无限逻辑（二）
存在“终端”对象1，使得对于任何对象x，存在唯一的映射x→1（对于1，我们可以采用任何一个元素集，特别是{0}）。
任何对象x，y都有一个笛卡尔产品x×y。
对于任何对象，可以形成来自X→Y的所有地图的“指数”对象Yx。
存在“真实值”对象ω，使得对于每个对象x，X的子objects（亚址）之间存在自然对应关系，并且映射x→ω之间存在自然对应。 （对于Ω，我们可以采用SET 2 = {0,1};映射x→ω然后在x上的特征函数。）
这些条件中的所有四种条件可以在类别 - 理论语言中配制 - 满足它们的类别称为Topos。 类别集是一个topos; 所以还有（i）布尔值集合（b）的类别集（b）和集合宇宙的任何布尔扩展V（b）中的映射; （ii）拓扑空间上的套装的类别; （iii）集合图的所有图表的类别
x0→x1→x2→..
这些类别中的每一个的对象可以被视为以某种方式变化的集合：如果（i）在布尔代数上; 在拓扑空间上（ii）; 在（iii）上（离散）时间。 然后，可以构思一个顶部，作为“变量”集的宇宙。 熟悉的类别集是顶部的特殊限制情况，其中物体的“变化”已降低到零。
正如在集合理论中一样，“逻辑运算符”可以在任何TOPOS中的真实值对象上定义。 这些是映射¬：ω→ω; ∧，∨，⇒：ω×ω→ω对应否定，结合，分离和含义的逻辑操作。 利用这些操作，ω成为居民的代数，因此在一般的法律上体现了古典而是无意识的逻辑。 在这个感觉中，直觉逻辑在TOPOS中是“内化”：直觉逻辑是变量集的逻辑。 （当然，经典逻辑在某些拓扑中内化，例如设置和设置（b），适用于任何完整的布尔代数B.）
可以认为任何TOPOS尽可能“宇宙的话语”，其中可以解释数学断言，并且可以执行数学结构。 通过E的内部语言中的表达式在TOPOS E中呈现数学断言 - 一种常规语言的常规语言的常规语言的理论。 以类似于布尔值有效性的方式，可以引入其内部语言的句子σ的e的适当概念。 同样，我们为“σ在e”中写入e∈Σ。
据说对于任何SET I，终端对象存在于∐i1中的I-Fold Copower [3]∐i1，据称是完全的，如果其终端对象中存在，则可以被认为是集合I的e中的规范代表; 因此，我们简单地写作I.（在V（b）中，这与先前定义的I一致。）上述所有拓扑都是满的。
现在让我们成为一个完整的顶部。 如果a =（a，r，...）是一个结构，则为（a，r，...）写一个。 据说两个结构A和B被称为Topos Ismorphic，写了一个≅t，如果，对于在集合类别定义的一些顶部e，我们有e a≅b.换句话说，如果他们的规范代表是顶部的两个结构是Topos同构。在一些Topos的内部语言中同构。 然后可以证明它
（2.4）a≡∞ω。
因此（∞，ω） - 等性可以在“变量”集的宇宙中的极其一般背景下被视为同构。 在这方面（∞，ω） - 等量是同构的“不变”概念。
3.紧凑性财产
正如我们所看到的，其通常形式的紧凑性定理失败了所有无限性语言。 然而，确定无限性语言是否满足定理的某种适当修改的版本是有意义的。 这个所谓的紧凑性问题结果与纯粹的理论问题有自然的联系，涉及“大”基数。
我们构建以下定义。 让κ是无限的红衣主教。 如果每当δ是一组L-句（RESP，则据说语言L.κ紧凑（弱κ紧凑）（ARCH。基数≤κ的一组L-句子）和所有基数＜κ具有模型，δ也是如此。 请注意，L的通常紧凑性定理精确地是L为ω-compact的断言。 对κ紧凑性的重要性的一个原因如下。 呼叫Lκ完整（RESP。弱κ完整）如果L长度＜κ扣数的L. LUSTION，例如，如果Δ是p-consionent [4]的L-andences套（REB），Δ具有模型。 观察到这样的P将足以从§2意义上从任意的房屋组（基数≤κ）扣除。 很容易看出，如果L是κ完整或弱κ完整的，则L是κ紧凑或弱κ紧凑的。 因此，如果我们可以表明给定语言不是（弱）κ紧凑，那么就可以没有用于扣除长度＜κ的扣除扣除从任意套装（基数≤κ）的扣除扣除的扣除额。
