自指与悖论（一）
在语言语境中，自指用于表示指涉自身或其所指对象的语句。最著名的自指句子例子是说谎者句子：“这句话不正确”。自指也经常用于更广泛的语境中。例如，如果一幅图片包含其自身的副本（参见上方的动画），则可以被认为是自指的；如果一部文学作品包含对其作品本身的引用，也可以被认为是自指的。在哲学中，自指不仅与语言分析有关，也与心智分析有关。自我指涉也是数学和计算机科学中一个特别受关注的领域，尤其与这些科学的基础相关。
我们也会讨论使用第一人称代词“我”时的自我指涉，例如在“我感到痛苦”或“我知道这首歌”中。本百科全书的其他几个条目涵盖了主体指称自身意义上的自我指涉，以及自我归因和自我认同与归因或认同他人的区别，这些内容包括自我知识、自我认知、自我意识、笛卡尔的认识论和内省。
哲学上对自我指涉的兴趣主要集中在悖论上。悖论是指看似合理的推理，基于看似正确的假设，却仍然会导致矛盾（Quine，1976）。再次思考一下上面那个说谎者句子。它是一个句子L，表达的是“句子L不为真”。当我们试图确定L是否为真时，会陷入矛盾。如果我们首先假设L为真，那么它必然表达了一个关于世界的真实陈述。由于L表达了“句子L不为真”，我们现在知道L不为真，这是一个矛盾。相反，假设L不为真。那么表达式“句子L不为真”就是真的。但引号中的表达式正是L所表达的陈述，所以L必然为真，这又是一个矛盾。因此，无论我们是否假设L为真，我们都会陷入矛盾。这样，我们现在得到了一个矛盾，它是由一个基于看似正确的假设的看似合理的推理得出的。因此，它构成了一个悖论。这个悖论被称为说谎者悖论。说谎者句子导致悖论，因为它是自指的，但自指并不是悖论的充分条件。真人说的句子“这句话是真的”并不矛盾，“这句话包含四个词”也不矛盾（尽管它是假的）。
大多数自我指涉悖论可以分为语义悖论、集合论悖论或认识论悖论。语义悖论，例如说谎者悖论，主要与真理论相关。集合论悖论与数学基础相关，而认识论悖论与认识论相关。尽管这些悖论所涉及的主题不同，但它们具有相同的底层结构，并且通常可以使用相同的数学方法来处理。
在本条目中，我们将首先介绍一些最著名的自我指涉悖论，并讨论它们共同的底层结构。随后，我们将讨论这些悖论对多个不同领域的深远影响：真理论、集合论、认识论、数学基础、可计算性。最后，我们将介绍解决这些悖论的一些最突出的方法。
1. 自指悖论
1.1 语义悖论
1.2 集合论悖论
1.3 认识论悖论
1.4 悖论中的共同结构
1.5 无否定悖论
1.6 无自指悖论
2. 悖论为何重要
2.1 语义悖论的后果
2.2 集合论悖论的后果
2.3 认识论悖论的后果
2.4 关于可证明性和可计算性的后果
3. 悖论的解决
3.1 构建显式层级结构
3.2 构建隐式层级结构
3.2.1 克里普克真理论
3.2.2 克里普克真理论的扩展与替代
3.2.3 隐式集合论中的层次结构
3.3 一般不动点方法
4. 最新进展
参考文献
其他网络资源
学术工具
相关文章
1. 自指悖论
1.1 语义悖论
自指悖论自古以来就为人所知。说谎者悖论的发现通常被认为是公元前4世纪的麦加拉人欧布里德斯。说谎者悖论属于语义悖论，因为它基于“真”的语义概念。其他著名的语义悖论包括格雷林悖论、贝里悖论和理查德悖论。
格雷林悖论涉及一个定义如下的谓词。如果一个谓词本身不为真，即它本身不具备其所表达的属性，则称其为异逻辑的。那么谓词“德语”就是异逻辑的。因为它本身不是德语单词，但谓词“deutsch”不是异类的。现在导致这个悖论的问题是：
“异类的”是异类的吗？
不难看出，无论我们对这个问题的回答是“是”还是“否”，我们都会得出一个矛盾（这个论证或多或少类似于说谎者悖论）。格雷林悖论是自指的，因为谓词“异类的”的定义指代所有谓词，包括谓词“异类的”本身。像这样依赖于一组实体（其中至少有一个是被定义的实体）的定义被称为非谓词性的。
贝里悖论是另一个基于非谓词性定义（或者更确切地说，基于非谓词性描述）的悖论。英语中有些短语是对自然数的描述，例如，“五加七之和”是对数字12的描述。贝里悖论出现在试图确定以下描述的含义时：
无法用少于100个符号的描述来指称的最小数字。
矛盾之处在于，这个包含93个符号的描述所表示的数字，根据定义，无法用任何少于100个符号的描述来表示。该描述当然是非直述的，因为它隐含地指称了所有描述，包括其自身。
