自指与悖论（二）

首先，我们证明Si中的任何一个句子都不可能为真。假设得到一个矛盾：Si 对于某个 i 成立。那么“对于所有 j＞i，Sj 不成立”为真。因此，对于 j＞i，所有句子 Sj 都不成立。特别是，Si+1 不成立。Si+1 就是“对于所有 j＞i+1，Sj 不成立”的句子。由于这句话不成立，必然存在某个 k＞i+1 使得 Sk 成立。然而，这与 j＞i 的所有句子 Sj 都不成立相矛盾。

我们现在已经证明了 Si 的所有句子都不成立。那么，特别是，对于所有 j＞0，Sj 都不成立。这正是 S0 所表达的，因此 S0 必然成立。这又是一个矛盾。

Yablo 将此悖论称为 ω-说谎者，但其他人通常将其称为 Yablo 悖论。请注意，Si 的所有句子都没有提到它们自己（甚至间接地也没有），而只提到序列中后面出现的句子。雅布罗悖论是语义悖论，但正如雅布罗（2006）所指出的，类似的不涉及自指的集合论悖论在某些集合论中也可以表述出来。

雅布罗悖论表明，我们可以在没有自指的情况下产生逻辑悖论——只需要某种非良基性就能产生矛盾。普通的自指悖论与雅布罗悖论之间存在明显的结构差异：普通的自指悖论涉及循环的指称结构，而雅布罗悖论涉及非循环的、但非良基性的指称结构。更准确地说，我们可以将悖论背后的指称结构视为一个有向图。该图的顶点是句子，如果句子S直接指向句子T，则存在一条从句子S到句子T的有向边。因此，说谎者的指称结构是一个带有单个自反环的图。明信片悖论的指称结构是一个循环图，其中两个顶点各有一条边指向另一个顶点。所有直接或间接自指的悖论都具有循环指称结构（其底层图是循环的）。这与雅布罗悖论不同。雅布罗悖论中的指称结构与自然数中通常的小于序同构，后者是严格的全序（不包含循环）。即使存在这种差异，雅布罗悖论仍然与普通的自指称悖论拥有大多数共同的属性。因此，在解决悖论时，我们可以选择将它们统称为“无根据悖论”。不过，下文我们将坚持使用“自指悖论”这一术语，尽管我们所说的大部分内容也适用于雅布罗悖论以及相关的无根据悖论。

鉴于不仅循环指涉结构会导致悖论，某些类型的非良基结构也会导致悖论，进一步研究这些指涉结构及其在刻画悖论必要充分条件方面的潜力变得颇具意义。这项工作由 Gaifman (1988, 1992, 2000) 发起，后来由 Cook (2004)、Walicki (2009) 等人继续推进。

大量关于自指涉的较新研究致力于对哪些指涉结构会导致悖论进行完整的图论刻画，其中包括 Rabern 和 Macauley (2013)、Cook (2014) 以及 Dyrkolbotn 和 Walicki (2014)。完整的刻画仍然是一个悬而未决的问题 (Rabern, Rabern 和 Macauley, 2013)。但一个相对普遍的猜想似乎是，所有悖论参考图要么是循环的，要么包含类似 Yablo 的结构。该猜想已在某些无限图子类中得到证实 (Walicki, 2019)，但它是否适用于任意图仍未可知。如果该猜想确实成立，则意味着就参考结构而言，所有参考悖论要么是类似谎言的，要么是类似 Yablo 的。一个结构（图）究竟意味着什么，即为类似 Yablo 的，可以用几种不同但等效的方式定义，包括：1) 图包含 Yablo 悖论的参考图 (ω,＜)，作为有限子式 (Beringer & Schindler, 2017)； 2) 该图包含一条射线（一条无限路径），该射线上有无穷多个顶点，每个顶点都有无穷多条不相交的路径通往射线上无穷多个其他顶点 (Walicki, 2019)。

