阿拉伯语和伊斯兰数学哲学（二）

在阿维盛后哲学中，声称数学对象是精神上的（或估计或想象力）成为最受欢迎的观点，并且越来越强调不同的思想家。 对这种方法的倾向部分是由于对大学对数学本体的叙述的强大批评。 例如，Suhrawardsuhrawardī在物理世界中存在强烈反对意见，作为明智的事物的事故。 考虑一组四个人。 阿维肯纳认为四个（'arba'īya）是这四个人的事故。 但Suhrawardsuhrawardī发现它无法维纳。 他争辩说

在每个人的每个人中必须完整，这不是这种情况，否则每个都必须在每一个中都有四个，这只能是统一。 因此，要么四个智力的整体都必须没有智力，否则既不是四个，也不是四个中的四个也可以在每个4。 在后一种假设的情况下，四个只有在智力中。 （Suhrawardsuhrawardī照明的哲学[1999：48]）

他认为只有我们的思想，这可以对多个不同的四个明确的合理实体施加统一。 养镇世界中没有任何东西可以自然地结合四个分离的东西，使他们共同接受四个事故。 因此，对于Suhraward的数字（以及一般的数学对象）只是依赖于思维（i'tibārī）的东西（Ziai 1990：108; Walbridge 2000：63和78-79）。 mullā（d.1640）开发了类似的论点。 他接受了养镇世界中有多数。 但他坚持认为只有我们思想的活动，即一群独特的物体可以被认为是一个团结。 养镇世界中没有任何内容，这赋予了一组任意的独特物体（mullā，al-shawāhidal-rubūbīya），[1982：65]）。 这一论据的论点，以考虑数字作为物理对象的属性提醒我们对这个想法的批评（Frege 1884：§§21-25）。

作为精神对象的数学对象的再现的转折点是吸引NAFS al-'amr的概念来描述数学对象的本体状态，并阐明数学命题的真实制造者的性质。 这句话'NAFS al-'amr'字面意思是本身。 但它的技术内容很难在翻译中捕获。 虽然这句话也出现在阿维肯纳的着作中，但它可能是naṣīral-dīnal-ṭūsī（d.1274）谁在技术和理论上第一次使用了这句话。 不同的哲学家已经了解这句话，参考包括神圣知识，积极的智力，想法的领域等不同的东西（Kaş2021;尖顶2021）。 NAFS AL-'Amr理论对数学哲学的意义是，即使没有对象现实主义，也可以让我们保持判断 - 现实主义。 一些哲学家（例如，Sayyid Al-sharīfAl-Jurjānī，d。1413）已经使用了这个理论来表明，尽管数学对象仅仅是估计（Wahm³）并且没有任何心灵的存在，但数学判断是某些（yaqīnī），他们的真实价值观是独立的。 换句话说，关于数学，即使在拒绝对象现实主义时仍然可以保护判断现实主义（Fazlıoğlu2014; Hasan 2017）。

与数学本体有关的另一个重要问题是代数对象的性质。 代数未知（或者，当今我们称之为代数变量）可以漠不关心地引用数字或几何幅度。 因此，代数对象的性质与数字或几何形状不同。 遗憾的是，这种特殊类型的数学对象的混合本体很少（如果有的话）被讨论为与数字和大小不同的本体论。 但有人认为，熟悉的哲学家如al-fārābī和vicenna与al-khwārizmī（d.850）提出的代数理论在他的kitābal-jabr wa - Muqābala启发了他们既不是柏拉图式的事情

1.3无限

无限的问题是与中世纪伊斯兰哲学中最广泛讨论的数学哲学主题之一。 有许多论文认为没有数字可以是无限的。 例如，为了响应'īsā提出的一系列问题，ThābitIbnQurra讨论了数字的性质，并认为没有无限数量。 此外，他表明，无限的数量可以是不同的大小（松树1968; Sabra 1997; Mancosu 2009：Sec。2; M. Rashed 2009; Zarepour 2020b：秒。4.2）。 yaḥyā（D.974）在他的无限（Maqalafī-mutanāhō）的论文中，提供了不同的论点，以确定无限远在数字上没有预期（McGinnis 2010年：秒。3）。 但以下三个精神主义论据可能是伊斯兰传统中最讨论的：

（1）准直参数（BurhānAl-Musāmita）：考虑这条线

l

�

从中心开始

o

�

一个圆圈

c

�

，与圆周相交

c

�

，并无限地延伸。 而且，此外，还有一个不同的线

l

'

�

'

这是平行的

l

�

在两个方向上无限延伸。 现在假设

l

�

开始旋转

o

�

并越来越近

l

'

