命题功能（一）

顾名思义，命题函数是将主张作为其值的函数。 命题职能在现代逻辑中发挥着重要作用，从弗雷格的概念理论和罗素作品的分析中，他们在当代理论和分析中的概念中的分析中的出现。

在本文中，我历史概述了在逻辑理论中使用命题功能以及关于他们性质和本体地位的观点。

1.历史前

2.亲戚的逻辑

3.命题功能和数学逻辑的诞生

4. Freeean函数和概念

5.主张功能的出现

6.简单类型理论的命题功能

7.拟合类型理论中的命题功能

8.罗素的命题功能是什么？

9.可能的世界和命题功能

10.蒙图语义

11.分类语法

12.结论

参考书目

命题函数发挥关键作用的重要作品

主题函数的教科书占据突出功能

其他主要来源：

其他作品引用

学术工具

其他互联网资源

相关条目

1.历史前

在我们开始讨论命题职能之前，请注意他们在引入之前出现的内容有助于。 在传统的逻辑中，命题职能的作用大致按照术语持有。 在传统的逻辑中，诸如“狗是哺乳动物”的陈述被视为假设术语“狗”和“哺乳动物”之间的关系。

一个术语以基本上作为一类物体或整体处理为一组性质。 “狗”一词的“意图”包括“哺乳动物”意图中包含的所有属性。 “狗是哺乳动物”的密集治疗将这句话解释为真实，因为对象的语义解释是谓词解释的超集。 然而，在对句子的扩展治疗中，句子是真实的，因为对象的解释（狗的类别）是谓词的解释的子集（哺乳动物集合）。

这两种治疗的谓词是传统逻辑的两个传统的典型 - 强调和拓展传统。 可以在海拔逻辑学者中估计的逻辑人是Gottfried Leibniz，Johann Lambert，William Hamilton，Stanley Jevons和Hugh Maccoll。 在扩大逻辑学者中，乔治·博伊尔，奥古斯都德摩根，查尔斯佩尔斯和约翰·威恩。

在某些句子的海拔逻辑传统财产中的治疗可能对现代读者来说似乎很奇怪。 20世纪20世纪哲学的谓词的内涵仅包括任何语言的任何称职人员都会与之相关的那些属性。 这些属性不足以使真正的普通陈述像“我家的每只狗睡着了”。 但我们可以通过考虑其来源来了解术语的密集观。 海洋逻辑传统的创始人之一是莱布尼兹，他们认为所有真理都在个人的本质上被接受。 个人的完整概念包含它的一切。 建立在这一点上，我们可以看到一个术语的完整概念将包括足够的真相。

在密集和广泛的逻辑传统中，我们看到复杂术语的理论。 在扩大传统中，通过采取联盟和课程的交叉来解释析取和联合术语。 结合术语AB被解释为A类和B类的交叉点，并且偏移术语A + B的延伸被理解为A和B的延伸结合。

在密集的传统中，反向保持。 术语AB被解释为A和B的意图中的性质的结合，而B和A + B的意图被解释为A和B中的属性。这种逆转有意义，因为更多的事情适合较少数量的性质，更少的东西适合更大的东西属性。

虽然在逻辑逻辑中工作的一些逻辑学家具有非常复杂的否定处理，但我们可以看到现代概念的起源也在扩大的传统中。 在Bole和他的大多数追随者中，否定了一个术语的否定被理解为该术语所代表的班级的设定理论补充。 因此，经典命题逻辑的否定通常被称为“布尔否定”。

2.亲戚的逻辑

在Charles Peirce的“亲戚逻辑”（1883年）中，我们看到对术语的理解迈出。 传统术语逻辑的一个问题是它缺乏处理关系的能力。 Peirce亲属的逻辑意味着补救。 他为布尔代数的术语添加了代表关系的布尔代数，并给出了对它们的扩张解释。 它们不是完全意义上的命题功能。 Peirce的亲属是“常见名称”，其代表对象成对的类（1883,328）。 因此，亲属的逻辑代表了传统逻辑的概括而不是偏离它。

