牛顿的自然哲学的数学原理（一）
没有哪部科学著作比牛顿的《自然哲学的数学原理》更能引起哲学家们的关注。然而，其原因以及关注的焦点在一个世纪又一个世纪中发生了显著变化。在 20 世纪，哲学家们将《自然哲学的数学原理》置于爱因斯坦广义相对论中新的引力理论的背景下进行研究。主要问题在于牛顿引力理论和爱因斯坦引力理论之间的关系，以及用后者取代前者的必要性对科学知识的性质、范围和局限性有何影响。相比之下，在18世纪的大部分时间里，牛顿的引力理论一直备受争议，尤其是因为缺乏产生引力的机制——尤其是接触机制。相应地，哲学文献试图以各种方式澄清和解决关于《自然哲学的数学原理》是否应被视为方法论上站得住脚的争论。到18世纪90年代，牛顿的引力理论已在轨道力学和物理大地测量学的研究中得到确立，这使得《自然哲学的数学原理》成为科学最成功的典范。因此，19世纪哲学界对《自然哲学的数学原理》的兴趣集中在牛顿如何取得这一成功上，一方面是为了描述已取得的知识，另一方面是为了在其他研究领域寻求类似的知识。不幸的是，三个世纪以来，很大一部分哲学文献都对《原理》本身进行了过于简化的描述。本文的主要目标是用一种更能体现《原理》丰富内容和方法论的描述来取代这种过于简化的描述。
1. 概述：著作的重要性
2. 《自然哲学的数学原理》的历史背景
3. 《自然哲学的数学原理》的三个版本
4. “定义”与绝对空间、时间和运动
5. 牛顿运动定律
6. 《自然哲学的数学原理》第一卷
7. 《自然哲学的数学原理》第二卷
8. 《自然哲学的数学原理》第三卷
9. 《自然哲学的数学原理》的科学成就
10. 《自然哲学的数学原理》的方法论
参考文献
一手资料
二手资料
学术工具
其他网络资源
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1. 概述：著作的重要性
回顾过去，没有哪部著作在现代物理学和天文学的发展中比牛顿的《自然哲学的数学原理》更具开创性。该书的结论是，维持行星在其轨道上运行的力与地球引力是同一种力，这彻底终结了至少可以追溯到亚里士多德的观点：天界需要一门科学，而月下世界需要另一门科学。正如其初版序言所言，牛顿引力理论的最终成功使得识别自然界的基本力并将它们转化为规律描述成为物理学的主要追求。该理论的成功也催生了一种新的精密科学概念，在这种概念下，观察与理论之间的每一个系统性差异，无论多么微小，都被视为告诉我们一些关于世界的重要信息。并且，一旦人们清楚地认识到，引力理论提供了一种比观察更为有效的手段来精确描述复杂的轨道运动——正如牛顿在《自然哲学的数学原理》中提出的月球轨道模型一样——物理理论在回答有关世界的具体问题方面就比观察更具主导地位。
在爱因斯坦狭义相对论和广义相对论之后，人们对《自然哲学的数学原理》的回顾与整个十九世纪有所不同。现在人们认为，牛顿理论仅在有限的情况下具有高度近似性，就像伽利略和惠更斯关于均匀引力下运动的结论在牛顿平方反比引力理论之后被认为仅在高度近似性的情况下具有高度近似性一样。然而，在十九世纪中叶，当没有理由认为牛顿理论与观察之间会出现任何足以驳斥的差异时，《自然哲学的数学原理》被视为经验科学的完美典范，就像十七世纪初欧几里得的《几何原本》被视为数学的完美典范一样。由于爱因斯坦理论在历史上很大程度上植根于牛顿科学，《自然哲学的数学原理》在后牛顿时代的物理学史上依然保持着其独特的开创性地位。或许更引人注目的是，由于牛顿理论和爱因斯坦理论之间的逻辑关系——爱因斯坦证明了牛顿引力作为广义相对论的一个极限情况成立，就像牛顿在第一卷中证明的那样（（第10节）指出，伽利略均匀引力是平方反比引力的极限情况——尽管《自然哲学的数学原理》已不再被视为完美的典范，但它仍然被物理学家广泛视为经验科学的最佳典范。
