牛顿的自然哲学的数学原理（三）
关于第二定律，一个显而易见的问题是牛顿所说的“运动的变化”是什么意思。如果他指的是我们称之为动量的变化——也就是说，如果他指的是现代符号Δmv——那么正确的表述应该是“运动量的变化”。在17世纪90年代初牛顿试图重构《自然哲学的数学原理》时所写的一段话中，他解释了他的意思：
设物体A[见图1]在其受力位置A处发生运动，当该物体匀速连续运动时，它将沿着直线Aa运动，但受力作用，它将
图1
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从这条直线偏转到另一条直线Ab，而当它应该位于a处时，在位置 b 处被发现，那么由于物体在不受外力作用时会占据位置 a，并被该力从该位置推出，进而转移到位置 b，因此，按照本定律，物体从位置 a 到位置 b 的平移将与该力成比例，并且指向与施加该力相同的目标。因此，如果同一物体失去所有运动，并受到相同方向的相同力的作用，可以在同一时间从位置 A 移动到位置 B，则两条直线 AB 和 ab 将平行且相等。因为，按照本定律，相同的力以相同方向和时间作用于同一物体（无论其处于静止状态还是进行任何运动），都将实现朝向同一目标的相同平移；在本例中，物体在受力之前处于静止状态时平移 AB，在运动状态下平移 ab。 [M, 541]
换句话说，运动变化的量度是物体在给定时间后未受力时本应所在位置与该时间后所在位置之间的距离。这与当时普遍用于测量表面重力加速度强度的量度一致，即物体从静止开始垂直下落的第一秒的距离。牛顿唯一需要做出的特殊规定是针对非均匀连续作用力，根据引理10，他取距离AB“在运动开始时按时间的平方变化”。[21]
如果这种解释第二定律的方式看起来有悖常理，请记住，牛顿在《原理》中使用的几何数学——以及在他之前其他人使用的几何数学——无法将加速度本身表示为一个量。当然，牛顿可以在符号演算的框架内将加速度概念化为距离对时间的二阶导数。这确实是雅各布·赫尔曼在1716年的《力学原理》（以及欧拉在18世纪40年代提出的第二定律）中提出的形式。但《原理》中使用的几何数学没有提供表示二阶导数的方法。（牛顿在整部《原理》中都使用曲率——即圆“与曲线相切”——来代替距离的二阶导数）。因此，牛顿很自然地坚持使用长度作为力产生的运动变化的度量的既定传统，即使忽略了这种度量的优势，即允许该定律涵盖离散作用力和连续作用力（在连续情况下，给定时间取极限值）。
按照这种解释，牛顿第二定律在当时似乎并不新颖。撞击的后果也被解释为物体在未遭受撞击时在给定时间后的位置与撞击后在给定时间后的位置之间的距离，而这个距离的大小取决于撞击物体的相对体积。此外，惠更斯对离心力（即在他的《时序振荡原理》中，他描述了匀速圆周运动的物体（弦的张力），用物体沿直线继续运动时的位置与在极小时间内它在圆周上的位置之间的距离作为力的量度；然后他补充说，弦的张力也与物体的重量成正比。因此，按照上述方式解释，牛顿第二定律的新颖之处仅在于它用质量取代了体积和重量。[22]
