弗雷格的逻辑（五）

判断 \Phi(x)

是一个正确的《基本法》命题，当且仅当“\(\Phi(\xi)\)”命名的函数对所有可能的参数都输出真，否则就是错误的（1893/1903：§17）。

敏锐的读者会注意到（遵循弗雷格的思路），我们对罗马字母通用性手段的解释，并不遵循我们在讨论水平、否定笔画、条件笔画或凹度时所采用的通用模式。简而言之，我们并没有确定表达式“\(\Phi(x)\)”所指的函数（其中“\(x\)”是罗马字母泛化手段的一次出现），而只是解释了涉及罗马字母泛化手段的判断何时正确。

弗雷格从未给出过这种罗马字母泛化手段的函数识别定义——也就是说，他从未指出该特定逻辑手段所表示的特定二级函数。原因很简单：如果他这样做，(i) 该函数可能与同一“阶”凹性实例所选取的函数相同；(ii) 该函数可以应用于《基本法》公式中的子表达式，但事实并非如此；(iii) 该表达式将不具备其实际拥有的范围灵活性。因此，包含罗马字母的表达式并非名称：

我只将指代某物的符号或符号组合称为名称。因此，罗马字母以及包含这些字母的符号组合并非仅仅指代的名称。包含罗马字母的符号组合，如果每个罗马字母都替换为名称，则总能得到一个专名，我将其称为罗马对象标记。此外，包含罗马字母的符号组合，如果每个罗马字母都替换为名称，则总能得到一个功能名称，我将其称为罗马功能标记或功能的罗马标记。 (1893/1903: §17)

鉴于罗马字母概括技巧似乎与《基本法》中的其他逻辑概念有着截然不同的性质，读者可能会疑惑：(a) 弗雷格为什么要将其纳入其中，以及 (b) 我们究竟应该如何理解它。第一个问题的答案相对简单，而第二个问题的答案则不那么简单。弗雷格对罗马字母概括技巧的解释如下：

现在让我们看看逻辑学中称为“Barbara”的推理是如何在这里适用的。从这两个命题：

“1 的所有平方根都是 1 的四次方根”

和：

“1 的所有四次方根都是 1 的八次方根”

我们可以推出：

“1 的所有平方根都是 1 的八次方根”

如果我们现在将前提写成：

判断 所有 gothic a 条件 {项 gothic a^2 = 1} {项 gothic a^4 = 1} 判断 所有 gothic a 条件 {项 gothic a^4 = 1} {项 gothic a^8 = 1}

那么我们就无法应用我们的推理模式；但是，如果我们将前提写成如下形式，我们就可以应用：

判断 条件 {项 x^2 = 1} {项 x^4 = 1} 判断 条件 {项 x^4 = 1} {项 x^8 = 1}

这里我们有§15的情况。上文我们尝试用罗马字母来表达普遍性，但最终放弃了，因为我们观察到普遍性的范围无法得到充分划分。现在，我们通过规定罗马字母的范围涵盖命题中除判断笔划之外的所有内容来解决这一问题。因此，尽管我们可以表达否定的普遍性，但永远无法用罗马字母来表达普遍性的否定。这样一来，歧义就不再存在了。然而，用德语字母和凹度来表达普遍性显然并非多余。我们关于罗马字母范围的规定只是划定其最窄的范围，而不是最宽的范围。因此，仍然可以允许将范围扩展到多个命题，以便罗马字母能够适用于推理，而德语字母由于其严格的范围划分而无法适用于推理。所以，当我们的前提为

条件判断 {x^2 = 1}{x^4 = 1}

和

条件判断 {x^4 = 1}{x^8 = 1}

时，为了推断结论，

条件判断 {x^2 = 1}{x^8 = 1}

我们暂时将“\(x\)”的范围扩展至前提和结论，尽管即使没有这种扩展，这些命题仍然成立。(1893/1903: §17)

关于这段文字，有几点需要注意。首先，这种对罗马字母概括手法的新颖处理（与概念文字逻辑相比）正是由我们在本文前面提出的关于肯定前件的难题所驱动。这里所讨论的推论是假设三段论的一个版本（在《基本法》第 15 节中进行了阐述，下文将对此进行详细介绍），但问题是相同的。对于任意表达式 \(\Delta\)、\(\Gamma\) 和 \(\Theta\)，该规则允许我们从：

