牛顿的自然哲学的数学原理（四）
第九节包含了另一个经常被忽视的结果，它对第三卷中万有引力的证据推理至关重要。命题45将前面提到的进动轨道结果应用于近圆形轨道的特殊情况，即类似于当时已知的行星及其卫星的轨道。该命题确定，在纯向心力作用下，此类轨道是静止的——也就是说，不进行进动——当且仅当控制它们的向心力恰好是平方反比。它通过推导一个公式来实现这一点，该公式将力定律中的指数 n 与轨道体距离力中心最远的点到最近的点之间的角度 θ 联系起来，也就是拱点角：n = (180/θ)2-3。（举例来说，如果拱点角是 180 度，比如开普勒椭圆，那么力定律中的指数就是 -2；如果拱点角是 90 度，比如力中心位于中心的椭圆，那么指数就是 +1。）这个结果在三个方面引人注目。首先，因为即使是非常小的进动，在几次旋转后也能检测到累积效应，这个公式将进动率（每转 2θ）转化为力定律中指数的灵敏量度。其次，它给出了一个超越“如果轨道静止，则向心力与平方成反比”的条件，即“如果轨道接近静止，则向心力与平方成反比”。用牛顿偏爱的表述方式quam proxime（字面意思是“尽可能接近”），后一个条件具有“如果……quam proxime，则……quam proxime”的形式。牛顿通过取月球轨道的平均进动率（每转3度）来说明这一点，从而得出结论，作用于月球的净离心力的指数为-2和4/243。第三，即使轨道确实进动，一旦指数偏离-2的微小偏差被证明是由外部天体的扰动效应造成的，那么仍然可以得出结论，朝向中心天体的力恰好是-2。这正是牛顿所遵循的策略，他得出结论：一旦对太阳的扰动效应进行修正，月球上的向心力就是平方反比的。这并不是第一卷中牛顿唯一一次费力推导出“如果……近似，那么……近似”版本来替代精确的“如果……，那么……”命题。命题1和2确立了，当且仅当相等面积在相等时间内扫过，运动才纯粹受向心力支配。命题3的第二和第三个推论则得出结论：当且仅当相等面积在相等时间内扫过，运动才纯粹受向心力支配。同样，在确定开普勒的3/2幂律对于同心匀速圆周运动完全成立，当且仅当所有轨道上都存在一个精确的平方反比的向心力之后，他又补充道：“普遍地，如果周期时间是半径R的任意幂Rn，……则向心力将与半径的R2n-1幂成反比，反之亦然。”[37] 该结果对n的非整数值成立，因此进一步得出以下结论：对于匀速圆周轨道，3/2幂律在近近形式下成立，当且仅当向心力是近近形式下的平方反比。这些命题——牛顿不厌其烦地证明它们在近近形式下仍然成立——正是他在第三卷中援引的命题，他由此得出结论：在我们的行星系统中，使天体保持在轨道上的力都是向心力和平方反比的。 （相比之下，如前所述，虽然“如果开普勒椭圆恰好是，那么恰好是平方反比”这一命题为真，但当椭圆的偏心率不大时，“如果开普勒椭圆近似是，那么平方反比是近似的”这一命题就不成立，正如 Smith, 2002 中所解释的那样。) 如果在第一卷中没有注意到这些近似形式，就无法理解牛顿在第三卷中所运用的近似推理的精妙之处。
7. 《数学原理》第二卷
第二卷的目的是对笛卡尔的行星由流体涡旋推动绕轨道运行的观点（莱布尼茨也采纳了这一观点）进行确凿的驳斥。牛顿的主要论证从第一节的开头一直延伸到第七节的结尾，占据了全书的80%。第九节，也就是全书的结尾，提出了一个进一步的、作为结束语的论证。在讨论第一个论证之前，我们最好先忽略第二个论证。
