弗雷格的逻辑（三）

这些公理，加上弗雷格版本的肯定前件，构成了我们所谓的概念文字逻辑的命题部分。 Łukasiewicz 证明了，这些公理的现代转录，加上弗雷格版本肯定前件的现代转录，相对于带有命题量词的经典逻辑而言，是可靠且完备的。他还证明了，公理 3（的现代转录）在其他公理（以及同样是肯定前件的现代转录）的语境下是多余的（Łukasiewicz 1934）。当然，关于将弗雷格的符号转录成现代符号，以及假设他的可判断内容概念（公理 1 至 6 中出现的量词的范围）与更现代的命题或句子概念相同的常见警告，也适用于此结果。

弗雷格对公理 5 和 6 的讨论也很好地说明了弗雷格在《概念文字》和《基本法》的创作过程中逻辑思维所发生的变化。弗雷格在《概念文集》的前言中指出：

我后来意识到，公式 (31) 和 (41) 可以合并成一个单一的

判断（非非 a 等价于 a），

这使得进一步的简化成为可能。(1879a：前言)

这条原理，结合公理 7 和弗雷格版本的肯定前件式，确实蕴含了公理5和6。此外，我们有充分的理由认为，该原理在弗雷格在《概念文集》中给出的非形式语义学上是有效的，因为（在《概念文集》中）变量被限制于可判断的内容，并且似乎没有理由怀疑“非非\(a\)”所表示的可判断内容与“\(a\)”所表示的可判断内容相同。

然而，所有这些都有一个重要的警告：《概念文集》逻辑中的量词受到的限制，而《基本法》中的量词则没有。在《概念文集》逻辑中，弗雷格要求量词受到限制，以便将逻辑运算符应用于相关量词范围内的实体，其结果将产生可判断的内容。因此，在《概念文集》对逻辑的理解上有效的公式，在《基本法》的理解上不再有效。具体而言，正如我们将看到的：

判断并非所有哥特式 a（非非哥特式 a = 哥特式 a）

在《基本法》逻辑（一致的、无值域片段）的预期解释下为真。

接下来的两个公理相对简单。公理 7（公式 52）提供了同一性不可区分性的公理版本：

判断条件 {项 c 等价于 d} {项 条件 项 f(c) 项 f(d)}

公理 7（公式 52，1879a：§20）

该公理的一个更强的版本将出现在《基本法》逻辑中。

公理 8（公式 54）为我们提供了自我同一性：

判断 (c equiv c)

公理 8（公式 54，1879a：§21）

同样，这条公理适用于任何论证 \(c\)（即任何事物），而不仅仅是对象。

公理 9（公式 58）对我们来说更有趣，而不是因为它的内容，而是针对它省略的内容。公理 9 本质上允许我们将条件句前件中受凹性约束的德文字母替换为罗马字母：

判断条件 {所有哥特式 a 项 f(哥特式 a)} {项 f(c)}

公理 9（公式 58，1879a：§22）

请注意，弗雷格并没有提供该公理的对应二阶版本（他在《基本法》中提供了该公理）——相反，该公理应该理解为涵盖一阶和二阶情况，因此表达方式大致如下：

对于任何函数 \(f\) 和任何论元 \(c\)，使得 \(f(c)\) 是可判断内容：如果对于任何论元 \(\mathfrak{a}\)，使得 \(f(\mathfrak{a})\) 是可判断内容， \(f(\mathfrak{a})\) 是事实，则 \(f(c)\) 是事实。

而不是：

对于任何（第一层）函数 \(f\) 和任何对象 \(c\)：如果对于任何对象 \(\mathfrak{a}\)，\(f(\mathfrak{a})\) 是事实，则 \(f(c)\) 是事实。

2.2.2 推理规则

关于推理规则。在《概念文字》的前言中，弗雷格声称他只使用一种推理模式：

§6 中将推理模式限制为单一模式的合理性在于，在奠定此类概念文字的基础时，如果要实现清晰和有序，则原始元素必须尽可能简单。 （1879a：序言）

所讨论的规则是肯定前件的一种形式，弗雷格对此的解释如下：

根据§5的解释，显然，从两个判断

判断 条件项B 项A

和

判断项B

可以得出新的判断 判断\(A\)。在我们上面列举的四种情况中，第三种情况被

判断 条件项B 项A

排除，第二种和第四种情况被判断\(B\)排除，因此只剩下第一种情况。(1879a: §6)

