无限逻辑（一）

传统上，正式系统中的表达被认为是表示 - 至少在原则上的有限题字，实际上是以原始符号的原则写出。 然而，（一阶）公式可以用自然数鉴定（通过“哥特编号”）并因此有有限套件使得不再需要将公式视为铭文，并建议使用时尚“语言”的可能性公式将自然被识别为无限套装。 这种情况的“语言”被称为无限性语言：在本文中，我讨论了那些可以通过允许连词，剖钉和，可能的量化序列来以直接语言以直接的方式获得的那些无限的语言。 在讨论过程中，可以看出，虽然这种语言的表现力远远远远超过了它们的综合（一阶）对应物，但它们中的很少很少拥有后者的“有吸引力”的特征（例如，紧凑性和完整性）。 因此，实际上具有这些功能的无限性语言具有特别关注。

在§1中，奠定了无限语言的基本语法和语义; 然后通过示例显示其富有效力的力量。 §2致力于那些只允许有限量化序列的那些无限的语言：这些语言变得相对良好。 §3讨论了对细分语言的紧凑性问题及其与纯粹的“大”基数的关系的关系。 在§4中，绘制了一个参数，它表明大多数“无限量词”语言具有二阶本性，并且是IPSO的事实，高度不完整。 §5简要介绍了一定的单语言的子语言，可以证明致密度定理的令人满意的概括。 本节包括关于可允许集的定义的小节。 §6提供历史和书目言论。

1.无限语言的定义和基本属性

2.有限量词语言

3.紧凑性财产

4.无限量词语言的不完整性

5. L（ω1，Ω）和双手紧凑性定理的子程

5.1可接受套件概念的定义

6.历史和书目言论

参考书目

学术工具

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相关条目

1.无限语言的定义和基本属性

给定一对κ，λ的无限基团，使得λ≤κ，我们在每个中定义一类无限性语言，我们可以形成一组Cardinality＜κ型套装的结合和脱位，以及通过序列的量化长度＜λ的变量。

让L - （合理）基本语言 - 是一个任意但是固定的一阶语言，具有任何数量的extralical符号。 无限的语言L（κ，λ）具有以下基本符号：

l的所有符号

单个变量的集合var，其中var的基数（写入：| var |）是κ

逻辑运算符∧（无限结合）

L（κ，λ）的预制件的类别如下定义如下：

L的每个公式是一种预制件;

如果φ和ψ是预制率，所以φ∧ψ和¬φ;

如果φ是一组预制率，使得φ|＜κ，然后∧φ是一种预制件;

如果φ是预制件，并且x⊆v是这样的，那么x |＜λ，然后∃xφ是一种预制件;

所有预比度均由上述条款定义。

如果φ是由集合I索引的一组预制率，例如φ= {φI：i∈i}，那么我们同意写入∧φfor：

∧i∈iφ

或者，如果我是自然数，我们写∧φ用于：

φ0∧..

如果x是由序数α索引的一组单独变量，请说出x = {xξ：ξ＜α}，我们同意写（∃xξ）ξ∃xφ∃xφ。

逻辑运算符∨，→，↔以惯常方式定义。 我们还介绍了操作员∨（无限脱位）和∀（通用量化）

∨φ= df {¬φ：φ}

∀xφ=¬∃x¬φ，

并雇用与∧，∃相似的约定。

因此，L（κ，λ）是通过允许长度＜κ和量化的粘合和沉积长度＜λ的无限性语言＜λ。 语言L（κ，ω）称为有限量词语言，其余无限量词语言。 观察到L（ω，ω）只是l本身。

注意以下异常，可以以无限的语言出现，但不能在一个有限的语言中出现。 在L（ω1，Ω）中，允许无数无限的连词但只有有限量化，有足够的自由变量，通过前缀量词，它们不能将它们“关闭”为L（ω1，ω）的句子。 例如，对于L（ω1，ω）-preformula的情况是这种情况

x0＜x1∧x1＜x2∧...∧＜xn + 1 ...，

其中l包含二进制关系符号＜。 出于这个原因，我们进行以下原因

定义。 L（κ，λ）的公式是包含＜λ自由变量的预制件。 L（κ，λ）的所有公式的集合将由形式（L（κ，λ））或简单地形成（κ，λ）和所有句子的组（L（κ，λ））或简单地发送（κ，λ）的组）。

在这方面，观察到，通常，通过考虑“语言”L（κ，λ）与λ＞κ的语言来获得任何内容。 例如，在“语言”L（ω，ω1）中，公式只会有一个有限的许多自由变量，而将有一系列“无用”的量词能够无限绑定许多自由变量。[2]

