乔治·布尔（二）
第一个在MAL（第16页）的法律是分配法
x（u + v）= xu + xv，
Bole说的那里U + V对应于将一个类分为两个部分，显然是u和v是不相交的类。 这是第一次提及在MAR中。
他补充说（mal，p.17）换向法xy = yx和指数法xn = x-in lt，后者将被二元x2 = x的法则取代（由哈佛大学数学家在1870年称为Idempotent法律Benjamin Peirce（1809-1880），在另一个背景下）。
在说明上述分配和交换法律后，Boole认为他有权充分雇用他的时间普通代数，称（Mal，第18页）
普通代数的所有过程适用于本系统。
Boole超越了象征性代数的基础，格雷戈里在1840年使用了Gregory - 他添加了De Morgan的1841年单一的推理规则，在等效受试者上进行的等效操作产生了等效的结果。
3.4普通代数
现代读者可能更难以掌握脱刀的代数是基于共同的代数，而不是博斗的同时代人的代数 - 现代读者已经暴露在现代布尔代数（也许是Boolean戒指）。 在1800年代中期，代数词意味着，对于大多数数学家来说，只需代数。
Boole的三个逻辑代数的法律是令人窒息的，因为在MAL中有所作为不足。 对于最多，读者将通过假设Boole正在进行普通多项式代数，通过假设选修符号X的任何电源XN可以被X取代，因此读者提供良好的服务。 可以安全地假设任何多项式方程P = Q，其中包含共同的代数在Boole的代数中是有效的，也是任何公式论证
的p1 =第一季度，...，pk =qk∴p= q
持有共同代数。
[注意注意事项：参数“x2 =x∴x= 1或x = 0”在共同的代数中有效，但由于结论是等式的分离，而不是单个方程，这不是一致论证。]
Boole的代数主要涉及具有整数系数的多项式，并且当变量仅限于仅限值0和1时，它们的价值在于Boole的工作中的一些关键多项式，以及它们在{0,1中的一些关键多项式以及它们的值}，如下表所示：
x y 1-x x-x2的xy x + y x-y x + y-xy x + y-2xy
1 1 0 0 1 2 0 1 0
1 0 0 0 0 1 1 1 1
0 1 1 0 0 1 -1 1 1
0 0 1 0 0 0 0 0 0
注意，上表中的所有多项式P（x，y）除外，除了添加和减法外，在变量在{0,1}中占用值时，请在{0,1}中取值。 这种多项式称为计算机科学和电气工程中的切换功能，并且作为{0,1}上的函数，它们是幂等的，即P2 = p。 切换功能正是Boole代数中的幂态多项式。
3.5指数法的影响
在Bole的代数中，可以减少一个变量中的任何多项式p（x），因为它可以减少到线性多项式轴+ b
anxn +⋯+ a1x + a0 = anx +⋯+ a1x + a0
=（一个+⋯+ a1）x + a0。
同样，任何多项式p（x，y）都可以表示为轴+ bx + cy + d。 等。
然而，在斧头+ B可以被写为x和1-x的线性组合，Boole更感兴趣，即
斧+ b =（一个+ b）x + b（1-x）。
这在一个变量中为他的扩展定理提供了：
p（x）= p（1）x + p（0）（1-x）。
两个变量中多项式的扩展定理是
p（x，y）=。P（1,1）XY + P（1,0）x（1-y）+
p（0,1）（1-x）y + p（0,0）（1-x）（1-y）。
例如，
x + y = 2xy + x（1-y）+（1-x）y
x-y = x（1-y） - （1-x）y。
表达XY，......，（1-x）（1-y）称为p（x，y）的成分 - 它将更好地称为变量x，y和系数p（1,1），...，p的组成部分（0,0）是p（x，y）的modulii。
类似的结果对多项变量中的多项式（MAL，PP。62-64）保持了三个重要事实，用于给定的变量列表的成分：
每个组成部分都是个体化，
两个不同成分的产物为0，
所有成分的总和是1。
3.6分类命题的等同性表达
在表达和解释的章节中，Boole表示“NOT-X类将由符号1-x”确定。 这是MAL中的第一个减法的第一次出现。 Boole的初步公正表达aristotelian分类命题（Mal，PP。21,22）将被称为他的主要表达。 然后在接下来的几页中，他补充了补充表达; 这些主要的表达式将被称为次要表达。
