命题功能（二）

几乎与他采用分枝的类型理论，罗素辱骂了。 从大约1908年到1918年，虽然Russell保留了有真正的命题的想法，但他否认有假的想法。 当我们考虑一些虚假的东西时，例如，Zermela是一只猫，我们没有考虑虚假命题，而是我们思想的物品只是紫龙和成为猫的财产。 似乎有一个等级似乎奇怪的是，特别是旨在对命题进行分层，然后声称没有命题。 然而，一些口译员声称Russell的否认不应认真对待主张，并且有很好的理由阅读Principia主要是一个主张理论（见教会1984）。 认真地（即使没有接受命题的情况下划分类型的分布理论）的一个原因是它可以有效地纳入替代量化理论中。 在替换量词的替代解释中，如果仅当其所有实例Fa1，Fa2，Fa3，...为真，则诸如（∀x）fx的普遍定量的公式是正确的。 同样，（∀x）如果只有其中至少一个实例为真，则FA是真的。 考虑对量子的替代解释与谓词的变量，如公式，（∀p）pa。 如果才有，则此公式才为真，只有当其所有实例都为真。 在简单的类型理论上，变量P的类型是，因为它的参数是所有个人（或单数术语）。 但是简单类型的功能，（∀p）px也是＜i＞。 所以（∀p）pa的实例是（∀p）pa本身。 对量词的替代解释要求该实例比它们是实例的公式更简单。 在这种情况下，我们发现的只是特定的公式才是真的，只有在真的时才为真。 这是不知情的，似乎有礼貌。 要阻止这种循环，我们可以转向分布的类型理论。 在分枝理论上，命题功能（νp）px是订单2，因为存在量化的量子结合了一定的顺序1。以这种方式，分布理论强制公式（至少在订单方面）比它们所在的公式更简单实例（见Hazen和Davoren 2000）。 8.罗素的命题功能是什么？ 1905年以后，我们在罗素举行了一点倾向。 他想从他的本体中消除实体。 1908年至1910年间，他开始否认命题存在，这种拒绝继续，直到他在（1918）中的图像或单词的结构中发展出命题理论。 那么，是什么是命题功能的命运？ 似乎难以理解命题功能而不存在命题，但罗素的观点是，并不复杂。 罗素只拒绝虚假主张。 他在本体论保留了事实。 Principia的命题功能是我们现在称之为“部分函数”。 也就是说，它们并不总是有价值。 例如，命题函数__是狗没有作为争论的悉尼歌剧院的价值，但是当我的狗被视为争论时它确实有一个值。 因此，拒绝虚假命题对拉塞尔的命题职能理论并没有引起严重的问题。 处理这个问题，让我们继续看看怀特和罗素认为命题功能的性质是。 在普林尼亚，他们说： 通过“命题函数”，我们的意思是包含变量x的东西，一旦将值分配给x，就表达了一个命题。 也就是说，它与一个命题不同，仅通过它模糊的事实：它包含一个值，其中该值是未分配的。 （1910,38）。 在这段经文中，似乎他们说命题功能是一种模棱两可的主张。 根据对命题的拒绝，这种观点尤为难以理解。 Urquhart（2003）说，对于Whitehead和Russell，命题功能是一种相当像公式的。 这似乎是对的，因为命题函数包含变量。 但普林西亚的命题功能究竟是什么？ 这是拉塞尔学者争论的激烈辩论问题。 也许最有影响力的解释是由于KurtGödel（1944年）造成的建设性解释。 在这种解释上，命题功能是某种人的人为构造。 他们取决于我们对他们的考虑或指的能力。 在Linsky（1999）中也可以找到建设性解释的版本。 Landini（1998年）还有一个更名义的解释。 在现实主义方面，是Alonzo Church（1984）和沃伦Goldfarb（1989）给出的解释。 GoldFarb认为，普林毕为匹浦的逻辑理论是由罗素试图找到命题功能的真实性质的逻辑理论，并且这种性质与我们的思考无关。 Goldfarb有一个好点，因为拉塞尔的逻辑应该是事情的显着代表。 但罗素常常否认命题功能是真正的实体。 9.可能的世界和命题功能 超过几十年来，将可能的世界与集合与逻辑书的工具箱一起添加，为他们提供了一个非常强大和灵活的语义框架。 