弗雷格所指的四种情况是指 \(A\) 和 \(B\) 的四种可能组合，它们既是事实，又不是事实，这些事实在上文对条件式的解释中已经给出。

乍一看，这似乎是我们熟悉的肯定前件规则，但实际上它要复杂得多。弗雷格经常将该规则应用于包含罗马字母的公式对。记住，在概念文字中，罗马字母是前缀凹量词的缩写，弗雷格在解释该规则时使用的简单情况实际上是从以下转换的简写：

判断 所有 gothic a 所有 gothic e 条件 {项 gothic a} {项 gothic e}

和

判断 所有 gothic a 项 gothic a

到：

判断 所有 gothic e 项 gothic e

其中量词的范围涵盖可判断的内容。因此，正如他在整本《概念文字》中应用的那样，这条规则根本不是命题规则肯定前件。相反，它类似于以下内容（以现代符号表示）：

\[\begin{aligned} ~ & \forall a_1\forall a_2\dots \forall a_n\forall b_1\forall b_2\dots \forall b_m\forall c_1\forall c_2\dots \forall c_k\\ &(\Phi_1(a_1, a_2, \dots a_n, b_1, b_2, \dots b_m) \rightarrow \Phi_2(a_1, a_2, \dots a_n, c_1, c_2, \dots c_k))\\ [P_2]~ & \forall a_1\forall a_2\dots \forall a_n\forall b_1\forall b_2\dots \forall b_m (\Phi_1(a_1, a_2, \dots a_n, b_1, b_2, \dots b_m))\\ \hline\\ [C]~ & \forall a_1\forall a_2\dots \forall a_n\forall c_1\forall c_2\dots \forall c_k(\Phi_2(a_1, a_2, \dots a_n, c_1, c_2, \dots c_k)) \end{aligned}\]

这样理解这条规则，有两点需要注意。

首先，一旦我们认识到在该规则的任何实例中，用罗马字母缩写的（德语字母绑定的）量词所起的作用，就显然弗雷格对该规则的辩护是完全不充分的。弗雷格的论证对于该规则的一个特定替代实例来说可能是充分的，其中没有出现罗马字母。但它并没有触及更为普遍的原则，即他实际上在《概念文字》中应用该规则的方式。

其次，这实际上根本不是一条单一的规则，而是一个包含无数条规则的图式：每个变量序列的三元组都有一个规则：\(a_1, a_2, a_n\)；\(b_1, b_2,\dots b_m\)；以及 \(c_1, c_2,\dots c_k\)，其中不仅 \(a_i\)、\(b_i\) 和 \(c_i\) 在每个实例中的数量可以变化，而且它们的类型（记住，这些是自变量和函数变量，而不是对象变量和函数变量）也可以变化。考虑到弗雷格的兴趣在于给出特定的逻辑原理，以便我们可以从中推导出特定的普遍逻辑真理，这条规则强烈的图式性似乎不太可能困扰他。因此，弗雷格对罗马字母在《基本法》中的作用给出完全不同（尽管有些不清楚）的解释或许并不奇怪。

尽管弗雷格在《概念文字》的前言中声称这种肯定前件式是他唯一的推理规则，但他在著作的后面修改了这一说法，指出：

在逻辑学中，遵循亚里士多德的思想，列举了一系列推理模式；我只使用这一条——至少在所有新判断由多个单一判断推导出来的情况下。（1879a：§6）

弗雷格所考虑的两条规则，这些涉及从单个判断到单个判断的过渡，我们称之为凹性引入规则和替换规则（弗雷格没有给它们命名）。

弗雷格对凹性引入规则的解释如下：

斜体字母总是可以被判断中尚未出现的哥特体字母替换，凹性插入在判断笔画之后。例如：而不是：

判断 X(a)

可以这样写：

判断 所有哥特式 a 项 X(gothic a)

如果 \(a\) 仅出现在 \(X(a)\) 的参数位置上：同样显然，从：

判断 条件 项 A 项 \Phi(a)

可以推导出：

判断 条件 {项 A} {所有哥特式 a 项 \Phi(gothic a)}

如果 \(A\) 是一个表达式，其中 \(a\) 不出现，并且 \(a\) 仅出现在 \(\Phi(a)\) 的参数位置上。 (1879a: §11)

弗雷格接着给出了第二个例子，利用了条件笔画结构可以以多种方式解析为先行词和后项这一事实：

类似地，从：

条件判断 {项 B} {条件项 {项 A} {项 \Phi(a)}}

我们可以推断：

条件判断 {项 B} {条件项 {项 A} {所有哥特式 a 项 \Phi(哥特式 a)}}

(1879a: §11)

