自指与悖论（完结）

U 是 Lα 中为真句子 ϕ 的哥德尔码 ⟨ϕ⟩ 的集合。

V 是 Lα 中为假句子 ϕ 的哥德尔码 ⟨ϕ⟩ 的集合。

此定义立即给出：对于所有 α，

(4)

φ 在 Lα⇔T⟨φ⟩ 中为真（假），在 Lα+1 中为真（假）。

构造的序列为 L0,L1,L2，……部分解释语言，使得 T 在 Lα+1 中被解释为 Lα 的真值谓词。这类似于塔斯基的语言层次结构，只是不同语言及其真值谓词之间没有句法区别。

序列 L0,L1,L2,… 有一个重要性质：对于每个 α，T 在 Lα+1 中的解释扩展了 T 在 Lα 中的解释，也就是说，当从 Lα 移到 Lα+1 时，T 的外延和反外延都会增加（或保持不变）。这意味着，可以通过将 T 的外延定义为 T 在 L0,L1,L2,… 中所有外延的并集来定义一个新的部分解释语言 Lω；反外延亦然。因此，在 Lω 中，T 的解释扩展了 T 在所有先前语言中的解释。这提供了一种策略，可以将真值谓词的迭代构造延续到超限序列中：对于每个后继序数 α+1，从 Lα 定义 Lα+1，其定义方式与上述有限情形完全相同；对于每个极限序数 σ，从先前的语言 (Li)i＜σ 定义 Lσ，其定义方式与 Lω 的定义方式相同（关于序数及其在此语境中的用法的详细解释，请参阅真修正理论条目）。现在，通过简单的基数考虑，可以得出这个超限语言序列最终会稳定：存在一个序数 γ 使得 Lγ=Lγ+1。因此，得到 (4) 式的以下实例：

(5)

φ 在 Lγ 中为真（假）⇔T⟨φ⟩ 在 Lγ 中为真（假）。

这表明 Lγ 实际上是一种包含其自身真值谓词的语言：任何句子 ϕ 为真（假）当且仅当表达其真值的句子 T⟨ϕ⟩ 为真（假）。等价式 (5) 只不过是塔斯基模式 T 在三值环境下的语义类似物。语言 Lγ 的构造是克里普克 (1975) 的主要贡献之一。它表明，在三值逻辑环境下，一种语言实际上可以包含其自身的真值谓词。不难看出，第三个值，未定义，对于使事情顺利进行至关重要：如果 Lγ 是一种完全解释型语言（即，一种没有未定义句子的语言），那么根据上述 (5)，Lγ 将满足模式 T。然而，这立即与塔斯基关于这种完全解释型语言可以存在的定理相矛盾。

在​​ Lγ 中接收未定义值的句子中，有说谎者句子。克里普克理论中隐含的说谎者悖论的解是：由于同时假设说谎者句子为真和为假都会导致矛盾，因此它必然是未定义的。据说说谎者句子存在真值缺口。在克里普克的论文发表之前，通过允许真值缺口来避免说谎者悖论的想法确实在文献中出现过多次，但克里普克是最早将其作为真正理论组成部分的人之一。

与说谎者悖论的层次结构解决方案一样，真值缺口解决方案也被许多人认为存在问题。主要的批评在于，通过使用三值语义，我们得到的是一种表达能力较弱的解释型语言。例如，在克里普克的任何一种语言中，都不可能存在一个表达未定义属性的谓词。事实上，克里普克本人也指出了这一点。如果一种部分解释型语言包含这样的谓词，在该语言中，可以表述如下强化说谎者句子：“这句话要么是假的，要么是未定义的”。强化说谎者句子为真当且仅当其为假或未定义，因此我们得到了一个新的悖论，称为强化说谎者悖论。强化说谎者悖论的问题被称为复仇问题：给定任何说谎者悖论的解，我们似乎可以得出一个新的强化说谎者悖论，类似于说谎者悖论，但仍然未得到解决。其思想是，无论所谓的解声称说谎者句子具有何种语义状态，如果我们被允许在对象语言中自由引用这种语义状态，我们就能生成一个新的悖论。

