Modal Logic的现代起源（三）
Kriipke更摘要的世界特征在于提供模型理论语义与模态逻辑代数之间的联系至关重要。 Kripke非常清楚地看到了代数和语义之间的这种联系，这使他可以以系统的方式获得各种模态系统的模型理论完整性和可解锁性结果。 戈德布拉特（2003年第4.8节）令人信服地争辩说，克里帕克在模型结构中采用了评估点是一种特别重要的创新。 这种概括打开了模型理论的不同未来发展的大门，并且可以一般为密集逻辑提供模型理论。 出于这些原因，在此条目，我们将更多地关注Kripke的PW版本。 为了更全面的PW开发初始开发，包括Frency Logician Bayart的S5的五十时工作，读者称为2003年Goldblatt。关于Kanger语义和标准PWS语义的差异，见Lindström1996年和1998年。
Kripke的1959A“模态逻辑的完整性定理”包含具有标识的量化版本的量化版本的模型理论完整性结果。 在Kripke的定量S5的语义处理中，他调用S5 * =，在各个域D中向公式A分配D分配D的每个自由单个变量，真实值T或F到A的每个命题变量和集合D到A的每个N个地方的命令N组元组（系统的语言不包含非逻辑常量）。 Kripke将非空域D的模型定义为单个字体的非空域D作为有序对（g，k），使得g∈k，k是S5 * =公式的任意分配的分配子集，并且所有h∈k都同意各个分配变量。 对于每个h∈k，禁用地定义H分配给公式b的值。 命令变量由假设分配T或F。 如果b是p（x1，...，xn），则只有当分配给x1，...，xn的元素的n元组属于H分配给p.h的N组组的N组元组，如果只有如果它将f赋予b.h分配t到b∧c，如果它分配t到b且t到c.如果b是x = y，则只有在d中x和y分配相同的值时，它会被分配t。如果b是（∀x）fx，则仅分配它T如果仅将FX分配给X的每个赋值。 ◻b是分配的，如果只有b由每个h∈k分配t。
1959年模型理论中最重要的是要注意的是有效性的定义。 据说公式A在d中的模型（g，k）中有效，如果它仅在g中分配t，则在域D中有效，如果它仅在D中的每个模型中有效，并且才能普遍有效，并且仅当它在每个非空域中有效。 Kripke说：
在试图构建普遍逻辑有效性的定义时，似乎不仅可以假设话语的宇宙可能包含任意数量的元素，并且可以在实际世界中分配任何给定的解释，而且可能与可能的世界的任何组合都可以与之相关关于一些谓词的现实世界。 换句话说，除了D是非空的标准之外，不允许将不需要进一步限制放置在d，g和k上。 此假设直接导致我们对普遍有效性的定义。 （1959A：3）
这种新的有效性概念比Carnap的最大有效性要多得多。 k的元素H仍然对应于一阶模型，例如Carnap的状态描述，并且在每个Kripke模型中，K的元素H分配了个体的相同域D，并且各个变量具有固定的跨模型分配。 到目前为止，Farnap的唯一显着分歧是不同的Kripke模型可以具有不同基数的域。 本身就足以重新介绍系统的非模态部分的完整性。 但是最重要的发展，并且可以证明模态系统的完整性的人是在世界上最大结构的所有世界中的有效性的定义，而是在最大结构的所有子集中的真相。 对可能世界的任意子集进行审议，使Kripke的模型理论可以断开有用等待的有效性。 虽然必需品是相对于模型，因此对一系列世界，有效性必须持有所有这些套装。 这允许重新引入均匀替代的规则。 在一个简单的情况下直观地看到这一点，考虑一个原子句子p。 p的古典真实表包含两行，一个p为true，p是假的一个。 每行就像一个可能的世界，或者k的元素h。如果我们只考虑这个完整的真相表，我们只考虑包含两个世界的最大模型（它没有差异，世界是实际的差异）。 通过对公式◻b的定义，在最大模型的所有世界中，◻p是假的，并且在所有这些中都是如此。 