牛顿的自然哲学的数学原理（五）

对万有引力“推论”的这种分析并没有回答另外两个针对它的批评。首先，在得出作用于月球的向心力是平方反比的结论时，牛顿承认月球轨道的进动意味着该力的指数为-2和4/243，而不是恰好为-2，但随后又声称这一小部分可以用太阳引力的摄动作用来解释。但他在命题3[49]中给出的太阳作用的量级是他在第三卷后面指出的正确值的两倍。直到牛顿去世二十年后，阿莱克西斯-克劳德·克莱罗才解决了这个缺陷。其次，当牛顿在命题5的推论中援引第三运动定律时，他默认假设，例如，木星和太阳实际上是直接相互作用的。换句话说，他忽略了惠更斯所主张的另一种可能性，即某种看不见的介质正在对木星施加向心力，而这种介质原则上可以吸收牛顿假设转移到太阳的线动量。惠更斯很可能已经意识到了这个缺陷，科茨在牛顿准备第二版时明确地提醒了他这一点。[50]

万有引力推导之后的一组命题表明了在跃迁到精确地接受该定律背后的证据策略。牛顿首先得出结论：行星将在相同的时间内以精确的椭圆轨道扫过相同的面积，然后轨道将完全静止，除非行星之间存在引力相互作用。紧接着，他指出了最容易观察到的与这种理想化假设相悖的现象，即木星和土星运动中当时仍未解开的神秘谜团，牛顿将其归因于它们的引力相互作用。由于根据该理论，理想化假设在特定情况下会完全成立，因此这些以及所有其他偏差必然是由理想化假设中未考虑的其他力造成的。识别这些力，并根据该理论证明它们确实会产生偏差，是正在进行的研究收集支持引力理论的持续证据的一种方式。换句话说，牛顿最初确定的理想化方案可以作为逐次逼近过程的起点，该过程应该会越来越接近复杂的真实运动。这些理想化方案尤其适合此目的，因为根据该理论，如果没有其他力的作用，它们就会完全成立，因此，与它们的每一次偏差都应该具有物理意义，而不仅仅是例如曲线拟合的偶然特征。进行这种逐次逼近的研究计划，有望在程序成功时为引力理论提供进一步的证据，或者出现牛顿在规则4中提到的需要修改理论的例外情况。

在万有引力推导之后的一系列命题中，其他成果中，当时最受瞩目的是命题12中对哥白尼主义的辩护和命题24中对潮汐成因的识别——这两个主题开普勒、伽利略和笛卡尔都曾探讨过。然而，事实证明最重要的两个命题是19和20，它们分别推导出地球的非球形形状和在假设地球密度均匀的情况下表面重力随纬度的变化。这是《自然哲学的数学原理》中唯一一个牛顿在第二版和第三版中都进行了广泛修改的段落。正如牛顿充分意识到的，以及惠更斯和其他一些人意识到的，这些是《自然哲学的数学原理》中唯一依赖于万有引力的结果——即指向构成地球的每个物质粒子的平方反比重力——而不仅仅是宏观天体引力——指向天体的平方反比重力。惠更斯在其《引力成因论》中提出了另一种关于地球形状和表面重力变化的理论解释，并声称有证据证实这一解释，从而反驳了牛顿的万有引力理论。[51] 部分原因是，在赤道探险中可以获得关于地球形状和重力随纬度变化的证据，这些成果在《自然哲学的数学原理》中首次在18世纪30年代和40年代引起了一致的批评关注。然而，这一切都有一个复杂之处。牛顿在第二版和第三版中列出的关于地球形状和重力变化的极其精确的结果是基于均匀密度的，因此，就像开普勒运动一样，它代表了一种理想化，偏离这种理想化将导致密度不均匀。直到克莱罗的《地球形状理论》出现，才有了计算密度不均匀效应的方法。[52]

命题25至35从太阳的摄动作用导出了三个月球不等式的定量结果——面积定律的系统性偏离，即所谓的“变分”，交点线的18年运动，以及轨道倾角的波动。对于这三个不等式，牛顿都是从圆形轨道出发的，因此它们也偏离了理想化。在命题25以及之后的命题中，他得到的太阳摄动力各分量的数值精确到几个有效数字。这三个推导过程在数学上要求很高，但都成功地与从观测中获得的不等式值相一致。尤其是在推导月球交点的后退时，他与已知值的一致性超过了98%。（牛顿对他看似平行推导的9年月球交点进动的近点线进动的一致性未能达到50%以上，想必感到困惑。）

