编码一些。 这也是他所说（不完全）与某些人合作规则的章节。

在LT的XV章节中指出的boole是，当x和y的前提被表示为涉及x，y和v的方程式时，符号V表示一些，但仅在其前提下出现的上下文中。 例如，所有x都是y具有表达式x = vy，这意味着vx = vy。 这可以解释为某些x是y。Vx = Vy的后果是v（1-x）= v（1-y）。 但是，不允许读取这一点，因为某些NOT-X不是-Y，因为V在前提下没有出现1-x或1-v。

在XV Boole章节中，给了读者一个简要摘要传统的亚里士敦的分类逻辑，并用他的代数分析了一些简单的例子。 然后，他通过将他的一般方法应用于一对等式来证明全面的结果：

vx = v'y

wz = w'y。

这是中间术语的情况。 他允许使用的一些参数v，v'，w，w'替换为1，但不是v，v'而不是w，w'可以用1.一个也可以在两个方程式中替换y y y y y y y y 1-y，并独立地将x通过1-x和z替换1- z。 许多分类三段论的场所可以以这种形式表达。 他的目标是在z，v，v'，w'方面消除y并找到x，1-x和vx的表达式。

省略了将一对方程的减少省略到单个方程，以及从该等式中消除中间术语Y以及应用解决方案定理以获得X，1-x和Vx的所需表达的细节，涉及大的三方程代数表达。

他对这种相当复杂的代数分析的解释的概述只是，在中间术语的情况下，至少一个中期普遍，等同于极端。 例如，所有Y是x的前提是x，一些z由一对等式表示

vx = y

wz = w'y。

因此，结论方程是Vx = WZ，其具有一些X是Z的解释。

然后他指出，剩余的分类三段论是他们的房屋可以放在表单中：

vx = v'y

wz = w'（1-y）。

这是与中间项不同的情况。 这导致了另一个大型方程式，再次省略了衍生的细节，但是在两个食谱中简要概述了Bole。

首先，在与中间项不同的情况下，至少一个通用极端，将该极端的数量和质量改变为另一个极端。 例如，所有x都不是y，一些z为y提供了一对等式

x = v'（1-y）

wz = w'y。

因此，结论方程是v（1-x）= WZ，其具有解释的一些NOT-X是Z.

其次，在与中间术语不同的情况下，这两者都是普遍的，将一个极端的数量和质量改变为另一个极端。 例如，所有NOT-y都是x的前提是x，z给出了一对等式

vx =（1-y）

wz = y。

因此，一个结论方程是1-x = WZ，其解释所有NOT-X是Z. 另一个是vx = 1-z，其解释所有不是-z是x。 这两个命题中的每一个都只是通过否定另一个的转换。

Boole注意到（LT第237页）：

他们推导的调查过程可能看起来是不必要的复杂性; 并且肯定会在更大的设施中获得它们，并且没有任何符号仪器的辅助。

5.后来的发展

5.1对逻辑的代数反对意见

多年来，对Boole系统的许多反对意见已出版; 四个最重要的问题：

普通代数的依赖关系，

在派生中使用无法解释的表达式，

通过方程处理特定命题

分裂处理方法。

例如，Boole在作用表达中使用V的使用是争夺的长期骨骼。 ErnstSchröder（1841-1902）在他的Algebra der Logik（1891，第91页）中争论II卷II，即课程中的方程式的关于类的特定命题根本不能表达。

我们看看不同的反对意见，即在Bole / Jevons争议作为法律上的X + X = X.