克里普克语言无法表达其自身的未定义谓词，这也意味着我们无法在克里普克对象语言中表达诸如“说谎者句子未定义”这样的陈述。事实上，在克里普克的语言 Lγ 中，说谎者语句是未定义的，因此前一个句子表达了关于 Lγ 的真值，而这个真值无法在 Lγ 本身中表达（因此该语言在表达上是不完整的）。为了表达真值语句“说谎者语句是未定义的”，我们被迫上升到 Lγ 的元语言。正如克里普克 (1975) 本人所说：“塔斯基层级结构的幽灵依然萦绕在我们身边。”

3.2.2 克里普克真理论的扩展与替代

继克里普克的工作之后，人们进行了诸多尝试，试图构建包含自身真值谓词且不受强化说谎者报复问题困扰的语言。其中许多尝试都集中在修改或扩展底层的强三值逻辑上，例如修改条件的语义（Field，2003，2008）或允许无限数量的真值（Cook，2007；Schlenker，2010；Tourville 和 Cook，2016）。

克里普克的理论通过赋予说谎者悖论未定义的值来规避它。规避说谎者悖论的另一种方法是，在合适的副相容逻辑中赋予它真和假的值。根据辩证法的观点，这将是正确的解决方案，参见第二节。最简单的副相容逻辑之一是 LP，它是一种三值逻辑，其真值表与上面提出的克莱尼强三值逻辑相同——唯一的区别在于第三个真值被解释为真和假，而不是未定义的。优先使用副相容逻辑而不是部分逻辑的一个原因是，像说谎者悖论这样的悖论句子可以被建模为真正的矛盾（dialetheia），而不是真值缺口。我们再次参考关于辩证法和副相容逻辑的条目以获取更多信息。

选择在于真值缺口和真值过剩之间：真值缺口是指没有真值的陈述，既非真亦非假（例如克莱尼强三值逻辑中的“未定义”），而真值过剩是指具有多个真值的陈述，例如既真亦假（例如副相容逻辑LP中的陈述）。也有一些论证支持同时存在缺口和过剩，例如，让真值集构成一个双格（Fitting，2006；Odintsov and Wansing，2015）。最简单的非平凡双格恰好有四个值，在真值的语境下，它们被解释为：真、假、⊥（既非真亦非假）和⊤（既真亦假）。

有关克里普克理论及其后继者和竞争对手的更广泛讨论，请参阅关于说谎者悖论的条目。

3.2.3 集合论中的隐式层次结构

构建隐式而非显式的层次结构也是集合论中常用的思想。奎因 (1937) 的《新基础》(NF) 是对简单类型理论的一种修改，其中将句法类型的分层替换为基于理解原则的分层：

NF 理解：

对于所有分层公式 ϕ(x)，∀u(u∈{x∣ϕ(x)}↔ϕ(u))。

如果存在从 ϕ 的变量到自然数的映射 σ（分层），使得如果 u∈v 是 ϕ 的子公式，则 σ(v)=σ(u)+1；如果 u=v 是 ϕ 的子公式，则 σ(v)=σ(u)。显然，公式 x∉x 并非分层的，因此 NF 理解原则不能用于在该理论中表述罗素悖论。奎因的《新基础》本质上是通过从语法中隐藏类型而从类型理论中获得的。因此，该理论仍然使用层次结构方法来避免悖论，但层次结构通过不在公式语法中表示而变得隐含。Cantini (2015) 研究了在真理论的背景下模仿这种隐含层次结构方法的可能性（实现了隐含表示的塔斯基真值层次结构）。