尽管在《自然哲学的数学原理》问世后的几年里，有些人对其做出了夸张的评价——“……他似乎已经穷尽了他的论证，而他的后继者几乎没有留下什么可做的”[1]——但在18世纪上半叶，任何人所能证实的最积极的看法，也更多地强调了它的前景，而不是它的成就。引力理论存在太多未解决的问题，其中最明显的是月球远地点平均运动的误差为2倍，这一误差削弱了月球受平方反比力束缚在轨道上的说法。没有人比牛顿本人更了解这些未解之谜，但也没有人比他更清楚引力理论在解决行星天文学诸多问题方面的潜力——这或许可以解释为什么他刻意刻意地让这些未解之谜难以被发现，除非是技术最精湛、最细心的读者。18世纪30年代末到18世纪50年代初，情况发生了巨大变化，一些未解之谜得到了解决，在某些情况下甚至产生了非凡的成果，例如天文学史上第一个真正成功的月球运动描述。18世纪下半叶，《自然哲学的数学原理》的前景不仅得到了实证研究者的普遍认可，而且其中很大一部分已经实现。我们现在所说的“牛顿力学”正是在这个过程中诞生的。基于引力的行星运动与开普勒运动的显著差异的解释也是如此，而牛顿引力理论的成就最终终结了所有反对它的声音。
在18世纪，《自然哲学的数学原理》也被视为提出了一种与笛卡尔世界观截然相反的世界观，后者在17世纪下半叶在许多领域取代了经院哲学的世界观。牛顿显然希望人们以这种方式看待这部著作，因此在1686年，他将其标题改为《自然哲学的数学原理》，以此暗指笛卡尔当时最杰出的著作《哲学原理》。（牛顿第一版的扉页将标题的第一个和第三个单词用更大的字体显示出来，强调了这一暗指。）牛顿《自然哲学的数学原理》世界观的主要区别在于，它消除了天体空间中承载行星的涡旋。牛顿主义者后来超越了牛顿，以各种方式强化了这一世界观，包括明确地在超距作用的力。例如，牛顿世界观中“钟表宇宙”的方面在《自然哲学的数学原理》中找不到；它是在18世纪后期，在引力理论成功地解释了开普勒运动的复杂偏差之后，由拉普拉斯添加的。
除了将引力理论视为可能改变轨道天文学的理论之外，牛顿还认为《自然哲学的数学原理》展现了一种研究自然哲学的新方法。这种新方法的一个方面，在第一版的前言中有所阐述：重点在于力：
因为哲学的全部难点似乎在于从运动现象中发现自然力，然后从这些力中论证其他现象。第一卷和第二卷中的一般命题正是针对这些目的的，而在第三卷中，我们对世界体系的阐释则阐明了这些命题。因为在第三卷中，我们借助第一卷和第二卷中数学论证的命题，从天体现象中推导出引力，正是引力使物体趋向太阳和各个行星。然后，行星、彗星、月亮和海洋的运动都是通过这些力，用同样是数学的命题推导出的。如果我们能用同样的推理，从机械原理中推导出其他自然现象就好了！许多事情让我怀疑，所有现象都可能依赖于某些力，这些力促使物体的粒子，由于尚不清楚的原因，要么相互吸引并形成规则的形状，要么相互排斥并向后退去。由于这些力是未知的，哲学家们迄今为止对自然的探索都是徒劳的。但我希望这里阐述的原则能够为这种哲学思考方式或某种更真实的哲学思考方式提供一些启示。[P, 382][2]
