牛顿的自然哲学的数学原理（二）
《哥白尼注释》的第二部分探讨了轨道天文学中的一个问题，这个问题构成了《自然哲学的数学原理》历史背景的另一个组成部分。除了开普勒方法或其他方法哪个更优之外，还有一个问题：真实运动是否比这些方法中计算出的运动更加不规则和复杂。月球轨道的复杂性以及它一直未能像开普勒描述行星那样精确地描述出来，是这一问题背后的考虑因素之一。另一个因素来自开普勒自己的发现，他在《鲁道夫星表》[9]的前言中指出，后来其他人也认同这一发现，即真正的运动可能会更加不稳定，轨道要素值随时间推移的明显变化就是明证。然而，这一问题背后最重要的考虑因素来自笛卡尔的主张，即由于他的涡旋在很长一段时间内运动不断变化，轨道在数学上并不完美，“它们会随着时代的变迁而不断变化”[D, 3, 34]。在所引《注疏》的第二部分，牛顿得出结论，与胡克和哈雷提出的数学问题的椭圆不同，真正的轨道不是椭圆，而是极其复杂的形状。这一结论在已出版的《数学原理》中从未如此有力地阐述，但知识渊博的读者仍然认为，该著作回答了真实运动是否在数学上完全相反的问题。
最后，第二部分和第三部分不仅指出开普勒运动只是真实运动的近似值，而且还提醒人们注意使用开普勒等人发表的轨道作为行星系统论证的证据可能存在的风险。例如，如果真实运动如此复杂，那么所有不同的计算方法都达到相当的精度也就不足为奇了，因为它们充其量只是近似成立。同样，轨道计算的成功并不能成为反驳笛卡尔涡旋的依据，因为由此引发的不规则性无法被简单地忽略。牛顿在早期关于光与色论文的争议中反对的正是这个幽灵：为了拟合相同的数据，可以提出太多的假设。[10] 更糟糕的是，自16世纪末以来，众多站得住脚的假设就像一个幽灵，萦绕在数学天文学这门学科的周围。[11] 因此，计算出的轨道最多只能是近似值这一结论，会被视为提出了这样一种可能性：真理和精确性超出了数学天文学的范围。《自然哲学的数学原理》之所以涵盖了《运动论》领域之外如此之多的内容，主要原因是牛顿努力得出那些尽管实际运动极其复杂，却仍然声称是精确和真实的结论。
牛顿撰写《自然哲学的数学原理》的历史背景涉及一系列问题，初版读者认为该书旨在解决这些问题：开普勒的轨道计算方法，还是其他方法更可取？是否存在一些经验基础来解决哥白尼体系与第谷体系之间的矛盾？相对于计算得出的运动，真实的运动是否复杂且不规则？数理天文学能成为一门精确的科学吗？当时，没有一位《自然哲学的数学原理》读者有机会看到牛顿在“哥白尼注释”中是如何将这些问题联系在一起的，因为这篇注释直到两百年后才出版。[12] 然而，更清晰地展现了《自然哲学的数学原理》范围的扩大，其根源在于牛顿专注于从他认为最多只能达到高度近似的证据中得出堪称精确的结论。正因如此，“哥白尼的注释”为解读《自然哲学的数学原理》提供了最具启发性的背景。同样，它长期不为人知也解释了为什么《自然哲学的数学原理》通常被解读得如此简单。
3. 《自然哲学的数学原理》的三个版本[13]
牛顿最初计划写一部两卷本的著作：第一卷包含从运动定律中数学推导出来的命题，其中包括一些关于阻力作用下运动的命题；第二卷的写作甚至格式都模仿笛卡尔的《自然哲学的数学原理》，运用这些命题来阐述世界体系。到1686年中期，牛顿的著作结构已改为三卷本，第二卷专门探讨阻力介质中的运动。似乎正是由于钟摆衰减实验的前景，他才确信这个主题需要另辟蹊径，因为他相信实验可以测量阻力随速度的变化。[14] 当胡克提出平方反比力的优先性时，牛顿放弃了最后一本书的原版，转而以一系列经过数学论证的命题来呈现世界体系，其中许多命题对读者的要求远高于原版中的任何内容。《世界体系》的原版在牛顿去世后一年才出版。第一卷原版的完整文本至今仍未找到。
