弗雷格的逻辑（二）_数学联邦政治世界观

符号判断由此形成的水平笔画将其后的符号连接成一个整体，而通过水平笔画左端的垂直笔画表达的断言与这个整体相关。水平笔划可以称为内容笔划，垂直笔划称为判断笔划。内容笔划通常用于将任何符号与其后符号所构成的整体联系起来。内容笔划之后的内容必须始终具有可判断的内容。(1879a: §2)

请注意，判断笔划的论证仅限于可判断的内容（粗略地说，在非正式意义上，仅限于句子），因此在概念文字逻辑中，“判断 \(2\)”并非谬误，而仅仅是格式不正确。我们将在下文中回顾这一观察在理解弗雷格两种逻辑之间的差异方面的重要性。但水平笔划在概念文字逻辑中几乎没有实际作用：它从不孤立出现。

2.1.2 条件式笔触

接下来是条件式笔触。在《概念文字》中，弗雷格对条件式笔触进行了如下解释：

如果 \(A\) 和 \(B\) 表示可判断内容（§2），则存在以下四种可能性：

\(A\) 被肯定，\(B\) 被肯定；

\(A\) 被肯定，\(B\) 被否定；

\(A\) 被否定，\(B\) 被肯定；

\(A\) 被否定，\(B\) 被否定。

判断条件项 B 项 A.

现在表示判断：上述三种可能性中的第三种不成立，但其他三种可能性中有一种成立。因此，如果

条件项 B 项 A.

被否定，则表示第三种可能性成立；即，\(A\) 被否定，\(B\) 被肯定。 (1879a: §5)

简而言之，条件式笔触是弗雷格在《概念文字》中对实质条件式的诠释：它将两个概念内容合并为一个单一的复杂概念内容，当且仅当第一个概念内容表示事实而第二个概念内容不表示事实时，该概念内容才表示事实。用现代术语来说，条件式的后项（弗雷格在《基本法》逻辑中称之为“上部成分”）位于先行词（弗雷格在《基本法》逻辑中称之为“子成分”）之上。请注意，条件式笔触的论证明确地限制在可判断的内容上。

尽管弗雷格在《概念文字》中没有像在《基本法》中那样明确地讨论这一点，但值得注意的是，复杂的条件式笔触结构可以通过多种方式解析为先行词和结果。例如：

条件式 {项 C} {项条件式项 B 项 A}。

这个表达式与现代符号中的“\(C \rightarrow (B \rightarrow A )\)”类似（但当然不等同，在任何合理的等同意义上）。但弗雷格经常将这种形式的表达式理解为更类似于（经典的）等价表达式“\((C \land B) \rightarrow A\)”。简而言之，弗雷格在将上述偏移公式解读为（二元）条件式（以“\(C\)”为先行词，

条件项 B 项 A

为后项）和（三元）条件式（以“\(C\)”和“\(B\)”为先行词，以“\(A\)”为后项）之间来回切换（这将在我们下面讨论他的推理规则时涉及）。

2.1.3 否定笔画

弗雷格在《概念文字》中引入的第三个概念是否定笔画：

如果在内容笔画的下方附加一个小的垂直笔画，则这是为了表达内容未获得的情况。因此，例如，

判断非 A

表示“\(A\) 不成立”。我将这小竖线称为否定划线。否定划线右侧的横线部分是 \(A\) 的内容划线，而否定划线左侧的部分则是 \(A\) 的否定的内容划线。(1879a: §7)

虽然弗雷格是否将命题逻辑视为概念文字逻辑（或基本法逻辑）的一个可识别的子系统并不明显，但否定和条件划线是弗雷格引入这两种逻辑的仅有的（弗雷格式的类似物）命题算子（同一性在概念文字逻辑和基本法逻辑中都扮演着类似于双条件的角色）。弗雷格没有提供表达完整性的结果（并且从概念上讲，在撰写概念文字时他不太可能陈述这样的结果）。但他在《概念文字》第7节的结尾处却指向了这一点，他指出这两个算子使我们能够将现在所说的包含析取、排他析取和合取分别表达为：