理查德悖论考虑的是定义实数而非自然数的英语短语。例如，“圆的周长与直径之比”是一个定义π的短语。假设给出了所有此类短语的列表（例如，按字典顺序排列）。现在考虑这个短语：
当第 n 个短语表示的数的小数点后第 n 位为 0 时，该实数的小数点后第 n 位为 1；否则为 0。
这个短语定义了一个实数，因此它必定在枚举短语中，比如这个枚举中的数 k。但同时，根据定义，它与第 k 个短语表示的小数点后第 k 位的数不同。因此，我们得到了一个矛盾。定义短语显然是非直述的。这个悖论中使用的特殊构造称为对角化。对角化是一种通用的构造和证明方法，最初由格奥尔格·康托尔 (Georg Cantor) (1891) 发明，用于证明自然数幂集的不可数性。它也被用作康托尔悖论的基础，康托尔悖论是接下来要讨论的集合论悖论之一。
1.2 集合论悖论
最著名的集合论悖论是罗素悖论和康托悖论。罗素悖论源于考虑所有不属于自身的集合的罗素集合 R，即定义为 R={x∣x∉x} 的集合。矛盾由此得出：R 是否属于自身，即 R∈R 是否成立。如果 R∈R，则 R 属于自身，因此根据 R 的定义，R∉R。另一方面，如果 R∉R，则 R 不属于自身，因此根据 R 的定义，R 也属于自身。
康托悖论基于康托定理的一个应用。康托定理指出，给定任意有限或无限集合 S，S 的幂集的基数（规模）严格大于 S。该定理通过一种对角化形式证明，这与理查德悖论的思想相同。康托悖论考虑的是所有集合的集合。我们称这个集合为全集，并用 U 表示。U 的幂集记为 ℘(U)。由于 U 包含所有集合，因此它也包含 ℘(U) 的所有元素。因此 ℘(U) 必定是 U 的子集，其基数（大小）必定小于或等于 U 的基数。然而，这与康托尔定理相矛盾。
超博弈悖论是集合论悖论列表中较新加入的悖论，由 Zwicker (1987) 提出。如果一个双人博弈必然会在有限步内结束，我们称其为良基博弈。锦标赛象棋就是良基博弈的一个例子。我们现在将超博弈定义为：玩家 1 在第一步选择一个良基博弈进行，然后玩家 2 在所选博弈中迈出第一步。所有剩余的步数都是所选博弈的步数。超博弈必然是一个良基博弈，因为任何博弈都比某个给定的良基博弈多一步。然而，如果超博弈是良基的，那么它必然是超博弈第一步可以选择的博弈之一，也就是说，玩家1可以在第一步选择超博弈。这使得玩家2可以在后续步骤中选择超博弈，并且两个玩家可以无限地继续选择超博弈。因此，超博弈不可能是良基的，这与我们之前的结论相矛盾。
1.3 认识论悖论
最著名的认识论悖论是知者悖论（Kaplan & Montague, 1960; Montague, 1963）。该悖论有许多等价的表述，其中之一基于“这句话无人知晓”这句话。我们把这句话称为知者句，缩写为 KS。KS 显然与说谎者句非常相似，只是所涉及的核心概念是知识而不是真理。从KS得出矛盾的推理比说谎者悖论要复杂一些。首先，KS通过以下推理证明其为真：
假设KS不为真，则KS所表达的内容不可能成立，也就是说，KS必须为人所知。由于所有已知事物均为真（这是知识概念定义的一部分），因此KS为真，这与我们的假设相矛盾。由此得出KS为真的证明。
刚才为证明KS真实性而进行的推理应该适用于任何具有足够推理能力的主体（人）。也就是说，主体应该能够证明KS的真实性，从而知道KS成立。然而，如果KS为人所知，那么它所表达的内容就不是事实，因此它不可能为真。这是一个矛盾，由此我们得到了一个悖论。自我指涉在这个悖论中的作用显而易见，因为它基于一个直接指涉自身的句子 KS。
知者悖论只是众多涉及自我指涉的认识论悖论之一。有关认识论悖论类别的更多信息，请参阅“认识论悖论”条目。勃兰登堡-凯斯勒悖论（Brandenburger-Keisler，2006）是一个较新的认识论悖论，它以双人博弈中的信念和假设为背景，并在“博弈论的认识论基础”条目中进行了详细描述。有关自我指涉悖论的详细讨论和历史，请参阅“悖论与当代逻辑”条目。
1.4 悖论中的共同结构