Peirce将代数扩展到处理关系的特殊特征。 与其他术语一样，我们可以具有联合，分离和负面的术语。 其中f和g是亲属，则fg表示对（i，j）的类别，使得我兼顾f和g至j。类似地，如果我承受f或g至j和f'，则表示（i，j）表示（i，j）。 - 术语F-代表对（i，j）的类别，使得f在它们之间不保持。 Peirce还有一个组成操作员，; ，例如f; g名称（i，j）如果存在某些实体k，例如f名称（i，k）和g名称（k，j）。

在“争论论点”（1892年）中，Peirce采用一个更接近命题功能的概念。 在那里，他发展了“Rhema”的概念。 他说Rema就像一个相对的术语，但这不是一个术语。 它包含一个copula，即加入到它产生断言的正确数量的参数时。 例如，'__从__为__'购买__'是一个四位的Rhema。 将其应用于四个对象A，B，C和D产生断言，该断言来自C for D for D（同上420）。

关于Peirce的Rhema的一个特别有趣的一点是，当他们讨论关系与争论之间的关系时，他使用与弗莱格相同的化学类比。 它们都将关系（和属性）与不饱和键的原子或基团进行比较。 究竟在弗雷格或Peirce中究竟是什么比喻所说的关系或属性有点不清楚。

查看Peirce逻辑的条目，以更完整的工作博览会。

3.命题功能和数学逻辑的诞生

在Giuseppe Peano（1858-1932）的工作中，我们发现了另一个重要的一步，迈向了命题功能的现代概念。 虽然他的作品并不像Frege的那样复杂（见下文），但它很重要，因为它特别是在Bertrand Russell上有影响力。

在他的“新方法的算术原则”（1889年）中，PEANO在现代意义上引入了命题连接（一种含义，否定，结合，分裂和一个奇迹）和命题常数（验证和假山）。

对我们来说更重要的是他对量化的治疗方法。 Peano允许命题含有变量，也就是说，他利用了开放式公式。 他没有发出公开公式的解释。 他没有告诉我们他们代表了什么。 但它们用于他的量化理论。 Peano只有一个通用量化。 他没有定义“原则”中的存在量词。 量化器始终附加到条件或奇迹。 量化的命题始终是表格

一个⊃x，y，... b

要么

a = x，y，... b

Peano读取'⊃x，y，... b'说'无论x，y，......可能是，从命中的一个deptuces b'和'='是peano的biconditional，他以常规方式定义了条件和结合。 但他为我们提供了不比这的解释。 他指的是“不确定对象”的变量，但不讨论其中包含命题对象的命题（或命题函数）或者可能是什么。

4. Freeean函数和概念

在Frege中，我们对表达职能的判决具有相当一般的解释，呈现给参数。 我在这里探索的观点是他在1890年代发展的观点。

考虑这句话

我的狗在地板上睡着了。

像所有语言表达一样，这句话都具有意义和指称。 它的感觉是一个抽象的对象 - 一个想法。 它的指代是真实值（目前是真实的）。 我们将很快讨论Frege对思想的分析，但现在让我们来看看构成这句话的表达的引用。

根据Frege的说法，表达'我的狗'是一个单一的术语。 它挑出了一个物体（我的狗，Zermela）。 表达式“在地板上睡着了”是指一个概念。 概念是功能。 在这种情况下，该概念是来自对象到真实值的函数（这也是对象）。 因此，我们可以将上述句子视为代表概念__在地板上睡着了，因为申请了我的狗的对象。

弗雷格的概念在现代意义上非常近乎命题功能。 Frege明确地将它们识别为职能。 像Peirce的Rhema一样，一个概念是不饱止的。 他们有些感觉不完整。 虽然Frege在他对概念和其他功能的不完整的描述中永不超越隐喻，但有一件事很清楚：物体和功能之间的区别是他的形而上学中的主要划分。 关于功能的功能，使它们与对象非常不同。

让我们再次考虑'我的狗再次在地板上睡着了。 Frege认为这句话可以以各种不同的方式分析。 而不是将其视为表达__在地板上睡着的应用，而不是在我的狗身上睡着了，我们可以将其视为表达概念的应用