第九节论证的要点是，流体涡旋与开普勒的面积规则和3/2幂规则不相容。这个论证有两个缺陷，这两个缺陷都被当时牛顿的对手们所承认。首先，整个论证都基于一个假设：“在其他条件不变的情况下，由于流体各部分缺乏滑溜性而产生的阻力与流体各部分相互分离的速度成正比。”这类流体现在被称为“牛顿流体”。由于缺乏证据支持该假设，牛顿的反对者可以自由地采用其他规则来计算旋转圆柱体或球体周围产生的涡旋的速度梯度，而这些规则可能会削弱他的结论。其次，他对旋转圆柱体或球体周围产生的涡旋的分析涉及根本错误的物理学原理：它用力的平衡来定义稳态，而不是用组成涡旋的每个壳单元上的扭矩来定义稳态。用约翰·伯努利在1730年的话来说，牛顿“完全忽略了杠杆的作用，而杠杆的作用在这里是绝对必要的。”显然，同样的力，如果作用在大轮子的圆周切线上，比作用在半径较小的圆周上，能使轮子转动得更迅速。”[38]（这并非《数学原理》中唯一一处表明牛顿没有深入思考角运动力学的地方。）
当时更有分量的论证——例如，它说服了惠更斯——是贯穿《自然哲学的数学原理》前七章的论证。这一论证的主旨从其结论中清晰可见，第二版和第三版的论证比第一版更有力：
即使空气、水、水银和类似的流体，通过对其各部分进行某种无限分割，可以被细化并成为无限流动的介质，它们也不会对抛射的球体产生任何抵抗力。因为，前述命题所探讨的阻力源于物质的惯性；而物质的惯性对物体来说是本质的，并且总是与物体的惯性成正比。物质的。通过划分流体的各个部分，由各部分的韧性和摩擦力产生的阻力确实可以减少，但物质的量不会因其部分的划分而减少；由于物质的量保持不变，其惯性力——此处讨论的阻力始终与之成正比——也保持不变。要减少阻力，物体运动空间中的物质量必须减少。因此，行星和彗星的球体在其中自由地向各个方向持续运动，且运动没有任何明显的减弱，而天体空间中没有任何物质流体。也许除了极其稀有的蒸汽和穿过这些空间的光线之外。[P, 761]
为了得出这个结论，牛顿必须证明：(1) 流体的惯性确实会产生与其密度成正比的阻力，(2) 这种力与流体的韧性（即表面摩擦力）和各部分的摩擦力（即粘度）无关。或许部分是为了模仿在第一卷和第三卷中似乎非常成功的向心力方法，牛顿在第二卷中采取的方法是尽可能地发展一个阻力作用下运动的通用数学理论，然后转向实验现象，以便用第一卷的话来说，“可以找出哪些力的条件适用于”不同类型的流体。第一卷中的理论是通用的，因为它研究的是随距力心距离的不同函数而变化的向心力。第二卷中的理论具有通用性，因为它考察的是阻力作用下的运动，阻力随速度、速度平方、速度平方和，甚至两三个独立因素之和的变化而变化，每个因素都可以随速度的任意次方变化。牛顿的目标是得出流体惯性对总阻力贡献的结论，并且他认识到表面摩擦力和粘度也会对阻力产生影响，因此他的经验问题变成了将惯性贡献从总阻力中分离出来，也就是说，只有惯性贡献会随流体密度的变化而变化。幸运的是，由于引力在天体运动中占据主导地位，第三卷中并没有提出这种分解不同类型力的需要。
因此，从牛顿的角度来看，基本问题——假设三个独立的机制对总阻力有贡献，其中只有一个与流体密度ρf成正比——是找到一个实验现象，使他能够确定(1)以下方案中的三个指数，以及(2)定义三个系数的定律——或者，更简单来说，至少是球体特定情况下最后一项系数的变化：
Fresist = a0vn0 + a1vn1 + b2ρfvn2