尽管雅布罗悖论所涉及的指称结构不包含任何循环（每个句子仅指代序列中后续的句子），但该悖论是否具有自指性仍在讨论中 (Cook, 2014; Halbach and Zhang, 2017)。雅布罗 (1993) 本人认为它是非自指性的，而普里斯特 (1997) 则认为它是自指性的。巴特勒 (2017) 认为，即使普里斯特是正确的，也还会存在其他类似雅布罗的悖论，它们在普里斯特的意义上并非自指性的。在分析雅布罗悖论时，必须注意到它涉及一个无限的句子序列，其中每个句子都指向无限多个其他句子。因此，要在命题逻辑中将其形式化，就必须使用无限命题逻辑（参见无限逻辑条目）。Yablo 序列的任何有限变体——其中每个句子仅指代序列中有限多个后续句子——必然是一致的（非悖论的），这得益于命题逻辑中的紧致性定理（序列中每个有限的句子子集都导出一个有理有据的指称关系，因此这些句子可以自下而上地一致地被赋予真值）。在有限的一阶和二阶算术中，可以尝试用一元谓词 S(x) 来形式化 Yablo 悖论，其中对于每个自然数 i，S(i̲) 表示 Yablo 序列中第 i 个句子 Si 的形式化（其中 i̲ 是表示 i 的数字）。Picollo (2013) 研究了 Yablo 悖论如何、是否能够真实地以这种方式表示，以及它与底层逻辑的紧致性之间的关系。

雅布罗悖论也启发了其他领域类似悖论的产生，这些悖论涉及非良基、非循环的指称结构，而非真理领域的悖论。例如，Başkent (2016) 提出的关于认知博弈论的勃兰登堡-凯斯勒悖论的“雅布罗式”变体，Cieśliński 和 Urbaniak (2013) 提出的关于可证明性的变体，以及 Leach-Krouse (2014) 提出的基于哥德尔不完备定理的变体。

2. 悖论为何重要

在介绍了一些关于自指的悖论并讨论了它们的一些潜在相似之处之后，我们现在将讨论它们的意义。悖论的意义在于它表明了我们对其中涉及的核心概念的理解存在缺陷或不足。就语义悖论而言，看来，我们对诸如真值（在说谎者悖论和格雷林悖论中）和可定义性（在贝里悖论和理查德悖论中）等基本语义概念的理解存在缺陷。就集合论悖论而言，我们对集合概念的理解存在缺陷。如果我们完全理解这些概念，就应该能够处理它们而不会陷入矛盾。

为了说明这一点，请考虑芝诺关于阿喀琉斯与乌龟的经典悖论（详情请参阅“芝诺悖论”条目）。在这个悖论中，我们似乎能够证明，如果给予乌龟任意小的领先优势，它就能赢得与速度快10倍的阿喀琉斯的比赛。芝诺用这个悖论来反驳运动的可能性。后来发现，这个悖论源于对无限性的不充分理解。更准确地说，它基于一个隐含的假设，即任何无穷级数的正实数必定有无穷的和。无穷级数数学的后期发展表明，这一假设无效，因此悖论得以消解。芝诺的论证最初被接受为悖论，表明当时人们对无穷的概念理解不够充分。类似地，语义和集合论悖论的存在似乎可以合理地预期，所涉及的语义和集合论概念尚未得到充分理解。或者，至少，我们需要修改我们对什么算作“自然假设”的看法。罗素悖论基于这样一个假设：任何数学对象的谓词都确定一个由恰好满足该谓词的对象组成的集合。说谎者悖论建立在语言可能包含其自身真值谓词的假设之上。为了回应这些悖论，这些看似合理的假设已被修正，参见下文第三节。

另一个可能的答案是，我们对“矛盾”概念的理解本身就存在缺陷。自指悖论中所涉及的推理最终都会产生某种矛盾，一个句子被推断为既真又假。我们认为这是不可能的，因此产生了悖论，但也许我们不必如此？二元论认为可以存在“真矛盾”，这意味着一个句子既真又假并非不可能。如果采用二元论的观点，所有自指悖论都会消解，取而代之的是某些“二元论”的存在性证明：句子既真又假。 Priest (1987) 是辩证法的坚定支持者，并运用他的统一解原则（见上文 1.4 节）来捍卫辩证法的解法。更多信息，请参阅辩证法和次协调逻辑的条目。

