弗雷格的逻辑（一）

弗里德里希·路德维希·戈特洛布·弗雷格（生于 1848 年，卒于 1925 年）常因其在《概念文字》中提出的现代量化逻辑而受到赞誉。虽然关于弗雷格的创新之处究竟是什么，以及在乔治·布尔、奥古斯都·德·摩根、恩斯特·施罗德、查尔斯·桑德斯·皮尔斯和约翰·文恩等同时代逻辑学家的著作中可以找到哪些创新之处存在争议（例如，参见 Putnam 1982 或 Boolos 1994 的论述，这些论述反对将所有现代逻辑都归于弗雷格的倾向，以及关于逻辑代数传统的条目），但毫无疑问，弗雷格的著作——尤其是在伯特兰·罗素和路德维希·维特根斯坦的倡导下——对哲学和数理逻辑的发展产生了巨大的影响。

虽然本条目旨在为读者概述弗雷格在《概念文字》和《基本法》中提出的逻辑系统，但它并非旨在指导如何将弗雷格的逻辑系统转化为现代符号，因此下文中很少使用现代符号。尽管人们通常通过将弗雷格的公理和定理翻译成现代符号来“探究”弗雷格逻辑及其逻辑主义纲领的各个方面，但这种方法常常会导致对弗雷格实际观点的误解，因为他自己的符号（在两个逻辑系统中）与现代一阶和高阶量化逻辑存在显著差异。因此，任何有兴趣理解弗雷格逻辑和哲学观点的人，都需要在其原生语境——《概念文字》和《基本法》的逻辑和形式语言——中考察这些观点。因此，需要能够熟练地直接运用弗雷格的符号、演绎系统等。这篇文章旨在帮助学生开启这段旅程。

1. 引言

2. 概念文字逻辑

2.1 概念文字算符

2.1.1 判断式

2.1.2 条件式

2.1.3 否定式

2.1.4 恒等算符

2.1.5 表达普遍性的凹性

2.2 概念文字的公理和规则

2.2.1 公理

2.2.2 推理规则

3. 基本法逻辑

3.1 基本法的“旧”算符

3.1.1 判断式

3.1.2 否定式

3.1.3 条件式

3.1.4 判断式的等价关系

3.1.5 等式符号

3.1.6 两种泛函形式量化

3.2 《基本法》的新运算符

3.2.1 通用方法：罗马字母

3.2.2 值域运算符

3.2.3 用于明确描述的反斜杠运算符

3.3 《基本法》的公理

3.3.1 基本定律 I

3.3.2 基本定律 II

3.3.3 基本定律 III

3.3.4 基本定律 IV

3.3.5 基本定律 V

3.3.6 基本定律 VI

3.4 《基本法》的推理规则

3.4.1 广义肯定前件式

3.4.2 广义假设三段论

3.4.3 广义对立式

3.4.4 广义困境推理

3.4.5 凹性引入

3.4.6 罗马字母消去法

参考文献

弗雷格著作

译文

二手文献

学术工具

其他网络资源

相关文章

补充：

《概念文字》中的假定矛盾

《概念文字》与《基本法》之间的时期

弗雷格悖论之后的逻辑

1. 引言

关于弗雷格的逻辑创新及其在他更宏大的逻辑主义项目中所扮演的角色，通常以如下方式讲述：重点介绍他的三本“伟大的书”。首先，弗雷格在他的 Begriffsschrift eine der arithmetischen nachgebildete Formelsprache des reinen Denkens 或概念脚本 (1879a) 中发明了现代量化逻辑。其次，弗雷格批评了《Die Grundlagen der Arithmetik: eine logisch-mathematische Untersuchung über den Begriff der Zahl》或《数学基础》（1884）中对数学基础的先行叙述（当时），并且他还提供了关于他将数学简化为逻辑的非正式说明。第三，弗雷格在庞大的《算术基本法：第一带和第二带概念文字》（1893/1903）中，对算术进行了形式重构（并开始了实数分析和复数分析的重构）。这一重构基于他在《概念文字》中首次发展的逻辑，或者至少是直接扩展了这一逻辑，并通过扩展系统的值域和支配它们的逻辑法则来实现。

如果有人对弗雷格的数学哲学感兴趣，那么这个故事或许足够了。但如果人们的兴趣在于弗雷格的逻辑哲学，那么刚才概述的故事就显得远远不够了。原因很简单：《基本法》中的逻辑体系实际上与《概念文字》中的体系存在显著差异。毫无疑问，弗雷格通过关注《概念文字》体系中的种种不足和局限性，最终形成了《基本法》中给出的体系。但这两种逻辑学在技术细节和哲学解释方面都存在着巨大的差异，与弗雷格在其职业生涯中倡导的单一逻辑体系的观点相矛盾。他只是在他的逻辑学研究需要时以各种方式扩展了统一的逻辑体系。关注这些差异非常重要，因为弗雷格的高阶量化逻辑的发明通常被认为是在《概念文字》出版时发生的，然而，他的逻辑的许多独特之处——有些人可能会说是特有的——特征仅出现在后期的《基本法》体系中。