新方法的第二个方面涉及运用数学理论，并非像伽利略和惠更斯那样从假设中得出可检验的结论，而是涵盖各种可供选择的理论可能性，使经验世界能够在其中进行选择。这种新方法在第一卷的结尾得到了最有力的阐述：第11节：
我在此使用“吸引力”一词，泛指任何物体试图相互靠近的行为，无论这种行为是由于物体相互吸引或通过释放灵气相互作用而产生的，还是由于以太、空气或任何介质（无论有形或无形）的作用，以任何方式推动漂浮在其中的物体相互靠近。我使用“冲量”一词，也同样是泛指，本文考虑的不是力的种类及其物理性质，而是它们的数量和数学比例，正如我在定义中解释的那样。数学要求研究力的量及其比例，这些量及其比例源于任何可能假设的条件。然后，在物理学中，必须将这些比例与现象进行比较，以便找出适用于每种吸引物体的力的条件。最后，我们将能够更稳妥地论证这些力的物理种类、物理原因和物理比例。[P, 588]
新方法的第三个方面，也是当时最具争议的一点，是它愿意搁置关于力影响其运动变化的机制的问题，即使关于力的种类和比例的数学理论似乎除了超距作用之外别无选择。这一点在第一版中并未公开，但后来，为了回应它所收到的批评，在第二版末尾附加的“总论”中，我明确地论证了这一点：
我至今仍未能从现象中推导出引力这些特性的原因，我也没有提出任何假设。因为任何不是从现象中推导出来的东西都必须被称为假设；而假设，无论是形而上学的、物理学的，基于神秘性质的，还是机械的，在实验哲学中都没有地位。在这种实验哲学中，命题是从现象中推导出来的，并通过归纳法使其具有普遍性。物体的不可穿透性、运动性和动量，以及运动定律和引力定律都是通过这种方法发现的。只要引力确实存在，并且按照我们提出的定律运行，并且足以解释天体和海洋的所有运动，这就足够了。 [P, 943][3]
在十八世纪的大部分时间里，《原理》向哲学家们提出的主要挑战在于，在缺乏超距作用以外的机制来解释力的作用下，如何构建一个关于力的数学理论。然而，到了十八世纪的最后几十年，人们几乎没有质疑引力是否遵循牛顿所提出的定律，是否足以解释天体和海洋的所有运动。无人能否认，一门科学已经出现，至少在某些方面，它远远超越了以往的任何科学，以至于它成为了整个科学的终极典范。哲学家们面临的挑战首先是阐明这门科学所获得知识的确切性质和局限性，其次是阐明这一非凡进步是如何在方法论上实现的。以期使其他研究领域也能效仿。
2. 《自然哲学的数学原理》的历史背景
普遍的观点认为，牛顿提出引力理论是为了解释开普勒早已建立的轨道运动“定律”；而引力定律的普适性最终将偏离开普勒运动的现象归因于行星的引力相互作用。这种观点在多个方面都是错误的，其中最直接的一点是，开普勒的“定律”在《自然哲学的数学原理》之前根本没有建立。开普勒在17世纪前20年提出的轨道运动计算规则，其精度确实远超以往任何规则。然而，开普勒的规则在月球运动计算方面却无法达到同等的精度，即使是行星，计算出的位置有时也会偏差多达月球宽度的四分之一。更重要的是，到1680年，其他几种计算轨道的方法也相继被提出，但精度与开普勒的相同，只是略有不足。牛顿尤其熟悉七种不同的行星轨道计算方法，精度大致相同。其中只有开普勒和杰里迈亚·霍罗克斯的两种方法使用了开普勒的面积法则（行星相对于太阳在相等的时间内扫过相等的面积）来定位行星沿其轨道的位置。伊斯梅尔·布利奥和其后的托马斯·斯特里特（牛顿正是从他的《天文学》中学习到轨道天文学的）用几何构造取代了面积法则。文森特·温在17世纪60年代后期采用了另一种几何构造，此前他曾使用一个绕椭圆空焦点振荡的等角运动点；尼古拉斯·墨卡托在1676年又增加了一种几何构造。[4] 在这六种替代方法中，只有霍罗克斯和紧随其后的斯特里特认真对待开普勒的3/2幂律——行星的周期随其与太阳平均距离的立方的平方根而变化——以至于使用周期而不是位置观测来确定它们的平均距离。[5]