[以下细节来自发展数学逻辑理论和数学原则，William Stanley Jevons，由Philip Jourdain，1914年。]

杰维斯说：

然而，它肯定是显而易见的，x + x仅相当于x，......;

Boole教授的表示法[减法过程]与一种不言而喻的法律不一致。

如果我的观点是对的，他的系统将被视为最卓越的真理和错误组合。

Boole回答：

因此，等式x x = 0等于等式x = 0; 但表达式x + x不等同于表达式x。

jevons询问Bole是否可以否认x + x = x的真实性。

Boole，清楚地恼怒，回复：

要显式，我现在回复，在逻辑x + x = x中，x x = 0等于x = 0是真的。 如果我不写更多，那不是不愿意与你讨论主题，而是因为如果我们在这一基本点的不同之处，我们不可能同意他人。

jevons的最终努力让Boole了解这个问题是：

我不怀疑它是对你来保持的.....

jevons的新法，x x = x，由于他的信念导致了+应该表示我们现在的呼叫联盟，其中x + y的成员资格由包容剂或。 除非x和y是不相交的，除非x和y是不相交的，除非x和y是不相交的，BBole根本没有看到任何方式来定义x + y作为类。

为什么Boole无法理解Jevons的建议的可能性的各种解释。 Boole显然有联盟的语义概念 - 他将x和y的联盟表示为x +（1-x）y，这是两个不相交的类的总和，并指出该类的元素是属于x或y或两者的元素。 那么他怎能完全没有看到他的基本操作+代替他好奇的部分联盟操作的可能性？

答案很简单：法律x + x = x会破坏他使用普通代数的能力：从x + x = x一个有普通代数，x = 0。 这将强制每个类符号表示空类。 如果致力于在普通代数的法律和推理规则的顶部构建逻辑的代数，jevons的拟议法律x + x = x是不是真的。 （布尔环满足普通代数的所有规律，但并非所有的推论，例如，2x = 0表示x = 0不包含在布尔环中。）Boole似乎很可能找到构建模型的最简单方法 - 其域是类包含在话语的宇宙中 - 对于逻辑的代数，允许使用对数字有效的所有方程和实际参数。

5.2岩石系统现代重建

一种受欢迎的误解是逻辑的Boole的代数是课堂的布尔代数，具有工会，交叉路口和补充的常规操作。 Hailperin在1981年的“Boole的代数不是布尔代数”中有力地指出这个错误，这是他的路径破解的书架逻辑和概率（1986）中重复的主题。 尽管如此，两个代数，Boole的代数和布尔代数的目标是相同的，为类的微积分和命题逻辑提供等级逻辑。 感谢Hailperin的着作，第一次明确为什么Boole的代数给出了正确的结果。

在他1959年的JSL审查文章迈克尔·德姆特说：

当他发现其理论的患病实际上是如何以及对其的解释有多困惑，任何人都会受到不公然的意外。

例如，人们没有找到由等效或可解释的博罗的明确陈述。 对于那些熟悉部分代数的人来说，后者可以容易地采用意味着定义 - 代数术语的定义域具有递归定义，就像代数术语具有递归定义一样。 在验证像LT中那样的示例后，显示Boole的代数方法，为课程的命题提供正确的结果，那些想要发挥逻辑代数的人的挑战是使Bole的代数的基础充分精确以便能够证明他使用的代数程序。

在LT Boole上给出了有关如何使用他的代数获取有关课程的命题房地的有效命题结论的详细说明，当命题是普遍的。 （他避免了特定的命题，直到XV章节，LT对逻辑上LT的最后一章。 代数步骤可以冗长，他在第IX章中给出了一些快捷方式，但我们现在知道任何执行此类扣除的方法都将面对与命题变量的数量快速增长的计算复杂性。

如上所述，Boole都是任何东西，但明确为什么他的代数正如所声称的那样，为房屋提供最佳结论。 这激发了对Bole意味着说或应该说的是有关的大量评论，以及他的理由有效的程度。

JEvons（1864）对逻辑的代数缺点批评并放弃了它以创建现代布尔代数的第一版。 （他没有现在标准的Unary补充手术，而是使用De Morgan的惯例，这是A级的补充是a。）jevon的1864本书的标题用纯粹的逻辑词开始，参考他的代数版本的事实逻辑已被从数字代数的连接清洁。 在Whitehead和Russell的Principia Mathematica介绍中，他们将采用同样的观点，他们采用了Peano的符号部分，部分是从这些联系中释放他们的工作。