我的狗在__睡着了

对象

地上

（见Frege 1919）。 Frege认识到自然语言逻辑分析中的常见情况。 我们可以将多个逻辑表单归因于单个句子。 让我们称之为多分析的原则。 Frege没有声称，原则总是持有，但正如我们所看到的那样，现代类型理论确实如此。

关于句子的感觉，它们也是将功能应用于对象的结果。 '我的狗'是一个抽象对象。 '睡着了在地板上的感觉是个人感官的功能，就像“我的狗”一样，想到（见Frege 1891）。 '在地板上睡着的感觉是一个概念意义。 似乎多分析的原则持有对引用的感官的影响。 然而，弗里格有时会谈，好像句子的组成表达的感官实际上是以某种方式占据思想。 如果存在不同的方式，难以理解，如果有不同的方式，可以在思想中思考，其中句子可以分析到组成表达式中。

除了概念和概念感官之外，Frege还拥有概念的扩展。 Frege调用概念的扩展名'值课程'。 值的一个值由概念为每个参数的值确定。 因此，概念的值__ __是狗记录，即其对参数zermela的价值是真实的，苏格拉底是假的，等等。 如果两个概念对每个参数具有相同的值，那么它们的值课程是相同的。 因此，价值的方案是扩展的。

有关Frege的概念理论及其与他的逻辑的关系，请参阅Frege的定理和算术基础的条目。

5.主张功能的出现

“命题功能”一词在Bertrand Russell的数学原则中首次出现在印刷中（1903年）。 拉塞尔通过讨论各种命题介绍了概念。 考虑对这是狗的东西的主张。 这是善良的'x是狗'。 这种情况是一个命题功能，将任何对象o带到o是狗的命题。

在此期间，拉塞尔认为，命题是将个人和属性和关系作为成分的实体。 苏格拉底是一个男人的命题有苏格拉底和作为成分的人的财产。 在复杂的命题中，命题功能与命题之间的关系较小。 像Frege一样，Russell允许从一个命题中从任何省略实体的任何遗嘱的抽象。 因此，我们可以观看主张

如果苏格拉底喝了铁杉，他会死

代表该功能的应用

x饮料铁杉⊃x会死

苏格拉底或功能

苏格拉底将喝x⊃苏格拉底将死亡

铁杉等等。 换句话说，罗素接受多次分析的原则。

在原则上，分析量词“所有”作为挑选类（1903,72）的参考短语的一部分。 这是，我们可以看到，来自19世纪的扩展逻辑学持有（见第1节）。 但在稍后的工作中，如“表示”（1905年）（1905），所谓的职能被认为是普遍主张的成分。 根据该分析，由“所有狗吠”如“所有狗吠”表示的命题由命题功能X组成是一种狗⊃x吠叫和一个由量词短语'全部'表示的函数（命题函数）。 量化的命题对我们有趣，因为它们包含作为成分的命题功能。

目前尚不清楚Russell是否持有命题功能，因为如果苏格拉底饮用铁杉，他将死亡。 这些命题确实包含属性，如死模和关系，如饮料，但是罗素思考这些是命题功能是有争议的（见Linsky 1999和Landini 1998）。

6.简单类型理论的命题功能

在撰写数学原则的同时，罗素发现了现在担任他的名字的悖论。 在我们到达Russell的悖论之前，让我们讨论一些对角化的方法，由此产生这种和许多其他悖论。

SET S的电源组包含S. Georg Cantor（1845-1918）的所有子集使用了对角度化方法，以显示任何组，℘s大于S.

这是克兰的证据。 假设℘s和s大小相同。 然后，通过“相同尺寸”的设定定义（更正确，'相同的基数'），S和℘s之间存在一对一的捕捉。 这意味着存在一个函数，它与s的每个成员匹配，其中唯一的℘s成员，因此没有剩余的成员。 让我们称之为这个函数f。 然后，如果x是s的成员，则f（x）是℘s。 现在，由于℘s是s的电源集，因此x是f（x）中的x，或者它可能不在f（x）中。 让我们现在定义一个集c：

C = {x∈s：x∈F（x）}

显然，C是S的子集，所以它是℘s。 通过假设，F是对每个成员Y的νs，有一个x∈S，使得f（x）= y。 因此必须有一些c∈S

f（c）= c

现在，要么

c∈c

要么

C∉C.