事实证明，事实上，大多数语言L（κ，λ）不能甚至弱κ紧凑，而且对于那些，κ必须是一个非常大的红衣主教。 我们需要一些定义。
据说无限的红衣主教κ如果是弱不可接近的话
（a）λ＜κ→λ+＜κ，（其中λ+表示λ的基数继承机），
（b）| 我|＜κ和λi＜κ（对于全部I∈i）⇒σi∈i＜κ。
如果另外
（c）λ＜κ≥2λ＜κ，
然后据说κ（强烈地）难以进入。 由于ℵ0无法访问，因此将注意力局限于难以接近的，或弱难以接近的ℵ0。 因此，无法访问或弱不可接受的红衣主教将永远被认为是不可数的。 很明显，这种红衣主教 - 如果它们存在 - 必须非常大; 实际上，哥特不完全定理意味着甚至存在甚至弱不可接受的红衣主教，不能从集合理论的常用公理中证明。
让我们称之为红衣主教κ紧凑（RESP。弱小紧凑）如果语言L（κ，κ）是κ-紧凑的（弱。弱κ紧凑）。 然后我们有以下结果：
（3.1）ℵ0紧凑。 当然，这只是一种简洁的方式，可以表达一阶语言的紧凑性定理。
（3.2）κ是弱紧凑的⇒（κ，ω）是弱κ紧凑的⇒是弱不可接近的。 因此，它是一致的（具有设定理论的通常公理），假设没有κ≥ω1的语言L（κ，ω）是弱κ紧凑的，或者FortiOri，弱κ完整。
（3.3）假设κ无法访问。 然后κ是弱紧凑的⇔（κ，ω）是弱κ紧凑的。 此外，κ也是弱紧凑的⇒κ上有一组κ内交易。 因此，弱紧凑且难以接近的红衣主教非常大; 特别是它不能是第一个，第二个，......，n，......无法进入。
（3.4）κ是紧凑的⇒无法进入。 （但是，通过上面的结果，逆转失败。）
让布兰特代表吉尔的结构的结构; 回想一致，建议与设定理论的通常公理一致。
（3.5）如果约束，则没有紧凑的红衣主教。
（3.6）假设约束，让κ难以进入。 然后κ是弱紧凑的⇔（ω1，ω）对于所有L弱κ紧凑。
（3.7）如果约束，则没有Cardinalsκ，L（ω1，ω）紧凑。 因此，它与设定理论的通常公理一致，假设没有红衣主教κ，使得所有语言L（ω1，ω）是κ完整的。 这结果是与所有一阶语言都是ω-complete的事实形成鲜明对比。
这些结果的导入是，对于大多数语言L（κ，λ）具有κ≥ω1的大多数语言，紧凑性定理非常严重。
这里有一些历史评论。 在20世纪30年代，数学家调查了所谓的衡量问题的各种版本，这是一个问题，它与连续体上的Lebesgue措施理论有关。 特别是，配制了以下非常简单的测量概念。 如果x是一个集合，则x上的（可上添加的两个值非动力）测量是电源集PX上的MAPμ，以满足集合{0,1}：
（a）μ（x）= 1，
（b）μ（{x}）=μ（∅）= 0对于所有x∈x，和
（c）如果A是X的任何可数族的彼此的任何可数族，则μ（∪a）=Σ{μ（y）：y}。
显然，如果给定的集合支持这种措施，只依赖于其基数，因此如果所有基数κ支持该排序的量度，则定义红衣主教κ是自然的。 很快意识到必须无法进入的可衡量的红衣主教，但在20世纪60年代，当Tarski表明可衡量的红衣主教是弱紧凑且他的学生Hanf表明，他的学生Hanf表明，这是第一个，第二等等的匡威的虚假性。不可思议的是不弱紧凑（CF.（3.3））。 虽然得出可测量的红衣主教必须被蒙显大，但现在通常证明，通过弱致密性和无细示语言来证明，这一事实仍然是这些想法在第一例中建立了结果。
4.无限量词语言的不完整性
可能是关于一阶语言的最重要的结果是哥德尔完整性定理，当然，当然可以通过一些直接推理的简单的一组简单的一组公理组来产生这些所有有效公式L的集合。 本定理的主要结果是，如果L的公式以某种建设性的方式编码为自然数，则该组（代码）有效句子被递归地枚举。 因此，一阶语言的完整性意味着其有效句子的集合以特别简单的方式可定义。 因此，似乎似乎是合理的，给予任意语言l，要转动这种含义并暗示，如果有效的L-句是不可以定义的，那么可以为L建立没有有意义的完整性结果，或者我们应该说，L是不完整的。 在本节中，我们将在草图上雇用此建议，以说明“大多数”无限量化的语言在这种意义上是不完整的。