策梅洛-弗兰克尔集合论 (ZF) 是另一种基于隐含层次结构思想来规避悖论的理论。然而，它实现的方式远不如 NF 直接。在 ZF 中，集合是自下而上构建的，从空集开始，使用并集和幂集运算迭代构造越来越大的集合。这将生成一个层次结构，其中最低层级（即层级 0）为空集，并通过幂集运算从层级 α 的集合生成层级 α+1 的集合。类似于克里普克的迭代构造，该过程使用极限序数层上的并集算子继续进行到超限。得到的层次结构称为累积层次结构。ZF 的公理之一，即基础公理，指出 ZF 的每个集合都存在于此累积层次结构的某个层级上。换句话说，基础公理指出，除了可以通过刚才描述的迭代过程自下而上构造的集合之外，ZF 中不存在其他集合。由于在累积层次结构中，不存在包含自身的集合、全集和非良基集，因此任何已知的悖论都不能立即在该理论中得到表述。这本身显然并不能确保 ZF 的一致性，但至少说明了集合层次结构的思想在 ZF 中也发挥着重要作用。ZF 在集合论中享有特权地位，因为它是当今数学形式基础最广为认可的候选者。

3.3 一般不动点方法

上文提出的克里普克真值谓词迭代构造方法，可以看作是一种更一般的不动点方法的实例，该方法用于构建真值的形式化理论。不动点方法已成为当代真值的形式化理论的核心。其主要思想是先有一个真值修正算子，然后寻找该算子的不动点。这类不动点方法的核心是一些合适的不动点定理，用于保证某些类型的算子存在不动点。目前已有多种不同的不动点定理。现在考虑其中一种较为简单的定理。

不动点定理。

设τ是链式完全偏序（以下简称ccpo）上的单调算子。则τ存在一个最小不动点，即存在一个最小f使得τ(f)=f。ccpo 是一个偏序 (D,＜)，其中 D 的每个全序子集都有一个最小上界。D 的全序子集称为 D 中的链。(D,＜) 上的单调算子是一个映射 τ:D→D，满足：

对于所有 d1,d2∈D，d1≤d2⇒τ(d1)≤τ(d2)。

克里普克构造以如下方式满足上述不动点定理。首先注意到，仅在 T 的解释上有所不同的部分解释语言集合构成一个 ccpo：只需将这些语言的排序定义为 L1≤L2，当且仅当 T 在 L2 中的解释扩展了 T 在 L1 中的解释（即，T 在 L1 中的外延和反外延包含在 L2 中的外延和反外延中）。然后在这些语言上定义一个真值修正算子τ：

(6)

τ(L)=L′，其中T⟨ϕ⟩在L′中为真（假），当且仅当ϕ在L中为真（假）。

注意，如果Lα是克里普克构造中的语言之一，则Lα+1=τ(Lα)。这个真值修正算子τ的思想是，如果τ(L)=L′，则L′将是一种将T解释为L真值谓词的语言。因此，如果对于某个L，τ(L)=L，也就是说，如果L是τ的不动点，则L将是一种包含自身真值谓词的语言。这激发了对τ不动点的探索。由于τ很容易被证明是单调的，根据不动点定理，它有一个最小不动点。不难看出，这个不动点正是克里普克真理论中构造的语言Lγ。因此，克里普克的构造在单调算子的不动点设置中被重新捕获。

引入附加机制的目的不仅仅是重新发现语言Lγ。其目的在于提供一个更加通用和抽象的框架，从而可能引出新的真理论，并对语义悖论提供进一步的见解。事实证明，除了 Lγ 之外，上面定义的真值修正算子 τ 还有许多有趣的不动点。通过考虑将解释型语言集合转化为 ccpo 的其他方法，也可以获得新的真理论。例如，可以添加一个额外的真值，并在四值逻辑中考虑这种情况，就像 Fitting (1997) 所考虑的那样；或者可以删除未定义的第三个真值，并在完全经典的环境中构建 ccpo。在经典环境中，注意力仅限于完全解释型语言（其中每个句子要么为真要么为假的语言），并且对它们的排序定义为：L1≤L2 成立，当且仅当 L1 中的真值谓词的扩展包含在 L2 中的真值谓词的扩展中，即当且仅当 L2 指出的句子至少与 L1 一样多。这给出了一个 ccpo。通过在适当定义的修正算子上运用不动点定理，可以相当容易地证明存在一个包含真值的正定定义的完全解释型语言。这意味着，该解释型语言具有一个谓词 T，满足以下限制版的 T 模式：

(7)