命题。主要表达。次要表达
所有x都是y。x = xy。x = vy
没有x是y。xy = 0。x = v（1-y）
有些x是y。v = xy。vx = vy
有些x不是y。v = x（1-y）Vx = V（1-Y）
给出的第一个主表达式对于所有x是y，然后将其转换为x（1-y）= 0的等式。 这是MAL中的第一个出现0。 它没有作为空类的符号引入 - 实际上空类未出现在MAL中。 显然“= 0”在MAL中执行了谓词的角色，等式E = 0断言由e表示的类简单地没有存在。 （在LT中，我们所谓的空类被引入并表示为0.）
三节的推理只是消除运动，即中期从场所取消了结论。 消除是方程式理论中的标准话题，Boole借用了在逻辑的代数中使用的两个方程式的简单消除结果 - 如果三段论的房屋涉及类x，y和z，并且一个人想要消除中间阶段Y，然后Boole将方程放在表单中的两个处所
ay + b = 0
cy + d = 0
其中Y不出现在系数A，B，C，D中。 在普通代数中消除y的结果给出了等式
广告bc = 0，
这就是MAL中使用的斗篷。 不幸的是，这是Bole代数的弱势结果。 一个发现，使用改进的减少和消除定理，即消除的最佳结果是
（b2的+ d2）[（一个+ b）2+（c + d）2] = 0。
对初级公式表达的弱消除施加不足以得出所有有效的三段论。 例如，在本地具有主表达式AY = 0和CY = 0的情况下，即使存在非琐碎的结论，该消除也会给出0 = 0。 Boole介绍了替代等同性表达式（参见MAL，第32页）的分类命题，以获得所有有效的三段论。
在关于分类三段论的章节结束时，声称（MAL，PP.24-45）的脚注（MAL，第42,43），单独的次级表达足以分析[他的概括分类]逻辑。 脚注失去了大部分力，因为它呈现的结果大量取决于最佳消除定理，这是不是这种情况。 关于次级表达，在医疗的后记说明：
给出了在释放的公共设施中雇用的三段论主题表达的方程式的表达系统总是优选的。
他对此索赔的理由将出现在LT中。 确实只使用了MAL的次要表达，以便在LT的方程式中表达命题，但是读者将不再发现aristotelian逻辑的悠闲和详细的治疗 - 这个主题的讨论延迟到逻辑上的最后一章（即）章节XV（分析特定命题的唯一一个。 在本章中，将其代数的逻辑代数应用于aristotelian逻辑以这种压缩形式（通过省略了减少，消除和解决方案步骤的所有细节），以这样的长方程式结束，读者不太可能想要检查该Bole分析是正确的。
3.7假设的三段论
在p。 48个麦克劳斯说：
假设的命题被定义为两个或更多个分类，由Copula（或结合）合并，不同类型的假设命题从各自的兼容，viz命名。 条件（if），析取（或），＆c。
Boole分析了七个假想的三段论，这些标准是亚里士多德逻辑标准的标准，从建设性和破坏性条件到复杂的破坏性困境。 让大写字母x，y，...代表分类命题，传统上涉及假设的三段论的假设命题是x的一个是真的，x是假的，如果x为true那么y是true，x为true，x为true或者是真的或者由于X是真实的，并且y是真的并且......在假设的三段论的章节结束时，他指出它很容易创建新的，并且可以通过使用混合假设命题来丰富集合，例如x为true，然后y为true，或者z为true。
本章最重要的是Boole声称，他的分类命题的逻辑代数同样适用于对假设三段论的研究。 这是基于采用标准减少假设命题，通过让假设的宇宙，“理解所有可想到的案件和情节结合”，“理解所有可想到的病例”，这是基于对课程的主张。 显然，他对案件的概念是对命题变量的真相值分配。 对于X，一个分类命令Boole Let X表示选修操作员，该选修算子选择x为真的x。
Boole表示，一个分类命题的宇宙有两种情况，真实而假。 为了找到一个实际命题粘液的作用表达，采取了真理表的近似关系（Mal，第50页）。 对于每种情况，即，将真理值分配给X和Y，他关联选修表达式如下：
案例。选修表达
x true，y真实。XY