如果在这个最大模型的所有世界中有效性是真理，就像For Carnap一样，它遵循⊨⬦p，但在S5⊬⬦p中。 如果我们相反，我们将有效定义为kripke，我们还必须考虑只包含一个世界的非最大模型，即取消一些行的不完整真实表。 因此，有两种旨在考虑的模型：一个只包含一个世界H = G的位置，因此是◻p，一个只包含一个世界H = G，其中P是假的，所以是◻p。 感谢最后一个模特⊭⬦p。 请注意，至关重要的创新是在世界上所有子集中的有效性定义，而不仅仅是最大的子集。 额外的事实是，模型中的有效性被定义为模型的实际世界的真理 - 而不是在模型的所有世界中的真理 - 尽管克利克没有将必要的概念联系起来的有效性的概念，与这种技术结果无关紧要。
Kripke的完整性证明利用Beth的语义表格方法。 语义表格用于测试公式B是否是一些公式A1，......，a的语义后果。 Tableau假设公式A1，......，a是真实的，b是false，并且根据遵循逻辑连接的定义的规则构建。 例如，如果公式¬A在Tableeau的左列（列出真正的公式）中，则将放在右栏上（其中列出虚假公式）。 要处理模态公式，必须考虑一组Tableaux，因为如果◻a在Tableau的右栏上，必须在其右栏上使用一个新的辅助Tableau。 主要的Tableau及其辅助Tableaux形成一组TableAux。 如果公式A1B位于主Tableeau的右侧，则该组Tableaux分为两组新的TableAux：其中主表格列出了右栏上的一个，其中一个主要的Tableau列出了右栏上的b。 所以我们必须考虑替代的表格集。 如果且仅当其所有替代集关闭时，则关闭语义制造商。 如果它包含一个Tableau（Main或辅助）的Tableau（Main或辅助），则缩短了一组TableAux，其以其列或（ii）在其右侧形式A = A = A的形式公式（这是一个过度简化的封闭式封闭式封闭式封闭式，但对我们的目的无害）。 再次过度简化，Kripke的完整性证明的结构包括证明，用于测试公式B是否是公式A1的语义后果的语义制表，......，如果仅（i）在S5 * = A1中，......，an⊢b和（ii）a1，...，an⊨b。 最后一个结果是通过展示如何从语义TableEaux构建模型来实现的。 由于（i）和（ii）的结果，我们对S5 * =的合理性和完整性，即：a1，...，anəb，如果且仅当A1，...，an⊨b时。
1959年纸张还包含一阶逻辑Löwenhein-Skolem定理的模态对应物的证明，如果在非空域中的公式可满足，那么它是满足的，因此有效（在g）中有效（真实），在a中域D中的模型（g，k），其中k和d都是有限或可降价的; 如果公式在每个有限或可变量的域中有效，则它对每个域有效。
Kripke的1962年“Monadic Modal量化理论的不可思议性”在一阶逻辑与一个二次谓词和一致的Monadic模态逻辑与只有两个谓词字母中的一阶逻辑之间发展，以证明这一片段一流模态逻辑已经不可确定。
非常重要的是纸质“莫代尔逻辑I”（Kripke 1963a）对待正常系统的处理。 在这里，Kripke充分利用Jónsson和Tarski的代数结果来开发类比，并证明了命题系统T，S4，S5和B（Brouwersche System）的完整性和可解锁性，即在这里介绍。 Kripke声称通过他自己的语义方法的代数类似物（69，FN 2）来颁发他自己的“布尔代数与运营商”的主要定理。 本文介绍了模型理论的两个额外关键概括。 第一个是对K为简单指数的元素H的新了解，而不是值的分配。 一旦介绍了这种变化，必须通过将值分配给命题变量相对于世界所需的辅助功能φ来补充模型。 因此，在1959年的模型理论中