对于所有正定句 ϕ，ϕ↔T(⟨ϕ⟩)，

其中正定句是指未使用否定 (¬) 构建的句子。由于 (7) 在完全解释型语言中可满足，因此包含 (7) 中句子作为公理的一阶理论必定是一致的。这与塔斯基定理形成对比，塔斯基定理指出，非限制型 T 模式是不一致的。如果将非限制型理解原理类似地限制于正定公式，我们也能得到一个一致的理论。这最初由 Gilmore (1974) 证明。不动点方法也是 Belnap 和 Gupta (1993) 提出的真修正理论的出发点。真修正理论是自克里普克理论以来发展起来的最具影响力的真理论和语义悖论。修正理论将由 (6) 定义的标准真修正算子 τ 视为完全解释语言上的算子。在这些语言上，τ 没有不动点：如果它有这样的不动点 L，那么 L 就是满足完整模式 T 的完全解释语言，这与塔斯基定理直接矛盾。由于 τ 在完全解释语言上没有不动点，修正理论改为考虑完全解释语言的超限序列 L1,L2, … , Lω,Lω+1, …，满足：

对于任意后继序数 α+1，Lα+1=τ(Lα)。

对于任意极限序数σ和任意句子φ，如果φ在序列(Lα)α＜σ中稳定在真（假）值上，则φ在Lσ中为真（假）。

在这样的序列中，每个句子φ要么最终稳定在一个经典真值（真或假）上，要么永远无法稳定。一个永远无法稳定的句子的例子是说谎句子：如果说谎句子在某种语言Lα中为真，那么它在Lα+1中为假，反之亦然。因此，修正理论给出了一种对真值的解释，它正确地将说谎句子的行为建模为永远无法稳定在真值上的句子。修正理论认为，这比克里普克理论（在克里普克理论中，说谎句子被简单地赋予未定义的值）给出了更正确的真值和自指称解释。真修正理论和克里普克式不动点理论仍在积极研究中（Gupta and Standefer，2017；Hsiung，2017；Schindler，2017）。关于修正理论的完整阐述，请参阅“真修正理论”条目。

将自指现象作为不动点进行研究，并不局限于真理论。例如，在认识论悖论的背景下，Abramsky 和 ​​Zvesper (2015) 将勃兰登堡-凯斯勒悖论视为不动点结果。

4. 最新进展

Murzi 和 Massimiliano (2015) 概述了解决这些悖论方法的最新进展：准完备性（允许真值缺口）、准一致性（允许真值过剩）、子结构逻辑（弱化经典逻辑的逻辑原理），以及这些方法将导致或可能导致的报复问题。近年来，子结构逻辑作为解决悖论的良方，其研究成果包括 French (2016)（舍弃了反身性）、Caret、Colin 和 Weber (2015)、Shapiro 和 Lionel (2015)、Mares 和 Paoli (2014)（舍弃了缩略性），以及 Cobreros、Égré、Ripley 和 van Rooij (2014)（舍弃了及物性）。最近，Synthese 出版了一本特刊，专门探讨了子结构逻辑在悖论中的应用（2021 年 12 月刊，Zardini 作序，2021 年）。Achourioti 等人（2015 年编）的特刊收录了几篇关于自指以及如何在真理论的背景下避免悖论的论文。

Volker Halbach 和 Albert Visser (2014a, 2014b) 对算术中的自指进行了非常详细的研究，研究了算术句子赋予自身属性的含义，以及这如何取决于所选择的编码、不动点构造的细节等。Albert Visser (2019) 也是研究在证明诸如哥德尔第二不完备定理等经典定理时，我们可以避免多少自指的作者之一。

目前仍有研究试图描述悖论的确切含义 (Hsiung, 2022)。这在某种程度上体现了 Priest 的封闭方案以及上文提到的图论悖论分类的精神。找到悖论所需的确切必要和充分条件仍然是一个悬而未决的问题。此外，还有一些研究致力于准确定义自指的含义 (Picollo, 2018, 2020)。Grabmayr、Halbach 和 Ye (2023) 区分了真正的自指和偶然的自指，从而试图对自指进行更细致的分析。通过仔细研究我们使用的哥德尔编号类型，也可以对自指涉性进行更细致的分析 (Grabmayr and Visser, 2023; Kripke, 2023)。