牛顿对第一版的批评反应感到失望。在英国，人们的反应是一片赞誉，但未能注意到细节问题，必定让牛顿怀疑究竟有多少人掌握了技术细节。欧洲大陆的科学泰斗克里斯蒂安·惠更斯在其著作《引力成因论》（1690）中对这本书做出了褒贬不一的评价。一方面，他被牛顿的论证所说服，认为平方反比的地球引力不仅延伸到月球，而且与维持行星在轨道上运行的向心力是同一种力；另一方面，
我并不特别赞同他在这个计算和其他计算中提出的一个原理，即我们能想象到的两个或多个不同物体中的所有微小部分都会相互吸引或趋向于相互靠近。我无法接受这一点，因为我相信我清楚地认识到，这种吸引力的成因既无法用任何力学原理也无法用运动定律来解释。我完全不相信整个物体之间相互吸引的必要性，因为我已经证明，即使没有地球，物体也不会因为我们所谓的引力而停止趋向中心。[HD，第159页]
欧洲大陆的其他人对此的抱怨甚至更加强烈。最让牛顿感到困扰的回应可能是《学徒杂志》上的评论：
牛顿先生的著作是一门力学，是人们所能想象到的最完美的力学，因为不可能做出比他在前两本书中给出的论证更精确或更准确的论证……但必须承认，这些论证只能被视为力学的；事实上，作者在第四页末尾和第五页开头承认，他并非以物理学家的身份，而是以一个普通的几何学家的身份来思考这些原理……为了使一部作品尽可能完美，牛顿只需给我们一部像他的《力学》一样精确的物理学著作。当他用真实的运动代替他所假设的运动时，他就能给出这样的物理学著作。[15]
莱布尼茨于1689年发表的《天体运动原因论》使问题进一步复杂化。该书提出了一个涡旋理论，认为“行星的运动具有双重运动，既包括其流体均流轨道的谐波环流，也包括其仿佛具有某种引力的近心运动，即朝向太阳的冲力”[L, 132]。[16]莱布尼茨进一步得出结论：当物体“沿椭圆（或其他圆锥曲线）运动，并伴有谐波环流，且吸引力和环流中心均位于椭圆的焦点时，引力的吸引力或引力大小将与环流的平方成正比，或与半径或距焦点距离的平方成反比”[L, 137]。因此，在《自然哲学的数学原理》发表后的一年半内，出现了一种与开普勒运动相竞争的涡旋理论，该理论与牛顿的结论一致，即开普勒运动中的向心力与平方成反比。这促使牛顿在《自然哲学的数学原理》中进一步强化反对涡旋的论证。
第二版出版于1713年，距第一版出版已有26年。该版有五处值得注意的实质性修改。首先，第三卷开头关于万有引力的论证结构变得更加清晰，“假设”一词被删除。其次，由于对钟摆衰减实验的失望，以及关于液体垂直流过容器底部小孔的速率的错误断言，第二册第七部分的后半部分被完全替换，最后增加了新的垂直下落实验来测量阻力与速度的关系，并强烈声明否定所有涡旋理论。[17]第三，对表面重力随纬度变化的处理（第三册，命题20）得到了显著扩展，部分是为了回应惠更斯对这种变化的替代处理，也是因为最近有更多来自赤道附近的数据。第四，对产生分点岁差的地球摆动的处理进行了修订，以适应月球对地球的引力比第一版小得多。第五，在第三册末尾增加了几个彗星的例子，利用哈雷在其间几年在这个主题上的努力。除此之外，还有两项修改，争议性大于实质性：牛顿在第二版第三卷后添加了“总括注释”，他的编辑罗杰·科茨则撰写了一篇冗长的反笛卡尔（也反莱布尼茨）式的前言。