条件 {非项B} {项A}

包含析取

非条件 {项条件 {非项B} {项A}} {非项条件 {项B} {非项 A}}

排他析取

非条件 {项B} {非项 A}

合取

分别。

2.1.4 恒等算子

弗雷格接下来介绍了他或许是《概念文字》逻辑中最臭名昭著的部分——恒等算子。弗雷格显然在努力解决他最终将在《意义与指称》中通过名义上的区别来解决的难题，但这一概念尚未出现，因此他面临以下难题：给定两个名称“\(a\)”和“\(b\)”，如果“\(a = b\)”为真，且名称的概念内容即其指称对象，那么“\(a = a\)”和“\(a = b\)”具有相同的概念内容。但事实并非如此：“\(a = a\)”和“\(a = b\)”显然不具有相同的概念内容，因为它们蕴含着不同的东西。

因此，弗雷格被迫否认“\(a\)”和“\(b\)”具有相同的概念内容，至少在身份主张的语境中是如此。因此，它们的概念内容不可能是它们的指称对象。弗雷格得出结论，同一性陈述中的名称的概念内容就是名称本身，他对同一性的定义如下（值得注意的是，他在这里使用了“\(\equiv\)”，但在解决了这些问题后，他转向了《基本法》中更为标准的符号“\(=\)”）：

判断 (A equiv B)

因此意味着：符号 \(A\) 和符号 \(B\) 具有相同的概念内容，因此，\(A\) 总是可以被 \(B\) 替换，反之亦然。(1879a: §7)

这解决了问题，因为在像“\(a = b\)”这样的真实身份声明的语境中，“\(a\)”和“\(b\)”并不是选择同一个东西。相反，“\(a\)”自指地选择出了符号“\(a\)”（“\(b\)”也是如此），因此身份声明“\(a = b\)”表达的不是（粗略地说）：

\(a\) 与 \(b\) 相同

而是（同样粗略地说）：

“\(a\)”选择出的东西与“\(b\)”选择出的东西相同。

其概念内容与以下不同：

“\(a\)” 所选取的事物与“\(a\)” 所选取的事物相同。

因此，概念文字公式中的名称，例如：

条件项 a 等价项 b 项 R(a, b)

被迫承担双重职责：在上述条件式的前件中，“\(a\)”和“\(b\)”的出现实际上指称自身。然而，在该条件式的结果中，“\(a\)”和“\(b\)”更直接地指称这些名称实际指称的任何对象。

弗雷格非常清楚这种对同一性的理解所带来的困难，他在《概念文字》第8节中以以下观察开头：

内容的同一性与否定和条件性的区别在于，它与名称相关，而不是与内容相关。虽然在其他地方符号只是代表它们的内容，因此它们所进入的每一个组合仅仅表达了它们的内容之间的关系，但是，一旦它们被内容同一性的符号组合在一起，它们就立刻代表了它们自己；因为这表明两个名称具有相同内容的情况。因此，随着内容同一性符号的引入，每个符号的意义必然会发生分裂，相同的符号一会儿代表其内容，一会儿又代表其自身。(1879a: §8)

这个问题的解决必须等到引入意义/指称的区别。

到目前为止，我们一直将注意力限制在将同一性符号应用于对象的名称上。但弗雷格在《概念文字》中从未以这种方式限制同一性符号的应用，而只是要求将其应用限制为仅产生可判断的内容。因此，在《概念文字》的逻辑中，同一性符号可以应用于任意两个论元，而不仅仅是在对象之间。

2.1.5 表达普遍性的凹性

最后，我们来看看弗雷格在概念文字中表达普遍性的技巧：凹性：

在判断表达式中，判断符号右侧的符号复合体始终可以被视为其中出现的符号之一的函数。如果用一个哥特字母代替论元，并将包含该字母的凹性插入内容笔画中，例如

判断所有哥特字母 a 项 \Phi(gothic a)

则表示判断该函数是一个事实，无论其论元如何。由于用作函数符号的字母，例如 \Phi(A)\ 中的 \Phi\，可以被视为函数的论元，因此可以按照刚才说明的方式将其替换为哥特字母。哥特字母的意义只受到明显的限制，即内容笔画后面的符号复合体必须保持可判断性（§2），并且，如果哥特字母作为功能的符号出现，必须考虑到这种情况。所有其他必须施加于可替代哥特字母的条件都应包含在判断中。(1879a: §11)

因此，凹性是（类似于）全称量词的概念文字版本，并且是一个如下形式的公式：

所有哥特式 a 项 \Phi(gothic a)

