无限逻辑（三）

（5.3）γ的每个可数子集具有模型，但γ不。

还回想一下，我们引入了L（ω1，ω）的扣除概念; 由于这种扣除是可数的，因此它可以快速地从（5.3）中

（5.4）存在一个句子[9]σ∈发送（ω1，ω），使得γ∈Σ，但没有从γ的L（ω1，ω）中的σ扣除。

现在，L（ω1，ω）的公式可以被编码为H（ω1）的构件，并且很清楚H（ω1）在形成可数亚套房和序列的形成下关闭。 因此（5.3）和（5.4）可以写入：

（5.3 BIS）每个γ0⊆γ使得γ0∈（ω1）具有模型，但γ不;

（5.4 BIS）存在一个句子σ∈发送（ω1，ω），使得γ∈Σ，但没有γ的σ的延伸D∈H（ω1）。

如下，当“L”由“L（ω1，ω）”和“H（ω1）”取代时，（5.1）和（5.2）失败。 此外，可以示出，在（5.3 BIS）和（5.4 BIS）中发送（ω1，ω）和（5.4 bis）的设定γ∈可以在H（ω1）上是σ1。 因此，即使对于L（ω1，ω） - 义，甚至是Σ1组的紧凑性和广义完整性定理。

我们从（5.4 bis）看，推广完整性定理在L（ω1，ω）中的σ1-set失败的原因是，粗略地说，H（ω1）在Σ1-扣除的扣除下没有“关闭”h（ω1）中的句子组。 因此，为了弥补这一点，替换H（ω1）似乎是在某种意义上封闭的替换H（ω1），然后在这种扣除的形成下关闭，然后考虑那些代码所在的那些公式。

我们现在给出了如何完成的草图。

首先，我们将L（ω1，ω）的符号和公式识别在H（ω1）中，如§4中的码。 对于每个可数传递[10]设置a，让

La =形式（L（ω1，ω））∩。

我们说，如果满足以下条件，则La是L（ω1，Ω）的子语言：

l⊆洛杉矶

如果φ，ψ∈，则φ和¬φ

如果la和x∈A，则∃xφ

如果φ（x）∈和y∈A，则φ（y）∈

如果la，则φ的每个子均外

如果φ和φ，则∧φ。

洛杉矶扣除的概念是以惯常的方式定义的; 如果δ是La和φ11a的一组句子，则La中的Δ的φΔSi是来自La（ω1，ω）的δ的Δ中的Δ中在La中。 我们说，如果在LA中的δ中有φ的幂Dφ; 在这些条件下，我们写入⊢a。 一般来说，D不会是a的成员; 为了确保在A中可以找到这种扣除，有必要对A施加进一步的条件。

让A成为可数传递集，使得La是L（ω1，ω）的子宫内容，并且LetΔ是La的一组句子。 我们说（或通过滥用术语，la）是Δ关闭的，如果对于La使得⊢a的任何公式φ，则存在Δf的ΔFeφ，使得d〜A.可以显示唯一的可数语言对于任意Δ是Δ关闭的是一阶语言L，即当A = H（ω）时。 然而，J.BarWishers发现有可计算的设置A⊆（ω1），其对应语言La与L不同，但对于所有Σ1组句子δ是δ关闭的。 这样的一套称为可允许集; 粗略地说，它们是遗传性有限集的扩展，其中递归理论和校正理论 - 仍然可以（对于完整的定义，见下文第5.1节）。

从Barwore的结果一个人立即获得

BarWise紧凑型定理。 让A成为可测量的允许集，让Δ是La的一组句子，其是σ1。如果每个δ'⊆a具有型号，则δ这样也如此。

这里存在“σ1”表明该定理是递归唯一令人享有的句子集的紧凑性定理的概括。

另一个版本的双手紧凑性定理，可用于构建集合理论的模型，是以下。 让ZFC成为Zermelo-Fraenkel集理论的通常的公理组，包括所选的公理。 然后我们有：

5.5定理。 让A成为可数传递集，使得A =⟨a，∈⨡是ZFC的模型。 如果δ是LA的一组句子，其可定义是由设定理论的语言的公式可定义，并且如果每个δ'Δ使得δ'≠a具有模型，则Δ2。

要得出结论，我们对本定理进行了简单的应用。 让a =⟨a，∈a⟩是ZFC的模型。 B =νB的模型，ZFC的e⟩据说是IF（i）a≠b，（ii）a∈b，（iii）a，b = b，beab∈a的适当端延伸。 因此，ZFC模型的适当最终扩展是一个适当的扩展，其中没有“新”元素“之前”在“旧”元素之前。 因为我们的应用5.5我们证明了