第三版出版于1726年，距离第一版出版已过去了三十九年。其中的大部分修改要么是改进，要么是新增了数据。最重要的实质性修订是关于表面重力随纬度的变化，牛顿现在得出结论，数据表明地球的密度是均匀的。后续的版本和译本都基于第三版。尤其值得注意的是两位耶稣会士勒瑟尔和雅基耶于1739-42年出版的版本，因为它包含逐个命题的注释，其中大部分运用了莱布尼茨式的微积分，篇幅与牛顿的正文大致相同。
4. “定义”与绝对空间、时间和运动
《自然哲学的数学原理》以“定义”一节开篇，其中包含牛顿对绝对空间、时间和运动的讨论。自《自然哲学的数学原理》出版以来的三个世纪里，没有哪一部分比它更受哲学家们的关注。然而，不幸的是，由于人们往往没有仔细阅读正文，导致许多讨论产生了不必要的混乱。[18]
这些定义告知读者，关键的技术术语（所有这些术语都表示量）将如何在《自然哲学的数学原理》中使用。在此过程中，牛顿引入了一些此后一直是物理学一部分的术语，例如质量、惯性和向心力。每个定义的重点都在于如何测量指定的量，正如开篇定义所示：“物质的量（或质量）是物质的量度，它由其密度和体积共同决定。” （由于当时密度的主要量度是比重，因此这里没有出现圆度。）牛顿区分了三种量化向心力的方式：绝对量，它对应于我们所说的中心力场的场强；加速度量，“是与给定时间内产生的加速度成比例的力的量度”；以及动力量，是与给定时间内线性动量的变化成比例的力的量度。
重要的是要认识到，在将定义术语的指称称为“量”时，牛顿将它们归入亚里士多德意义上的量本体论范畴。因此，力和运动是既有方向又有大小的量。将力视为个体实体或物质毫无意义。牛顿运动定律及其推导的命题涉及的是量之间的关系，而非物体之间的关系。我们用“没有确定比例的量”来代替“没有同一性的实体”[19]；测量的要求是提供能够明确地给出这些确定比例的适当近似值的数值。
紧接着这八个定义，是关于空间、时间和运动的注释。关于这篇注释的文献中造成混淆的一个原因是没有注意到牛顿做出的主要区分，即“绝对的、真实的、数学的”运动与“相对的、视在的、常见的”运动之间的区别。当然，真运动和视在运动之间的这种简单的区分是完全常见的。此外，牛顿几乎没有将其引入天文学。托勒密在轨道天文学方面的主要创新——所谓的偏心率二分法——意味着，行星运动中观测到的第一个不等式，一半源于速度的真实变化，另一半源于与观察者偏离中心相关的唯一视变化。同样，哥白尼的主要观点是，第二个不等式——即观测到的行星逆行运动——涉及的不是真实运动，而只是视运动。哥白尼体系和第谷体系之间随后的争论点在于，观测到的太阳穿过黄道带的周年运动是真实运动还是仅仅是视运动。因此，牛顿在空间和时间的注释中所做的并非引入新的区分，而是更细致地阐明一个几个世纪以来一直是天文学基础的区别。
“绝对”和“时间”之间的区别牛顿在阐述运动的相应区别时，所使用的概念基础是“真实的、数学的”和“相对的、表观的、常见的”时间和空间。他说：“相对的、表观的、常见的时间是对运动持续时间的任何可感知的、外部的（精确或不精确的）测量”，并补充了关于绝对空间的对应观点。他指出，绝对时间和相对时间之间的区别早已成为天文学的一部分，因为天文学家早已通过时间等式对自然日进行了修正，“以便根据更真实的时间测量天体运动”，他还提出了“不存在可以精确测量时间的匀速运动”的可能性。绝对运动被定义为在绝对空间中从一个位置到另一个位置的变化。“但由于这些空间部分无法被我们的感官看到，也无法彼此区分，我们用感性尺度来代替它们，”并补充道，“可能不存在一个真正静止的物体，无法将位置和运动归于其上”[P, 410]。简而言之，绝对时间和绝对位置都是无法观察到的量，而必须通过相对时间和位置的测量来推断，而且这些测量始终只是暂时的；也就是说，它们始终有可能被某种新的（仍然是相对的）测量方法所取代，这种新的测量方法被认为在各种现象中表现得更好，就像恒星时被认为优于太阳时一样。