所有这些方法都遵循开普勒的思路，使用椭圆来表示轨道。（其主要历史原因是开普勒成功预测了1631年水星凌日。）然而，这并不意味着椭圆仅仅是作为真实轨道的一个数学上可处理的近似值而建立的。事实上，当时已知的行星轨道并非全都是椭圆形。水星的短轴仅比长轴短2%，火星的短轴仅比长轴短0.4%，而在其他所有情况下，椭圆和偏心圆之间的差异都无法察觉。牛顿在1686年6月写给哈雷的信中声称自己拥有椭圆形的“权利”，他有充分的理由声称自己拥有椭圆形，并指出“开普勒知道行星不是圆形而是卵形，并推测它是椭圆形的”[C, II, 436]。克里斯蒂安·惠更斯，这位最明智的《自然哲学的数学原理》初版读者，在阅读了牛顿寄给他的赠阅本后，在笔记本中独立地写下了对《自然哲学的数学原理》成就的如下总结：
著名的M.牛顿将所有难题连同笛卡尔涡旋一起抛在了一边；他证明了行星受太阳引力的作用而保持在轨道上。偏心行星必然会变成椭圆形。[OH, XXI, 143]
因此，在《自然哲学的数学原理》之后被称为“定律”的开普勒三条规则，在牛顿于1684年开始进行这项工作时，都被认为只不过是高度近似的。当时轨道天文学的主要问题并非开普勒规则为何成立，而是在各种精度相当的轨道计算方法中，哪一种（如果有的话）更可取。
椭圆很可能只是真实轨道的近似值，这解释了胡克在1679年向牛顿提出的问题以及哈雷在1684年再次向牛顿提出的问题的合理性——当一个物体受到指向中心物体的平方反比力的作用时，它的轨道是什么样的？这个问题中平方反比的部分源于将惠更斯在1673年出版的《钟摆钟》中发表的匀速圆周运动的数学理论与开普勒的3/2幂律相结合：一根弦中，物体沿匀速圆轨道运动时，受到的力与圆的半径成正比，与周期的平方成反比；但行星周期的平方与其平均距离的立方成反比；因此，至少在一级近似中，行星沿轨道运动时受到的力与其近圆形轨道半径的平方成反比。但现在允许轨道物体与中心的距离发生变化，而不是像圆圈那样保持不变。如果力指向中心，其变化与力始终指向的中心距离的平方成反比，那么会产生什么样的轨迹呢？1684年11月，牛顿寄给哈雷的九页论文《论运动的几何学》（De Motu Corporum in Gyrum）给出了答案：如果速度不太快，那么轨迹会是椭圆（如果速度很快，则根据速度，轨迹会是抛物线或双曲线）。推导出这个答案的关键一步是将匀速圆周运动推广到受“向心力”作用的运动——向心力是牛顿根据惠更斯的“离心力”创造的，他指的是使物体保持圆形的绳子的张力；而这一步的关键在于发现，在任何形式的向心力作用下运动的物体总是在相等的时间内扫过相等的面积，因此，推广匀速圆周运动的恰当时间几何表示是扫过的面积，而不是角度或弧长。这篇论文还证实，开普勒的3/2幂律对于在受平方反比向心力控制的共焦椭圆轨道上运行的天体仍然成立。