5.6定理。 ZFC的每个可数传递模型具有适当的最终延伸。

证明。 让a =⟨a，∈a⟩是ZFC的传递模型，让L是由每个A∈的名称A增强的集合理论的一阶语言，以及额外的常数C。 让Δ成为一组La句，包括：

ZFC的所有公理;

C≠A，每个A∈;

∀x（x≠a→∨b∈ax = b），每个a∈a;

a∈b，每个∈。

它很容易示出，Δ是通过设定理论的语言公式中可定义的δ子集。 而且，每个子集Δ'△Δ使得Δ'∈具有模型。 对于在Δ'中发生的所有A≠A的集合C属于a - 由于Δ'所属 - 而且，如果我们将C作为（必然是非空）设置A-C的任何成员，那么A是Δ'的模型。 因此，（5.5）意味着Δ具有尺寸⟨b，e⟩。 如果我们将每个常数A解释为元素A≠A，那么⟨b，e⟩是A的适当端延伸。证明是完整的。

读者将很快看到一阶紧凑性定理不会产生此结果。

5.1可接受套件概念的定义

当满足以下条件时，据说，据说一个非空的传递集A可以允许：

如果a，b≠a，那么{a，b}∈和∪a∈a;

如果a≠a和x∈A在a上是Δ0，则x≠a∈;

如果是a≠a，x∈a在a上是Δ0，而且∀x∈a∃y（＜x，y＞x x），那么，对于一些b≠a，∀x∈a∃y∈b（＜x，y＞x x）。

条件（ii） - Δ0分离方案 - 是Zermelo分离公理的限制版本。 条件（iii） - 可以称为Δ0替换方案的同样弱化的替换版本。

很容易看到如果A是一个传递集，例如＜a，∈| A＞是ZFC的型号，然后是A.允许的。 更一般地，当从ZFC省略电力设定公理时，结果继续保持，从而可以允许H（ω）和H（ω1）。 然而，由于后者是不可数的，因此BarWise紧凑性定理未能申请。

6.历史和书目言论

§§1和2.无限命题和谓词语言似乎已经通过Scott和Tarski的论文进行了第一次明确的外观[1958]和Tarski [1958]。 KARP证明了L（ω1，ω）以及其他无细语言的完整性定理[1964]。 L（ω1，ω）的HANF数计算首先是Morley进行[1965]。 KARP证明了有限量词中的井排序的非排序性[1965]和LOPEZ-ESCOBAR [1966]。 Lopez-Escobar（ω1，ω）的插值定理由Lopez-Escobar [1965]和Scott的L（ω1，Ω）通过Scott证明了[1965]。 Negri [2021]将源自顶部理论的几何逻辑的思想扩展到L（ω1，ω）。

Karp的部分同构定理在Karp中首次证明[1965]; 另见Barwher [1973]。 结果（2.2）出现在Cherentuck [1976]中的Chang [1968]，结果（2.3）和钟声中的结果（2.4）[1981]。

§3。 结果（3.2）和（3.3）是由于HANF [1964]，通过Lopez-Escobar的一些改进[1966]和Dickmann [1975]，而Tarski证明（3.4）。 结果（3.5）是由于斯科特[1961]，（3.6）到钟[1970]和[1972]; （3.7）到钟[1974]。 乌拉姆首次考虑可测量的红衣主教[1930]和Tarski [1939]。 在TILSKI中注意到可测量的红衣主教是弱紧凑的事实[1962]。

§4。 关于L（ω1，ω1）的未定义定理。 Carol Karp备注（1964,166），“1960年斯坦福大学逻辑，方法和科学哲学大学大学，达纳·斯科特分发了一个完整可定义的正式系统不可能的证据的概述（γ+，γ+）语言除了平等符号之外，单个双位谓词符号。” 斯科特从未发表过他的结果，并在Karp中出现了完全详细的证据[1964]。 这里采用的定理方法基于Dickmann中给出的帐户[1975]。

§5。 本节介绍的结果的原始动机来自Kreisel; 在他的[1965]他指出，没有令人兴奋的理由，用于选择“长度”的基础，并建议使用可明确或“封闭”标准。 Kreisel的建议是由Barwore的巨大成功而取得了巨大的成功，在那里证明了他的紧凑性定理。 可接受集的概念是由于Plantk [1966]。 定理（5.6）取自Keisler [1974]。

为了进一步阅读无线语言的主题，请参阅Aczel [1973]，Dickmann [1975]，Karp [1964]，Keisler [1974]和Makkai [1977]。 在德雷克的第10章中发现了无限语言和大型基团之间的连接的有用帐户[1974]。