这些特征包括：句子指涉真值；精确的对象类型系统、一级、二级和三级函数、概念和关系；以及分别涵盖这些不同类型的不同的一级量词和高阶量词的引入。后期《基本法》逻辑的这些方面并非仅仅是对早期《概念文字》逻辑的补充或澄清。相反，这两个系统之间的差异意味着，有些符号串是概念文字逻辑的定理，但却不是《基本法》逻辑的定理。我们将在下文中看到一个重要的例子——弗雷格本人也曾讨论过。

在深入探讨之前，有必要先就符号、术语和目标进行一些观察。首先，一些作者，例如赫克（2012），对“概念文字”一词​​的使用方式存在系统性的歧义，在提及作品时用斜体（Begriffsschrift），而在提及弗雷格所有著作中运作的（假定的单一）逻辑系统时则不采用斜体。这种方法在这里行不通，因此我们将继续分别将这两个系统称为概念文字逻辑和《基本法》逻辑。

其次，一些译者将弗雷格的“deutscher Buchstabe”（德语书架）译为“Gothic letter”（哥特字母），另一些译者则将其译为“German letter”（德文字母）；还有一些译者将“lateinischer Buchstabe”（拉丁字母）译为“Latin letter”（拉丁字母），另一些译者则将其译为“Roman letter”（罗马字母）。这并非出于哲学考虑，仅仅是风格上的差异，因此我在翻译中保留了这些译文，但在讨论中，我将分别使用后一种术语。

第三，我们应该强调，在这两部著作中，弗雷格对逻辑方法和目标的理解与现代逻辑研究中通常使用的概念截然不同。沃伦·戈德法布（Warren Goldfarb）描述了现代逻辑概念，他称之为“图式概念”（schema conception），他认为这种概念继承自（其中包括）塔斯基（Tarski）和奎因（Quine）等人，其主要关注的是发现特定形式语言中逻辑图式的属性及其之间的关系，其次是确定自然语言的句子是否可以翻译为具有特定特征的图式实例。然而，《概念文字》和《基本法》中所运用的逻辑概念，戈德法布称之为“普遍主义概念”，则截然不同。在普遍主义概念中，逻辑致力于陈述和证明适用于任何主题的普遍有效的逻辑定律。简而言之，在现代图式概念中，逻辑的主题是句子（或图式、命题或其他类型的语言实体），其目标是发现支配句子（或图式、命题等）属性及其之间关系的定律。然而，根据弗雷格的普遍主义观念，目标不是发现语言的普遍真理，而是去发现关于世界的普遍真理（Goldfarb 2010）。

最后，尽管弗雷格只在《概念文字》和《基本法》的早期部分两次全面阐述了他的逻辑，但他在其他一些著作中也讨论了其逻辑的各个方面，包括《功能与概念》、《意义与指称》和《概念与对象》（下文将详细介绍），此外，他还在一些不太知名的文章中明确讨论了他自己的体系与同时代人的工作之间的差异。这些包括（但不一定限于）“布尔的逻辑演算和概念脚本”（1880/81）、“布尔的逻辑公式语言和我的概念脚本”（1881）、“关于概念符号的科学依据”（1882a）、“关于‘概念符号’的目的”（1882b）和“论皮亚诺先生的概念符号和我自己的概念符号”（1897）。这些文章不仅为弗雷格逻辑及其逻辑哲学的发展提供了额外的见解，而且还有力地（且令人信服地）证明了弗雷格备受诟病的符号优于弗雷格同时代人的符号（这些论点在很多方面同样适用于将弗雷格的符号与我们现代的倒着的“E”（\(\exists\)）和倒着的“A”（\(\forall\)）符号进行比较！）。对于那些希望在本文内容之外继续研究弗雷格逻辑的人来说，不仅应该参考《概念文字》和《基本法》，还应该参考这些著作。

2. 概念文字的逻辑

概念文字的逻辑是在弗雷格撰写《功能与概念》（1891）、《意义与指称》（1892a）和《概念与对象》（1892b）之前形成的。这些论文旨在解决弗雷格在《概念文字》中阐述的原始逻辑中的一个特定问题：《函数与概念》阐明了概念和关系作为一种数学函数的地位（并首次出现了对该逻辑的许多其他修改，包括首次在出版物中提及弗雷格的涵义/指称区分）；《涵义与指称》为弗雷格提供了充分处理同一性问题的工具；《概念与对象》则解答了弗雷格高阶逻辑中类型区分所引发的难题，这种区分最初在《函数与概念》中明确提出（尽管《基本法》[1884]中也隐含地假定了概念/对象的严格区分，并为此做了大量工作）。这些著作都导致了《概念文字》和《基本法》对弗雷格逻辑的形式细节和哲学解释的重大修改，我们将在下文中探讨其中的一些差异。然而，为了理解《概念文集》逻辑本身的基本机制，这三篇文章中最为关键的是《意义与指称》。