判断条件项 \Delta 项 \Gamma 判断条件项 \Gamma 项 \Theta

移动到：

判断条件项 \Delta 项 \Theta

但是，如果像概念文字逻辑中的情况一样，包含公式的罗马字母：

判断条件项 x^2 = 1 项 x^4 = 1 判断条件项 x^4 = 1 项 x^8 = 1

仅仅是以下公式的缩写：

判断所有 gothic a 条件 {项 gothic a ^2 = 1} {项 gothic a^4 = 1} 判断所有 gothic a 条件 {项 gothic a ^4 = 1} {项 gothic a^8 = 1}

那么我们严格来说，没有该规则前提的实例，因此无法得出期望的（也是正确的）结论。因此，我们需要对罗马字母概括性手段进行另一种理解。

弗雷格认为，当我们进行假设三段论的相关实例时，我们暂时扩展罗马字母“\(x\)”的范围，使其同时包含前提和结论。因此，罗马字母“\(x\)”在所有三个“基本法”命题中一致地“指示”同一个对象（无论这个对象是什么），并且我们可以应用假言三段论。

3.2.1.2 高阶量化与罗马字母

弗雷格也允许通过罗马字母的通用性手段来表达二阶和三阶量化。因此，如果“\(\Delta\)”是一个对象的名称，那么：

判断 f(\Delta)

是一个正确的“基本法”命题，当且仅当对于任何一级函数 \(f\)，将 \(f\) 应用于由“\(\Delta\)”命名的对象的结果为真。同样，如果“\(\Phi(\zeta)\)”是一级函数名，则：

判断 M_\beta(\Phi(\beta))

是正确的《基本法》命题，当且仅当，对于每个二级函数 \(\mathcal{F}\)，将 \(\mathcal{F}\) 应​​用于名为“\(\Phi(\xi)\)”的函数的结果为真 (1893/1903: §25)。虽然弗雷格明确地通过罗马字母的普遍性手段处理了三阶量化（不同于他对凹性的处理，后者仅限于一阶和二阶），但他并没有提供任何四阶或更高阶量化的符号。

3.2.1.3 罗马字母的工作原理

现在我们来讨论第二个问题：罗马字母手段究竟是如何工作的？我们如何理解弗雷格的观点，即涉及罗马字母概括手段的表达式“指示”而不是“命名”真值，以及我们如何理解它们的范围必须包含它们出现的判断的整体（可能除了判断笔画）的观点，但可以扩展为同时包含多个公式吗？如何正确解答这些问题，存在相当大的争议。兰迪尼认为，弗雷格指的是变量赋值的概念（Landini 2012），而这个想法直到塔斯基（Tarski，1933）才得以充分发展；而赫克则认为，弗雷格的意图是将罗马字母理解为辅助名称（即未包含在对象语言级词汇中的“额外”名称），例如，以下形式的表达式：

判断 \Phi(x)

（或在推理中将多个这样的表达式放在一起）表示真，当且仅当“\(\Phi(n)\)”是真之名称，无论辅助名称“\(n\)”表示什么对象（Heck，2012）。有关这种量词处理的现代版本，请参阅Mates（1972）。本文不试图解决这场争论。

3.2.2 值域算子

《基本法》中最臭名昭著的原始概念是弗雷格的值域算子，因为它在罗素悖论和弗雷格逻辑主义方案的崩溃中扮演了核心角色。值域符号，或称“平滑呼吸”，将一个从一级函数到对象的二级函数命名。给定任何一级函数名“\(\Phi(\xi)\)”，将一元二级“平滑呼吸”算子应用于“\(\Phi(\xi)\)”所命名的对象：

\[ἐ(Φ(\varepsilon))\]

是“\(\Phi(\xi)\)”所命名函数的值域。与《基本法》逻辑中的其他原始函数符号不同，弗雷格没有给出值域运算符所选取的函数的明确定义（这是有充分理由的，因为根据康托尔定理，不存在这样的函数！）而是用《基本律V》的非正式版本来解释这个概念：

我使用以下语句：

“函数 \(\Phi(\xi)\) 与函数 \(\Psi(\xi)\) 具有相同的值域”

始终与以下语句同指：

“函数 \(\Phi(\xi)\) 和 \(\Psi(\xi)\) 对于同一自变量始终具有相同的值”。

（1893/1903：§3）

值域算子最重要的应用之一是将其应用于一级概念，由此产生的对象（弗雷格称之为“外延”），从现代视角来看，可以粗略地理解为类似于这些概念的特征函数的图。扩张的“行为”在逻辑上确实与（朴素）集合非常相似，但敏感的（或仅仅是理性的）读者应该谨慎，不要将我们自己关于集合的现代观点过多地归因于《基本法扩张》。关于弗雷格关于扩张本质的思想发展的深入探讨，请参阅Burge (1984)。

