弗雷格的逻辑（六）

3.3.3 基本定律 III

基本定律 III，即支配等号的《基本法原则》，乍一看，这似乎是同名物不可分辨性的一个略微变体：

条件判断 {项 g(a=b)} {项 g(所有哥特式 f 项条件 {哥特式 f(b)} {项哥特式 f(a)})}

《基本法则 III》（1893/1903：§20）

如果我们用水平线替换罗马字母“\(g\)”，并应用水平线融合，我们确实得到了《基本法》版本的同名物不可分辨性：

条件判断 {项 a=b} {所有哥特式 f 项条件项哥特式 f (b) 项哥特式 f(a)}

然而，《基本法则 III》比这要强大得多。

基本定律三规定，对于任何一元一级函数名“\(\Phi(\xi)\)”以及任何专有名词“\(\Delta\)”和“\(\Gamma\)”，将名为“\(\Phi(\xi)\)”的函数应用于名为“\(\Delta = \Gamma\)”的真值，并不为真；而将名为“\(\Phi(\xi)\)”的函数应用于以下真值：

所有 gothic f 条件项 gothic f(\Gamma) 项 gothic f(\Delta)

则非真。因此，这条公理的意思是，在命题的任何地方（即作为任何函数 \(\Phi(\xi)\) 的参数），人们总是可以用相应的全称量化表达式来代替等式。

当然，否定笔画是可以替代“\(g\)”的函数之一。因此，以下是基本定律三的一个替代示例：

条件判断 {非项 (a=b)} {非项 (所有哥特式 f 条件项 哥特式 f(b) 项 哥特式 f(a))}

这（尽管我们尚未讨论所需的广义对立规则）等价于：

条件判断 {所有哥特式 f 项 条件项 哥特式 f(b) 项 哥特式 f(a)} {项 (a=b)}

因此，《基本法》第三条隐含着不可区分项同一性的《基本法》类似物。因此，弗雷格在《基本法》逻辑中无需概念文字公理8的类似物，因为他证明了：

判断 (a = a)

首先证明：

判断 所有哥特式 f 条件 {项 哥特式 f(a)} {项 哥特式 f(a)}

然后应用《基本法》第三条（以及他的《基本法》版本的肯定前件）。他将这一自我同一性原理称为 IIIe (1893/1903: §50)。

3.3.4 基本定律 IV

基本定律 IV 为：

条件判断 {非项 (情况 a) = (注释 b)} {项 (情况 a) = (情况 b)}

基本定律 IV (1893/1903: §18)

这条原理看起来只不过是经典命题逻辑中一个常见原理的《基本法典》式的对应：

\[(\neg (\Delta \leftrightarrow \neg \Gamma)) \rightarrow (\Delta \leftrightarrow \Gamma)\]

然而，像往常一样，我们应注意不要将此公理理解为仅适用于真值名称。相反，无论用什么名称代替“\(a\)”和“\(b\)”，基本定律 IV 的实例都命名真。因此：

条件判断 {非项（情况 2）=（非 3）} {项（情况 2）=（情况 3）}

是真之名（回想一下，“情况 \(2\)”和“情况 \(3\)”都是假之名，“非 \(3\)”命名了真，因此，基本定律 IV 的这个实例的上级成分和子成分都是真之名）。

与《基本法》逻辑中的大多数（不涉及值域的）公理和规则不同，基本定律 IV 在《概念文字》逻辑中没有直接的对应物（但参见下文对公理 5 和 6 的讨论），其目的似乎部分在于：在论证并非真值的情况下，强制执行对水平和否定的预期解释。然而，鉴于《基本定律IV》中所有出现的罗马字母都以水平字母为前缀，这一原则的实际意义与经典类比大致相同：给定任意两个真值，如果第一个真值不等于第二个真值的否定，则它们本身相等。