�

'

，虽然

l

'

�

'

一动不动，固定。 结果，

l

�

和

l

'

�

'

相交。 因此，有一段时间是两条线路并行，并且存在它们的时间。 因此，必须有一段时间

t

�

和一个点

p

�

上

l

'

�

'

这两条线首次相互交叉，否则参数转移。 但显然没有这样的

t

�

和

p

�

。 为了所有

t

�

在其中

l

�

和

l

'

�

'

是相交的，我们可以找到早期的时间

t

'

�

'

（即，

t

'

<

t

�

'

<

�

）其中两条线已经相交。 所以，似乎我们有一个矛盾。 一方面，必须有第一时刻的十字路口（或者这是对论证的捍卫者的期望）。 另一方面，没有这样的时刻。 因此，必须拒绝参数的初始假设 - 这是必须拒绝无限线的存在。 没有无限的一维幅度，因此，通常没有无限的大小。

在前一段中描述

图1

上述情景的变化 - 可能来自AgiStotle的de Caelo（i.5,272a8-20） - 由abūsahl al-qūhī（d.1000）提出的 - 拒绝亚里士多州的教条无限距离不能在有限时间内遍历。 这是因为上面的参数显示

l

�

可以遍历

l

'

�

'

在有限的时间段内等于旋转时的一半

l

�

o一个圆周（R. Rashed 1999; McGinnis 2010：Sec。3）。 相比之下，阿维森纳在某些地方使用准直参数（Avicenna Al-Najāt[1985：233-44]; [PH1]：CHAP。II.8，[8]）拒绝在无限内的圆周运动的可能性在其他地方和其他地方（avicenna al-ḥikmaḥikma，chap。3,20）拒绝实际的大小的大小（Zarepour 2020b：sec。3.1; r. rashed 2016：302-6; 2018：SEC。11.2）。 在他的Al-Mu'Tabar（第2,83-84和86卷），在他的talkhīṣal中，准直论者是批评的-muḥassal（[1985：217]），和al-ḥillī（d.1325）在他的nihāyaal-marāmfù'ilmal-kalām（第1,256-258卷）。 这些论点也被他的al-mabāḥithal-mashriqīya（第1,196卷）和mullā在他的al-mabāḥithal-rāzī（d.209）所辩护。Asfār（第4,2,21-23卷）。

（2）梯形图（BurhānAl-Sullam）：如果可以存在无限线，则可以存在侧面是无限的锐角。 假设

一种

b

�

�

和

一种

c

�

�

是两个相交的无限线

一种

�

并制作这种锐角。

一种

b

�

�

和

一种

c

�

�

在方向上无限地延伸

b

�

和

c

�

分别。 现在考虑平行线

b

一世

c

一世

�

�

�

�

（对于整数

一世

≥

1

�

≥

1

）相交

一种

b

�

�

和

一种

c

�

�

因此，每两个连续线之间的距离等于距离

b

1

c

1

�

1

�

1

从

一种

�

。 因此，每条线比前一线长度长度长度，说

d

�

（即，每个整数

一世

≥

1

，

�

≥

1

，

b

一世

+

1

c

一世

+

1

-

b

一世

c

一世

=

d

�

�

+

1

�

�

+

1

-

�

�

�

�

=

�

）。 现在考虑

b

c

�

�

。 它比任何人更远

b

一世

c

一世

�

�

�

�

从

一种

�

。 因此，

b

c

�

�

比任何一个

b

一世

c

一世

。

�

�

�

�

。

这表明了

b

c

�

�

必须实际上是无限的。 然而，

b

c

�

�

局限于两条线（即，

一种

b

�

�

和

一种

c

�

�

）。 它终止于

b

�

和

c

�

。 因此，它也必须是有限的。 因此，

b

c

�

�

必须是有限和无限的。 这是不可能的。 因此，我们构建论证的初始假设是错误的。 没有无限的线（和Fortiori，没有无限幅度）可以存在（R. Rashed 2016; 2018：Sec。11.2; Zarepour 2020B：秒。3.2）。

在前一段中描述

图2

梯子论点是在De Caelo（i.5,271b26-272a7）中提出的亚里士多德的争论的康复。 阿维肯纳在“愈合”的物理学中讨论了这个论点（百年望[ph2]：chap。III.8，[7]）。 该论点一直是拥有哲学后长期争论的主题（McGinnis 2018）。 在他的al-mu'tabar（第2,84-86卷）和Najm al-dīnal-kātibīal-qazwīnī（d.1277）中，争论被批评的批评ḥikma凯马al-'ayn（[2002：38-39]）。 另一方面，可以在Avicenna指针和提醒的评论中找到梯形目参数的防御（在Avicenna [指针]：Namańi，183-191）和mullā▍Adrā对al-abharō的Hidāya评论（Sharsharḥal-hidāyaal-athīrīya，65-69）。