目前，尚无针对自指悖论的普遍认可的解决方案。它们继续在语义学和集合论中提出基础性问题。在对这些悖论找到令人满意的解决方案之前，任何人都不能声称这些学科已经建立了坚实的基础。当涉及到形式化语义学（真概念）和集合论时，问题就会浮现。如果将这些学科的直觉性、“朴素”理解形式化，不一致的系统就会持续存在，因为这些悖论在这些系统中是可以形式化的。

2.1 语义悖论的后果

说谎者悖论是构建形式真理论的重大障碍，因为它会导致这些潜在理论出现不一致。大量的自指研究集中于形式真理论及其规避说谎者悖论的方法。有两篇文章对形式真理论和说谎者悖论的研究影响最大：阿尔弗雷德·塔斯基的《形式化语言中的真概念》（1935）和索尔·克里普克的《真理论概要》（1975）。下面我们首先介绍塔斯基文章的一些思想和结果。克里普克的文章将在3.2节中讨论。

塔斯基提出了一些条件，正如他所说，任何充分的真定义都必须满足这些条件。这些条件的核心是现在通常被称为图式 T（或 T 图式、约定 T 或塔斯基双条件句）：

φ↔T⟨φ⟩，适用于所有句子 φ。

这里，T 是用于表达真值的谓词，⟨φ⟩ 是句子 φ 的名称。将谓词 T 应用于名称 ⟨φ⟩，得到表达式 T⟨φ⟩，用于表示短语“φ 为真”。因此，图式 T 表示：对于每个句子 φ，φ 成立当且仅当句子“φ 为真”成立。T 图式通常被视为形式理论中的一组句子。通常使用一阶算术，即用一组算术标准公理扩展的一阶谓词逻辑，例如PA（皮亚诺算术）或罗宾逊的Q。下文所述适用于任何此类一阶算术形式化。在此设定中，上文中的⟨ϕ⟩表示ϕ的哥德尔编码，T⟨ϕ⟩是T(⟨ϕ⟩)的简写。不熟悉哥德尔编码（也称为哥德尔编号）的读者可以将映射⟨⋅⟩视为公式的命名手段或引用机制——就像自然语言中的引号一样。⟨ϕ⟩的常用符号变体是⌜ϕ⌝和“ϕ”。

塔斯基证明了，说谎者悖论在任何包含其模式T的形式化理论中都是可形式化的，因此任何此类理论必定是不一致的。该结果通常被称为塔斯基关于真值不可定义性的定理。该结果本质上是说谎者悖论在一阶算术中的形式化，并扩展了T模式。为了构建这种形式化，必须能够在一阶算术中表述自指句子（例如说谎者句子）。对角引理提供了这种能力。

对角引理。

设 S 是一个扩展一阶算术的理论。对于每个公式 ϕ(x)，存在一个句子 ψ 使得 S⊢ψ↔ϕ⟨ψ⟩。

这里，符号 S⊢α 表示 α 在理论 S 中是可证的，ϕ⟨ψ⟩ 是 ϕ(⟨ψ⟩) 的简写。假设给出一个公式 ϕ(x)，它旨在表达句子的某些属性，例如真值。则对角引理给出了满足双蕴涵 ψ↔ϕ⟨ψ⟩ 的句子 ψ 的存在性。句子 ϕ⟨ψ⟩ 可以被认为是表示句子 ψ 具有 ϕ(x) 所表示的属性。因此，双蕴涵表示 ψ 等价于表示 ψ 具有属性 ϕ 的句子。因此，我们可以将ψ视为一个句子，它表达自己具有属性ϕ。就真而言，它应该是一个句子，它表达自己为真。句子ψ当然在严格意义上并非自指，但在数学上它的行为类似于自指。因此，可以使用对角引理生成的句子来形式化基于自指句子的悖论，例如说谎者悖论。对角引理有时也称为不动点引理，因为等价关系ψ↔ϕ⟨ψ⟩可以看作表示ψ是ϕ(x)的不动点。