一些初步的摆锤衰减实验显示出实现这一目标的潜力，因此他在第一版中完全依赖于这一现象。他的想法是，从几个不同的高度启动一个单摆，以覆盖一系列速度，然后使用联立代数方程，将一个二项或三项多项式拟合到两个或三个失弧数据点，并不断改变指数，直到多项式与其他失弧数据点完全一致。第六部分中关于阻力作用下单摆运动的理论解，将使他能够根据单摆的衰减速率推断出阻力。这些理论解涵盖的阻力不仅随速度的0、1和2次方变化，还随速度的任意次方变化。因此，原则上，他认为自己能够从单摆衰减现象中推断出球体阻力的定律，这与他在第三卷中从轨道运动现象中推导出万有引力定律完全同步。然后，他可以从行星上完全没有阻力迹象这一事实得出结论，尤其是，彗星认为，天体区域中任何流体的密度都必须恰好为零或非常接近于零。
不幸的是，钟摆衰减现象的表现并不像牛顿在编写第一版时所预期的那样好。他后来意识到，问题在于他必须让钟摆摆动多次才能测量衰减速率，而在此过程中，钟摆在周围的流体中引起了“来回”运动，因此摆锤与流体之间的相对速度（也就是阻力中重要的速度）无法确定或控制。第六节[39]之后的“总论”报告了一系列令人印象深刻的实验的详细衰减速率数据，包括空气中不同尺寸的摆锤以及在水和水银中运动的摆锤。文章还向读者详细展示了如何根据每种情况下的数据推导出如上所述定义阻力的多项式。任何仔细研究过数据的读者都会发现牛顿所知道但不太坦诚的事实：没有多项式能够拟合数据。实验确实清楚地表明，阻力不涉及大于2的速度幂，并且提供了强有力的证据，表明速度平方效应占主导地位，甚至掩盖了涉及其他幂的任何效应。牛顿还设法提取了一些非常有效的证据，表明速度平方效应随流体密度和球体迎风面积（即直径的平方）的变化而变化。
第一版中对阻力的计算方法完全依赖于摆锤衰减实验。他们得出的令人失望的证据，导致第一版中关于天体区域不存在流体的结论的表述远弱于上述后续版本的结论。第一版出版后不久，牛顿在水中进行了一系列垂直落体实验，这使他相信，在阻力介质中进行垂直落体现象将产生更准确的数据。因此，在第二版和第三版中，尽管钟摆衰减实验仍被完整地报道，但第二卷的核心论点依赖于垂直落体实验（包括在新落成的圣保罗大教堂穹顶进行的实验），以建立球体上的阻力效应，该效应与流体的密度、直径的平方和速度的平方成正比。这些实验的数据非常好——实际上，甚至比牛顿意识到的还要好，因为其中被他视为实验误差的微小异常实际上根本不是异常，而是他所寻求的那种多项式不足以描述阻力的证据。
虽然垂直落体实验使牛顿能够更有力地否定涡旋理论，但它们也带来了方法论上的难题。垂直落体实验无法将介质惯性对阻力的贡献从总阻力中分离出来。但反对涡旋的论证要求他证明，无论天体流体的摩擦力和粘度多么完美，其惯性仍然会产生阻力，这种阻力会影响彗星的运动，甚至行星的运动。根据摆锤衰减实验中测得的阻力，牛顿可以得出结论：空气和水中的力主要受一种随速度平方变化的贡献所支配。在空气和水中的垂直落体实验中，测得的力近似地随密度和速度平方的乘积而变化，但这仅仅是近似值，这让人怀疑是否分离出了纯惯性贡献。牛顿通过对纯惯性贡献进行一个相当临时的理论推导来解决这个问题，证明了它与垂直落体结果的吻合程度，并提出理论阻力与实测阻力之间的差异可用于研究其他贡献。如果这一程序能够成功地表征表面摩擦力和粘度的贡献，将为牛顿的惯性贡献理论提供强有力的支持。然而，这种方法使得牛顿无法像他在第一版中所希望的那样，从现象中直接推导出阻力定律。[40]