让我们首先介绍明确的正式概念，如下所示。 如果l是语言，一个l-sturity和x的x a的子集，如果存在序列a1，...，a的元素，则x是可定义的x is is is is is is is isφ（x，y1，...，yn）。所有元素x∈A的子集，其中φ（x，a1，a）在a中保持。
现在为所有有效的L-句子的集合编写Val（L），即，在每个L-Surity中保持那些。 为了为语句分配含义“val（l）是可定义的”，我们必须指定
结构C（L） - L的编码结构;
一个特定的单个地图 - 编码图 - L中的一组公式中的L进入C（L）域。
然后，如果在编码图下将Val（L）识别Val（L）以C（l）中的图像，则应解释语句“Val（l）可定义”作为声明“Val（l），被视为C（l）域的子集，是可定义的c（l）L的公式。”
例如，当L是算术的一阶语言L时，Gödel最初用作编码结构的算术ℕ的标准模型和作为编码地图从用于自然数字的PRIME分解定理获得的众所周知的功能。 Val（L）的递归仲裁即表示简单地说明Val（L）的成分（L）的组代码（“Gödel编号”）是可定义的，其中∃yφ（x，y）的L-公式，其中φ（x，y）是递归公式。
另一个，等效的算术语言的编码结构是结构[5]⟨h（ω），∈⨡（ω）⟩的遗传有限套，其中一个设定的x是有限的，如果x，其成员，其成员成员等都是所有有限的。 该编码结构考虑到一阶公式自然被视为有限集。
现在转向L是无限性语言L（κ，λ）的情况，在这种情况下是合适的编码结构？ 我们在开始开始，通过思考公式作为设定理论对象的可能性，提出了无限的语言，因此让我们通过思考我们应该采取无限公式的内容的定型物体来获得我们的编码结构。 鉴于，对于每个φνform（κ，λ），φ及其亚偶数，子ubformulas等，都是长度＜κ，[6]，瞬间的反射显示L（κ，λ）“对应”的公式在X，其成员，其成员等的意义上设置了Xκ杂散的x，这是所有基团＜κ。 所有这些组的集合都是写的h（κ）。 H（ω）是上面引入的遗传有限组的集合，以及所有遗产可数集的H（ω1）。
为简单起见，让我们假设基本语言L的唯一的象限符号是二进制谓词符号∈（讨论很容易扩展到L包含附加的逐个符号的情况）。 由上述备注为指导，作为L（κ，λ）的编码结构，我们采取结构，
H（κ）= DF⟨h（κ），∈⨡（κ）⟩。
现在我们可以将表单（κ，λ）的编码映射到H（κ）定义。 首先，对于L（κ，λ）的每个基本符号s，我们为如下分配代码对象⌈s⌉h（κ）。 让{vξ：ξκ}是L（κ，λ）的单个变量的枚举。
符号。代码对象。符号
¬1⌈¬⌉
∧2⌈∧⌉
∧3⌈∧⌉
∃4⌈∃⌉
∈。5。⌈∈⌉
= 6⌈=⌉
vξ⟨0，ξ⟩⌈vξ⌉
然后，到每个φ形式（κ，λ），我们递归地分配代码对象⌈φ⌉，如下所示：
⌈vξ=vην=⟨⌈vξ⌉，⌈=⌉，⌈vη⌉⟩，
⌈vξ=⟨⌈vξ⌉，⌈∈⌉，⌈vη⌉⟩;
对于φ，ψ形式（κ，λ），
⌈φ= df⟨⌈φ⌉，⌈∧⌉，⌈ψ⌉⟩
⌈¬φ⌉= df⟨⌈¬⌉，⌈φ⌉⟩
⌈∃xφ⌉= df⟨⌈∃⌉，{⌈x⌉：x∈x}，⌈φ⌉⟩;
最后，如果φ形式（κ，λ）与|φ|＜κ，
⌈∧φ⌉= df⟨⌈∧⌉，{⌈φ⌉：φ}⟩。
从形式（κ，λ）到H（κ）的地图⌈φ⌉很容易被视为一个，是所需的编码图。 因此，我们同意在该编码图下将Val（L（κ，λ）识别在H（κ）中的图像。
什么时候是val（l（κ，λ））一个可定义的h（κ）子集？ 为了回答这个问题，我们需要以下定义。
如果相当于所有量子是∀x∈y或∃x∈y形式的公式，则称为Δ0公式的L-公式称为Δ0公式。 L-公式是Σ1公式，如果它相当于可以从原子公式和它们仅使用逻辑运算符∧，∨，∀x∈y，∃x的否定的否定。 如果在结构中可定义，则将组A的子集x为Δ0（RESP.1）。
例如，如果我们以通常的方式识别与杂散的有限集的集合H（ω）的自然数集，则对于每个x∈H（ω），我们有：
x在h（ω）≠x上是Δ0是递归的
x在h（ω）⇔x上是xσ1递归枚举。