请注意，这里表达了对测量绝对的、真实的、数学的时间、空间和运动的关注，所有这些在注释的开头都被定义为量。因此，八个定义之后的注释继续关注那些能够赋予相关量值的度量。牛顿明确承认，这些度量正是我们现在所说的理论中介的、暂时的。测量是《自然哲学的数学原理》的核心。它贯穿于空间和时间的定义和注释之中，正是因为本节的重点是阐明（用霍华德·斯坦的话来说）“一组理论概念的经验内容”[Stein, 1967, 281]。
因此，虽然牛顿对绝对时间和相对时间和空间的区分为他阐明绝对运动和相对运动之间的区别提供了概念基础，但绝对时间和空间本身无法通过经验推理直接进入经验推理，因为它们本身无法通过经验获得。换句话说，《自然哲学的数学原理》为了概念化测量的目的而预设了绝对时间和空间，但测量本身始终是相对时间和空间的，而首选的测量方法是那些被认为能够最好地近似绝对量的测量方法。牛顿在他的经验推理中从未预设绝对时间和空间。行星系统中的运动指的是恒星，它们暂时被用作测量的合适参考，而恒星时暂时被用作绝对时间的首选近似值。此外，在运动定律的推论中，牛顿明确地在两种情况下放弃了对绝对运动与相对运动的担忧：
推论5. 当物体被封闭在给定空间中时，无论空间是静止的，还是匀速直线运动而非圆周运动，它们相对于彼此的运动都是相同的。
推论6：如果物体以任何方式相对于彼此运动，并且受到沿平行线的相等加速力的推动，它们都将继续以与没有受到这些力作用时相同的方式相对于彼此运动。
因此，虽然《自然哲学的数学原理》为了概念化绝对运动而预设了绝对时间和空间，但所有关于实际运动的经验推理所依据的预设在哲学上都更为温和。
如果绝对时间和空间不能在经验上区分绝对运动和相对运动——更准确地说，是绝对运动和相对运动的变化——那么什么可以呢？牛顿回答说：“区分真运动和相对运动的原因是施加在物体上以产生运动的力。真运动既不会产生也不会改变，除非施加在运动物体本身上的力。”问题随后变成了如何区分施加于物体上的力，因为力是量；因此，关键在于是否存在基于理论的测量方法，能够得出明确的数值——这与对同一力进行不同的测量得出不同的数值（相对运动的标志）形成对比。接下来著名的水桶示例旨在说明如何区分力，从而区分真运动和视运动。该注释的最后一段开头和结尾如下：
找出单个物体的真实运动并将其与视运动区分开来，无疑是非常困难的。因为物体真正运动的那个不动空间的部分不会给感官留下任何印象。但情况并非完全没有希望……接下来，我将更全面地解释如何根据运动的原因、结果和表观差异来确定真正的运动，反之，如何根据运动（无论是真实的还是表观的）来确定其原因和结果。正因如此，我才撰写了以下论文。[P, 414f]
接下来是两本命题书，它们提供了从运动推断力和从力推断运动的方法，最后一本书则阐述了如何将这些命题应用于世界体系：首先，识别支配我们行星系统运动的力，然后利用它们来区分某些特别感兴趣的真实运动和表观运动。在这方面，牛顿在“定义”一节中阐明的理论概念的经验内容与《自然哲学的数学原理》其余部分中提出的物理理论密不可分。
