Modal Logic的现代起源（二）
⊢⬦p⇒◻⬦p（相当于Becker的C11）
对于系统T. Lewis的系统S1，S2和S3是非正常的，因为它们不包含必变规则。 对于这些（和其他）系统之间的关系，以及公理施加的框架的条件，请参阅模态逻辑上的SEP条目。
这里只提到了在文献中讨论的刘易斯系统的许多扩展中的少数。 Alban（1943）通过添加到S2 Axiom⊢⬦⬦p来介绍系统S6。 Halldén（1950）呼叫S7将Axiom⊢⬦⬦p添加到S3和S8的系统，并通过添加Axiom⊢¬⬦¬⬦⬦p延伸S3。 虽然添加了普遍可能性的公理⊢⬦p将与所有刘易斯系统不一致，因为它们都包含形式⊢◻p，系统S6，S7和S8的定理是一致的。 相反，将这些公理中的任一个添加到S4，也可以在S5中添加到S5，导致系统不一致，给出了S4⊢⬦⬦p⇒⬦p的系统。 Halldén还证明了公式是S3的定理，如果它是S4和S7（1950：231-232）的定理，因此S4和S7是S3的两个替代延伸部。
2.矩阵方法和一些代数结果
在“关于命题逻辑的多价逻辑系统的哲学言论”（1930年;但Łukasiewicz1920是本文主要思想的初步波兰语版本），Łukasiewicz说：
当我认识到传统定理在1920年的模态命题上的不兼容时，我通过基质方法建立了普通“双值”命题微积分的系统。 我在普通命题微积分中的所有论文都可以证明他们的命题变量可能仅采用两个值，“0”或“假”，以及“1”或“真实”的所有这些论文。 （1970：164）
这篇文章说明了Łukasiewicz在二十年代初期的思考。 首先，他正在以代数术语思考，而不是在句法上，关于他自己的建造并不是那么多的新系统，而是通过对相对的价值观进行评估。 其次，他正在引入三维矩阵，为命题的概念（对未来的特征起来，既不是真，也不是假的逻辑空间，并且接受新的不确定值½。 具有讽刺意味的是，雇用其原始矩阵方法的后期工作将表明，无法实现将模态逻辑视为三值系统的希望。 另请参阅SEP在多价逻辑上的条目。
命题逻辑L的矩阵由（i）给出（i）元素，真实值，（ii）指定的真实值的非空子集d⊆k，（iii）在set k上的操作，即，来自真实值的n组元组的函数对于真实值，它对对应于L的连接。矩阵下的公式A满足公式A，如果σ下的A.σ的值是D，即指定值的A. 如果在每个赋值σ下满足它，则矩阵满足公式。 模态逻辑M的矩阵通过添加对应于缔结ψ的一元函数来扩展命题逻辑的矩阵。
矩阵通常用于显示系统的公理的独立性以及它们的一致性。 通过矩阵建立两个公式A和B的一致性，该矩阵在分配σ下，将指定值分配给两个公式。 由公式A公式B的独立性由矩阵建立（i）保留系统规则的有效性，并且在解释σ下的（ii）将指定值分配给A但不是B.帕里（1939）使用矩阵方法显示该值刘易斯系统S3和S4的模式数量是有限的。 模态是一个变量的模态函数，该变量仅包含运算符¬和⬦。 模态的程度由包含的⬦算子的数量给出。 适当的模态程度高于零。 适当的方式可以是四种不同的形式：
¬...⬦p
⬦...⬦p
¬...⬦¬p
⬦...¬p。
不正当的方式是p和¬p（1939：144）。 帕里证明S3具有42个不同的模态，并且S4具有14个不同的方式。 已经知道系统S5仅具有6个不同的模态，因为它将所有方式减少到零或一个的模式的方式。 帕里通过添加到以下Axiom来介绍Syste S4.5：
⊢¬⬦¬⬦¬⬦p⇒¬⬦p。
该系统将S4的方式的数量从14增加到12（或10个适当的数字）。 向刘易斯的系统S3添加相同的公理，导致具有26个不同方式的系统。 而且，如果我们添加
⊢¬⬦¬⬦⬦p⇒¬⬦¬⬦p
对于S3，我们获得了一个不同的系统，其中26个模态也在S3和S4之间中间。 因此，模态的数量并不唯一地确定系统。 Systems S1和S2以及T和B具有无限数量的模态（模态逻辑上的Burgess 2009，第3章，讨论了附加系统S4.2和S4.3，并易于解释不同系统中的模态的减少）。
系统L的特征矩阵是满足L的所有矩阵的矩阵。如果其设置的真实值的设置是有限的，则矩阵是有限的。 有限特征矩阵产生决策过程，其中系统是可判定的，如果没有定理的系统的每个公式被某些有限矩阵伪造（这是有限模型属性）。 然而Dugundji（1940）表明，S1-S5中没有有限的特征矩阵。 因此，这些系统都不可以被视为有限N的N值逻辑。 稍后，扰动（1951）将证明S5的每一个适当的延伸，这些适当的延伸保留了物质意义并在取代下关闭的拆卸具有有限的特征矩阵。