上述悖论在结构上都非常相似。以格雷林和罗素的悖论为例，可以将其视为如下结构。将谓词的外延定义为它对其为真的对象的集合。对于谓词 P，我们将其外延表示为 ext(P)。格雷林悖论涉及谓词异逻辑，它对所有自身不为真的谓词都为真。因此，谓词异逻辑的外延是集合 {P∣P∉ ext(P)}。将其与由 {x∣x∉x} 给出的罗素集合 R 进行比较。这两个集合之间唯一显著的区别在于，前者定义在谓词上，而后者定义在集合上。基于这两个集合的矛盾证明也具有相同的结构，如下所示（其中“het”缩写为“heterological”）：
het∈ext(het) ⇔het∈{P∣P∉ext(P)}
⇔het∉ext(het)。
R∈R ⇔R∈{x∣x∉x}
⇔R∉R。
这里我们有两个结构几乎相同的悖论，它们分别属于两类不同的悖论：一类是语义悖论，另一类是集合论悖论。这告诉我们，即使悖论因涉及不同主题而看似不同，但它们的底层结构可能几乎相同。因此，在很多情况下，将自指悖论置于同一悖论下研究更为合理，而不是分别研究语义悖论和集合论悖论。
罗素悖论和康托悖论也比乍一看更相似。康托悖论基于康托定理在全集U上的应用（参见上文1.2节）。下面我们给出任意集合 S 的康托定理的证明。
我们需要证明℘(S) 的基数大于 S。假设得到一个矛盾，即事实并非如此。那么必然存在一个从 S 到℘(S) 的（可能是部分的）映射 f。现在考虑集合 C={x∈dom(f)∣x∉f(x)}。显然 C⊆S，所以 C∈℘(S)。由于 f 在℘(S) 上，那么必然存在一个集合 c∈dom(f)，使得 f(c)=C。然而，由于以下关系成立，我们得到了一个矛盾：
c∈f(c) ⇔c∈{x∈dom(f)∣x∉f(x)}
⇔c∉f(c)。
请注意，这个等价序列与上面罗素悖论和格雷林悖论推导的相应等价序列之间的相似性。现在考虑康托尔定理的一个特例，其中 S 是全集。然后，我们可以简单地选择 f 作为 ℘(S) 上的恒等函数，因为 S 是全集，因此 ℘(S)⊆S（任何集合都必须是全集的子集）。因此，f 是由 f(x)=x 定义的偏函数 f:℘(S)→℘(S)。但随后，上面的 C 就变成了罗素集，等价序列就成了罗素悖论中矛盾的证明！因此，康托尔悖论只不过是罗素悖论的一个细微变体；两者导致矛盾的核心论证是相同的。
Priest (1994) 更进一步证明了自指悖论之间的相似性，他证明它们都符合他最初称之为“限定罗素模式”（Qualified Russell's Schema）的理论，现在被称为“封闭模式”（Inclosure Schema）。其背后的思想可以追溯到罗素本人（1905），他也认为自指悖论具有共同的底层结构。给定两个谓词 P 和 Q，以及一个可能的部分函数 δ，封闭模式包含以下两个条件：
w={x∣P(x)} 存在且 Q(w) 成立；
如果 y 是 w 的子集，且 Q(y) 成立，则：
δ(y)∉y，
δ(y)∈w。
如果满足这些条件，则存在以下矛盾：由于 w 显然是 w 的子集，且 Q(w) 满足条件 1，因此，δ(w)∉w 和 δ(w)∈w 分别满足 2a 和 2b。因此，任何满足封闭模式的三元组 (P,Q,δ) 都会产生悖论。Priest 展示了大多数著名的自指悖论是如何适应该模式的。下面我们将仅讨论其中几个悖论，首先是罗素悖论。在本例中，我们将三元组 (P,Q,δ) 定义为：
P(x) 是谓词“x∉x”。
Q(y) 是所有对象都为真的全称谓词。
δ 是恒等函数。
然后，封闭模式中的 w 成为罗素集，而从该模式获得的矛盾成为罗素悖论。
对于 Richard 悖论，我们将三元组定义为：
P(x) 是谓词“x 是一个可以用英语短语定义的实数”。
Q(y) 是谓词“y 是一个可以用英语短语定义的实数可数集”。
δ 是一个函数，它将任意可枚举实数集 y 映射到实数 z，当 y 中第 n 个实数的第 n 位小数为 0 时，实数 z 的第 n 位小数为 1；否则为 0。（对 y 中的元素进行任何枚举都可以。）
这里，w={x∣P(x)} 成为所有可用英语短语定义的实数的集合。对于 w 的任何可枚举子集 y，δ(y) 都是一个实数，其构造与 y 中的所有实数不同（它与 y 中的第 n 个实数在第 n 位小数不同）。设 y 等于 w，则 δ(w)∉w。然而，同时 δ(w) 可以用英语短语定义，因此 δ(w)∈w，由此得到一个矛盾。这个矛盾就是理查德悖论。
说谎者悖论也符合罗素的模式，尽管方式略显牵强：
P(x) 是谓词“x 为真”。
Q(y) 是谓词“y 可定义”。