已经确定了L（κ，λ）的语法，我们接下来绘制其语义。 由于L（κ，λ）的额外符号仅仅是L的符号，因此这些符号确定要解释给定的一阶语言的结构的形式，它是自然的，限定L（κ，λ）结构是自然的只是一个l-stures。 在L结构A中满足L（κ，λ）的公式的概念（通过来自A的域的一系列元件），以与L的公式相同的电感方式，除了我们必须添加与条款相对应的两个额外的子句∧φ和∃xφ在预制件定义中。 在这两种情况下，我们自然地定义：

在A（通过给定的序列）中满足于（通过给定序列），对于所有φ∈φ，φ在a（按顺序）满足;

∃xφ在a中满足于与满足Aφ的X的X域中的域中的一系列元素。

这些非正式定义需要在严格的发展中加强，但他们的意思应该对读者清楚。 现在，公式的真理，有效性，可靠性和模型的通常概念和L（κ，λ）的句子可用。 特别地，如果A是L-sturity和σ∈发送（κ，λ），我们将写一个⊨σfor a是σ的型号，并且对于σ的χσ是有效的，即所有A，A的ΣΣ。 如果Δ⊆发送（κ，λ），则应写入ΔΣΣforσ是Δ的逻辑后果，即，每个模型的δ是σ的模型。

我们现在给出一些示例旨在显示具有κ≥ω1的无限性语言L（κ，λ）的表达力量。 在每种情况下，众所周知，所讨论的概念不能以任何一阶语言表达。

L（ω1，ω）算术标准模型的表征。 这里的算术标准模型是结构n =⟨n，+，·，s，0⟩，其中n是自然数，+，·和0的一组具有它们通常的含义，并且s是继承操作。 让L是适合于N的一阶语言。然后，L-结构的类同构到n与以下L（ω1，ω）句子的结合的模型相同样（其中0是0的名称）：

∧m∈ω+ sn0 = sm + n0

∧m∈ω·sn0 = sm·n0

∧n∈ω-{m} sm0≠sn0

∀x∨m∈ω= sm0

术语SNX由递归定义

s0x = x

sn + 1×= s（snx）

L（ω1，Ω）中所有有限组类的表征。 这里的基本语言没有额外符号。 然后，所有有限套的类都与L（ω1，ω）的模型相符 - 延迟

∨n∈ω...∃vn∀x（x = v0∨...∨= vn）。

用于可计数基本语言L的L（ω1，Ω）的真实定义Let L是可计数的一阶语言（例如，算术或集合理论的语言），其包含每个自然数n的名称n，并且让σ0，σ1，...是枚举它的句子。 然后L（ω1，ω） - 覆盖

tr（x）= df∨n∈ω（x = n∧σn）

是l的真相谓词是因为句子

tr（n）↔Σnn

对每个n有效。

L（ω1，ω1）中的井排序表征。 基本语言L以下包括二进制谓词符号≤。 让Σ1是常规的L句子表征线性排序。 然后，L-结构的类别，其中≤≤是一个良好排序的符合L（ω1，ω1）句子σ=Σ1σ2的型号均匀

Σ2= DF（∀vn）n∈ω[∨n∈ω（x = vn）∧n∈ω（x≤vn）]。

请注意，句子σ2包含无限量码：它表达了每个可数子集具有最小成员的基本上二阶断言。 事实上，它可以表明，这种无限量化的存在是必要的：不能以任何有限量词的语言表征井有序的结构类。 此示例表示L（ω1，ω1）等无限量词语言，而不是二阶语言; 我们将看到它们分享了言论的缺陷（不完整性）以及他们的一些优势（强大的表现力）。

一阶语言的许多扩展可以翻译成无限的语言。 例如，考虑通过添加新的量程符号Q0和解释Q0xφ（x）而从L获得的广义量化语言L（Q0），因为Q0xφ（x）非常多的X这样φ（x）。 很容易看出，句子Q0xφ（x）具有与L（ω1，ω）的型号相同的型号 - 延期

¬∨n∈ω...∃vn∀[φ（x）→（x = v0∨...∨= vn）]。

因此，L（Q0）在自然意义上，可在L（ω1，ω）中可翻译。 在这种意义上可转换为L（ω1，ω）的另一种语言是通过将可计数的Monadic谓词变量添加到L中获得的弱二阶语言，然后将其解释为范围，从而达到所有有限组的单独的单个。