尽管他们缺乏有限的特征矩阵，但麦肯锡（1941）表明系统S2和S4是可判定的。 为了证明这些结果，麦肯锡将分别与否定，可能性和结合相对应的模矩矩阵（k，d， - ，*，×），，，*，×和×。 如果满足以下条件，则矩阵是正常的：
如果xīd和（x⇒y）∈d和y∈K，那么y∈d，
如果xīd和y∈d，那么x×y∈d，
如果x∈k和y∈K和x⇔y∈d，则x = y。
这些条件对应于刘易斯严格推断，统治和替代严格的等价物的规则。 麦肯锡证据的结构如下。 证据采用了三个步骤。 首先，使用Tarski向他解释的Lindenbaum的未发表方法，该方法对于具有替代命令变量的替代规则的系统，麦肯锡表明存在S2特征矩阵M =（k，d， - ，，*，×）不满足条件（iii），因此是非正常的。 m是一种琐碎的矩阵，其域是系统的一组公式，其指定元素是系统的定理，其操作本身是其的。 给出微矩阵M不满足（III），因为对于一些不同的公式A和B，A 1B是S2定理。 其次，麦肯锡展示了如何从M正常，但仍然无限的S2特征矩阵M1 =（K1，D1，-1，* 1，×1）构建，其元素是S2的可透明相同公式的等效类，即，Formulas A和B，使得A 1B是S2的定理，其操作被相应修订。 例如，如果e（a）是可证明相当于a和e（a）∈k1的一组公式，那么-1e（a）= e（-a）= e（¬a）.m1完全满足m毫无违反条件的情况（iii）因此，S2是S2的特征正常基质（M1是S2的Lindenbaum代数）。 最后，示出了对于不是S2的定理的每个公式A，存在伪造它的有限且正常的矩阵（M1的子代数）。 S4给出了类似的证据。
矩阵是一种特殊的代数。 代数是没有指定元素的集合D的矩阵。 布尔代数对应于命题逻辑的矩阵。 根据公牛和Segerberg（1984：10），矩阵到代数的概括可能具有促进这些结构的研究的效果，这些结构独立于与逻辑和模态系统的连接。 事实上，该组指定元素D有助于对哪些有效性的定义可以评估系统的定理。 没有这样的设置，对逻辑的最明显的链接被切断。 对代数类的第二次概括，而不是仅仅对单独的代数，也对主题的数学发展至关重要。 Tarski是这种发展中的高耸的人物。
jónsson和tarski（1951和1952年）介绍了与运营商，即布尔代数扩展的布尔代数的一般想法通过添加与模态连接对应的运算符。 他们向布尔代数的一般表示定理与延长了Boolean代数的STONS结果的运营商（每个布尔代数都可以表示为集合代数）。 jónsson和tarski的这项工作从Tarski纯粹的关系的数学研究演变，并不包括一般的模态逻辑甚至逻辑。 jónsson和tarski的定理是Kripke后来语义完整性结果的（更一般）代数模拟，但这一段时间没有实现这一点。 Tarski不只意识到这一连接，但似乎克莱克和莱姆蒙曾读过他们在五十年代六十年代和六十年代的模态工作的时间内没有阅读jónsson和tarski文件，而克里普克声称已独立达到相同的结果。
LEMMON（1966A和1966B）适应麦肯锡的代数方法，以证明包括T的各种模态系统的可解除性结果和代表性定理（虽然显然是jónsson和tarski的工作的无知）。 特别是，他通过引入用于构造KRIPKE模型结构的子集的有限代数（在本条目的下一部分讨论）的新技术来扩展麦肯锡的方法。 LEMMON（1966B：191）达娜斯科特的属性是他第二份1966年纸的主要结果。 这是一般表示定理，证明了模态系统的代数可以基于相应的Kripke结构中的集合k的电源组表示为代数。 因此，代数完整性转化为Kripke的模型理论完整性。 因此，LEMMON非常清楚地阐明了Kripke的模型之间的联系，其元素是世界和相应的代数，其元素是可以被认为作为命题的世界，从而表示代数和模型理论结果深度连接。 Kripke（1963A）已经明确了这一连接。 在Lemmon Notes（1977）中，与达纳斯科特并由Segerberg编辑编写的，1966技术被转变为纯粹的模型理论方法，为一般形式的莫代逻辑的许多系统产生完整性和可解锁性结果尽可能（1977：29）。