事实上，牛顿对阻力的理解存在一个深刻的错误，直到20世纪初才被人们所理解。阻力并非由流体的粘度和惯性等因素的独立贡献产生。因此，任何由几个始终为正的速度幂项组成的多项式都不足以描述阻力。这种错误的第一个迹象出现在达朗贝尔对牛顿关于惯性贡献的特设理论感到不满时，他分析了我们现在所说的理想流体绕球体和其他形状物体的流动。在所有情况下，流体的净力都恰好为零。因此，与牛顿相反，阻力的贡献根本不存在纯粹由流体惯性引起的情况。无论流体的粘度有多低，阻力总是由粘性和惯性效应共同作用产生的。牛顿假设阻力可以表示为一个和，其中一个项表示纯粹由流体惯性引起的贡献，这在经验上是错误的，就像他关于同时性和空间是欧几里得的假设被证明是错误的一样。然而，与后两个假设不同，关于阻力的假设最终走向了死胡同。牛顿在第二卷中对阻力的论述仅仅是曲线拟合。
8. 《数学原理》第三卷
除了开头的两部分“哲学规则”和“现象”之外，第三卷与第一卷和第二卷不同，没有划分章节。尽管如此，其主体部分确实包含四个截然不同的部分：（1）万有引力定律的推导（命题1-8）；（2）该定律对轨道和旋转天体的影响（从命题8到命题24的推论）；（3）从万有引力定律定量推导部分月球不等式和岁差（命题25-39）；以及（4）彗星轨迹的解，并附有示例和注释（命题40-42）。下文将按顺序讨论这些部分。
牛顿的最初两条推理规则出现在第一版（当时称为“假设”[41]），第三条规则添加到第二版，第四条规则添加到第三版。这些规则旨在指导自然哲学中的证据推理。与演绎推理规则类似，只是它们在很大程度上不能保证从真实前提得出真实结论。具体而言，规则2授权从同因推导出同果，这是一种众所周知的无效推论；规则3授权将“属于所有可进行实验的物体”的性质普遍地归纳推广到所有物体。牛顿的措辞并未暗示这些规则能够得出真理，甚至没有暗示其具有很高的真理概率。例如，规则3和规则4中的关键词被正确地翻译为“应该被采纳”，规则4明确了授权推论的暂时性：
在实验哲学中，通过归纳法从现象中得出的命题应该被认为是完全正确或非常接近真实的，即使存在任何相反的假设，直到其他现象使这些命题更加精确或更容易出现例外。
牛顿定律为何适用这一哲学问题，其最佳答案并非在于探究它们如何增加真理的概率，而是在于探究正在进行的研究中是否存在某种策略，使得这些定律既能促进进一步的发现，又能避免最终导致所有假定发现被抛弃的死胡同。
“现象”部分列出并讨论了六种天文现象——最重要的是，水星、金星、火星、木星和土星，以及后两者的卫星，相对于各自轨道中心天体，在相同的时间内扫过相同的面积，它们的周期是它们与这些天体平均距离的3/2次方。顺便说一句，椭圆不属于这些现象之一。在现象 3 中，牛顿排除了托勒密体系，就像伽利略在《关于两大世界体系的对话》中一样，他通过引用水星和金星的相位以及火星、木星和土星的相位缺失，得出结论，这五条轨道围绕太阳运行。但这一现象以及所有其他现象都经过精心表述，以保持哥白尼体系和第谷体系之间的中立性。在现象 4 中，布利奥计算的轨道与开普勒的轨道同等对待，这表明这些现象并不排除布利奥的面积法则替代方法正确的可能性。现象 6 明确承认面积法则对月球仅近似成立，并进一步指出，这些现象中没有一个是完全成立的。这为所有现象的最合理解读指明了方向：它们以相当高的近似值（但仅此而已）描述了第谷等人在一段有限时间内（大约从1570年到牛顿写作之时）对行星及其卫星的观测。以此方式看待《现象》，它们绝不会引发任何争议或问题。它们不仅完全开放地解答了关于开普勒及其同时代人关于轨道的任何主张是否完全成立的问题，也完全开放地解答了关于这些主张是否在过去或未来的其他时代仍然成立的问题。因此，《现象》与笛卡尔坚持的运动是不断变化的这一观点并不矛盾。