弗雷格的凹引入规则如下：给定任何包含罗马字母的公式，我们可以推断出任何命题，该命题一致地用德文字母替换罗马字母，并在包含所有新德文字母出现的某个后项之前插入一个包含相同德文字母的凹项（回想一下，公式可以解析为后项和凹陷可以放在判断笔画之前或整个公式之后（判断笔画之后）。必须选择新的德语字母，以便它不会与原始命题中已经存在的其他德语字母“冲突”。看一个更复杂的例子，如果“\(A\)”和“\(B\)”是任何不包含罗马字母“\(x\)”的公式，而“\(\Phi(\xi)\)”和“\(\Psi(\xi)\)”不包含“\(\mathfrak{a}\)”，那么从：

判断条件 {项 A} {项条件 {项 B} {项条件项 \Phi(x) 项 \Psi(x)}}

我们可以推断出以下任意一项：

判断条件 {项 A} {项条件 {项 B} {所有 gothic a 项条件 {项 \Phi(gothic a)} {项 \Psi(gothic a)}} 判断条件 {项 A} {所有 gothic a 项条件 {项 B} {项条件 {项 \Phi(gothic a)} {项 \Psi(gothic a)}}} 判断所有gothic a 条件式 {term A} {term 条件式 {term B} {term 条件式 {term \Phi(gothic a)} {term \Psi(gothic a)}}}

但不：

判断式 {term A} {term 条件式 {term B} {term 条件式 {term \Phi(gothic a)} {all gothic a term \Psi(gothic a)}}}

这条规则实际上并不涉及在概念文字的逻辑中“引入”凹性，因为被替换的罗马字母当然是凹性实例的缩写。相反，这条规则是一种将凹性从一个位置移动到另一个位置的方法。因此，这里使用“凹度引入”这个名称是为了强调该规则与《基本法》逻辑中发现的句法相似规则之间的联系（其中，正如我们将看到的，罗马字母不是相应初始凹度的缩写，而是实现普遍普遍性的第二个完全独立的装置，因此该规则确实涉及引入一个事先不存在的凹度）。弗雷格在《概念文字》中提出的最终推理规则是代换规则：一旦证明了一个特定的公式，在后续的推导中，不仅可以利用已证明的公式本身，还可以利用对原文中出现的罗马字母进行任何表达式统一代换的结果——同样，前提是该公式及其所有相关子公式均为可判断的内容。让·范·海耶诺特在其关于《概念文字》的导论中指出，弗雷格以不正当的方式应用了他的代换规则——这些方式会导致矛盾。有关讨论，请参阅补充论文《概念文字中的假定矛盾》。

《概念文字》的第三部分介绍了关系的弱祖先和强祖先的定义，并基于这些概念证明了一个强大的归纳定理。仔细考察这一构造超出了本文的范畴——建议读者查阅弗雷格定理的条目以了解更多细节。

《概念文字》第三部分最重要的方面，至少就我们的目的而言，是弗雷格引入的新符号：定义笔划。“定义笔划：类似于判断符号，但左侧有两条竖线”。定义笔划最初出现在如下形式的公式中：

定义项 \Phi equiv \Psi

其中“\(\Psi\)”是被定义项，“\(\Phi\)”是被定义项。在给出了定义笔划的实际应用示例（公式69，\(F\)在f序列中具有遗传性的概念）之后，弗雷格在《概念文字》中对“笔划”的定义作了如下解释：

这个句子与之前考虑的句子不同，因为其中出现的符号之前从未被定义过；它本身就给出了定义。它不是说“等式的右边与左边具有相同的内容”；而是说“它们应该具有相同的内容”。因此，这个句子不是一个判断；因此，用康德的表达方式来说，也不是一个综合判断。[…]

虽然(69)最初不是一个判断，但它仍然很容易转化为判断；因为一旦新符号的含义被指定，它就从此固定不变；因此，公式(69)作为一个判断也成立，但作为一个分析判断成立，因为我们只能得出新符号中的内容。该公式的这种双重作用通过判断“笔划”的双重作用来表明。 (1879a: §24)