在撰写《概念文集》时，弗雷格并没有明确区分意义和指称。因此，他转而运用了概念内容的概念，从某种意义上说，概念内容承担了在他后期，即《意义与指称》之后的著作中，原本应该由意义和指称来分配的工作。

在他反对传统的主谓式判断分析的论证中（我们将在下文中继续讨论），弗雷格明确指出，概念文字的逻辑对表达相同概念内容的判断之间的差异不敏感：

我注意到，两个判断的内容可能在两个方面有所不同：要么一个判断与其他某些判断相结合时得出的结论，也总是能从第二个判断与相同判断相结合时得出；要么情况并非如此。“在普拉提亚，希腊人击败了波斯人”和“在普拉提亚，波斯人被希腊人击败”这两个命题在第一种方面有所不同。即使可以辨别出细微的含义差异，但一致性仍然占主导地位。现在，我将两种情况下相同的内容部分称为概念内容。由于只有这一点对概念文字才有意义，因此无需区分具有相同概念内容的命题。 （弗雷格 1879a：§3）

因此，有趣的是，概念文字的逻辑算子与后来《基本法》所采用的方法相比，更像当代逻辑，它们（在某种意义上）将适当类型的论证映射到可判断内容，这些内容可以被解释为类似于可能的“情况”或“事实”（更多讨论参见 Dummett 1981 和 Currie 1984）。因此，在概念文字逻辑中，否定是一种以可判断内容（同样，类似于可能的事实或情况）作为输入，并给出另一个可判断内容作为其值的运算；而弗雷格版本的全称量词则是一种以谓词概念内容作为论证，并给出一个可判断内容作为其值的算子。

关于“否定”和“一般”事实（或者更确切地说，因此，概念文字逻辑中，存在着“否定”和“普遍”的概念内容（Beaney 1997），但弗雷格并未提及此类问题，至少在《基本法》的后意义/指称区分逻辑中，这些问题已经消失。就我们的目的而言，重点在于，使用这种早期的概念内容概念，而不是更细致的意义/指称区分，意味着在概念文字逻辑中发现的操作符的适用范围比在《基本法》逻辑中发现的（印刷体相同的）操作符的适用范围要窄得多。

在《概念文字》第三节中，弗雷格提出了一个与其同时代人（例如布尔和施罗德）著作以及更普遍的逻辑传统截然不同的观点：拒绝对命题进行主谓分析：

在我的判断表述中，主语和谓语之间的区别并不存在。（1879a：§3）

在抛弃主谓分析之后，他在《概念文字》的后面提出了一个替代的、更灵活的建议：

假设氢气比二氧化碳轻的情况用我们的公式语言来表达。那么，我们可以用氧气或氮气的符号来代替氢气的符号。这就改变了意义，“氧气”或“氮气”进入了之前“氢气”所代表的关系中。如果一个表达式以这种方式被认为是变量，它就会分裂成一个常量部分，它代表所有关系的总体；以及一个可以被其他符号替换的符号，它表示存在于这些关系中的对象。前者我称之为函数，后者我称之为自变量。这种区别与概念内容无关，而只与我们理解概念内容的方式有关。尽管如前所述，“氢”是论元，“比二氧化碳轻”是函数，但我们也可以这样理解相同的概念内容：“二氧化碳”成为论元，“比氢重”成为函数。（1879a：§9）

他在同一节的后面进一步指出：

如果在一个表达式（其内容不必是可判断的内容）中，一个简单或复杂的符号出现在一处或多处，并且我们认为它在所有或部分出现时都可以被另一个符号替换（但在所有地方都可以被同一个符号替换），那么我们将表达式中此时表现为不变的部分称为函数，将可替换的部分称为论元。 (1879a: §9)

这标志着《概念文字》逻辑的一项重要创新：弗雷格用一种更灵活的思路取代了将命题分析为其独特的主语和谓语（自亚里士多德以来，这种方法贯穿于大多数逻辑著作之中），即一个命题可以被分析成一个论证和一个以多种方式应用于该论证的函数。

需要注意的是：弗雷格在《概念文字》中对函数和论证的区分不应与《基本法》中详细阐述的对象类型理论、一级函数（应用于对象）、二级函数（应用于一级函数）和三级函数（应用于二级函数）相混淆。弗雷格在撰写《概念文字》时，尚未建立这些类型的区分，并在《基本法》的导言中承认了这一点：