命题35之后的注释部分以对先前关于月球不等式的努力的解释开篇：“我希望通过这些月球运动的计算来表明，月球运动可以通过引力理论根据其成因计算出来”[P, 869]。牛顿从未找到从引力理论中推导出月球远地点进动的方法，因此他从未成功地提出一个完整的、基于引力的月球轨道描述。[53] 然而，对这三个月球不等式的数学处理确实为他的引力理论提供了额外的支持。它还引入了通过计算太阳引力作用引起的假设轨道运动摄动，以一系列逐次逼近的方式解决真实轨道问题的想法。这不仅为当时尚未解决的月球运动描述问题提供了一种全新的方法，一种从物理原因到运动的方法；它也是摄动方法的开端，这种方法从18世纪中叶到20世纪末主导了整个天体力学。[54] 尽管命题25至35对当时的读者来说很难理解——现在的读者仍然很难理解——但它们至关重要地推动了对复杂轨道运动的进一步研究，最终为牛顿引力理论提供了压倒性的支持。牛顿发现太阳和月亮的引力作用于扁球体地球会导致地球摆动，至少从定性上可以解释春秋分点岁差，这是一个真正的突破。此前，没有人对这一现象提出过物理解释。然而，牛顿在试图对岁差进行定量推导时面临一个问题：他知道太阳对地球的引力大小，但不知道月球的引力大小，因为他无法像测量太阳、木星和土星那样测量月球的质量，因为没有天体绕月球运行。命题 36 和 37 试图通过日月合冲时潮汐高度的差异来推断月球对地球的引力。在第一版中，牛顿成功地推导出一个与已知值高度一致的进动速率值，但在第一版和第二版之间的四分之一世纪里，他得出结论，他之前使用的月球引力值（太阳引力的6.1/3倍）过大。因此，在第二版中，进动的推导过程被进行了广泛的修订，使用了一个新的月球引力值（太阳引力的4.4815倍，仍然比正确值大2倍多）。在所有版本中，命题39中的推导过程都没有将摆动直接视为刚体运动，而是类比于月球交点的运动。以我们当今物理学的标准来看，第三卷中没有哪部分比牛顿对进动的解更离谱。然而，这一现象，1749年，达朗贝尔基于刚体运动和当时新发现的地球章动现象推导出月球引力的正确值，成功地推导出了引力公式，这为牛顿的引力理论提供了重要证据。

牛顿在第24、36和37条命题中对潮汐的描述不仅在当时，而且至今仍备受赞誉。然而，他因此获得的赞誉却超过了他应得的。他确实指出了太阳和月球引力是驱动潮汐的力，但仅此而已。他忽略了地球自转，更糟糕的是，在这三个命题中，他只考虑了太阳和月球引力的径向分量。事实上，这些力的径向分量与经径向分量（即垂直于径向分量的分量）相比，其影响非常小。所有这些在18世纪70年代拉普拉斯发展了潮汐运动的数学理论后变得清晰起来，所有后续研究都以此为基础。

第三卷以对彗星轨迹的革命性分析结束，这部分内容占据了三个版本全书约三分之一的篇幅。这项分析进展缓慢。直到1686年6月，牛顿才写道：“第三卷想要彗星理论”[C, II, 437]。与行星轨迹相比，这个问题的难点在于需要基于少量不精确的、在运动地球上进行的一次性观测数据。《数学原理》中提出的方法，利用新颖的有限差分方法，通过迭代的方式将抛物线拟合到观测数据中，牛顿​​后来将这种方法扩展为完整的数学著作《微分方法》。该方法首先预设了引力理论，选择抛物线，其次假设行星已知的平方反比向心力作用于彗星的整个轨道。文中指出，彗星的轨道也可能是椭圆形，但在这种情况下，回归周期将是确定椭圆形的最佳方法。（抛物线近似于高偏心率椭圆的高曲率端。）彗星可能回归的假设是新颖的，但在当时更具革命性的是它们绕太阳旋转的说法，这意味着过去有时被认为是两颗不同的彗星，在近日点前后实际上是一颗彗星。

在第一版中，该方法仅适用于1680-81年的彗星。结果以一英尺长的图表形式呈现在该版本唯一的折叠页上。从未出现过类似图3所示的图表。之前已印刷出版。该图继续出现在接下来的两个版本中，但在第三版中以简化形式出现，无需折页。在第二版中，该方法得到了改进，并应用于1664-65年、1683年和1682年的彗星，反映了哈雷在其1705年出版的《彗星天文学概要》中进行并发表的研究。1682年的彗星，现在被称为哈雷彗星，因其轨道与1607年的彗星足够相似而被单独列出，因此提出了它每75年回归一次的假设。

图3

图3

第三版增加了1723年的逆行彗星，布拉德利为其提供了相对精确的观测数据，该方法也相应地展现了其最令人印象深刻的成功。计算位置与观测位置之间的差异在经度或纬度上均不超过1弧分。这表明，计算中采用的观测数据越精确，方法就越精确。