（3）映射参数（BurhānAl-taṭābuq或al-taṭbīq）：考虑实际无限线

一种

c

�

�

从中开始

一种

�

并且朝着方向延伸

c

�

。 删除有限段

一种

b

�

�

从开始

一种

c

�

�

。 假设

b

*

c

*

�

*

�

*

是（和，相应的长度相同）的副本

b

c

�

�

。 比较

b

*

c

*

�

*

�

*

与

一种

c

�

�

通过将前者映射到后者时，使两条线是平行的并且

b

*

�

*

就在前面

一种

�

。

b

*

c

*

�

*

�

*

必须无限地朝着方向延伸

c

*

�

*

。 否则，

b

*

c

*

�

*

�

*

会是有限的。 这意味着

b

c

�

�

也会有限。 结果，

一种

c

�

�

- 这是总和

b

c

�

�

与有限段

一种

b

�

�

- 应该是有限的。 由于这与初始假设相矛盾

一种

c

�

�

实际上是无限的，

b

*

c

*

�

*

�

*

必须无限地朝着方向延伸

c

*

�

*

。 但如果是这样，那么

b

*

c

*

�

*

�

*

和

一种

c

�

�

彼此对应，意义上，其中一个人的一部分被另一个遗骸仍未被揭示。 因此，根据欧几里德元素第一章的第四次普通概念 - 根据哪些对应于彼此的事情彼此相等（[1908：第1,55]） - 我们可以得出结论

一种

c

�

�

等于

b

*

c

*

�

*

�

*

。 这表明了

一种

c

�

�

也会等于

b

c

�

�

，这是一个适当的部分

一种

b

�

�

。 然而，第五个欧几里德的常见概念指出，这种全部部分平等是荒谬的（[1908：1,155]）。 因此，

一种

c

�

�

不能等于

b

c

�

�

。 因此，初始假设

一种

c

�

�

可以是实际无限的线必须拒绝。 没有这样的实际无穷大小。

在前一段中描述

图3

早期版本的映射论证可以在Al-Pinker的Oeuvre（Rescher＆Khatchadourian 1965; Shamsi 1975; Adamson 2007：Chap。4; Zarepour 2020b：n。52）。 此参数的更多精确版本由Avicenna（Marmura 1960; McGinnis 2010：Sec。4; Zarepour 2020B）。 这些思想家提供的论证版本的强度和准确性至少在至少，在其构建几何大小的平等概念的精度上。 已经表明，一些穆斯林思想家对此概念的详细说明（R. Rashed 2019）。

与其他两个参数一样，映射参数的主要目标是表明实际存在无限连续幅度。 读取欧几里德的元素（BKS 7-9），穆斯林思想家知道数字可以很容易地由大小表示。 因此，对于无限量大的任何不可能的任何论点可以作为反对数字无穷大的论据。 但无限系列怎么样？ 三个论点都不是直接适用于无限的离散实体。 尽管如此，有人认为，Avicenna可能意识到可以修改映射论点，以便适用于无限的离散编号的东西（Zarepour 2020b：sec。4）。 通过采用先前在连续大小的情况下使用的“映射”的非常概念，可以比较两种离散实体集合的尺寸。 但是，在离散实体的集合的情况下，该概念必须根据有关两份收集的元素之间的一对一对应兑现。 如果一个集合的每个成员可以与另一个（并且只有一个）成员配对的两个成员可以与另一个集合的每个成员配对，因此任何这些集合的成员仍未承载，则彼此对应。 Avicenna似乎已经意识到，可以与其适当的子校集中的一些相对应地进行无限的离散实体集合。 他认为这是一种作为一个完整的癌症的无限级别的对应关系。 他明确提到了映射论证可以排除无限量大和无限集合的离散实体的可能性（例如，数字和编号的东西）。 但是，他并不是他自己明确地明确在离散事物的情况下实际工作的原因。 他不提供任何具体示例，将映射参数应用于无限集合的对象的情况。 这样一个例子可以在Fakhr al-dīnal-rāzī（Sharsharḥ'uyun al-antikma，al-ṭabī'īyāt）（ṭabī'īyāt）中找到这样的示例。 al-ghazālī（d.1111）提到了他的maqāṣid中的映射论证（[2000：97-98]），并最早传播到拉丁传统的这个论点可能是通过第三季度maqāṣid的拉丁语翻译十二世纪。