弗雷格发现了另一类可以使用值域运算符构造的对象，它们与现代数学中广泛使用的任何对象都不对应：双值域。给定任意二元一级函数名“\(\Phi(\xi, \zeta)\)”，我们通过对“\(\Phi(\xi, \zeta)\)”应用值域运算符（绑定以“\(\xi\)”为标记的参数位置）来构成“\(\Phi(\xi, \zeta)\)”所指函数的双精度值域，得到一元一级函数名“\(ἐ(\Phi(\varepsilon, \zeta))\)”。现在，我们通过第二次将值域函数应用于“\(ἐ(\Phi(\varepsilon, \zeta))\)”，获得“\(\Phi(\xi, \zeta)\)”的双倍值域，得到“\(ἀἐ(\Phi(\varepsilon, \alpha))\)”，它命名了由“\(\Phi(\xi,\zeta)\)”（1893/1903：§36）。

双重值域的需求为以下事实提供了一个非常实用的解释：《基本法》的高阶量词通常覆盖函数，而非像现代系统那样仅仅覆盖概念和关系。给定一个二元关系符号“\(\Phi(\zeta, \xi)\)”，第一步的结果——即“\(ἐ(\Phi(\varepsilon, \xi))\)”的指称——不是一个概念，而是一个将对象映射到值域的函数。因此，值域的引入要求弗雷格不仅接受概念和关系，还要接受更普遍的函数，将其纳入他的高阶本体论——更多讨论参见 Landini (2012: ch. 4)。

弗雷格只定义了第一级函数的值域。当然，他可以扩展这个概念，以获得第二级和第三级函数的对象级类似物。函数。但这没有必要，因为我们可以通过反复应用值域运算符将二级及以上函数“化简”为一级函数。例如，给定一个二级概念名称“\(\mathcal{F}_\beta\)”，将一级函数映射到真值，我们可以通过首先构造一个对象级类似物的概念名称来构造一个对象级类似物，该概念当且仅当该对象是“\(\mathcal{F}_\beta\)”所命名的概念映射到真值的第一级函数的值域：

并非所有哥特式 f 条件 {项 \xi = ἐ(f(\varepsilon))} {非项 \mathcal{F}_\beta(f(\beta))}

因此，由“\(\mathcal{F}_\beta\)”命名的第二级概念的对象级类似物就是该第一级概念的值域：

ἀ（并非所有哥特式 f 条件 {项 \alpha= ἐ(f(\varepsilon))} {非项 \mathcal{F}_\beta(f(\beta))}）

此方法非常通用。在《基本法》中，任何时候想要一个与第二级或第三级函数类似的对象级函数，都可以使用这个技巧来构造这样的对象。

3.2.3 用于明确描述的反斜杠运算符

《基本法》逻辑的最后一个原始符号是反斜杠。反斜杠是一个将对象映射到对象的一元第一级函数：

[…] 我们可以通过引入函数来帮助自己：

\[\backslash \xi\]

并指定以下规范来区分两种情况：

如果对于参数，存在一个对象 \(\Delta\)，使得 \(ἐ(\Delta = \varepsilon)\) 是参数，则函数 \(\backslash\xi\) 的值就是 \(\Delta\) 本身。

如果对于参数，不存在任何对象 \(\Delta\) 使得 \(ἐ(\Delta = \varepsilon)\) 为参数，则该参数本身应为函数 \(\backslash\xi\) 的值。

(1893/1903: §11)

一些术语很有用：给定任何专有名称“\(\Delta\)”，我们将以“\(ἐ(\Delta = \varepsilon)\)”命名的对象称为以“\(\Delta\)”命名的对象的单例扩展。那么：

如果“\(\Gamma\)”命名了“\(\Delta\)”所指对象的单例外延，则“\(\backslash\Gamma\)”与“\(\Delta\)”共指；否则，“\(\backslash\Gamma\)”与“\(\Gamma\)”共指。