没有两个世界，其中相同的真实值被分配给每个原子公式[哪个]结果表明，对于S5，但当我们治疗正常的MPC（1963A：69）时，它是相当不方便的
我们现在可以拥有世界重复。 关于评估函数的k的元素的分离是最重要的是它打开了对模态帧的一般考虑的大门，世界各地加上它们之间的二进制关系，以及这种帧对模态系统的对应关系。 因此，纸张的第二个新元素，引入了K的元素之间的关系r，自然伴随着第一。 让它再次强调，世界之间关系的想法并不是克里普克的新手。 例如，它已经存在于Montague 1960，HITIKKA 1961和事先1962年的替代性关系，其中该想法归因于Peter Geach。
1963A克里普克“询问关于关系R”的各种问题（1963A：70）。 首先，他表明每个满足的公式具有连接的模型，即基于模型结构的模型（G，k，r），其中所有h∈k，gr * h，其中r *是对应于R的祖传关系。因此，只需要考虑连接的模型。 然后，Kripke示出了当前众所周知的结果，即AXIOM 4对应于关系R的传递率，即AXIOM B对应于对称性，并且添加到系统T的S5的特征公理对应于r是r为等价关系。 使用Tableaux方法，证明了模态命题系统T，S4，S5和B相对于适当类模型（T）的适当类别的型号的完整性。 还证明了这些系统的可解锁性，包括S4的更复杂的情况。 （对于更详细的帧处理，请参阅Modal Logic的SEP条目。）
在1965年的“模态逻辑II的语义分析”中，Kripke扩展了模型理论，以治疗非正常模态系统，包括刘易斯的S2和S3。 虽然这些系统被认为是一个不自然的，但它们的模型理论被视为优雅。 完整性和可辨赖性结果被证明是可见的适当类结构，包括S2和S3的完整性，以及S3的可解锁性。 为了实现这些结果，模型理论延长了非普通世界，不会尊重每一个可访问世界中的标准leibnizian解释的标准leibnizian解释，这使得表格的每种配方◻bfalse。 这导致对◻的解释和引入模型结构中的新元素n⊆k的解释（G，K，R，N）.n是尊重◻的标准解释的普通世界的子集。 即使◻a是有效的，需要非普通世界以防止公式的有效性，即使◻a是有效的，也基本上允许在从实际世界访问的每个世界中获得但不是◻a，但不是◻a但不是◻◻a在实际的世界中。 这是必需的，因为所考虑的系统没有完整的必要规则。 非正常系统的另一个有趣方面是，在模型的理论结果中，与它们有关的理论结果，G（实际世界）扮演基本作用，特别是在S2和S3模型结构中，实际的世界必须正常。 相反，在正常系统中保持的全部有必要的规则消除了非普通世界的需要，并使G模型理论上无关。
尽管Kripkean模型理论的巨大成功介绍，值得强调，并非所有的模态逻辑都已完成。 对于不完整性的结果，请参阅Makinson 1969，对于系统弱于S4; 罚款1974，S. Thomason 1974，Goldblatt 1975和Van Benthem 1978，用于S4和S5之间的系统。 一些模态公式施加在不能按一阶语言表达的帧上的条件，因此即使命题模式逻辑也基本上是二阶二阶。 INSOMAR作为来自解释函数的帧摘要的有效性的概念，它隐含地涉及更高级的量化超出命题。 关于帧有效性和二阶逻辑与模型 - 理论标准之间的对应关系，这些标准区分了一个主要是二阶表示Blackburn和Van Benthem的“模态逻辑的第一顺序的模型 - 理论标准透视”（2007A）。
1963C在1963B中，“模态逻辑上的语义考虑”，Kripke对量化模态系统的模型引入了新的泛化。 1959年，在域D中定义了一个模型。因此，一个模型中的所有世界都具有相同的基数。 在1963B的模型中未在域中给出，因此可以通过函数ψ分配给K的元素H的函数分配不同域的世界。鉴于世界各地的域名的变化，Kripke现在可以构建反击巴尔坎公式