为真（或者，用弗雷格在概念文字中使用的术语来说，是一个事实），当且仅当，对于任何论证，将 \(\Phi(\xi)\) 表示的函数应用于该论证为真（或者，再次，是一个事实）。请注意，弗雷格明确地限制了概念文字逻辑中公式的形成，使得凹性只能绑定一个函数，该函数在适当的论元被填充时输出可判断的内容——因此，在概念文字逻辑中，“判断所有哥特式 a \(\mathfrak{a}+1\)”不是良构的。

现在，我们可以更详细地阐述弗雷格在概念文字中对函数和论元的区分，以及《基本法》逻辑中将出现的更具现代感的对象层次结构——一级函数、二级函数和三级函数——之间的区别。正确理解：

概念文字中的判断所有哥特式 a 术语 \Phi(gothic a)

并非断言：

对于任何对象 \mathfrak{a}\，\Phi(\mathfrak{a})\ 是一个事实。

而是表达如下意思：

对于任何实体（无论其“类型”或“种类”）\mathfrak{a}\，如果 \Phi(\xi)\ 与 \mathfrak{a}\ 的组合产生可判断的内容，则 \Phi(\mathfrak{a})\ 是一个事实。

在以这种方式理解量化语句时，我们可以自由地将 \（\mathfrak{a}\）理解为参数，将 \（\Phi(\xi)\）理解为函数，或将 \（\Phi(\xi)\）理解为参数，并以 \mathfrak{a}\ 为函数，只需满足 \mathfrak{a}\ 与 \Phi(\xi)\ 的组合产生可判断内容这一要求。当然，如果 \Phi(\xi)\ 是一个只将对象映射到可判断内容的函数，那么结果与标准的一阶量化相同。但再次强调这一点，弗雷格尚未引入允许他识别此类函数的概念机制，也从未声称某个特定函数必须只接受一种类型的实体（即只接受对象，或只接受函数等）作为自变量。

一个明显的迹象表明，在《基本法》逻辑中为了清理所有这些问题而动用到的那种层次结构在《概念文字》逻辑中并不存在——甚至在背景中也隐含地不存在——那就是弗雷格没有为不同类型的实体（甚至没有为函数和自变量）引入不同的量词。尽管弗雷格使用不同风格的变量来表明某些量词涵盖论元，而另一些量词涵盖函数，但这仅仅是启发式的——而且它必然如此，因为正如我们已经看到的，在概念文字逻辑中，函数/论元的区别并非存在于现实世界中的形而上学区别，而仅仅反映了对同一陈述的不同解析方式。因此，概念文字逻辑中的（单一全称）量词涵盖对象和函数（尽管方式相当复杂），而现代的一阶和高阶量词实际上并不像在《基本法》逻辑中那样清晰地出现在概念文字中。相反，存在一个单一的量词，它涵盖对象和函数（以及概念、关系等等），并且，对哪些构造是合法的非正式限制（即，将函数应用于论证的结果必须产生可判断的内容）限制了该量词每个实例的潜在范围。因此，概念文字逻辑的量词与现代量词的相似性相当有限（参见Kemp 1995和Heck & May 2013的论证，关于“概念文字”中的这种构造根本不算是一个真正的量词）。

弗雷格还有第二种表达普遍性的方式——罗马字母。正如我们将看到的，关于如何在《基本法》的逻辑中理解这种手段，存在一些争议。但在概念文字的逻辑中，如何理解它们并不神秘，因为弗雷格在其早期著作中明确指出，罗马字母的普遍性手法是德文字母中一个特殊且尤为重要的实例的缩写，即全称量化的凹形版本：

只有在其范围内，哥特字母才能保留其意义；同一个哥特字母可以在一个判断的不同范围内出现，但在一个范围内赋予它的意义不会转移到其他范围内。哥特字母的范围可以包含另一个范围，例如：

判断所有哥特字母 a 条件 {所有哥特字母 e 项 B(哥特字母 a, 哥特字母 e)} {项 A(哥特字母 a)}

所示。在这种情况下，必须选择不同的字母；\(\mathfrak{e}\) 不能被 \(\mathfrak{a}\) 替换。当然，允许在适用范围内用另一种特定的哥特体字母替换所有哥特体字母，前提是之前不同字母所在的位置仍然保留着不同的字母。这不会影响内容。只有当凹陷紧跟在判断笔划之后，使得整个判断的内容构成哥特字母的范围时，才允许进行其他替换。因此，由于这种情况尤为重要，我将为其引入以下缩写。斜体字母的范围始终是整个判断的内容，而无需通过内容笔划中的凹陷来表示。（1879a：§11）