如果一阶谓词逻辑中的理论存在可证明的逻辑矛盾，则该理论被称为不一致的。现在可以陈述和证明塔斯基定理（关于真值的不可定义性）。

塔斯基定理。

任何扩展一阶算术并包含模式T的理论都是不一致的。

证明：假设存在一个一致的形式理论S，它扩展一阶算术并包含模式T。我们需要证明该假设会导致矛盾。该证明模拟了说谎者悖论。应用对角引理，得到一个满足 λ↔¬T⟨λ⟩ 的句子 λ。句子 λ 本身就表明它不为真，因此 λ 对应于说谎者句子。用句子 λ 实例化模式 T 可得到 λ↔T⟨λ⟩。现在我们有 λ↔¬T⟨λ⟩ 和 λ↔T⟨λ⟩ 在 S 中都成立（在 S 中可证明），因此 T⟨λ⟩↔¬T⟨λ⟩ 必定在 S 中成立。这与 S 的一致性相矛盾。◻

注意，上面的矛盾 T⟨λ⟩↔¬T⟨λ⟩ 表达的是：说谎者句子为真当且仅当它不为真。请将此与文章开头提出的非正式说谎者句子进行比较。塔斯基定理表明，在一阶算术的背景下，不可能给出塔斯基所认为的“充分真理论”。那么，核心问题就变成了：如何修改形式化设置或充分真理论的要求，以恢复一致性——也就是说，如何防止说谎者悖论使系统变得无关紧要？这个问题有很多不同的答案，因为有很多不同的方法可以恢复一致性。在第 3 节中，我们将回顾最具影响力的方法。

2.2 集合论悖论的后果

集合论悖论对数学基础构成了重大挑战。它们表明，不可能存在一个满足无限制理解原则（也称为完全理解或无限制抽象）的集合概念：

无限制理解：

对所有公式 ϕ(x)，∀u(u∈{x∣ϕ(x)}↔ϕ(u))。

在非正式环境中，公式 ϕ(x) 可以是任意谓词。在更正式的环境中，它们可以是例如合适的一阶语言的公式。无限制理解原则认为，对于任何属性（用 ϕ 表示），都存在满足该属性的实体的集合。这听起来似乎是一个非常合理的原理，它或多或少地抓住了集合的直观概念。事实上，集合论之父乔治·康托尔 (1895) 最初提出了集合的概念。不幸的是，该原理并不完善，因为它引发了罗素悖论。考虑非自成员性质。这可以用公式 x∉x 表示。如果我们设 ϕ(x) 为公式 x∉x，则集合 {x∣ϕ(x)} 变为罗素集合 R，我们得到以下非限制性理解原理的例子：

∀u(u∈R↔u∉u)。

类似于罗素悖论中的论证，现在可以通过用 R 实例化 u 得到一个矛盾：

R∈R↔R∉R。

这个矛盾表示，罗素集合是其自身的成员当且仅当它不是其自身的成员。由此可证明以下内容。

定理（朴素集合论的不一致性）。

任何包含无限制理解原则的理论都是不一致的。将此定理与塔斯基定理进行比较。塔斯基定理表明，如果我们形式化关于真最直观明显的原理，我们最终会得到一个不一致的理论。上述定理表明，在形式化关于集合存在和成员资格最直观明显的原理时，也会发生同样的情况。

鉴于无限制理解的不一致性，目标就变成了找到一种方法来限制理解原理本身或底层逻辑原理，以重新获得一个一致的理论，即一个不会被罗素悖论所轻视的集合论。上个世纪，许多排除无限制理解原理的替代集合论得到了发展，其中包括罗素和怀特海的类型论、简单类型论 (ST)、哥德尔-伯内集合论 (GB)、策梅洛-弗兰克尔集合论 (ZF) 和奎因的新基础 (NF)。这些都被认为是一致的，尽管目前尚无关于其一致性的简单证明。至少它们都避开了已知的自指悖论。我们将在第三节中再次讨论这个问题。

2.3 认识论悖论的后果

认识论悖论对形式知识理论的构建构成了威胁，因为这些悖论在许多此类理论中都可以形式化。假设我们希望在一阶算术的扩展中构建一个关于可知性的形式理论。选择形式化可知性而不是知识的原因是，知识总是相对于特定时间点的特定主体，而可知性是一个像真理一样的普遍概念。我们本可以选择直接与知识打交道，但这需要更多工作，并使表述不必要地复杂化。为了形式化可知性，我们引入一个特殊的谓词 K，并使用 K⟨ϕ⟩ 形式的句子来表示 ϕ 是可知的。类似于真值和集合成员资格的情况，为了使我们的形式化理论成为可知性的充分理论，K 必须满足某些逻辑原则。首先，所有可知的句子都必须为真。此属性可以通过以下逻辑原则形式化：

A1.