另见逻辑传统代数的SEP条目。 对于模态逻辑代数的基本介绍，请咨询Hughes和Cresswell 1968，第17章“布尔代数和模态逻辑”。 对于更全面的待遇，请参阅Blackburn，De Rijke和Venema 2001的第5章。另见Goldblatt 2003。
3.模型理论传统
3.1卡内帕
在20世纪40年代初，认识到逻辑真理LED Rudolf Carnap的概念的语义性质在莱比锡可能的世界方面对这一概念的非正式解释。 与此同时，他认识到，从1918年开始的模态逻辑的许多句法进步仍然没有伴随足够的语义考虑因素。 一个值得注意的例外是Gödel对必需品的解释为可证明的可证明和对S4的偏好。 Carnap反而思考必要性作为逻辑真理或分析性。 关于逻辑真实句子的属性的考虑因素导致他认为S5是正确的系统，以形式化这个'非正式'概念。 Carnap在早期的初期的工作将重点关注（1）定义L-Trut的正式语义概念，以代表逻辑事实，必要性和分析性的非正式语义概念，也就是说，即仅仅是含义的真理（最初，他这些概念没有区别，但明确地认为分析是领先的想法）; （2）在L-TRATH的正式概念方面为量化S5提供了正式的语义，目的是获得健全和完整性结果，即证明量化S5的所有定理是L-TRUE，以及所有L-TRATH（以系统的语言表示）是系统的定理。
量化模态系统的想法也发生在露丝巴栏上。 在“基于严格含义的第一阶的功能微积分”（1946A）（1946A），她向Lewis的命题系统S2添加了量化; Carnap（1946）将其添加到S5中。 虽然将考虑一些关于定量模态逻辑的特定语义点，但该条目未侧重于量化的模态逻辑的发展，而是对模型理论形式语义进行模范逻辑，命题或量化的发展。 为了更广泛地处理量化的模态逻辑，请参阅模态逻辑上的SEP条目。
在“模态和量化”（1946）和意义和必要性（1947）中，Carnap将必要性的对象语言运营商解释为在对象级别表达逻辑事实的语义概念：
[T]他在模态逻辑系统的结构中指导了想法是这样的：如果且仅当表达P的句子是逻辑的，则逻辑上是必要的命题p。 也就是说，一个命题的逻辑必要性的模态概念和句子的逻辑事实或分析性的语义概念彼此对应。 （1946：34）
Carnap介绍了状态描述的装置，以定义L-真理的正式语义概念。 然后将这种正式的概念用于为S5提供正式语义。
语言L的状态描述是L的一类L这样的句子，因为对于L的每个原子句子，P或¬p，但不是两者都包含在类中。 原子句子在状态描述r中持有，如果它属于R.句子¬a（如果不需要原子）在r中持有r如果r; （a∧b）在r r如果A和B均以通常的归纳方式持有其他连接的r，则仅在r，等等 （∀x）fx在r如果r如果外汇保留的所有替换实例，则句子的范围是它持有的状态描述类。 Carnap的有效性或L-真理的概念是一个最大的概念，即，如果才能在所有状态描述中保持有效或l-true的句子定义一个句子。 在后期工作中，Carnap采用模型代替状态描述。 模型是对语言的原始非逻辑常量的值分配。 在Carnap的情况下，谓词常量是模型分配值的唯一原始常量，因为单个常量被赋予固定的预先模型解释，并且对变量的值分配独立于模型（1963A）完成。
重要的是要注意L-TRATH的定义不采用真理的概念，而是仅仅是持有状态描述的概念。 稍后介绍了真实性，作为真实状态描述中的内容。 作为分析性的充分形式代表性，L-真理必须尊重分析背后的基本理念：独自思考的真理。 事实上，系统S的L-真理是这样的语义规则就足以建立了他们的真理。 非正式地，国家描述代表了Leibnizian可能的世界或Wittgensteinian可能的事务状态和某种语言的状态描述的范围应该耗尽该语言所描述的替代可能性范围。
关于模态句子，Carnap采用以下约定（我们使用◻代替Carnap的运算符N以获得逻辑必需品）。 让我们成为一个系统：
如果句号◻a是忠实的，如果■在s中是l-true（所以句子◻a在s中是真的，如果在s的所有状态描述中持有）;
如果◻a在s中是真实的
从中有：
◻a如果才能在s中的l-true of of of。
Carnap的约定如果我们替代“在S”的“S”的状态描述中替换“真实”。