在《自然哲学的数学原理》的早期阶段，牛顿已经为第三定律确定了三个逻辑上等价的替代方案：他最终选择的作用-反作用原理，我们称之为线性动量守恒原理（《自然哲学的数学原理》中的推论3），以及“两个或多个物体的共同重心，无论其运动状态还是静止状态，都不会因物体间的相互作用而改变”（推论4）。惠更斯曾指出，这两条原理都源于他关于碰撞球体的解法，而正如牛顿所强调的，重心原理只不过是惯性原理的推广。尽管他的第三定律与另外两条定律相比新颖[23]，牛顿仍然选择了它，而将另外两条定律降为推论。关于这一选择，有两点值得商榷。首先，第三定律是一个局部原理，而它的两个替代原理则是整体原理，而且牛顿与当时欧洲大陆的力学界人士不同，他通常更倾向于将基本原理视为局部原理，或许是因为这些原理的证明负担较小。其次，在选择第三定律时，这三条定律都明确地涉及外加力：第一定律允许推断外加力作用于物体，第二定律允许推断外加力的大小和方向，第三定律允许推断产生外加力的物体上存在相应的力。就此而言，牛顿的三条运动定律确实是描述外加力的公理。真实力与科里奥利力（牛顿完全了解这些力，尽管当然不是以这个名称命名的）等表观力不同，第三定律以及前两条定律也适用于真实力，因为只有通过这条定律，才能将真实力以及由此产生的运动变化与表观力区分开来。
牛顿表示他的前两条定律已经“被数学家接受，并被各种实验证实”[P, 424]。[24] 相比之下，对于第三定律，他提供了多种形式的支持，包括撞击实验。在他对第三定律证据的讨论中（以及在推论2中），一个重要因素变得清晰起来：牛顿施加的力与静力相同，后者在水平仪和天平等装置的平衡理论中已经应用了一段时间。牛顿并非引入了一种新的力的概念，而只是扩展了一种我们熟悉的力的概念。事实上，惠更斯在其著作《钟摆钟》中也运用了这种静力的概念，他将离心力等同于使物体保持圆周运动的绳子上的张力（或作用于墙壁上的压力），这与重物对其悬挂的绳子施加的张力有着明显的类比。惠更斯的离心力理论超越了传统的静力处理方式，仅仅在于它根据物体的圆周运动推断出力的大小。牛顿超越惠更斯的创新之处在于，首先，他不再关注作用于弦上的力，而是关注作用于运动物体的关联力；其次，他将这种力从其作用于物体的机制中抽象出来。因此，从我们熟悉的静力过渡到更抽象的牛顿“动”力，需要三个步骤：惠更斯迈出了第一步，牛顿迈出了第二步。[25]
与惠更斯离心力理论的连续性在另一个方面也很重要。牛顿在对前两个运动定律的简短辩护中指出：“关于摆锤振动时间的证明，取决于相同的前两个定律和前两个推论，这得到了日常钟表经验的支持。”[P, 424]在惠更斯的《钟摆钟》中，唯一与第二定律表面相对应的是离心力和匀速圆周运动理论。惠更斯提出的理论延伸到了圆锥摆，包括他指出比简单摆钟更具优势的圆锥摆钟。17 世纪 70 年代，牛顿曾使用圆锥摆来证实惠更斯宣布的用简单摆线针轮摆和小弧圆摆测量的表面重力强度值。[26]（惠更斯本人也曾用圆锥摆测量过表面重力强度，所得值与用单摆测量的数值精确到四位有效数字。[27]）这两个理论介导的表面重力测量值（其中一个基于牛顿前两个运动定律，另一个则不然）之间的精确一致性，事实上，在《数学原理》首次出版时，这构成了前两条定律的最有力证据。因为，单摆测量是已知的，稳定且精确到四位有效数字。因此，作为测量力的基础，前两条定律的证据比人们通常认为的要有力得多。
除了将第二定律的F=ma形式归于《数学原理》之外，关于牛顿三条运动定律最普遍的错误是，认为仅凭这三条定律就足以解决所有经典力学问题。那些在18世纪发展了我们现在所说的牛顿力学的人始终意识到这是多么偏离事实。牛顿三条运动定律足以解决欧拉所称的“点质量”问题。事实上，一旦给定作用于点质量的力，这三条定律对所有点质量都成立，包括那些位于物体内部的点质量。但是，对于一系列涉及物体（无论是刚性的还是非刚性的，只要它们并非单纯的质点）的著名问题，这三大定律必须辅以进一步的原理。当时最简单、最突出的例子或许是一个小弧度圆摆的问题，该摆的弦上有两个（或更多）质点摆。惠更斯在其《钟表学》的“振心”部分中解决了这个问题，并为使用附加质量来调整摆钟提供了理论基础。