首先，让我们回忆起函数的现代概念。 函数是一组有序对。 如果＜a，b＞处于函数f，则这意味着参数a为b的f的值是b或更简单的f（a）= b。 通过函数的数学定义，对于函数的每个参数，存在一个且只有一个值。 因此，如果有序对＜a，b＞处于函数f，因此＜a，c＞，则b与c是相同的。 命题函数的构建始于可能的世界，并假设有集合。 让我们呼吁这套可能的世界W.一个命题是一系列可能的世界。 例如，Zermela Barks的命题是Zermela Barks的所有世界。 我们还需要假设有可能的人（即至少一个可能的世界中存在的个人）。 我们现在拥有所有的材料来构建一个简单的类型的函数层次结构。 谓词含义的通常治疗与我这里描述的方式略微不同。 通常，谓词的内涵被认为是来自可能的世界的函数，或者为个人的个人（或有序的二元关系的有序对，有序的三元组织，三个地方关系等）。 严格来说，这些职能不是命题职能，因为它们不会作为价值观主张。 但对于每个这样的函数，我们可以通过在逻辑员Haskell Curry之后使用名为“Currying”的过程来构建“等效”命题功能。 让我们从来自世界的函数f开始到一个人的个人。 然后我们可以根据以下构造相应的命题函数g。 对于每个世界和个人我，我们构建了 如果我在f（w）中才有，则w是在g（i）中。 因此，谓词的含义的含义越标准的处理是对命题功能的使用非常相似。 10.蒙图语义 现在我们有一个命题功能的整个层次结构，我们应该为他们找到一些工作。 一个理论职能做好工作的理论是蒙塔古语义，在20世纪60年代后期发达的理查德蒙塔格。 为了了解蒙塔古的方法，我们需要了解lambda抽象。 对于公式A（x），我们将表达式λx[a（x）]读为谓词表达式。 IT扩展（在给定的世界中）是满足公式A（x）的一组。 Lambda Abstractors由两个规则管理，称为α-转换和β-减少： （α-con）a（a）（具有自由x的公式）可以由λx[a（x）] a代替。 （β-RED）λx[a（x）] a可以由（a）代替（其中x在a（x）中为a）。 由于公式a（x）和λx[a（x）] a之间的等价物，可能会想知道为什么为我们的语言添加lambda摘录者。 在Montague语义中，答案必须与他转化为他的逻辑语言的直接方式。 我们将很快讨论，但首先让我们了解一下蒙特拉的密封逻辑。 Montague在他的语言中添加了另外两块符号：∧和∨。 表达式∧λx[fx]表示来自世界的一个函数。 给定可能的世界w，∧λx[fx]表示需要w到λx[fx]的扩展的函数。 操作员∨将表单∧λx[fx]'下的表达式表达到其扩展在评估表达式的世界中。 例如，W的∨∧λxλx[fx]的扩展与w的λx[fx]的扩展相同。 关于Montague语义是什么特别的，它可以以非常直接的方式用作自然语言的大片段的语义。 考虑以下句子： Zermela吠叫。 在蒙塔古语义中被理解这句话的含义作为其组成表达的含义的结构。 Montague代表了使用翻译规则的表达式的含义。 在这里，我们使用以下翻译规则： Zermela转化为λp[（∨p）z] 吠叫转化为∧b 现在我们可以构建一个提供“Zermela Barks”的含义的公式： λp[（∨p）z]∧b 请注意，在构建句子时，我们将表达式以与英语的相同顺序排列。 Lambda摘要的使用使我们能够从正式逻辑语言的普通陈述中撤销两个表达式的顺序（没有兰布斯）。 现在我们可以使用β-减少来获得： （∨∧b）z 现在我们申请Montague的规则来消除∨∧： bz 在此过程中，我们从具有与原始英语句子相同的表达顺序的表达式开始，然后将其减少到非常标准的逻辑公式。 这告诉我们，“Zermela Barks”句子的真理条件是BZ表达的主张。 当然，我们知道，独立于蒙塔古的工作，但重点是蒙塔图减少向我们展示了我们如何将英语句子的表面语法与我们逻辑语言的公式联系起来。 