在概念文字的定义中使用概念内容相同性的概念（即“\(\equiv\)”），自动意味着被定义项和被定义物具有相同的内容（即，表示相同的事实或情况），而《基本法》中对同一性的改进理解，在逻辑上仅仅意味着被定义项和被定义物表示相同的对象。因此，弗雷格在其非正式阐释中明确规定，在《基本法》定义中，出现在同一性符号两侧的表达式不仅具有相同的指称，而且具有相同的意义。

3. 《基本法》的逻辑

如果读者对弗雷格在《概念文字》和《基本法》写作期间的逻辑思想演变感兴趣，可以参阅其简短的补充论文《概念文字与基本法之间的时期》。文中，我们将直接探讨后者所包含的形式系统。

除了值域的增加之外，《概念文字》逻辑与《基本法》逻辑之间最主要、最明显的区别之一是，弗雷格现在已经拥有一套完善的、严格的类型理论。最根本的区别在于对象（饱和的）与函数（包括作为特例的概念）之间的区别，前者是饱和的，后者不是饱和的，因此需要通过应用于一个或多个论元来“完成”。

两种特别重要的函数类型是概念和关系。概念是一个一元函数，对于任何论元（适当类型的论元），应用于该论元的函数的值都是真值。关系是一个具有两个（或多个）自变量的函数，对于任意一对（或 n 元组）自变量（同样，具有适当的类型），作用于该对自变量的函数值都是真值 (Frege 1893/1903: §4，另见 1893/1903: §22)。

Frege 还根据函数所接受自变量的类型对其进行细分。因此，当且仅当函数接受一个或多个对象（因此仅接受一个或多个对象）作为自变量时，该函数才是一级函数；当且仅当函数接受一个或多个一级函数（因此仅接受一个或多个一级函数）作为自变量时，该函数才是二级函数；一个函数是三级函数，当且仅当它接受一个或多个二级函数（因此也只接受一个或多个二级函数）作为自变量（Frege 1893/1903：§21 至 §23，另见§26）。

接下来，我们将把对《基本法》逻辑的讨论分为三个部分：第一部分探讨早期概念文字逻辑中出现的符号（尽管理解往往大相径庭）；第二部分介绍《基本法》逻辑中新出现的符号；第三部分介绍《基本法》逻辑的公理（现称为基本定律）和推理规则。

3.1 《基本法》的“旧”运算符

3.1.1 判断笔划

与《概念文字》的情况一样，《基本法》的判断笔划将表达式转化为判断。然而，与早期系统不同的是，在《基本法》逻辑中，判断笔划并不附加于命名事实或情况的表达式，而是附加于命名对象（即专名）的表达式：

上文已述，在单纯的等式中尚找不到断言； “2 + 3 = 5”只指定了一个真值，并未指明它是两者中的哪一个。此外，如果我写“(2 + 3 = 5) = (2 = 2)”，并假设已知“2 = 2”为真，那么即使这样，我也不会因此断言2加3的和等于5；相反，我只是指定了“2 + 3 = 5”与“2 = 2”的真值相同。因此，我们需要另一个特殊的符号才能断言某事为真。为此，我让符号判断位于真值名称之前，例如，在：

判断 2^2 = 4

中，断言2的平方等于4。我将判断与思想区分开来，我理解判断是对思想真实性的承认。（弗雷格 1893/1903：§5）

因此，将判断笔划应用于缺少判断笔划的《基本法》表达式，断言该表达式是真之名，其中真是由真句子所表示的对象（假是由假句子所表示的对象）。形式为：

判断 \Phi

的表达式现在不再表示“\(\Phi\) 是一个事实”，而是表示“\(\Phi\) 是（即，等同于）真”。值得注意的是，在我们讨论弗雷格对罗马字母的新《基本法》理解时，对判断笔划的这种简单描述会变得有些复杂。

在《基本法》中，弗雷格再次指出，真正的判断笔画（1893/1903：§5），以及否定笔画（1893/1903：§6）、条件笔画（1893/1903：§12）和凹面（1893/1903：§8），可以理解为仅由实际的垂直“笔画”或直线（在凹面的情况下，则为带变量的曲线）与附加的记谱法水平部分组成，这些水平部分被理解为水平线的单独出现。在《基本法》的实际操作中，判断笔画从不脱离附加的水平线出现。然而，与概念文字不同，水平线确实相对频繁地单独出现，作为与判断笔画、条件笔画和否定笔画不同的运算符。

在《基本法》的逻辑中，横线是一个附加在对象名称上的一元函数符号，它表示一个始终输出真值的函数，无论输入的对象类型如何：

我将其视为一个函数名，满足以下条件：