据海宾（1986年）表示，Boole代数的证明理论一侧只是与单位的非琐碎的换向环，具有单位和可分辨的幂态，但没有非零性的无零或倍增的尼能元素。 他最喜欢的模型是签名的多套的戒指，他用它们来解释为什么Boole的定理对于普遍命题逻辑的代数是正确的。 （海宾分析不适用于特定命题。）

弗兰克W.Brown的纸质乔治Boole的演绎系统（2009年）声称，通过使用多项式Z [x] Modulo的环，可以避免Hailperin的签名多套。

Burris和Sankappanavar（2013）使用Boole的模型是一个局部代数的事实是对环Zu在环Zu中加入，乘法和减法的操作的制约的同构。 这里z是整数的环，你是话语的宇宙。 从这个可以推断出在变量限制为0和1时在z的任何角句子将在zu被限制为idempotent元素时，因此将在Boole的Partial-algeBRA中保持。 这为Boole规则的0和1提供了扩展版本，并且由于他的主要结果（扩展，减少，消除和解决方案）可以由这种角句表达，因此可以快速证明它们确实有效。

6. Boole的方法

在阅读本节的同时，在Boole的方法的技术细节上，读者可能会发现咨询有用

从Bole的两本书中的例子补充。

这些例子已经通过解释的评论来增强，在通过Bole的每个步骤中解释，他采用了他方法的哪个方面。

6.1 Boole中使用的参数分析的三种方法

Boole使用了三种方法来分析LT中的参数：

首先是在MAL中的亚里士多德争论中使用的纯粹临时代数操作（与消除定理的弱版本结合）。

其次，在LT第2章第15章中，发现该方法在本文中称为0和1的规则。

LT的定理结合，从而产生主结果，

Boole的一般方法（在本文中，它将始终被称为刚刚称为“方法”的大写字母-Boole）。

应用Ad Hoc方法时，他使用普通代数以及IDEMPotent Law X2 = X来操纵方程。 没有预先建立的程序与这种方法遵循 - 取得了这种方法，依赖于通过经验制定的直观技能。

第二种方法，规则为0和1，是非常强大的，但这取决于给予前方方程的集合和结论方程。 这是一个真实表，如方法（但是在应用方法时，Boole从未绘制表格）以确定参数是否正确。 他只使用这种方法来建立合理的定理，即使它是验证Syllogisms等简单参数的优秀工具。 Boole主要有兴趣找到从特定房地，模制某些条件，除了他的普遍定理之外，对简单验证逻辑论点没有兴趣。 0和1的规则是LT - 它没有名称，并且在第五章第6节中重新制定了在进行推导和遇到无法解释的术语时使用的过程。

分析论点的第三种方法是Boole在逻辑中的工作的亮点，他的一般方法（在此之后立即讨论）。 这是他在LT中最简单的例子中使用的 对于最简单的例子，他采用了临时代数技术的第一种方法，因为对于代数操纵的技术人员，使用它们通常比通过通用方法更有效。

简要说明，他的分析参数的一般方法的最终版本（来自LT）：

将前提命题视为等式，

将规定的代数过程序列应用于等式，产生所需结论方程的过程，然后

将公正的结论解释为命题结论，从而产生原始命题收集的预期后果。

通过这种方法，Boole取代了通过常规机械代数方法从前提引起的推理领域取代了原理。 在p。 他说的是，他说，它始终可以通过拼凑三段来进行消除，但没有给出这样做的方法（即算法）。

在LT脱离分裂的命题分为两种，初级和次要。 这些对应于，但与亚里士多德师分类和假设命题完全相同。 首先，我们讨论他的一般方法适用于主要命题。

6.2。 Boole的主要命题方法

Bole认可主要命题的三个“伟大领先类型”（LT，第64页）：

所有x都是y

所有x都是y

有些x是y

这些是他的aristotelian分类命题版本，其中x是主题项，y谓词术语。 例如，术语x和y可以是复杂的，例如，x可以是“u和not-v，或者w”。 对于Boole这样的术语并不是很复杂，最多是简单条款的连词和违背的连词不关联，毫无疑问地反映了自然语言术语不是很复杂的事实。