[28] 牛顿三大运动定律必须加以补充才能解决这个问题的原因显而易见。考虑一个摆，其沿着一根刚性弦的长度方向有两个质点。外侧的质点会降低内侧质点的速度，与没有外部质点时相比，内部质点的速度会增加外部质点的速度。换句话说，运动沿着连接它们之间的弦段从内部质点转移到外部质点。一旦知道了沿着弦传递到每个质点的力，牛顿三大运动定律就足以确定运动。但这三大定律不足以确定沿着弦传递的力是什么。需要一些超越这些定律的其他原理来解决这个问题。在解决这个问题时，应该优先使用哪种原理成为一个贯穿整个十八世纪的著名议题。[29]
6. 《数学原理》第一卷
第一卷发展了向心力作用下运动的数学理论。按照欧几里得的传统，从运动定律中数学推导出的命题要么被称为定理，要么被称为问题。这些定理都具有“如果-那么”的形式，使得它们能够根据前提推断出后件。[30] 但实际上，这些问题也具有“如果-那么”的逻辑形式，因为它们提供的（几何风格的）解允许从给定信息推断出未知数。因此，思考这些推导命题的最佳方式是将其视为“推理票”。因此，这些命题分为三类：(1) 从运动信息得出关于力的结论的命题，(2) 从力的信息得出关于运动的结论的命题，以及 (3) 从作用于物体各个部分的（贡献）力的信息得出关于作用于整个物体的（净）力的结论的命题。牛顿的向心力运动数学理论与伽利略和惠更斯发展的运动数学理论之间的根本区别在于，牛顿的理论是通用的。伽利略和惠更斯研究了一种力——均匀引力，目的是推导出可检验的推论。牛顿的理论不仅涵盖了以1/r²为单位变化的力（《自然哲学的数学原理》正是以此而闻名），还涵盖了以r、以1/r³为单位变化的力，甚至以r的任意函数为单位变化的力。在第11节的结尾，他给出了一个先前引用的理由：
数学需要研究力的量及其比例，这些量及其比例是由任何可以假设的条件得出的。然后，在物理学中，必须将这些比例与现象进行比较，以便找出哪些力的条件适用于每种吸引体。最终，我们才有可能更可靠地论证这些力的物理种类、物理原因和物理比例。 [P, 588f]
他还有其他理由。引力理论认为，均匀致密球体表面以下的重力随距中心的距离线性变化，因此，至少在一级近似中，地球表面以下的重力就是这样变化的。以1/r3为单位变化的向心力成立，当且仅当轨道为螺旋形；[31] 并且，对于任何受向心力支配的静止轨道，1/r3向心力的叠加将导致该轨道进动，就像月球轨道的情况一样。[32] 尽管如此，牛顿的主要理由似乎还是引文中给出的那个。
牛顿只顺便提到过一次一个奇怪的方面，即该理论并没有涵盖所有“可以假设的条件”。牛顿理论处理的向心力仅随距力心距离的变化而变化，也就是说，作用于两个距离力心等远的物体上的力始终相同。它不处理随θ和φ（(r, θ, φ)球坐标的两个角分量）变化的向心力。这一点值得注意，原因有二。首先，笛卡尔涡旋中产生的向心力几乎肯定会随这两个角分量而变化，因此牛顿在不言中提出了一个问题。其次，正如牛顿本人在第一卷第13节中认识到并指出的那样，围绕椭球体的引力并非简单地随1/r²的变化而变化，还必须随纬度的变化而变化。[33] 因此，从牛顿的角度来看，围绕木星和地球，当然还有太阳的引力，并非简单地随1/r²的变化而变化。这是许多经常被忽视的线索之一，这些线索表明《自然哲学的数学原理》中的证据推理在多大程度上比当时甚至现在人们所认识到的更为复杂和微妙。