在过去一个世纪左右的时间里，从第三卷前八个命题中的现象“推导出”万有引力定律在哲学文献中引发了诸多争议。[42] 这场争议的核心是皮埃尔·迪昂提出的挑战：一个推论怎么能从前提（行星在相等的时间内扫过相等的面积，以及它们的轨道是静止的）推出结论，即万有引力定律，而这个结论又意味着前提是错误的（行星在相等的时间内扫过相等的面积并不相等，并且轨道不是静止的，而是进动的）？[43] 答案很简单：牛顿的推理是近似的。他使用“如果，那么”语句（这些语句在第一卷中已经显示为以“如果……近似，那么……近似”的形式成立）从前提推断出在限定的时间段内至少近似成立的结论。当然，这意味着推论只表明结论，尤其是万有引力定律，在前提成立的限定时间段内近似成立。推理规则允许结论被精确地推导，不受空间或时间的限制。如此推导的结论确实表明，前提仅近似成立，而非精确成立。这个结论与前提并不矛盾。
承认牛顿的推理是近似的，回答了关于万有引力“推论”的另一个抱怨：牛顿援引了这样一个命题：如果物体在同心圆轨道上均匀运动，其周期随半径的3/2次方变化，那么作用在这些物体上的向心力随轨道半径的平方反比变化，他完全知道几个世纪以来的观察已经证实，行星并非在圆形轨道上均匀运动。[44] 牛顿确实首先援引了这个命题（在命题1中），得出了用现代的说法：木星和土星周围存在平方反比的向心加速度场，接下来（在命题 2 中）得出结论，太阳周围存在平方反比的向心加速度场。[45] 当时木星卫星的轨道被认为是圆形的，因此牛顿根据它们的运动得出的推论并不成问题。然而，虽然金星、木星和土星的轨道被认为非常接近圆形，但在托勒密之前人们就知道它们的运动不是均匀的。牛顿明确承认，他根据行星的 3/2 幂律得出的平方反比的推论只是近似的，因为他在下一句中评论道：“但命题的第二部分已经从远日点处于静止的事实中得到了最精确的证明。”然而，由于不存在进动，只能推断出每个轨道的平方反比，而不能推断出一个涵盖所有轨道的单一、统一的平方反比向心加速度场。因此，牛顿利用圆形轨道的3/2规则，证明了太阳周围的平方反比场至少在一级近似下成立，然后利用各个轨道不存在进动来收敛近似值。
将牛顿对万有引力的推论解释为近似推理的练习，回答了迪昂的另一个抱怨：只要面积法则只在高近似下成立，那么它的许多其他替代法则，例如布利奥的几何作图，也同样成立，因此牛顿的“推论”回避了一个问题：为什么面积法则比这些替代法则更受欢迎？[46] 然而，只要结论仍然是弱形式，这个问题就无关紧要：在观测表明现象近似成立的时间段内，万有引力定律对行星及其卫星近似成立。这些现象确实足以得出这种弱形式的结论。所以，只有当万有引力定律被认为是精确的时，这种抱怨才有意义。不过，牛顿在命题 13 和 14 中得出结论，如果“太阳静止，其余行星之间没有相互作用”，那么行星的轨道面积将与静止轨道时间完全成比例。[47] 那么，牛顿在演绎过程中所依据的现象之所以比其他选择更受欢迎，是因为从这些现象推导出的理论，当被认为完全成立时，也确定了这些现象完全成立的情况。这种情况相当于对从现象推论的一项要求：只有当能够推导出万有引力定律的现象完全成立时，将万有引力定律视为精确定律才是正确的。[48]