由于牛顿的彗星轨迹理论仅依赖于引力理论中争议最小的部分——围绕太阳各处的平方反比向心加速度——因此它并没有引起太多的哲学阻力。该方法的成功提供了证据，证明这些向心力对彗星的作用是相同的，这与胡克在1678年《彗星》一书中提出的彗星必然由与行星根本不同的物质构成，因为它们对指向太阳的力的响应方式不同。该方法的成功也提供了强有力的证据，证明指向太阳的平方反比力在整个太阳周围空间都有效，因为彗星不仅会穿越行星轨道之间的空间，而且与当时已知的行星轨迹不同，它们的轨迹通常相对于黄道面高度倾斜。然而，最重要的是，该方法的成功不仅提供了最有力的证据，推翻了笛卡尔涡旋，也推翻了所有声称行星是由流体涡旋推动绕太阳运行的理论。三个版本的命题39的推论3总结了这一论点：

由此也可以看出，天空缺乏阻力。因为彗星沿着倾斜的、有时与行星轨道相反的路径运行，它们可以非常自由地向各个方向移动，并且即使在与行星轨道相反的情况下也能长时间保持其运动状态。[P, 895]这一论点在惠更斯阅读第一版时就已说服他，而随着该方法在后续彗星研究中取得成功，这一论点也变得更加令人信服。[55]

彗星理论提供的补充证据凸显了第三卷中一个有时被忽视的方面。其中引力理论证据的发展并非止于开篇“推导”万有引力定律，而是贯穿了整本书。在18世纪，人们的注意力主要集中在牛顿关于地球形状和表面重力变化的理论、潮汐理论、特定月球不等式的定量推导、岁差的推导以及彗星理论所提供的证据上。这表明，无论当时还是现在，对万有引力的“推导”都不应脱离第三卷的其余部分来理解，而应将整本书视为对该理论提供的持续证据论证。从本书其余部分的语境来看，“推论”最恰当的理解是旨在建立万有引力，但只是暂时的，它只是一种理论，需要进一步的研究，并将继续为该理论提供证据。

9. 《自然哲学的数学原理》的科学成就

从哈雷匿名评论《自然哲学的数学原理》第一版以来，人们明显倾向于夸大《自然哲学的数学原理》的成就，掩盖它留下的许多有待他人认识和解决的未解之谜。其后果是，人们同样倾向于歪曲十八世纪力学和轨道天文学所取得的巨大进步的背景。低估了牛顿之后人们所面临的困难以及他们在解决这些困难中所取得的成就。《数学原理》在这方面颇为独特，因为只列出其成就而不提及其未竟之事，会夸大其成就；而只列出其未竟之事，则有低估其非凡成就的风险。为了平衡这些未竟之事，我们在此列出了当时十一个主要的科学问题，第三卷按所列顺序对这些问题进行了解答，并列出了答案，以及在为这些答案提供的证据论证中提出的推理中最重要的未竟之事。

1. 是什么物理上使行星及其卫星保持在围绕太阳的轨道上？牛顿的答案——平方反比引力，与日常地球引力类似——揭示了一个在很大程度上被掩盖的现象，即未能解释月球轨道一半以上的进动，它默认假设了太阳与木星以及其他单个行星之间存在相互作用，并提出了关于行星轨道近日点是否进行进动的悬而未决的问题。

2. 地球表面以下和以上，重力是如何变化的？由于缺乏确凿的数据，牛顿的答案——初步近似地，在地表以下与到中心的距离成线性关系，在地表以上距离的平方成反比——假设了前者的密度均匀，而后者的密度球形对称，因此，重力在地表附近保持恒定的可能性仍然存在，正如惠更斯在回应《自然哲学的数学原理》[HD, 153]时引用支持性证据所声称的那样。

3. 行星的相对密度是多少？相对于彼此以及相对于太阳的运动？牛顿在命题8的推论中给出了基于理论的木星、土星和地球的答案，但即使在第三版中，关于地球的答案也依赖于一个仍然值得怀疑的太阳水平视差值（该值用于确定月球与地球之间以天文单位为单位的距离），而且没有出现任何佐证这些答案的证据，例如木星和土星相互作用的证据。

4. 是否存在某种原则性的方法来解决哥白尼体系和第谷体系之间的争议，从而解决我们行星系统中所有运动应该参考的正确中心问题？牛顿的答案——太阳绕其运行距离相对较短的系统的重心——取决于假定第三运动定律在声称太阳运动时的适用性，而由于缺乏水星、金星和火星相对质量的值，重心的精确位置仍未确定。

