Modal Logic的现代起源（一）

模态逻辑可以广泛地视为不同类型的方式的逻辑，或者语言模式：艾奇（“必要”），认识（“众所周知”），神声（“它应该是”）或时间（“它应该是”）或时间（“在其他情况下，这总是如此。 这些运营商的常用逻辑特征证明了通用标签。 然而，在严格的意义上，术语“模态逻辑”被保留用于致物质的逻辑，而不是例如时间或文学逻辑。 从仅仅是技术的角度来看，任何带有非真实功能运算符的逻辑，包括一阶逻辑，都可以被视为模态逻辑：在此透视中，量化器也可以被视为模态运算符（如在Montague 1960中）。 尽管如此，我们遵循对模态逻辑的传统理解，不包括全面的一阶逻辑。 在这种观点中，可以被视为受限制量词的模态运算符，从特殊的实体范围内，如可能的世界或时间瞬间。 亚瑟先前是第一个哲学家/逻辑学家中的一个，强调模态系统S5可以转化为一阶逻辑的片段，他称为“统一的Monadic一阶谓词微积分”（之前和罚款1977：56）。 Monadic，因为世界之间没有任何关系，需要为S5表示; 并且均匀只需要一个变量来在绑定时量化世界（即时），并在自由时参考特权状态（实际世界或现在）（见之前和精细的1977）。 关于模型理论特征的技术问题表征模型逻辑被视为表现为乖巧的一阶逻辑的碎片，请参阅Blackburn和Van Benthem的“模态逻辑：语义透视”（2007A）。

该进入的范围是近期模态逻辑的历史发展，严格理解为必要性和可能性的逻辑，尤其是模态逻辑系统的历史发展，无论是在句法和语义上，来自C.I. Lewis于1912年开始的开创性工作，第一个系统于1918年设计，在20世纪60年代初到了Kripke的工作。 在那个短期时间不到五十年的时间里，莫代尔逻辑蓬勃发展哲学和数学。 在数学上，在数学中开发了不同的模态系统，并且代数进步有助于培养这种系统的模型理论。 这在开发正式语义方面，该语义扩展到模态逻辑成功的一阶模型理论技术，从而为许多，但不是全部，系统提供了完整性和可解锁性的结果。 哲学上，不同系统的可用性和采用可能的世界模型 - 理论语义自然而然地伴随着对鲜明的必需性质的思考，就像正式语义的角色，以及可能的世界的性质，提到几个。 特别地，不同系统的可用性使模态逻辑的哲学问题是正确的，在模态运算符的一些预期解释下，例如逻辑或形而上的必要性。 有关模态逻辑，特别是量化的模态逻辑的可解释性的问题被奎因坚持不懈地提出。 本条目中没有追求所有这些问题，主要致力于主题的正式发展。 在奎风的解释性问题上看到了Ballarin 2021。

模态逻辑是一种丰富而复杂的主题。 此条目不会出现对所有开发的系统的完整调查，并在考虑的时间流逝中证明了所有模型理论结果。 然而，它确实提供了对旨在为那些寻找主题的历史概述的主要系统的有意义的调查，即使不是全包，也划分最有趣的模型理论结果，并表明进一步的探索。 公牛和塞尔伯格（1984：3）采用了有用的模态逻辑的原始逻辑来源分为三种不同的传统 - 句法，代数和模型理论。 对于其他不太有影响力的传统，见公牛和Segerberg（1984：16）。 另见Lindström和Segerberg的“模态逻辑和哲学”（2007）。 此条目的主要焦点在命题模态逻辑上，同时仅讨论了量化模态逻辑的语义的一些特定方面。 有关量化模态逻辑的更详细处理，请参阅Modal Logic上的SEP条目。 关于条目的符号，请注意，⇒是通过刘易斯的鱼鹰而受到严格的含义，而且对于严格的等价。

1.句法传统

1.1刘易斯系统

1.2刘易斯系统的其他系统和替代公理

2.矩阵方法和一些代数结果

3.模型理论传统

3.1卡内帕

3.2 Kripke可能的世界语义

参考书目

介绍性文本

主要文学

二级文献

学术工具

其他互联网资源

相关条目

1.句法传统

在1912年的开创性文章中，记住“逻辑的含义和代数”C.I. 刘易斯开始对他所谓的“物质暗示悖论”的担忧来说。 刘易斯指出，在罗素和白头的Principia Mathematica中我们发现了两个“令人震惊的定理：（1）虚假命题意味着任何命题，（2）任何一个命题暗示的真正命题”（1912：522）。 在符号：