鉴于《基本定律IV》实际上强制《基本法》的逻辑为二价，我们或许会好奇，在《概念文字》的逻辑中扮演这一角色的公理——公理5和公理6——发生了什么。公理5和公理6的《基本法》类比在《基本法》的推导中很早就得到了证明，但与《基本定律II》的情况一样，弗雷格实际上识别并证明了更具普遍性的版本。所讨论的定理如下：

条件判断 {项 f(非非 a)} {项 f(情况 a)}

IVc

条件判断 {项 f(情况 a)} {项 (非非 a)}

IVd

他分别称之为 IVc 和 IVd (1893/1903: §51)。

3.3.5 基本定律 V

令人惊讶的是，弗雷格引入如今已臭名昭著的基本定律 V 时，却鲜有动静。弗雷格仅仅指出：

[…] 值域相等性总是可以转化为等式的一般性，反之亦然。(1893/1903: §20)

然后陈述公理：

判断 (ἐf(\varepsilon) = ἀg(\alpha)) = (所有哥特式 a 项 f(哥特式 a) = g(哥特式 a)))

基本定律 V (1893/1903: §20)

基本定律 V 的 Grundgesetze 表述比该定律在高阶逻辑中众所周知的现代“翻译”更为通用，例如：

\[\forall X\;\forall Y(\S(X) = \S(Y) \leftrightarrow \forall z(X(z) \leftrightarrow Y(z)))\]

其中量词的范围涵盖概念或属性。基本定律V的《基本法》表述不仅意味着每个概念都有相应的外延，而且意味着任何函数（无论是否是概念）都有一个值域。因此，基本定律V的《基本法》表述也包含类似以下内容：

\[ \forall f\;\forall g(\S(f) = \S(g) \leftrightarrow \forall z(f(z) = g(z))) \]

然而，由于在现代高阶逻辑处理中，概念与函数不同，而非像《基本法》中那样是函数类的子类，因此严格来说，弗雷格的《基本定律V》并不等同于这两种现代表述。

3.3.6 基本法则 VI

《基本法则 VI》的最后一条公理规定了反斜杠的行为：

判断 a =backslash ἐ(a = \varepsilon)

基本法则 VI (1893/1903: §18)

这条公理明确了前面讨论过的反斜杠运算符的非形式化定义的一部分。如果“\(\Gamma\)”是“\(\Delta\)”所命名对象的单例扩展名，那么将反斜杠应用于“\(\Gamma\)”的结果与“\(\Delta\)”所命名的对象相同。但是，基本法则 VI 并未告诉我们，当我们将反斜杠应用于非单例扩展名时会产生什么结果。我们或许会疑惑，为什么弗雷格没有添加第二条公理来规范这种情况，例如：

条件判断 {所有哥特式 a 非项 b = ἐ(哥特式 a = \varepsilon)} {项反斜杠 b = b}

《基本法》的演绎体系中缺乏这条原则，这引出了对弗雷格方法论的深刻洞察。问题在于，弗雷格是否会认为他的逻辑是完备的——也就是说，他是否会认为他的逻辑能够证明所有能用《基本法》语言表达的逻辑真理。迈克尔·达米特认为：

毫无疑问，弗雷格会声称，他的公理，加上其中未包含的附加非形式化规定，可以得出一个完备的理论：将高阶理论的不完备性归咎于他，将是一种时代错误。 (1981: 423)

达米特所指的规定是在《基本法》第10节“置换论证”结论中，将真值与其单例外延等同起来。然而，《基本法第六条》缺乏第二个例证表明，弗雷格本应非常清楚《基本法》逻辑的不完备性（如果它不矛盾的话），因为他未能纳入一个在预期解释中明显正确的原则。当然，认为他意识到他实际纳入的逻辑原则中存在明显的缺陷（考虑到他对其逻辑预期解释提供的非正式语义阐释），与声称他意识到二阶逻辑原则上的不完备性，这两者截然不同。