第一卷直到第十节的结尾，讨论的都是指向几何中心而非物体的力。因此，直到第一卷的后半部分，只有前两个运动定律被纳入证明之中。更进一步，随着牛顿理论的发展到那时，他只使用了加速度的力的测量，因此甚至质量也不起作用。这一部分包含了第一卷迄今为止最广为阅读的部分：第二节，一般讨论向心力；第三节，阐述了牛顿的基本发现：物体沿圆锥曲线运动，在相同的时间内绕焦点扫过相同的面积。当且仅当运动受指向该焦点的平方反比向心力支配时。将这两部分视为第一卷的高潮，读者会将其描绘成一个简笔画，这不仅蒙蔽了读者，使他们看不到其中所发展理论的丰富性，也看不到其余部分得出的几个同样重要的结果。
第十一节的开篇段落宣称：“到目前为止，我一直在阐述物体被吸引到不可移动中心的运动，然而，这样的中心在自然界中几乎不存在……现在我继续阐述相互吸引的物体的运动。”[P, 561] 本节首先成功地解决了两个物体在平方反比相互吸引下的运动问题。然后，它转向两个以上物体的情况，对于这种情况，牛顿只能解决相互吸引随物体间距离线性变化的情况。对于平方反比的情况，牛顿仅给出了定性结果，其中大部分是命题66的22个推论，牛顿在第一版的前言中称这些推论“不完善”。所有这些推论都指出了一个物体绕另一个物体运行并被第三个物体吸引时的运动的定性趋势，其中大部分结果专门针对太阳对月球运动的扰动效应。因此，《自然哲学的数学原理》从第11节开始，脱离了“运动论”的范畴，开始考虑真实运动的复杂性。
第12节和第13节讨论了物体之间的吸引力，这种吸引力是由构成物体的每个微观物理粒子之间的向心力产生的（也由向心力构成）。第12节讨论了球形物体，第13节讨论了非球形物体。正如牛顿所预料的那样，在第一卷中，这部分内容最容易引起那些坚持认为所有力都涉及物体间接触的读者的不满。此外，在第一卷中，数学知识的难度也达到了前所未有的程度。这两部分主要关注平方反比力和随距离线性变化的力，但正如第一卷前面提到的那样，一些结果也适用于以其他方式变化的力，其中包括一些指向实验的结果，这些实验可能区分平方反比力和任何替代力。在命题78的注释中，牛顿特别指出了他认为最值得注意的这一研究结果：
我现在阐述了两种主要的吸引力情况：向心力随距离的平方比减小或随距离的简单比增大而导致物体沿圆锥曲线旋转；以及球形物体的向心力合成，其随距离中心的距离按同一定律减小或增大——这一点值得注意。 [P, 599][34]
这是牛顿在《自然哲学的数学原理》中少数几处以这种方式在旁注中单独列出结果的地方之一。在引力随距离线性变化的情况下，吸引球体可以被视为质量集中在其中心，这一点并不引人注目，因为正如牛顿在第13节中所示，在这种引力情况下，吸引物体总是可以被视为质量位于其重心，无论其形状如何。真正值得注意的是，在平方反比力的情况下，球体也是如此。第12节和第13节中的后续结果表明，对于所有其他类型的向心力，对球体的吸引力不同于对集中在球心的所有质量的吸引力；即使在平方反比的情况下，该结果也不适用于其他形状或密度非球对称的球体。
虽然牛顿没有明确指出第一卷的其他结果，但其中一些值得在此评论。牛顿向心力运动理论的关键在于他发现了如何将他和惠更斯获得的匀速圆周运动中向心力的解推广到非圆形轨迹。图2显示了牛顿在第一版中对此推广的图示。首先假设轨迹APQ是半径为SP的圆的一部分，位于P点的物体沿该圆做匀速运动。牛顿和惠更斯都推论，切线位移QR与保持物体在其圆形轨道上运动的力与物体从P点移动到Q点所需时间t的平方的乘积成正比。
图2
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因此，力的变化为QR/t²。但时间与PQ除以速度v成正比，并且在极限情况下，当Q趋近于P点时，PQ趋近于PR，因此t²等于PR²/v²。欧几里得第三卷命题36蕴含着，在此极限情况下，PR²等于QR与两倍半径SP的乘积，因此，圆周匀速运动所需的力的变化为v²/SP或v²/r。[35]