x真，y false。x（1-y）
x false，y true。（1-x）y
X false, Y false（1-x）（1-y）
当然，这些选修表达是X，Y的组成部分。
通过确定公式持有的所有不同情况（x，y，...）= 1，通过选择公式φ（x，y，...）= 1表示命题式φ（x，y，...）= 1，并求解其相应的选修表达以获得φ。
例如，X的选修表达式为真，或者是真实的，具有或含量，是xy + x（1-y）+（1-x）y = 1，简化x + y-xy = 1。
Boole没有现代视图，即命题公式可以被认为是真实值{t，f}上的函数，以{t，f}中的值。 功能视点为我们提供了一种算法，以确定要总结哪些成分以提供所需的选择表达，即与命题式具有值T的情况相关的那些组分。
未将命题公式视为{t，f} Boole错过的是真理表的发明者。 他的代数分析假设的三段论的方法是将每个假设的房产转换为选修方程，然后应用他的逻辑代数（这是为分类命题开发的）。 例如，房屋x为true，或者是true，with或hetplus，x为false由等式x + y-xy = 1和x = 0表示。 从这些中，它立即跟随y = 1，得出结论是真的。
Boole仅考虑了相当简单的假设主张，这些主张这些是常见用法中唯一遇到的（见LT，第172页）。 他的题目逻辑的代数方法很容易延伸到所有命题公式，如下所示。 对于φA命题公式，相关的选修功能φ*递归定义如下：
0 * = 0; 1 * = 1; x * = x;
（不-φ）* = 1-φ*;
（φ和ψ）* =φ*⋅ψ*;
（φ或ψ）* =φ* +ψ*-φ*⋅ψ*，其中“或”是包容性的;
（φ或ψ）* =φ* +ψ*-2φ*⋅ψ*，其中“或”是独占的;
（φ意味着ψ）* = 1-φ* +φ*⋅ψ*;
（iff）* =φ*⋅ψ* +（1-φ*）⋅（1-▽*）。
然后一个有：
φ是一个Tautology IFFφ* = 1在Boole的代数中有效。
φ1，...，φk∴φ在命题逻辑IFF中有效
φ
*
1
= 1，...，φ
*
k
=1∴φ* = 1在Boole的代数中有效。
这看起来与现代命题逻辑完全不同，其中人需要几个Tautologies，例如x→（y→x），作为公理规则，以及推理规则，如模式Ponens，以形成演绎系统。
从φ到φ*的这种转换被视为从现代布尔代数到多项式的映射表达，将在1933年纸张特征函数和霍桑惠特尼逻辑的代数（1907-1989），目的是表明一个人不需要学习逻辑[现代布尔代数]的代数来验证布尔代数的公正法律和公正论据 - 它们可以翻译成普通代数，其中一个人熟悉。 Howard Aiken（1900-1973），哈佛计算实验室主任，在1951年的电子计算和控制电路的书籍综合中，将逻辑功能转换为普通代数，具体说明他更喜欢Boole的数值函数方法到布尔代数或命题逻辑。
3.8 Boole在Mal的普通定理
从选修函数的章节属性开始，Boole开发了在逻辑的代数中使用选修功能和方程式的一般定理 - 扩展（或开发）定理（在第3.5节中描述），本章讨论了成分的性质。 他利用电力系列扩展在他的扩展定理（MAL，第60页）的一个变量案例的证据中，可能打算将其应用于理性的选择性功能。
MAL中引入了多项式函数的划分的操作，但在他的代数中没有成功开发 - 没有如何处理司的公正法。 除了在求解多项式方程时常用作为助入器件之外，它被遗弃。 从扩展定理和成分的性质，他表明，两个选修功能的总和/差/产物的模态是两种功能的相应模态的总和/差异/产物。
使用扩展定理（MAL，第61页）来证明一个重要结果，如果仅当相应的modulii是相同的，那就是，那就是，那就是p（1）= q（1）和p（0）= q（0）。 此结果推广到多个变量的函数。 它不会被说在LT中，但将更多的一般（如果有些不透明的）结果，则将被称为0和1的结果。
使用扩展定理Boole显示（Mal，第64页），每个选修等式P = 0相当于组成方程r = 0的集合，其中r在P的扩展中的r的模量（系数）不是零的，因此每个选修方程都是如此是可解释的。 此外，该LED（MAL，第65页）到P = 0等于等式Q = 0，其中Q是模数为非零的P的扩展中的成分之和。