¬p→（p→q）

和

p→（q→p）

刘易斯并没有对这些定理异议的反对：

在自己，他们既不是神秘的谚语，也不是伟大的发现，也不是荒谬的荒谬。 它们仅在尖锐的轮廓中展出，“意味着”已被纳入代数。 （1912：522）

然而，定理是“暗示”的预期含义不足，以及我们的实际推理模式，即预期意义试图捕获。 因此，刘易斯记得有条件连接→或⊃的预期意义，这是英语单词“意味着”的含义。 “意味着”的含义是“普通推理和证据”（1912：531）根据该命题暗示另一个命令，如果第二则可以从第一逻辑上推断出第二个。 鉴于这样的解释，（1）和（2）不应该是定理，因此命题逻辑可被视为对读取→逻辑暗示的读数的非疑问Vis-in-in-Vis。 考虑（2）例如：从命题P的纯粹真理，它没有（逻辑上）遵循P从逻辑上从任何命题逻辑上遵循。 另外，鉴于逻辑暗示的预期读数和（¬p→q）和（p∨q）的等价，刘易斯infers在这种情况下，刘易斯infers of Contercence Confence offence offence（p∨q）刚刚持续到p不是这种情况，q的情况必须是q。

基于连接的延伸和海拔读数之间的区别，对刘易斯的区分，对这种类型的考虑。 在1880年休克MACOLL中，在一系列八篇论文中发表的符号推理，声称（P→Q）和（¬p∨q）不等同：（¬p∨q）从（P→Q）之后，但不是副有关（MacColl 1880：54）。 这是这种情况，因为麦克科尔解释∨是常规的扩展分离，→作为密集的暗示，但是从P的虚假或真实的真实性，它不遵循没有Q的P是逻辑上不可能的。 在该系列的第二个论文中，Maccoll在确定性，可能性和变量陈述之间区分，并将希腊字母作为索引介绍以对命题进行分类。 所以αε表示α是一种确定性，α是不可能的αη，并且α是变量的αθ，即既不确定也不是不可能的（麦克科1897：496-7）。 使用此三倍的语句分类，Maccoll继续区分因果关系和一般含义。 如果α为真β是真实的，则陈述α和β之间存在因果暗示α和β是真实的，并且β不是确定性。 每当α和非-β不可能时，通常暗示α和β保持在α和β之间，因此每当α是不可能性或β确定性（1897：498）时，特别是α和β。 指数的使用将门打开到模态的迭代，并致力于阐明与迭代指数的陈述的含义的第三纸（Maccoll 1900：75-6）的开始，包括真理和ι的τ。 因此，例如，aηιε被读为“肯定是假的，即不可能是假”（请注意索引从右读取）。 有趣的是，Bertrand Russell的1906年Maccoll象征符号逻辑及其应用程序（1906）揭示了Russell并不了解一个命题的变异性的模态理念，因此错误地归因于宏观和句子之间的混乱作为命题，如罗素达成了句子的句子，因此真实值，没有固定。 同样，确定性和不可能的是命题功能的russell材料属性（真正的一切或一无所有），而不是主张的模态属性。 有可能说Maccoll的作品太早来了，摔倒了耳鼻。 事实上，Rescher关于罗素的宣布难以了解Maccoll的象征主义，更重要的是，Russell对逻辑的看法对Domal Logic的发展产生了负面影响（“Bertrand Russell和Modal Logic”，1974年：85-96）。 尽管Maccoll早期的工作，但刘易斯可以被视为句法传统的父亲，而不仅仅是因为他对后来的逻辑学家的影响力，但特别是他对含有新的密集结缔的各种系统的发展。

1.1刘易斯系统

在“严格含义的微积分”（1914）刘易斯提出了两种可能的Whitehery和Russell的Principia Mathematica的替代品。 引入严格暗示系统的一种方法包括从系统中的那些定理中消除，如上面的（1）和（2）的定理，这对于物质含义而言，而不是严格的暗示，因此在任何情况下都没有获得声音系统和严格的含义。完成。 第二个，更富有成效的替代方案在于引入一个新的严格含义制度，仍然在怀特麦满和罗素体系的物质意蕴上建模，这将包含（全部或一部分）扩展命令逻辑作为适当的部分，但是渴望完全至少严格完成含义。 在符号逻辑（1918）的调查中进一步开发了该第二选项。 刘易斯介绍了一个第一个系统，以捕捉普通，严格的含义，由以下想法为指导：

除非“意味着”有一些“适当的”意义，否则没有有效的标准，甚至可能争论是否有一个问题。 然而，问题是什么是“正确的”含义“意味着”？ 仍然是特殊的困难。 （1918：325）