牛顿命题6将这一结果推广到在向心力作用下沿任意轨迹运动的物体，该轨迹在相等的时间内扫过相等的面积，这与第一卷命题1一致。P 点的中心力再次与在短时间内切线 QR 的位移除以该时间的平方成正比；但现在时间不再与弧度 PQ 成正比，而是与扫过的面积成正比，在 Q 接近 P 的极限下，该面积是三角形面积 SPxQT/2。因此，为了使物体沿给定的非圆形轨迹运动，向心力沿轨迹的变化量必须为 (1/SP²)——即 1/r²——乘以 (QR/QT²) 极限，此时 Q 趋近于 P。在第二版中，牛顿增加了一个推论，展示了另一种将结果视为匀速圆周运动推广的方式：沿轨迹的向心力处处都为 v²/(ρsinSPR) 变化，其中 ρ 是轨迹在 P 点的曲率半径。由此，物体可以被视为由与运动方向相切的力的分量驱动，从一个瞬时圆周运动到下一个瞬时圆周，而这个分量在匀速圆周运动的情况下消失。
牛顿用一系列例子说明了命题 6 的价值，其中最重要的两个例子涉及椭圆运动。如果力心位于椭圆的焦点S处，则(QR/QT²)的极限处处等于椭圆的广角常数的一半，因此力的变化速度为1/SP²或1/r²。但如果力心位于椭圆的中心C处，则力的变化速度为PC，即与r呈线性关系。这种对比引出了一个有趣的问题。如果运动发生在椭圆上，焦点非常靠近中心，而力心又不确定是否恰好位于焦点，那么可以得出什么结论呢？牛顿清楚地注意到了这个问题，并在第二节结尾的注释中提供了解答的方法。第10节包含一个在《数学原理》相关文献中基本上被忽视的、具有重要哲学意义的结果。牛顿关于地球引力延伸至月球的论证，关键依赖于惠更斯对表面引力强度的精确测量。这种基于理论的测量基于摆线摆在均匀重力作用下沿平行线朝向平坦地球时的等时性[36]。然而，重力指向（近乎）球形的地球中心，其方向并非相互平行，而根据牛顿理论，重力并非均匀分布。那么，惠更斯的测量在《数学原理》的背景下是否不再有效？牛顿意识到了这个问题，并在命题48至52中解决了这个问题，他将惠更斯的摆线摆理论扩展至内摆线摆——即当生成圆沿球体内部而不是平面滚动时产生的摆线路径。命题52表明，这样的摆虽然在平方反比向心力的作用下不具有等时性，但在随到中心距离线性变化的向心力的作用下却是等时的。由于重力在均匀密度球体表面以下呈线性变化，内摆线摆在球体表面以上是等时的，因此原则上可以用来测量重力强度。该命题的一个推论进一步指出，随着球体半径无限增大，其表面趋近于平面，内摆线摆定律渐近于惠更斯摆线摆定律。这不仅证实了惠更斯对表面重力的测量，而且还提供了一个公式，可用于确定使用惠更斯理论而非内摆线摆理论所产生的误差。
因此，牛顿在第10节中不辞辛劳地证明了，惠更斯在均匀平行重力下的摆理论是牛顿在万有引力下的摆理论的一个极限情况。在第2节的结尾，他顺便指出，这种极限策略也适用于伽利略的抛射运动理论。换句话说，牛顿不辞辛劳地证明了，伽利略-惠更斯在均匀重力下的局部运动理论是他的万有引力理论的一个特例极限情况，就像爱因斯坦不辞辛劳地证明了牛顿引力是广义相对论引力理论的一个极限情况一样。牛顿这样做的主要原因似乎是需要验证一个对第三卷中万有引力证据推理至关重要的测量。然而，从哲学的角度来看，引人注目的不仅仅是他认识到了这一需要，更在于他为实现这一需要所付出的努力。第十节或许最能说明牛顿将所有内容纳入《自然哲学的数学原理》的明确理由。