此外，与对象相比，函数的性质，比我的《概念文字》中描述的更精确。此外，由此也区分了第一级函数和第二级函数的结果。（1893/1903：x）

因此，《概念文字》中看似类似于一阶变量的东西（例如德语的“\(\mathfrak{a}\)”、“\(\mathfrak{e}\)”等，以及罗马的“\(x\)”、“\(y\)”等），其实更应该理解为作用于任意层级（包括后期弗雷格认为的第一级和第二级函数）的自变量；看似二阶变量的东西（例如德语的“\(\mathfrak{f}\)”、“\(\mathfrak{g}\)”等，以及罗马的“\(f\)”、“\(g\)”）其实更应该理解为作用于与这些自变量对应的函数的变量。

虽然这正确，但即使如此也多少有些误导，因为任何可以被视为判断论证的东西，也可以被视为同一判断的函数，反之亦然。在介绍概念文字逻辑的凹性泛化手段（下文将详细介绍）时，弗雷格写道：

由于符号 \(\Phi\) 出现在表达式 \(\Phi(A)\) 中，并且可以被认为是被其他符号 \(\Psi\) 和 \(X\) 所取代，从而表达了论证 \(A\) 的其他函数，因此 \(\Phi(A)\) 可以被视为论证 \(\Phi\) 的函数。 （Frege 1879a: §10）

换句话说，我们可以这样解析句子“氢气比二氧化碳轻”，即“氢气”是论元，“比二氧化碳轻”是函数；但我们也可以这样解析同一个句子，“比二氧化碳轻”是论元，“氢气”是函数（而不是像《基本法》中那样，我们可以将其解释为“由氢满足”的二级概念是函数——更多讨论参见 Heck and May (2013)。此外，弗雷格指出，函数/论元的区别并非反映关于现实结构的任何客观事实（不同于后来《基本法》中提出的对象/函数层次结构），而仅仅反映了一种选择，即选择以一种方式而不是另一种方式来分析一个陈述：

对我们来说，只要函数和论元完全确定，同一概念内容作为某个论元或某个论元的函数的不同方式就无关紧要。(1879a: §9)

因此，任何事物都可以是论元或函数，而概念文字中看似一阶和二阶的变量并非如此。相反，看似一阶变量（即“\(\mathfrak{a}\)”、“\(\mathfrak{e}\)”等，以及罗马“\(x\)”、“\(y\)”等）与看似二阶变量（即德语“\(\mathfrak{f}\)”、“\(\mathfrak{g}\)”等，以及罗马“\(f\)”、“\(g\)”）之间的区别仅仅是启发式的，有助于帮助读者理解具有多个量词的公式的结果。 （下一小节介绍弗雷格使用的符号，并提供了弗雷格符号的详细说明。）

2.1 概念文字的运算符

2.1.1 判断笔划

判断笔划或许是弗雷格逻辑（在两个版本中）中争议最大的方面。简而言之，在概念文字的逻辑中，判断笔划将可判断的内容转化为判断：

判断总是用符号来表达

判断符号，一条垂直线，一条水平线从其中心向右延伸。它位于给出判断内容的符号或符号组合的左侧。如果省略水平符号左端的小竖线 \(|\)，则判断将转化为纯粹的观念组合，作者不会说明他是否承认其真实性。例如，假设

判断 A.

表示“异性磁极相互吸引”这一判断，那么

情况 A.

不会表达这一判断，而只会在读者心中唤起异性磁极相互吸引的概念，以便从中得出结论，并以此检验这一思想的正确性。我们在此使用“情况”或“命题”等词语进行解释。 (1879a: §2)

弗雷格在《概念文集》中明确指出，并非所有概念内容都是可判断内容，因此并非每个表达式（当然也并非每个对象的名称）都有资格成为判断笔触的论据：

并非所有内容都能通过将判断置于其符号之前而成为判断；例如，“房子”这个概念就不能。因此，我们区分可判断内容和不可判断内容。(1879a: §2)

他总结了关于拒绝主谓式命题分析而支持其功能论证方法（如上所述）的讨论，并就判断笔触的作用做出了以下观察：

想象一种语言，其中命题“阿基米德在攻占锡拉库扎时阵亡”表达如下：“阿基米德在攻占锡拉库扎时惨死是事实”。即使在这里，如果愿意，也可以区分主语和谓语，但主语包含了全部内容。谓词仅用于将其呈现为判断。这样的语言对所有判断只有一个谓词，即“是事实”。由此可见，这里不存在通常意义上的主语和谓词的问题。我们的概念文字就是这样一种语言，符号判断是其所有判断的共同谓词。（1879a：§3）

在概念文字中引入判断笔画后不久，弗雷格就声称它由两部分组成：水平笔画“情况符号”和垂直笔画“\(|\)”，后者才是真正的判断笔画，并且他认为水平笔画将随后可判断内容的组成部分统一为一个整体：