5. 行星的真实运动是什么？如果有的话，哪种计算行星位置的方案更可取？是开普勒方案还是其他方案？牛顿的回答并不简单：“如果太阳静止，其余行星之间没有相互作用，它们的轨道将是椭圆形的，太阳位于它们的共同焦点上，它们的面积与时间成正比；”而远日点和交点将是静止的。因此，开普勒系统，按照霍罗克斯的方式进行了修改，以便根据周期推断平均距离，是真实运动的首选近似值。这个答案的主要悬而未决之处在于，实际运动是否确实偏离了开普勒理想状态？如果是，所有这些偏差是否可以归因于特定的力，无论是引力还是其他力。另一个悬而未决的问题，在第三卷中部分讨论过，是能否证明月球的非开普勒运动并非牛顿行星论证的反例。

6. 木星和土星的运动是否存在异常？如果是，其中存在哪些不等式，其成因是什么？牛顿的回答是肯定的，因为它们之间存在引力相互作用，而主要的不等式周期对应于它们连续合相之间的19年。 （此答案的第二部分并未出现在第一版中。）到18世纪20年代初，人们已经清楚地认识到，这两颗行星运动异常的主要周期并非合相之间的时间间隔，而是一段持续时间更长的时期，这引发了一些问题：这些异常究竟是什么，以及它们是否真的可以源自木星和土星的引力。

7. 地球表面重力会如何（如果有的话）随纬度变化？地球的形状与球体有何不同（如果有的话）？牛顿的答案从第一版到第二版再到第三版都有所变化，但在所有情况下，所引用数据中的异常都提出了实际变化是什么的问题。此外，由于他理想化的理论计算假设密度均匀，他的答案也提出了地球密度是否均匀，以及地球的真实形状和表面重力变化是否可以与密度的不均匀性相协调的问题。

8. 月球的运动究竟是什么？是什么导致了月球的不平衡？木星和土星的卫星运动中没有观察到的不等式？牛顿对第二部分的回答是太阳引力的扰动效应，而对第一部分的回答则以期票的形式呈现：计算出太阳引力的所有扰动，你就能得到答案。主要的悬而未决的问题是，拱点线的复杂运动和被称为“引力”的不等式——牛顿在第三卷第35命题的注释中运用的霍罗克斯运动模型，在解释这两个特征时，采用了一种老式的本轮——是否可以从太阳引力作用中推导出来。

9. 是什么导致了潮汐？为什么潮汐会随时间和地点发生变化？由于牛顿的答案——太阳和月球的引力作用——仅仅是定性的，因此留下了月球是否吸引地球，以及如果吸引地球，其引力有多强的疑问。同样悬而未决的还有海洋的惯性和粘度以及地球的自转如何影响潮汐，这个问题需要对海洋在太阳和月球引力作用下的运动进行动态分析。

10. 是什么在物理上产生了分点岁差？牛顿从月球和太阳的引力作用中推导出岁差，这引发了三个悬而未决的问题：月球质量和地球扁率的正确值是多少？由此产生的地球运动真的与月球交点的运动类似吗？月球倾角的变化如何影响计算出的运动？

11.彗星的轨迹是什么样的？牛顿的答案——至少在可观测区域内可以用抛物线近似的圆锥曲线——揭示了抛物线轨迹是否适用于所有彗星的问题，而不仅仅是第一版中提到的1680-81年的彗星、第二版中分析的另外三颗彗星以及第三版中分析的另外一颗彗星。《数学原理》也留下了一些悬而未决的问题，例如木星和土星的引力如何影响彗星的运动，牛顿结果中理论与观测之间的残余差异是否应该被重视，以及哪些彗星（如果有的话）会以某种规律的方式回归。

仔细阅读《数学原理》可以清楚地发现，尽管牛顿没有透露任何未解决的问题，但他对这些问题都了如指掌，并以各种方式为敏锐的读者指出每一个问题。呈现十八世纪《自然哲学的数学原理》研究史的一种有益方法是追溯每一个未解决的问题如何成为备受关注的焦点，并最终得到解决，至少在某种程度上被消除，不再对牛顿的引力理论构成威胁。第三卷中解决这些未解决的问题直到18世纪30年代牛顿去世后才开始。在牛顿生前，对《自然哲学的数学原理》最迫切的抱怨是，除了超距作用之外，它缺乏一种机制来解释其作用。牛顿本人认为这“极其荒谬，我相信任何一个在哲学问题上具有足够思维能力的人都不会陷入这种境地”。[56] 然而，牛顿本人并不认为缺乏机制是《自然哲学的数学原理》的一个未解决的问题。因为他坚持认为，上述所有结论均可成立，且其中任何未解决的问题均可通过万有引力定律得到解决，而与导致该定律的机制无关。在他去世后的几十年里，那些基于他的引力理论进行研究的人越来越多地对机制问题持相同观点。