这些在当时是意义非凡的进步，但它们及其背后的问题仅仅是牛顿撰写《自然哲学的数学原理》的初始背景。《运动论》这篇论文寄到伦敦后不久，牛顿对其进行了修改，并增加了两段内容。促使这次修改的问题似乎是关于木星卫星所暗示的平方反比向心力对太阳的影响。牛顿首先补充了两条原理，他最初称之为“假设”，后来改为“定律”：
定律三：在给定空间内，无论该空间是静止的，还是作恒速匀速直线运动（非圆周运动），物体的相对运动都是相同的。
定律四：共同重心不会因物体间的相互作用而改变其运动状态或静止状态。[U, 267]
新增的两段文字中的第二段涉及阻力介质中的运动；它为阅读《自然哲学的数学原理》第二卷提供了背景。
新增的第一段文字被称为“哥白尼的注释”，我们在此全文引用，因为它比其他任何文字都更能解释牛顿进行进一步研究的原因，最终将这本九页的论文变成了五百页的《自然哲学的数学原理》。它原本是一个长段落，但为了便于评论，这里将其分为三段：
此外，行星天体的整个空间要么静止（正如人们普遍认为的那样），要么沿直线均匀运动；同样，行星的共同重心（根据定律4）要么静止，要么同时运动。无论哪种情况，行星之间的运动（根据定律3）都以相同的方式进行，并且它们的共同重心相对于整个空间静止，因此应该将其视为整个行星系统的静止中心。由此，哥白尼体系得到了先验的证明。因为，如果为行星的任何位置计算出一个共同重心，那么这个重心要么位于太阳体内，要么始终非常靠近太阳。
由于太阳偏离重心，向心力并不总是趋向于那个静止的中心。因此，行星既不是精确地沿椭圆轨道运行，也不会在同一轨道上公转两次。行星每次公转都会绘出一条新的轨道，月球的运动也是如此，而且每条轨道都取决于所有行星的综合运动，更不用说它们之间的相互作用了。除非我大错特错，否则同时考虑如此多的运动原因，并用易于计算的精确定律来定义这些运动，将超出人类的智慧所能及。
撇开这些细节不谈，所有奇异现象之间的平均简单轨道就是我已经讨论过的椭圆。如果有人试图通过三角计算从三次观测中确定这个椭圆（这是通常的做法），那他就是在轻率行事。因为这些观测结果会分担这里忽略的那些非常微小的不规则运动，从而导致椭圆与其实际的星等和位置（这应该是所有误差的平均值）略有偏差，因此，有多少个观测值三次，就会有多少个椭圆彼此不同。因此，必须将许多观测值组合在一起，并归于一个相互调节的单一操作，使其在位置和星等上都显示出平均椭圆。[U, 280]
第一部分突出了《数学原理》写作和阅读的历史背景的另一个组成部分。伽利略于1613年发现金星的相位，为推翻托勒密体系提供了决定性的证据[6]，但这并不能成为支持哥白尼体系优于第谷体系的理由。在第谷体系中，水星、金星、火星、木星和土星绕太阳运行，太阳绕地球运行。结果是，这七个天体始终处于与哥白尼体系相同的相对位置。能否找到任何决定性的经验依据来支持哥白尼体系而非第谷体系，成为十七世纪最著名的问题之一。开普勒、伽利略和笛卡尔都在十七世纪上半叶出版了旨在解决这一问题的重要著作[7]。开普勒和笛卡尔的论证基于各自提出的控制轨道运动的物理机制。尽管如此，十七世纪下半叶领先的观测天文学家G·D·卡西尼是一位第谷主义者。在《哥白尼注释》的第一部分，牛顿指出行星系统的重心是所有运动都应参考的恰当点——这是关于这两个系统争论背后的技术问题——然后他宣布，《论运动》一书中指出的支配轨道运动的向心力，为建立一种略加限定的哥白尼体系开辟了道路。[8] 牛顿发现这一推理思路无疑是促使他创作《自然哲学的数学原理》的一个重要因素。