作为示例，考虑等式x + y = 0和x-y = 0。 下表给出了扩展的成分和Modulii：
x y的选民x + y x-y
1 1 xy 2 0
1 0 x（1-y）1 1
0 1（1-x）y 1 -1
0 0（1-x）（1-y）0 0
因此，x + y = 0等同于组成方程的集合
xy = 0，x（1-y）= 0，（1-x）y = 0
以及单个方程
xy + x（1-y）+（1-x）y = 0，
x-y = 0等同于组成方程的集合
x（1-y）= 0，（1-x）y = 0
以及单个方程
x（1-y）+（1-x）y = 0。
解决方案定理描述了如何在其他方面求解其符号之一的选修方程，通常在独立变量上引入约束方程。 在他的逻辑代数中，他总能为其选修符号中的任何一个选择一个选修方程。 例如，等式Q（x）y = p（x）通过使用正式y = p（x）/ q（x）来解决，然后使用正式膨胀以获得y = x + b（1-x），其中a = p（1）/ q（1）和b = p（0）/ Q（0），然后解码分数系数。 在第6.2节的步骤7中将更详细地讨论该定理。
Boole的最后一个例子（Mal，第78页）在其他两个方面，在一个未知数中求解三个方程。 该示例使用了一种众所周知的技术来处理分析中的侧条件，称为拉格朗日乘法器 - 该方法（将示例中的三个方程还原为在五个未知中的单个方程中）重新出现在LT（p.117）中，但仅使用一次。 它被未引入新变量的正方形减少（LT，第121页）的总和取代。 使用LT中的减少和消除定理来解析其三个方程式示例的Boole的约束方程（3）（Mal，第80页）太弱了 - 每个产品应该是0，并且存在额外的约束方程。
MAL比LT更清楚地显示逻辑的逻辑的最紧密的代数是基于共同的代数加上IDEMPOTEN法律。 他从共同的代数借来的消除定理结果比提供他的代数较弱，并且他将方程的减少方程的方法比LT中使用的主要是笨拙的，而是扩展定理和解决方案定理一样。 一个人认为，不仅是LT的基本轮廓而包含的，而且还有一些部分完全开发。 电源系列在LT中没有完全放弃 - 它们出现，但仅在脚注（LT，第72页）中。
4.思想定律（1854年）
Boole第二逻辑书的逻辑部分，对思想定律的调查，成立了逻辑和概率的数学理论，于1854年出版，将致力于澄清和纠正在MAL中所说的内容，并提供更实质的应用程序，主要是他在概率理论方面的相当作用。 在第二章结束时，Boole提到了使用概率理论的理论可能性，通过他的代数增强，通过大量（人类）计算机分析大量社会数据来揭示社会的基本法律。
Boole在字母表结束时使用小写拉丁字母，例如x，y，z，表示类。 宇宙是一个课程，由1表示; 并且有一个被描述为“没有”的类，表示为0，我们称之为空类。 乘法的操作被定义为我们称之为交叉路口，这导致了他的第一法，xy = yx，然后到了幂等法律x2 = x。 当类不相交时，添加是作为聚合引入的。 他说了交换法，另外，x + y = y + x，以及分布法z（x + y）= zx + zy。 然后跟随x-y = -y + x和z（x-y）= zx-zy。 加法和繁殖的联想法则显着缺席。
IDEMPotent Law X2 = X与Boole的常见代数法则不同 - 它只应用于单个类符号，而不是一般来说可以从这些符号构建的复合术语。 例如，一个在Boole系统中没有（x + y）2 = x + y，否则普通代数与幂等类符号，这将意味着2xy = 0，然后xy = 0，它会强制x和y表示不相交的类。 但并非每对类都不相交的情况。
这是这个公正的参数，（x y）2 = x + y意味着xy = 0，即LED oole查看附加x y作为部分操作，只定义xy = 0时，即，当x和y是不相交的类时定义。 他唯一写下这一论点的地方是在他未发表的票据 - 见Boole：由Ivor Grattan-Guiness和Gérard·罗伊斯，PP编辑的选定稿件...... 91,92。 一种类似的公式参数，（x-y）2 = x-y意味着y = xy，导致x-y仅在y = xy时定义，即y = xy，这与y⊆x相同。