δ(y) 是句子“这个句子不属于集合 y”。
这里，w={x∣P(x)} 成为真句子的集合，δ(w) 成为说谎者句子的一个版本：“这个句子不属于真句子的集合”。
从以上可以得出结论，所有，或者至少大多数，自指悖论拥有共同的底层结构——无论它们是语义的、集合论的还是认知的。Priest（1994）认为，它们也应该拥有一个共同的解。Priest 称之为一致解原则：“同类悖论，同类解”。然而，封闭模式是否能够完全普遍地算作自指悖论的必要充分条件尚有争议（Slater，2002；Abad，2008；Badici，2008；Zhong，2012 等），因此并非所有作者都认同一致解原则。
连锁推理悖论是一个表面上完全不涉及自指的悖论。然而，Priest (2010b, 2013) 认为它仍然符合封闭模式，因此可以被视为一个自我指涉悖论，或者至少是一个应该具有与自我指涉悖论相同解决方案的悖论。这导致 Colyvan (2009)、Priest (2010) 和 Weber (2010b) 都提出了一种辩证法来解决 Sorites 悖论。这种解决 Sorites 悖论的方法遭到 Beall (2014a, 2014b) 的攻击，而 Weber 等人 (2014) 则为其辩护。Cobreros 等人 (2015) 研究了允许后果的概念，旨在对模糊性悖论（如 Sorites 悖论）和自我指涉悖论进行统一处理。允许后验关系是经典后验关系在多值逻辑中的弱化版本：它仅要求前提取值1（即只为真）时，结论不得取值0（即非只为假）。Bruni & Rossi (2023) 对语义悖论和逻辑悖论做出了更为近期的统一诊断，以一般的不可分辨性形式识别其来源。
1.5 无否定的悖论
迄今为止所讨论的大多数悖论本质上都涉及否定，例如，句子本身就声称它们不真实或不可知。当我们在下面的第二节中形式化自指悖论时，否定的核心作用将变得更加清晰。库里悖论是一个类似的自指悖论，但它并不直接涉及否定。库里悖论的一个语义变体来自以下库里句子C：“如果该句子为真，则F成立”，其中F可以是任何陈述，例如一个明显错误的陈述。假设库里句子C为真。那么它表达了一个真实的事实，即如果C为真，则F成立。然而，我们已经假设C为真，因此我们可以使用肯定前件推理推断F。现在我们已经证明，如果我们假设C为真，则F成立。这正是柯里句本身所表达的。换句话说，我们证明了柯里句本身为真！但与此同时，我们也得到了F为真，而这是一个悖论，因为F可以是任何陈述，包括明显为假的事物。例如，我们只需设F为句子“圣诞老人存在”即可轻松证明圣诞老人存在（Boolos, 1993; Smullyan, 2006）。在经典逻辑环境中，蕴涵式C→F等同于¬C∨F，柯里悖论仍然隐含地包含否定，但柯里悖论仍然具有独立的意义，因为它对底层逻辑的假设比说谎者悖论更少。更多详情，请参阅关于柯里悖论的条目。
1.6 不涉及自指的悖论
大多数经典的自指悖论都涉及直接的自指，例如在说谎者悖论中，一个句子直接指称自身。然而，也很容易构造出仅使用间接自指的悖论，即句子指称其他句子，而这些句子又指称其他句子，从而形成一个循环回到原句。明信片悖论就是一个例子，它通常被认为是菲利普·乔丹（Philip Jourdain，1879-1919）的杰作，但根据罗伊·索伦森（Roy Sorensen，2003，第332页）的说法，真正的发明者是牛津大学图书馆员G.G.贝里（G.G. Berry，1867-1928），前面提到的贝里悖论也被认为是他的创造者。在明信片悖论中，明信片的正面写着“背面的句子为真”，而背面写着“正面的句子为假”。要使正面的句子为真，背面的句子也必须为真；但要使背面的句子为真，正面的句子也必须为假。这是一个矛盾，其实现方式与说谎者悖论类似。文献中甚至还有更早的间接自指例子：约翰·布里丹（John Buridan）14世纪著作《诡辩》（Sophismata）（布里丹[SD]，休斯，1982）中的诡辩9在结构上与明信片悖论等同。
1985年，亚布罗（Yablo）成功构建了一个语义悖论，它完全不涉及自指，甚至不涉及间接自指。相反，它由无限的句子链组成，每个句子都表达了所有后续句子的不真实性。更准确地说，对于每个自然数i，我们将Si定义为句子“对于所有j＞i，Sj不为真”。然后，我们可以推导出如下矛盾：