Carnap假设其定量系统的定量定量域，具有同一性Fc的功能微积分，因此对于具有标识MFC的模态功能微积分，S5的量化形式。 FC的语言包含可恶劣的许多个体常量，话语宇宙包含可恶劣的许多个体，每个常量都被分配了域的个体，而且没有两个常量分配同一个人。 这使句子如=一个真实的，以及像a = b l-false这样的句子（1946：49）。 关于MFC，Barcan公式及其交谈都是L-True，即
⊨（∀x）◻fx↔◻（∀x）fx。
通过假设定量域的假设保证了该结果。 Carnap证明MFC是声音，即其定理是L-True，并提出了FC和MFC的完整性问题。 Gödel证明了具有身份的第一阶谓词微积分的完整性，但在每种非空的量化领域中使用的有效性的概念在内，包括有限域。 Carnap反而采用一个独特的可贬值域的量化。 采用固定的可燃领域的个人域已经产生了一些额外的有效性，该额外的有效性已经危及完整性，例如“至少有两个人”，（∃x）（∃yY）（x≠y），结果是有效的（1946：53）。
语言和L-真理的国家描述的定义的结果是，每个原子句子及其否定都在某些情况下变得如此，但不是全部，国家描述。 因此，如果P是原子的，则⬦p和⬦¬p是l-true。 因此，刘易斯的均匀替代规则失败（如果p∧¬p在⬦p中取代p，我们源于l-false，而不是l-true）。 这是由Makinson（1966A）辩称的是，必须完成的是恢复替代品，并修改Carnap的有效性（作为逻辑需要）的概念（作为逻辑需要），支持示意图（“逻辑真理......是当我们替换其简单句子”Quine 1970：50）时，我们只能成为真理的句子，这些句子不会像⬦p有效地制作句子。 尽管如此，Carnap证明了所谓的S5的声音和完整性，他称之为“MPC”为“模态命题微积分”，在Wajsberg之后。 证据有效地采用了有效性的原理图。
已经证明，Carnap的最大有效性的概念使得完整性对于量化的S5而不可能存在，即有L-Truts不是Carnap的MFC定理。 让A成为MFC的非模态句子。 按照惯例（1），◻a在MFC中为真，如果A在MFC中仅为L-True。 但是A也是FC的句子，因此如果MFC中的L-TRUE在FC中也是如此，因为模态功能逻辑的状态描述（模型）与功能逻辑（1946：54）的状态描述相同。 这意味着状态描述保持了（i）FC的一阶模型的三重作用，从而定义了MFC的一阶有效性，（ii）世界，从而为MFC的句子和（iii）MFC的模型定义了真实性定义MFC的有效性。 不完整性参数的核心在于，一阶句子A的非有效性可以在模态语言中表示，但所有模型都同意模态句子的估值，使得¬◻a有效。 粗略地，并抛开由Carnap的语义只有可抵钱域的事实创造的并发症，如果A是FC的一阶无效句子，则在某些情况下是真实的，但不是所有模型或状态描述。 鉴于Carnap的惯例，¬◻a在MFC中是真的。 但随后¬◻a在MFC中是真实的，即在MFC⊨¬◻a中。 鉴于非有效的一阶句子不归因于递归令人担忧，也不是模态系统MFC的有效性。 但MFC的阶级是递归令人愉快的。 因此，MFC是不完全的Vis-is-is-vis Carnap的最大有效性。 Cocchiarella（1975B）将结果属于理查德蒙塔图和唐纳德卡莱什。 另见Lindström2001：209和Kaplan 1986：275-276。
3.2 Kripke可能的世界语义
Carnap的语义确实是可能的世界语义（PWS）的前兆。 然而，一些关键的成分仍然缺失。 首先，必须通过新的通用概念替换有效性的最大概念。 其次，国家描述必须为可能的世界制作空间被理解为指数或评估点。 最后，需要引入世界之间的可访问性关系。 虽然Kripke绝不是五十年代的唯一逻辑师，但六十年代早期才能解决这些想法，它是在Kripke的PW版本中，所有这些创新都存在。 Kanger（1957），Montague（1960年），但最初于1955年呈现），HINTIKKA（1961年）和之前（1957年）都在思考世界与HINTIKKA（1961）之间的关系Kripke（1959A）通过了一个新的有效性概念，要求所有任意世界的真实性。 但克里普克是唯一一个将世界描述为简单评价的人（1963年）。 其他逻辑家仍在根本上以一流的逻辑模型为基本上思考世界，尽管可能在发展时间逻辑之前也在朝着更摘要的时间表现出来。