对于所有句子 ϕ，K⟨ϕ⟩→ϕ。

当然，这个原则本身必须是可知的，也就是说，我们得到以下逻辑原则：

A2.

对于所有句子 ϕ，K⟨K⟨ϕ⟩→ϕ⟩。

此外，所有一阶算术定理都应该是可知的：

A3.

对于所有一阶算术句子φ，K⟨ϕ⟩。

此外，可知性必须在逻辑推论下闭合：

A4.

对于所有句子φ，K⟨ϕ→ψ⟩→(K⟨ϕ⟩→K⟨ψ⟩) 。

现在，只需遵循A1–A4原则即可形式化认知者悖论。更准确地说，我们有以下定理，源自Montague (1963)，其证明形式如下（参见Bolander 2004）。

Montague定理。

任何扩展一阶算术并包含公理模式A1–A4的形式理论都是不一致的。

证明：假设存在一个一致的形式理论S，它扩展一阶算术并包含公理模式A1–A4。我们需要证明这个假设会导致矛盾。证明过程模拟了知者悖论。应用对角引理，得到一个满足 λ↔¬K⟨λ⟩ 的句子 λ。句子 λ 本身表达了它是不可知的，因此 λ 大致对应于知者句子 KS。知者悖论中所使用的第一个论证得出的结论是 KS 确实是真的。这段论证与 S 中的以下形式推理相呼应：

1. 通过选择 λ，λ→¬K⟨λ⟩

2. 通过选择 λ，¬K⟨λ⟩→λ

3. K⟨λ⟩→λ 公理 A1

4. (K⟨λ⟩→λ)→

((λ→¬K⟨λ⟩)→¬K⟨λ⟩) 命题重言式

5. (λ→¬K⟨λ⟩)→¬K⟨λ⟩ 肯定前件式（4,3）

6. ¬K⟨λ⟩ 肯定前件式（5,1）

7. λ 肯定前件式（2,6）

此证明表明，λ（KS 的形式化版本）在 S 中可证。该证明对应于 KS 为真的非正式论证。正如“知者悖论”所论证的，任何具有足够推理能力的主体都能证明KS的真实性，从而知晓KS成立。因此，KS必定是可知的。在本形式框架下，这意味着我们也可以证明 λ 在 S 中的可知性：

8. 根据 A3 和 λ 的选择，K⟨λ→¬K⟨λ⟩⟩

9. 根据 A3 和 λ 的选择，K⟨¬K⟨λ⟩→λ⟩

10. K⟨K⟨λ⟩→λ⟩ 公理 A2

11. K⟨(K⟨λ⟩→λ)→

((λ→¬K⟨λ⟩)→¬K⟨λ⟩)⟩ 公理 A3 命题重言式

12. K⟨(λ→¬K⟨λ⟩)→¬K⟨λ⟩⟩ 公理 A4 11,10

13. K⟨¬K⟨λ⟩⟩ 公理 A4 12,8

14. K⟨λ⟩ 公理 A4 于 9,13

这完成了 λ 可知性的证明，对应于 KS 为某个主体所知的非形式化论证。请注意 1-7 行和 8-14 行中这两个证明的相似之处。唯一的区别在于后者所有公式前面都多了一个 K。这是因为 8-14 行表达了与 1-7 行相同的推理思路，唯一的区别在于后者是对 λ 可知性的证明，而不是对 λ 真值的证明。在得出 λ 既真又可知的结论之后，我们现在立即得到了一个矛盾，就像知者悖论中提到的那样：