还可以介绍具有任意长的连词，剖钉和（可能）量化的语言。 对于固定的无限基本λ，通过将其类别的公式，形式（∞，λ）为单位，在组形式（κ，λ）的所有κ≥λ的情况下，定义语言L（∞，λ）。 因此，L（∞，λ）允许任意连杆和脱位，从某种意义上是：如果φ是任意形式的（∞，λ）的任意子集，则∧φ和ψφ都是形式的成员（∞，λ）。 但L（∞，λ）承认只有长度＜λ：其所有公式都具有＜λ自由变量。 通过指定其类的公式，形式（∞，∞），成为归属于所有无限主义的Cardinalsλ，依次定义语言L（∞，∞）。 所以L（∞，∞）除了任意长的连词和剖钉之外还允许任意长的量化。 请注意，表格（∞，λ）和形式（∞，∞）是在Gödel-·伯尼斯定组理论的意义上的适当课程。 结构中L（λ）和L（∞，∞）的公式的满意度可以通过对L（κ，λ）的相应概念的明显延伸来限定。

2.有限量词语言

我们已经评论了无限量的语言，例如L（ω1，ω1）类似于二阶语言，因为它们允许量化无限的单独的单独的单个。 这不是有限量词语言中不允许的事实表明，这些可能在某些方面更接近他们的一阶对应物，而不是一见钟情就是显而易见的。 我们认为这确实如此，特别是在L（ω1，ω）的情况下。

语言L（ω1，ω）占据无限语言之间的特殊位置，因为类似于一阶语言 - 它承认有效的演绎设备。 事实上，让我们添加到通常的一阶公理和推理规则新的公理计划

∧φ→φ

对于任何可数集合φ∞形式（ω1，ω）和任何φ∈φ，以及新的推理规则

φ0，φ1，...，φn，..

∧n∈ω

并允许扣除可数长度。 在这个意义上写作⊢*对于推动性，我们有

L（ω1，ω） - 符合性定理。 对于任何σ∈发送（ω1，ω），⊨*σ

作为一种直接推论，我们推断出该演绎装置足以扣除L（ω1，ω）的可数地区的扣除。 也就是说，对于符号的明显延伸，我们具有任何可数集合ΔΣ（ω1，ω）

（2.1）δ*σ

通过修改一阶逻辑的通常的Henkin完整性证据或采用布尔代数方法，可以证明这个完整性定理。 类似的参数，适用于适当的进一步增强的原理和推理规则，为许多其他有限量词语言产生类似的完整性定理。

如果仅录取可数长度的扣除，则可以设置用于L（ω1，Ω）的演绎设备，这是足以从任意的房屋组扣除的，即（2.1）为每个集合δ持有（2.1）ω1，ω），无论基数如何。 这是从简单的观察中出发的，即有一阶语言L和L（ω1，ω）的不可数集合γ-，使得γ没有模型，但是γ的每一个可数个子集。 要看到这一点，让L是由ω1新常量符号增强算术的语言{cξ：ξ＜ω1}，并且Letγ是L（ω1，ω）的集合{σ} {cξcη：ξ≠η}，其中σ是L（ω1，ω） - 表征算术标准模型。 该示例还示出了L（ω1，ω）的紧凑性定理，也是κ≥ω1的任何L（κ，λ）。

在一阶壳体中保持的另一个结果，但是L（κ，ω）具有κ≥ω1的L（κ，ω1）（以及L（ω1，ω1），虽然这更难以证明）是prenex正常形式定理。 如果所有的量词出现在前面，句子是prenex; 我们给出了L（ω1，ω）的示例 - 不等同于Prenex句子的结合。 让L是没有截取基本符号的一阶语言，让σ是L（ω1，ω） - 表征有限组类的entence。 假设σ等同于结合

∧i∈iσi

prenex l（ω1，ω） - entencesσi。 然后每个Σi是表单

Q1X1 ...qnxnφi（x1，...，xn），

其中每个QK是∀或∃和φi是形式XK = XL或XK XL的形式的（可能的无限性）结合或分开。 由于每个Σi是一个句子，因此每个φi只有许多变量，并且很容易看出，每个φi则等同于一阶公式。 因此，每个Σi可以被认为是一阶句子。 由于假设σ等同于Σi的结合，因此σ和集合Δ= {Σi：i∈I}具有相同的型号。 但显然是σ，因此也有δ，具有所有有限基数的模型; 一组一阶句子的紧凑性定理现在意味着Δ，并且因此也是σ，具有无限模型，与σ的定义相矛盾。

转向Löwenheim-Skolem定理，我们发现向下版本具有足够的概括到L（ω1，ω）（以及所有无限性语言）。 实际上，一个可以以与一组一定的句子相同的方式显示，如果Δ⊆发送（ω1，ω）具有无限的基数≥|Δ|，则它具有较大的χ0，|Δ|。 特别地，具有无限模型的任何L（ω1，Ω）延迟具有可数模型。

另一方面，其平常形式的向上Löwenheim-Skolem定理失败了所有无限性语言。 例如，表征算术标准模型的L（ω1，ω）具有基数ℵ0的模型，但没有任何其他基数的模型。 但是，所有人都不会在这里丢失，正如我们所看到的那样。