《自然哲学的数学原理》中的经验推理并不预设一种不受约束的绝对时间和空间，这一论点不应被理解为暗示牛顿理论摆脱了关于时间和空间的一些基本假设，而这些假设后来已被证明是有问题的。例如，在空间方面，牛顿预设了决定哪些线是平行的以及两点之间距离的几何结构是三维的和欧几里得的。在时间方面，牛顿预设了，在对光速等因素进行适当修正后，关于两个天体事件是否同时发生的问题，原则上总能有一个明确的答案。而诉诸力来区分真实运动和表观非惯性运动，其前提是，重力作用下的自由落体至少在原则上总能与惯性运动区分开来。[20]
同样，《自然哲学的数学原理》中的经验推理并不预设一种不受约束的绝对空间，这一论点不应被理解为否认牛顿援引绝对空间作为概念化真实惯性运动偏差的手段。上文引用的运动定律推论5使他能够引入惯性系的概念，但他并没有这样做，或许部分原因是推论6表明，即使使用惯性系来定义惯性运动偏差也不够。然而，从经验上看，《自然哲学的数学原理》在处理天体相对于恒星的运动时遵循了天文学的实践，其关键的经验结论之一（第三卷，命题14，科罗尔1）是，恒星相对于我们行星系统的重心是静止的。
5. 牛顿运动定律
“运动定律”这一名称在17世纪60年代后期的英国皇家学会《哲学汇刊》中曾用于描述克里斯托弗·雷恩、约翰·沃利斯和克里斯蒂安·惠更斯提出的关于撞击下运动的原理。牛顿在《自然哲学的数学原理》中提出的三个定律中，只有第一个定律与这些定律中的任何一个相对应，甚至对它的表述也截然不同：每个物体都保持其静止状态或匀速直线运动状态，除非它被施加的力迫使其状态改变。这一普遍原理，在牛顿的带领下，这一原理被称为惯性原理或定律，自 1641 年皮埃尔·伽桑狄的《De motu impresso a motore translato》出版以来就一直在印刷中。牛顿第一次在印刷品中接触到这一原理可能是在阅读笛卡尔的《自然哲学的数学原理》时，该原理由笛卡尔的前两个“自然定律”组成，并立即被用来断言“任何做圆周运动的物体都倾向于远离它所描绘的圆心”。这是笛卡尔得出结论的基础，他认为某种看不见的物质（即涡旋）一定与行星接触，否则它们就会沿直线运动。这是惠更斯在 1673 年的《钟摆论》中发展其“重物下落及其摆线运动”理论的三个假设中的第一个：如果没有重力，并且空气不阻碍物体的运动，那么任何物体都会以均匀的速度沿直线继续其既定运动。牛顿在《运动论》的注册版本中将其作为“假设”，尽管并未提及施加力：每个物体在其固有力的唯一作用下都会沿直线均匀移动，除非有外来物质阻碍它。《自然哲学的数学原理》与《运动论》的表述之间的显著区别——事实上，与所有早期印刷版的表述之间的显著区别在于施加力。在所有早期的表述中，任何偏离均匀直线运动的行为都意味着存在阻碍运动的物质障碍；在《原理》中更为抽象的表述中，暗示了外加力的存在，但这种力是如何产生的问题尚未解决。牛顿第二定律的现代 F=ma 形式从未出现在《数学原理》的任何版本中，尽管在雅各布·赫尔曼 1716 年出版的《原理》第二版和第三版之间，他的第二定律曾以这种形式被印刷出版。相反，它在三个版本中都采用以下表述：运动的变化与施加的动力成正比，并沿着施加该力的直线进行。在《数学原理》的正文中，这条定律既适用于离散情况，例如瞬时冲量（例如冲击产生的冲量）导致运动的变化，也适用于连续作用的情况，例如物体在阻力介质中连续减速时的运动变化。因此，牛顿似乎有意让他的第二定律在离散力（即我们现在所说的冲量）和连续力之间保持中立。 （他用比例而不是等式来表述该定律，绕过了我们认为在将定律视为两者之间中性时单位不一致的问题。）