假设C在C中。然后，通过C的定义，C不在f（c）中。 也就是说，C≠C.但是，如果c不在c中，则c∈F（c）。 因此，通过C的定义，C是在C中

C如果c不在c中，则C是C.

因此，假设一个集合与其电源集相同的尺寸导致悖论，因此这种假设必须是假的。

克兰人的定理对命题功能理论具有重要的影响。 考虑具有域D的（一阶）逻辑语言的模型。语言范围的语言范围的变量，现在让我们将谓词变量添加到语言。 这些代表所针对性的功能。 我们如何在模型中解释它们？ 从扩展逻辑传统继承的标准方法 - 是在域的子集中具有谓词变量范围。 在域的所有子集中的谓词变量范围的模型称为“标准模型”，用于二阶逻辑。 唱歌的定理告诉我们，标准模型中的谓词变量的域大于单个变量的域。 如果我们有谓词的谓词，那么用于三阶谓词的域甚至更大。 等等。

罗素的悖论与克兰的定理非常密切。 悖论有两个版本：（1）类版本; （2）命题函数版本。 我只讨论悖论的命题函数版本。

在他的早期作品中，拉塞尔希望逻辑成为一个普遍的科学。 它应该允许我们谈谈一切的属性。 由此，他意味着应将逻辑中的变量用于所有实体范围。 但至少在原则上的命题职能是实体。 所以变量应该在它们上方。 现在考虑谓词r这样的，

（∀x）（rx =¬xx）

（Russell的谓词R非常类似于Cantor的Set C.）如果我们实例化并替换X，我们获得

rr¬rr

此后，似乎通过任何良好的配方地将变量与自由相同地定义命题功能，使我们能够获得矛盾。

罗素通过引入类型的理论来阻止原则中的矛盾。 这是一种简单的类型理论，它只区分各种命题函数的类型（或在类形式的类别中）。 让我们从Russell自己的类型博览会出发，以便给出更严格和更现代版的理论。 这将使我对类型的类型和更现代版本的类型理论的展示更容易。

我们将使用一个基本类型，i（个人类型）并定义如下类型的类型：

我是一种类型;

如果t1，...，tn是类型的，那么它也是＜t1，...，tn＞，其中n≥0。

除了（1）和（2）的重复应用程序之外，否则没有别的类型。

类型＜t1，...，tn＞是T1，...，TN类型的实体之间的关系。 但是，为简单起见，我们会将其解释为将这些实体带到一个命题的函数的类型。 （请注意，当n = 0时，然后空类型，＜＞，是命题的类型。）该定义包含了良好成立的结构的想法。 这里没有周期。 我们不能具有作为参数的函数，该函数是相同或更高类型的函数。 因此，简单类型的理论禁止这种自我应用程序，这会产生罗素的悖论。

类型层次结构整齐地对应于我们在我们对Cantor定理讨论中看到的域的层次结构。 一元谓词具有类型＜i＞; 它的域名是D-该集合。 谓词的一元谓词具有类型＜＜i＞＞，这对应于D的子集域等。

有关更多，请参阅Russell Paradox的条目。

7.拟合类型理论中的命题功能

然而，在原则之后，拉塞尔就相信，简单的类型理论是不够的。 与骗子悖论有关的原因。 假设“L”是命题的名称：

我是假的。

如果它是真的，则此语句是错误的。 这里的问题与自我引用有关，但单独的简单类型理论无法避免。 对于简单类型仅向我们提供命题功能类型的层次结构。 在简单的理论中，所有命题都具有相同的类型。

后面的分割类型理论的想法也是引入命题的层次结构。 在此观点上，命题和命题功能有订单。 如果将命题函数应用于特定顺序的命题，那么它会产生更高阶的命题。 并且每个函数必须具有比其参数更高的阶数。 因此，我们通过禁止在本身内发生命题来避免骗子悖论。 如果提议P发生在另一个命题中，因为诸如x的函数的参数是假的，则得到的命题比p更高。

不幸的是，罗素从未赋予了分枝类型理论的精确制定。 也许最好的配方是Alonzo教堂（1976年）。[1]