因此，Δ0和Σ1集的概念可以分别被视为递归和递归令人符合的概念的概括。
L的完整性定理意味着VAL（L） - 被视为H（ω）的子集 - 经递归令人令人令人记本，因此Σ1在H（ω）上。 类似地，L（ω1，ω）的完整性定理（参见§2）意味着VAL（L（ω1，ω）） - 被认为是H（ω1）的子集 - 是h（ω1）上的σ1。 然而，一旦L（ω1，ω1），这一令人愉快的事态完全崩溃了。 一个人可以证明
斯科特L（ω1，ω1）的未定义性定理。 val（L（ω1，ω1））甚至通过L（ω1，ω1）-formula，即使在H（ω1）中不定义; 因此，FortiOri Val（L（ω1，ω1））在h（ω1）上不是σ1。
本定理的证明与众所周知的结果相同，即artheTemet12的二阶语言的有效句子的一组（代码）在其编码结构中不是二阶可定义的ℕ。 为了得到这种后一个结果，首先观察到ℕ的特征是单个L2句子，然后显示，如果结果是假的，则L2句子的“ℕ”是一个L2公式可定义，从而违反Tarski关于真理不可或缺的定理。
因此，为了证明斯科特沿着上述线路的无懈可击定理，需要建立：
（4.1）L（ω1，ω1）中的编码结构H（ω1）的特征性：L（ω1，ω1） - 为所有L结构a，τ0≅（ω1）。
（4.2）对编码结构的L（ω1，ω1）的真理不可定义：没有L（ω1，ω1） - Formfulaφ（V0），使得所有L（ω1，ω1） - entencesσ，h（ω1）σ↔φ（⌈σ⌉）。
（4.3）L（ω1，ω1）的术语T（v0，v1），使得对于每对句子σ，l（ω1，ω1），h（ω1）⊨[t（⌈σ⌉，⌈τ⌉）=⌈σ→τ⌉]。
（4.1）通过分析H（ω1）的设定定义并表明它可以是在L（ω1，ω1）中的“内部”中的“内部”。 （4.2）与Tarski的定理与第一或二阶语言的真理不确定的定理相同。 （4.3）是通过在L（ω1，ω1）中的编码映射⌈σ⌉的定义来获得的。
武装这些事实，我们可以通过以下方式获得斯科特的未定义定理。 假设它是假的; 然后将存在L（ω1，ω1） - Formfulaθ（V0），使得所有L（ω1，ω1） - 临时σ，
（4.4）H（ω1）△θ（⌈σ⌉）IFFσval（L（ω1，ω1））。
让τ0是（4.1）中给出的句子。 然后我们拥有，对于所有L（ω1，ω1） - 昆汀σ，
H（ω1）⊨Σfff（τ0→σ）∈val（l（ω1，ω1）），
这样，由（4.4），
h（ω1）⊨σfffh（ω1）⊨（⌈τ0→σ⌉）。
如果t是（4.3）中的术语，则会遵循
H（ω1）σ↔θ（t（⌈τ0⌉，⌈σ⌉））。
现在为L（ω1，ω1）-formulaθ（t（⌈τ0⌉，⌈σ⌉）写入φ（v0）。 然后
H（ω1）σ↔φ（⌈σ⌉），
抵触（4.2），并完成证明。
因此，即使通过L（ω1，ω1）-formula，val（l（ω1，ω1））也不明确，因此FortiOri L（ω1，ω1）不完整。 类似的论据表明，当ω1被任何继承红衣主教κ+取代时，斯科特的未定义定理继续保持; 因此，语言L（κ+，κ+）都是不完整的。[7]
5. L（ω1，Ω）和双手紧凑性定理的子程
鉴于我们现在知道关于无限语言的信息，似乎L（ω1，ω）是唯一一个合理良好的表现。 另一方面，就应用涉及而言，紧凑性定理以任何有用方式概括为L（ω1，ω）的故障是严重的缺点。 让我们尝试更详细地分析此失败。
从§4召回，我们可以将一级语言L的公式编码为默许有限的集合，即作为H（ω）的成员。 在这种情况下，每个有限组（代码）L-句子也是H（ω）的成员，并且遵循L的紧凑性定理可以以形式说明：
（5.1）如果Δ≠发送（L）使得每个子集δ0，δ0（ω）具有型号，则δ。
现在众所周知，（5.1）是L的直接后果，L的直接结合定理，其形式类似于（5.1）的形式，成为断言：
（5.2）如果δ送（L）和σ∈送（L）满足δ，则存在σ的延伸Dσ，使得d≠h（ω）。[8]
在§2中，我们备注的是，L（ω1，ω）的紧凑性定理强烈失效; 实际上，我们构建了一个SETγ∈发送（ω1，ω），这样