此外，标准逻辑的公式以非常呈现的方式显示其真实条件。 因此，蒙塔图减少向我们展示了自然语言的句子与他们的真实条件之间的联系。 11.分类语法 分类语法是由Kazamir Ajdukiewicz（1890-1963）的20世纪30年代建造的，并由Yehoshua Bar Hillel（1915-1975）和Joachim Lambek（1922-）开发20世纪50年代的20世纪60年代。 分类语法是表示语言语法的逻辑工具。 在“类别语法”中，使用不同类型的功能符号的泛型语言来表示语言的语法，而不是在蒙特语义中。 在Montague语义中，Lambda Abstractor用于将表达式的含义移动到表达式占据句子中的位置。 在分类语法中，谓词和许多其他类型的表达式被视为各种功能。 但是在其参数中的两种应用程序之间存在分类语法。 让我们看看这是如何工作的。 让我们从原始类型CN（公共名词）和NP（名词短语）开始。 无限条物品'a'采用普通名词（在其右侧）并返回NP。 所以它具有NP / CN类型。 当然，常见的名词'狗'具有CN类型。 我们写的'A有“a⊢t”。 所以我们有， a⊢np / cn 和 狗⊢cn 为了将这两种顺序放在一起，我们可以使用规则模式的形式，这表明来自Sequent x⊢a / b和搜索y∈b，我们可以派生x.y⊢a。我们可以使用此规则来派生： a.dog⊢np 此外，不及物动词具有NP类型，其中S是句子的类型。 NP中的反斜杠意味着表达式左侧的NP类型的参数并返回S的表达式。动词“吠叫”是不及物的，即， 吠⊢np \ s 我们与反斜杠一起使用的Modus Ponens的版本略有不同。 它告诉我们，从x∈A\ b和y⊢a我们可以派生Y.x♥B.所以我们现在可以获得， （a.dog）.barks⊢s 这说“狗吠”是一个句子。 以这种方式描述语法的逻辑是子结构逻辑。 这里对我们感兴趣的是，在“A”和动词等中的分类语法中被认为是函数，但它们可以在右侧或左侧的争论方面彼此不同。 在函数的设置理论概念中作为一组有序对，函数被认为是与它们的关联参数相关的。 一个函数，因为它被理解为在分类语法中具有比这更多的结构。 这是一个有趣的概念概念，因为它在逻辑中使用它。 我们可以看到它还具有与命题功能的概念的重要链接，特别是因为它在蒙图语义中使用。 在“类别语法”中，我们可以将多个类型归因于语言中的单个表达式。 让我们称之为多种类型的原则。 以下是Mark Steadman的示例。 考虑这句话 我不喜欢，玛丽享受音乐剧。 传递动词“不喜欢”和“享受”具有类型（NP \ S）/ NP，即他们在其右侧采取名词短语并返回动词短语。 但在'我不喜欢的情况下，玛丽享受音乐剧'，动词与物体分开并加入其物体。 Steadman通过提出“我”和“玛丽”的类型来涉及这一点。 通常，我们将这些单词视为具有类型的NP，但在这里它们具有S /（NP \ s）。 这是在其右侧呈现动词短语并返回句子的表达式的类型。 然后，Steadman使用了使反斜杠传递的规则，并派生'i.dislike'具有s / np的类型，它在其右侧返回句子时采用名词短语（如“音乐剧”）。 我们可以看到多种类型的原则，如果分析句子其他类型的理论，例如简单的类型理论。 考虑这句话 玛丽吃汉堡包。 在解释这句话中，我们可以采取“玛丽”是类型的，但我们也可以将它带到类型＜＜ i＞＞，即命题功能的命题功能的类型。 我们还可以提高“吃汉堡包”的类型为＜＜＜i＞＞＞，一个命题功能就是个人对命题功能的命题功能。 等等。 多种类型的原理和多次分析的原理表明，单个表达或句子可以被解释为具有非常大量的逻辑形式。 12.结论 命题函数的简要历史表明，它们是有用的实体，并且他们在逻辑中发挥了核心作用，因为它在哲学和语言学中使用。 我省略了命题功能的数学用途，例如，在罗素和Ramsey的课程的结构中，以及高阶逻辑的一般模型的处理。 但命题函数的主题是一个很大的话题，我们无法在一个百科全书文章中覆盖它。