（∀x）◻fx→◻（∀x）fx
它的交谈
◻（∀x）fx→（∀x）◻fx。
巴可式公式可以在具有种植域的结构中伪造。 例如，具有两个世界，G和其他可能的世界H扩展的模型。 G的域是{a}，fa在g中是真的。H的域是集合{a，b}和fa，但不是fb，在h中是真的。在这个模型（∀x）◻fx但不是◻（∀x）fx是真的G.为了反驳Barcan公式的交流，我们需要模型的域名。 例如，具有两个世界g和h的模型，其中g的域是{a，b}和h的域是{a}，在h中的fa和fb true在h中，但是在h中的fb false。该模型要求我们为其分配真实值在世界H中的公式FB，其中单个B不存在（不是在H的域名中）。 Kripke指出，从模型理论的角度来看，这只是一个技术选择。 （Kripke的系统没有个体常量，所以我们的解释是简化简化的;例如，要精确，我们不应该说FB在H中是真的，而是在B到X的分配下FX如此如此。）
Kripke在量化T中重建了逆转的Barcan公式的证据，并表明证明仅通过允许有必要允许包含可变变量的句子。 但是，如果要被视为普遍绑定的自由变量，则此步骤是非法的。 需要直接开放式公式，而无需首先关闭它，金额假设要证明的内容。 Kripke的言论构成了对必变规则的反对意见，但（在Quine之后）到一阶逻辑公开公式的人物。 之前的1956年含有替代配方中的巴可公式的证据
⬦（∃x）fx→（∃x）⬦fx。
Kripke没有讨论先前证明的细节。 前的Barcan公式证明采用Łukasiewicz的引入存在量词的规则。 这些规则中的第二个指出，如果⊢a→b那么⊢a→（∃x）b。 事先将规则应用于
⊢⬦fx→⬦fx
并衍生
⊢⬦fx→（∃x）⬦fx
然后他需要
⊢◻（⬦fx→（∃x）⬦fx）。
所见，克里普克对象需要开放公式。 实际上，如果打开公式被理解为普遍关闭，则⬦fx→（∃x）⬦fx将被读为（∀x）（⬦fx→（∃x）⬦fx）和先前的证明不会通过。 另一方面，开放式⬦fx→（∃x）⬦fx已经是'有问题的'，只要它不会在一个与两个世界g和h的模型中保持，其中g的域是{a}，h的域是{a，b在G和h中，fa在fa valse中，但是在h中fb是真的。在这个模型中，⬦fx是真的，但（∃x）⬦fx在g中为false。在这个反模型中，在这个反模型中，在域名的单个b中，⬦fx是真实的G.
一般来说，存在概括，例如以Łukasiewicz的规则形式，如果⊢a→b那么⊢a→（∃x）b，如果我们允许在一个不存在的人在世界上呈现fx，则不保留有效性。 在讨论巴尔卡公式的匡威时，克里普克归咎于开放式公式，尽管这一问题在于，在必变中没有这么多，而是在所谓的公开公式的涉嫌理论上，并通过延期延期存在概括与普遍实例化规则的有效性。 Kripke对这个问题的讨论是有限的，同样因为他的模态系统不采用个体常数，这将恢复证明Barcan公式及其交谈的可能性，而不会使用自由变量的定理。
对巴尔坎公式及其匡威的讨论伴随着量化的模态逻辑的发展，因为这些公式与如何将经典量化理论与模态逻辑结合的技术问题以及如何定义量化模态系统的有效性，以及如何定义至于围绕结构域变异的哲学问题以及量化器的解释。 理论上证明，经典量化理论和模态逻辑的最简单组合使得Barcan公式及其交流定理。 在理论上，模型，模型内域变异性是受欢迎的概括。 在这里，我们不讨论希望为可变域构建系统声音的逻辑人员开放的技术解决方案，即，像Kripke的系统一样，不允许Barcan及其匡威的证明（Deutsch 1994和Linsky和Linsky和Zalta 1994包含有用的各种技术选择的概述;另请参阅可能性主义 - 实际辩论的SEP条目）。