我们将语言L的HANF号H（L）定义为最不为主κ，使得如果L句具有基数κ模型，则它具有任意大规模的模型。 容易建立H（L）的存在。 对于每个L句σ不具有任意大基数的模型，让κ（σ）是最小的红衣主教κ，使得σ没有基数κ模型。 如果λ是所有κ（σ）的超级，那么，如果L的句子具有基数λ的模型，则它具有任意大基数的模型。

通过递归定义Cardinalsμ（α）

μ（0）=ℵ0

μ（α+ 1）=2μ（α）

μ（λ）=。Σα＜λμ（α），用于限制λ。

然后可以证明

h（l（ω1，ω））=μ（ω1），

类似的结果持有其他有限量词语言。 无限量词语言（例如L（ω1，ω1）的HANF数的值对大型基团的存在或其他方式敏感，但必须在任何情况下大大超过L（ω1，ω）的情况。

L推广到L（ω1，ω）但没有其他无细小语言的结果

Craig插值定理：如果σ，τ送（ω1，ω）是这样⊨→τ，则存在θ∈发送（ω1，ω），使得⊨σ→θ和θθ→τ，并且在θ中发生的每个外部符号发生在σ和τ中。

证据是一阶案例的合理简单延伸。

最后，我们提到了一个进一步的结果，该结果概括为L（ω1，ω），而是没有其他无细小的语言。 众所周知，如果A是任何有限的L-结构，只有有限的许多关系，就有一个L句σ表征了同构的同性。 对于L（ω1，ω），我们具有已知的以下泛化

斯科特的同构定理。 如果A是只有相当多的关系的可计数L-结构，则存在L（ω1，ω） - 其类可数模型的类与A的类同性与A同构同位。

对可数结构的限制是必要的，因为数量不能一般而由由L（ω1，ω）表示。

语言L（∞，Ω）也可以被视为有限量词语言。 关于这种语言的结构等同物的概念具有特殊的意义：我们呼叫两个（类似）结构A和B（∞，ω） - 等等，写入≡∞ω，如果在A和B中的L（∞，Ω）的相同句子。首先，这一关系可以以部分同构概念为特征。 a和b之间的部分同构是映射的非空的家庭p，使得：

对于每个P∈P，DOM（P）是A的子结构，RAN（P）是B的子结构，P是其畴的同构; 和

如果P≠P，则A≠A，B≠B，则存在R，S∈延伸P，使得∈DOM（R），ran（“来回”属性）。

如果在A和B之间存在部分同构，我们说A和B部分是正常的并且写入≅pB.然后我们有

卡普的部分同构定理。

对于任何类似的结构A，B，A≡∞ω。

还有一个版本的L（∞，ω），即，

（2.2）给定任何结构A，存在L（∞，ω） - σ，使得对于所有结构B，a≅p。

部分同构和（∞，ω） - 等性与布尔同构概念有关。 要定义这一点，我们需要介绍一下集合理论模型的想法。 给定完整的布尔代数B，通过首先在递归地上递归地在α，

vα（b）= {x：x是函数∧范围（x）⊆＜α[域（x）vξ（b）]}

然后设置

v（b）= {x：∃α（x∈Vα（b））}。

V（b）的成员称为B值集。 现在很容易看出，B值集是精确的B值函数，具有域的一组B值集。 现在让L成为集合理论的一阶语言，让L（b）是通过添加到v（b）的每个元素的名称获得的语言（我们将对元素及其名称使用相同的符号）。 现在可以构建一个映射[·]语言L（b）的映射[·b）中的b：对于L（b）的每个句子σ，b的元素[σ]（b）是v（b）中σ的“布尔真值”。 定义该映射[·]（b）以便将Zermelo-Fraenkel集合理论的所有定理发送到B，即“真理”的顶部元素1; 因此，V（b）可以被认为是集合理论的富裕值模型。 通常，如果[σ]（b）= 1，我们说σ在v（b）中有效，并且写入v（b）σ。

现在，每个x∈V都有一个规范代表x在v（b）中，令人满意

x = y iff v（b）⊨x = y

x∈y iffv（b）⊨x∈y

我们说，两个类似的结构a，b是布尔同义，写了一个≅bb，如果，对于一些完整的布尔代数b，我们有v（b）⊨a≅b，即，如果有一个宇宙的布尔扩展其中A和B的规范代表与布尔值为1。然后可以显示：

（2.3）a≡∞ωb。

通过类别 - 理论制剂可以加强该结果。 为此，我们需要一个（n）（基本）topos的概念。 为了介绍这一概念，我们从家庭类别的集合和映射开始。 设置具有以下关键属性：