弗雷格在此非常明确：概念文字逻辑公式中出现的罗马字母（或斜体字母）只不过是相应公式的缩写，其中罗马字母变量被相应的哥特字母变量替换，而与这些变量对应的凹陷则紧跟在判断笔划之后。因此，在概念文字的逻辑中，上述引文中出现的公式仅仅是以下公式的缩写：

判断所有哥特式 F 所有哥特式 G 所有哥特式 a 条件所有哥特式 b {术语哥特式 F (哥特式 a, 哥特式 e)} {术语哥特式 G (哥特式 a)}

而罗马字母的普遍性手法旨在提醒读者，德语变量代换的代换限制（有效地防止了变量冲突）并不适用于我们称之为前缀位置的、受凹性约束的变量。

虽然这是弗雷格对罗马字母的官方理解，但他经常将包含罗马字母的公式视为相应受凹性约束的全称公式的代换实例——也就是说，将其视为罗马字母挑选特定函数和论元的情况。虽然这一点值得更多关注，但在此无法一一赘述。弗雷格之所以采取这样的做法，是出于一个实际原因：由于他没有在概念文字中引入任何构成名称的操作符，因此该语言不包含表达任何特定主张的资源。

2.2 概念文字的公理和规则

概念文字的逻辑正式包含九条公理和一条规则，尽管弗雷格在推导过程中反复使用了另外两条规则，但这些规则被弗雷格以更非正式的方式“顺便”阐述了。在概念文字的推导过程中，弗雷格根据公式在推导序列中的出现顺序对公式进行编号，并且只在需要时才引入公理——因此，按照他的编号方式，公理分别是公式 1、2、8、28、31、41、52、54 和 58。我在讨论中提供了一种更方便、更常规的 1 到 9 的编号方式，并将使用此编号方式将此系统与《基本法》中给出的公理和规则集合进行比较。

2.2.1 公理

判断条件 {项 a} {项条件项 b 项 a}

公理 1（公式 1，1879a：§14）

这是以下概念文字的对应：

\[A \rightarrow (B \rightarrow A)\]

不过需要注意的是，由于弗雷格公理使用罗马字母，它是一个量化公式，而不是一个图式，因此或许更好的写法是：

\[\forall A\; \forall B (A \rightarrow (B \rightarrow A))\]

其中量词的范围涵盖可判断的内容。弗雷格对这条公理的辩护如下：

[这条公理]……说：“如果 \(a\) 被否定，\(b\) 被肯定，并且 \(a\) 被肯定，那么这种情况就被排除了。” 这显而易见，因为 \(a\) 不能同时被否定和肯定。我们也可以用文字表达这个判断：“如果命题 \(a\) 成立，它也适用于任意命题 \(b\) 成立的情况”。(1879a: §14)

公理 2（公式 2）同样简单易懂，只要我们记住它是一个量化可判断内容的公式的缩写：

判断条件 {条件项 {条件项 c} {条件项 b 条件项 a}} {条件项 {条件项 c 条件项 b}{条件项 c 条件项 a}}

公理 2（公式 2，1879a: §15）

弗雷格关于该公理必定为真的论证长达四页，在此不再赘述。上面引用的公理 1 的论证应该能让读者感受到弗雷格在《概念文字》中对特定公理的论证（类似的评论也适用于后来更复杂的公理）。该公理的直观有效性应该很清楚，因为它是一个概念文字类似如下：

\[\forall C\; \forall B\; \forall A(C \rightarrow (B \rightarrow A)) \rightarrow ((C \rightarrow B) \rightarrow (C \rightarrow A))\]

其中量词的范围涵盖可判断的内容。

下一个公理，公理3（公式8），允许（结合弗雷格版本的肯定前件，见下文）重新排列条件句的先行词：

条件判断 {term 条件 {term d} {term 条件 term b term a}} {term 条件 {term b} {term 条件 term d term a}}

公理3（公式8，1879a：§16）

这条公理将被《基本法》逻辑中的一个（更一般的）规则取代。

公理 4（公式 28）（同样与弗雷格版本的肯定前件式相结合）提供了一种对立形式。

条件判断 {项条件项 b 项 a} {项条件 {非项 a} {非项 b}}