1918年系统作为原始的不可能性（¬⬦）的概念，定义了在其术语中严格含义的操作员，并且仍然采用了密集分离的运营商。 然而，帖子将证明该系统导致必要性崩溃 - 或者，不可能对虚假 - 因为从其定理（（p⇒q）⇔（¬⬦q⇒¬⬦p））以来，可以证明（¬p⇔¬⬦p）。 1920年，“严格含义 - 一个修饰”，刘易斯修复了旧的系统代替较弱的公理（（p⇒q）⇒（¬⬦q⇒¬⬦p））。 最后，在刘易斯和Langford的体积符号逻辑（1932：492-502）附录II中，“严格含义系统的结构”（削弱）1918系统被赋予新的公理基础。

在1932年附录C.I. 刘易斯推出了五种不同的系统。 模态原始符号现在是可能性的操作员⬦，严格的含义（p⇒q）被定义为¬⬦（p∧¬q），并且∨是普通的延伸分离。 虽然刘易斯在通常的方式中，但也可以介绍和定义必要性运算符◻。

其中P，Q和R是命题变量，系统S1具有以下公理：

S1的公理

（p∧q）⇒（q∧p）

（p∧q）⇒p

p⇒（p∧p）

（（p∧q）∧r）⇒（p∧（q∧r））

p⇒¬¬p

（（p⇒q）∧（q⇒r））⇒（p⇒r）

（p∧（p⇒q））⇒q

通过麦肯锡（1934）冗余证明了公理B5，从而可以忽略。

规则是（1932：125-6）：

S1规则

均匀的替代

如果将公式均匀地被替换为命题变量，有效的公式仍然有效。

替代严格的等同物

两个严格的等效式中的任何一个都可以彼此代替。

添加

如果被推断出φ和ψ，则可以推断出φ∧ψ。

严格推断

如果已经推断出φ和φ⇒ψ，则可以推断出ψ。

系统S2是通过添加Lewis调用“一致性假设”的系统S1来获得的，因为它显然是⬦解释为一致性：

⬦（p∧q）⇒⬦p

通过添加Axiom从系统S1获得系统S3：

（（p⇒q）⇒（¬⬦q⇒¬⬦p））

系统S3对应于1918年的调查系统，其中刘易斯最初被认为是严格含义的正确系统。 到1932年，刘易斯已经开始更喜欢系统S2。 如刘易斯1932：496所报告的原因是，Wajsberg和植物中的系统S3--在1918年的1918年的公务化 - 以下定理：

（p⇒q）⇒（（q⇒r）⇒（p⇒r）），

根据刘易斯的说法不应被视为扣除的有效原则。 1932年，刘易斯不确定在S2中不可能衍生出质疑的定理。 如果是，他将判断S1作为严格含义的正确系统。 然而，帕里（1934）稍后会证明这两者也不是

（p⇒q）⇒（（q⇒r）⇒（p⇒r））

可以派生在S2中。

可以将进一步的存在公理添加到所有这些系统中：

（∃p，q）（¬（p⇒q）∧¬（p⇒¬q））

添加B9使得不可能将⇒作为物质意义解释，因为在物质意义的情况下，可以证明对于任何命题P和Q，（（P→Q）∨（P→¬Q））（1932：179）。 来自B9刘易斯继续推断出至少四个逻辑上不同的命题的存在：一个真实和必要的，一个真实但没有必要，一个假，不可能，一个错误但不是不可能的（1932：184-9）。

以下贝克尔（1930年），刘易斯考虑了三个：

三个额外的公理

¬⬦¬p⇒¬⬦¬¬⬦¬p

⬦p⇒¬⬦¬⬦p

p⇒¬⬦¬⬦p

系统S4将Axiom C10添加到S1的基础上。 系统S5基于S1的基础添加Axiom C11，或者C10和C12。 刘易斯通过注意到，通过专注于比S5弱，而不是在S5上专注于S5，最好地服务于逻辑的研究。

严格暗示的悖论也出现了物质含义。 鉴于严格的暗示（p⇒q）定义为¬⬦（p∧¬q），因此不可能的命题意味着任何内容，任何必要的命题都暗示了任何内容。 刘易斯认为这是应该的。 由于不可能性被认为是逻辑不可能的，即，最终是一个矛盾，刘易斯认为，从不可能的命题（pp∧¬p-p），p和¬p都是如此。 从P我们可以派生（p∨q），以便任何命题Q。 从¬p和（p∨q），我们可以派生q（1932：250）。 这一论点是有争议的，因为人们可以争辩说原则（p⇒（p∨q））不应该是旨在表达普通含义的系统的定理（参见，例如，Nelson 1930：447）。 无论这种论证的优点，那些不同意刘易斯的人开始根据留言要求超过刘易斯严格暗示的假设开发了一项有关的逻辑。 参见，例如，纳尔逊1930，Streamson 1948和Bennett 1954.另请参阅相关性逻辑的SEP条目。