更简单地说，反斜杠是一种“单例剥离”手段。

弗雷格将反斜杠用作一种明确描述运算符。在现代处理中，明确描述运算符“\(\iota\)”附加到谓词上，给定谓词“\(\Phi(x)\)”，“\(\iota x(\Phi(x))\)”表示满足谓词“\(\Phi(\xi)\)”的唯一对象（如果存在）。然而，弗雷格秉承通过逐次应用值域算子来降低层次的策略，将他的确定描述算子定义为应用于概念而非概念的值域。因此，如果“\(\Phi(\xi)\)”是概念名称，“\(\backslash\Gamma\)”表示由“\(\Phi(\xi)\)”命名的概念映射到真值的唯一对象（如果存在该对象），否则表示由“\(ἐ(\Phi(\varepsilon))\)”命名的对象。

3.3 基本法的公理

概念文字逻辑与基本法逻辑的一个显著区别在于，前者依赖于许多公理，但推理规则很少，而后者依赖于较少的公理但更多的规则。 《基本法》的逻辑仅包含六条公理，现在称为基本定律，其中包括处理值域和反斜杠运算符所需的全新公理。然而，这并非简单的重组。相反，在《基本法》的逻辑中，弗雷格用相应的规则替换了《概念文字》中的一些公理，这些规则在应用中更加灵活，因此也更加强大。关于《基本法》时期弗雷格如何理解基本定律（而非任何其他可从基本定律和推理规则推导出的逻辑真理）的特征及其与证明的关系，请参阅 Pedriali (2019) 的深刻探讨。

3.3.1 基本定律 I

弗雷格的基本定律 I 看起来很熟悉，因为至少在句法上，它就是概念文字逻辑中的公理 1：

判断 条件 {项 a} {项 条件 项 b 项 a}

基本定律 I (1893/1903: §18)

在《基本法》中，弗雷格对基本定律 I 的论证如下：

我们现在将建立一些罗马字母的一般定律，以后我们会用到它们。根据§12：

条件判断 {项 \Gamma} {项 条件项 \Delta 项 \Gamma}

仅当 \(\Gamma\) 和 \(\Delta\) 为真，而 \(\Gamma\) 不为真时，才为假。这是不可能的；因此：

条件判断 {项 a} {项 条件项 b 项 a}

(1893/1903: §18)

鉴于上述讨论（以及弗雷格在基本律的论证中谨慎地使用了“\(\Gamma\) 不为真”而不是“\(\Gamma\) 为假”），即使“\(\Gamma\)”和“\(\Delta\)”所指的对象不是真值，该表达式也表示真，这也不足为奇。例如，鼓励读者验证：

条件 {项 2} {项 条件 项 3 项 2}

是真的名字。弗雷格指出：

判断 条件 项 a 项 a

是上述基本定律 I 公式的一个特例，通过将“\(b\)”替换为“\(a\)”，然后合并相等的子分量得到 (1893/1903: §18)。鉴于其明显的实用性，弗雷格将其列为基本定律 I 的第二个版本，我们可以将其用作原始公理，而无需明确推导。

3.3.2 基本定律 II

基本定律 II 看起来也很熟悉，因为它是概念文字逻辑中公理 9 的《基本法》对应物。既然弗雷格对对象、一级函数、二级函数和三级函数的层级结构有了清晰的概念，并且他拥有了分别涵盖该层级结构中不同“层级”实体的不同量词，他便谨慎地构建了该基本定律的“一级”版本和“二级”版本。第一个版本，基本定律 IIa，内容如下：

判断 条件 {所有 哥特式 a 项 f(哥特式 a)} {项 f(a)}

基本定律 IIa (1893/1903: §20)

弗雷格将这条基本定律描述为表达“适用于所有对象的，也适用于任何对象”的思想 (1893/1903: §20)。基本律 IIa 与《基本法》中使用的广义肯定前件推理（下文将讨论）相结合，提供了一种从使用凹性公式表述的普遍性中推断出罗马字母普遍性的方法。给定一个形式为“判断所有哥特式 a \(\Phi(\mathfrak{a})\)”的凹性命题，我们可以调用基本律 IIa 的一个实例：

判断条件 {所有哥特式 a 项 \Phi(哥特式 a)} {项 \Phi(a)}

并使用肯定前件推理将它们组合起来，得出“判断 \(\Phi(a)\)”。

基本定律 II 的二阶版本称为基本定律 IIb：

判断条件 {所有哥特式 f 项 M_\beta(哥特式 f(\beta))} {项 M_\beta(f(\beta))}

基本定律 IIb (1893/1903: §25)

请注意，子分量中的“\(\mathfrak{f}\)”和上分量中的“\(f\)”是不同的变量（前者是德文字母，后者是罗马字母）。