请注意，Lewis的搜索系统APT以表达严格的含义，以表达Quine拒绝模态系统，根据使用提及的混淆，因为这些系统被配制到类似于一致性，含义，衍生能等的物体级别证明或语义概念。和理论（实际上，只要P→Q是命题定义定理，系统S1，以及所有其他更强大的刘易斯系统，都可以证明p⇒q（招架1939：143））。

1.2刘易斯系统的其他系统和替代公理

Gödel在“直觉命题微积分的解释”（1933）中是第一个提出刘易斯系统S4的替代公理化，该lewis系统S4将该系统的命题与模态公理和规则分开。 Gödel将以下规则和公理添加到命题微积分。

如果⊢α。然后⊢◻α，

⊢◻（p→q）→（◻p→◻q），

⊢◻p。→p，和

⊢◻p→◻◻p。

最初，Gödel采用了可执行的操作员B，以翻译Heyting的原始直觉连接，然后观察到，如果我们用必要的操作者替换B.我们获得系统S4。 Gödel还声称，除非◻p或◻q提供，否则在S4中不可提供公式◻p∨◻q。 吉尔德尔的索赔将由McKinsey和Tarski（1948）代数证明。 Gödel的简短说法对于开始将命题微积分与严格模态部件分离的公正模型的富有成效实践非常重要，而且还用于连接直觉和模态逻辑。

Feys（1937）是通过从哥特式系统S4减去Axiom 4的第一个提出系统T（另见1965：123-124）。 在模态逻辑（1951）的一篇文章中（1951）von Wright讨论了含有，认知和语言模式，并介绍了系统m，Sobociński（1953）将证明相当于Feys系统T. Von Wright（1951：84-90）证明系统M包含刘易斯的S2，其中包含S1-Where Systems Sys System S的'如果S'中的所有公式都可以证明。 系统S3，S2的延伸，不包含在M.中不包含在S3中。 von wright发现了小小的独立兴趣的S3，并且没有理由采用S3而不是更强大的S4。 通常，刘易斯系统按强度顺序编号，S1最弱，S5最强，较弱的系统被包含在更强的系统中。

LEMMON（1957）还遵循Gödel在命题微积分基础上的拟结构模态系统，并提出了lewis系统的替代公理化。 如果PC是命题微积分基础，则PC可以被称为以下三个规则（1957：177）：

命题计算PC的表征

主成分分析

如果α是Tautology，那么⊢αpcb

替换命题变量

沉淀碳酸钙

材料脱离/ modus ponens：如果α和α→β是tautologies，那么β是如此

lemmon系统中的进一步规则是：

（一）

如果⊢α则⊢◻α（必然）

（一个'）

如果α是TaItology或Axiom，那么⊢◻α（b）

如果⊢◻（α→β）那么⊢◻（◻α→◻β）（b'）

严格等同物的可替代性。

Lemmon系统中的其他公理是：

◻（p→q）→◻（◻p→◻q）

◻（P→Q）→（◻p→◻q）（公理k）

◻p。→p。（公理T）

（◻（p→q）∧◻（q→r））→◻（p→r）

使用上述规则和公理lemmon定义了四个系统。 被证明的系统P1等于刘易斯系统S1，采用命题基础（PC），规则（A'） - 所处的是TaItologies和Axioms-and（B'）和公理（2）和（3）。 系统P2，相当于S2，采用（PC），规则（A'）和（B），以及公理（2）和（1'）。 系统P3，相当于S3，采用（PC），规则（A'）和公理（2）和（1）。 系统P4，等于S4，采用（PC），规则（A）和公理（2）和（1）。 在Lemmon的公理化中，易于看出S3和von Wright的系统M（Feys't）彼此不包括在内，给定M更强的必变规则和S3更强的公理（1）代替（1'）= K.一般来说，lemmon的公理化使不同刘易斯系统之间的逻辑区别更加明显。

LEMMON考虑一些比S1弱一些系统。 特别感兴趣的是系统S0.5通过用较弱的规则（a“）替换规则（a'）来削弱S1：

（一个“）

如果α是正文的，那么⊢◻α。

LEMMON将系统S0.5解释为命题微积分的形式化的Metalogic，其中◻α被解释为“α是正文的”。

我们称之为“正常”的系统，包括PC，AXIOM K和必变规则。 系统K是最小的正常系统。 System T将Axiom T添加到系统K.系统B（Brouwersche System）添加Axiom B

⊢p⇒◻⬦p（相当于Becker的C12）

到系统T. S4将Axiom 4（相当于Becker的C10）添加到系统T. S5增加了Axioms B和4，或者Axiom E