有趣的是，赫克（Heck）指出（2012：第2章），弗雷格后来在《基本法》中声称一个命题“似乎是无法证明的”（Frege 1893/1903：§114）。弗雷格谨慎地只声称该原理不可证，因此他不会声称该原理为真（即，他不会将其写成带有“判断符号”的判断，但他也不会声称该原理为假。赫克认为，弗雷格此时认识到他的系统（或者至少是与§114中讨论的推导相关的一致子系统）的潜在不完备性。阻止弗雷格证明所讨论的断言，以及允许戴德金在他自己的算术处理中证明类似原理（Dedekind 1888）的原因在于，后者可以使用选择公理的非形式化版本，而弗雷格在《基本法》的逻辑中没有包含选择公理的形式化版本（Heck 2012：第2章）。这是一个重要的观察结果，但不需要如此复杂就能得出结论，弗雷格可能会认为他的系统是不完备的。

弗雷格不需要在他根据《基本法》推导算术形式系统时，他提出了一个涵盖反斜杠应用于非单例扩展的公理（我们可以推测，在他设想的实分析和复分析推导中也不需要这个公理）。因此，他不需要将其添加到他的基本定律库中。弗雷格的形式系统只需要包含他重建算术和分析所需的逻辑原理——他的项目不需要现代意义上的证明理论完备的逻辑，因此，我们不应该对他所构建的逻辑（对弗雷格、他的读者以及我们来说）显得相当明显不完备感到惊讶（如果《基本定律V》没有使其不一致，从而使其显而易见地完备的话）。

3.4 《基本法》的推理规则

尽管人们经常认为弗雷格的逻辑笨拙难用，但弗雷格所构建的推理规则却恰恰相反：由此产生的系统利用了弗雷格解读条件句的方式中存在的系统性模糊性，在许多方面比现代演绎系统更强大、更优雅。

首先，我们提醒读者注意前面讨论过的三条推理规则，它们可以在《基本法》的逻辑推导中应用，无需任何注释或标签。这三条规则分别是：子成分的置换、相同子成分的融合以及水平线的融合。此外，弗雷格还提出了六条推理规则。

3.4.1 广义肯定前件推理

第一种是广义肯定前件推理（“广义肯定前件推理”并非弗雷格所创，他称这种推理为“推断(a)”），弗雷格对此的描述如下：

如果一个命题的某个子成分与另一个命题的区别仅在于缺少判断点，那么可以通过删除该子成分来推断出一个由第一个命题得出的命题。(1893/1903: §14)

简而言之，如果已经证明了一个《基本法》条件句，并且也证明了该条件句的一个子成分，那么就可以推断出从该条件句中删除该子成分的结果。假设我们已经证明了 Grundgesetze 命题：

判断条件 {项 \Delta} {项 条件项 \Gamma 项 \Theta}

那么，如果我们也得到了“判断 \(\Delta\)”，那么我们可以得出结论：

判断条件项 \Gamma 项 \Theta

在这个应用中，我们解析所讨论的条件，使得“\(\Delta\)”是相关的子组件，并且：

判断条件项 \Gamma 项 \Theta

上级组件。另一方面，如果我们有“判断 \(\Gamma\)”，那么我们就可以得出：

判断条件项 \Delta 项 \Theta

将“\(\Delta\)”和“\(\Gamma\)”都视为子组件，将“\(\Theta\)”视为上级组件。广义肯定前件式的应用用一条水平实线表示。这是过渡符号的第一个例子 (1893/1903: §14)。

这条规则是对《概念文字》中简单版肯定前件式的极其强大的概括，或者包含在使用线性符号的现代演绎系统中。试想在一个典型的自然演绎系统中，从以下公式过渡需要多少步：

\[A_1 \rightarrow (A_2 \rightarrow (A_3 \rightarrow (A_4 \rightarrow (A_5 \rightarrow (A_6 \rightarrow (A_7 \rightarrow (A_8 \rightarrow B)))))))\]

和 \(A_8\) 到：

\[A_1 \rightarrow (A_2 \rightarrow (A_3 \rightarrow (A_4 \rightarrow (A_5 \rightarrow (A_6 \rightarrow (A_7 \rightarrow B))))))\]

。在《基本法》的逻辑中，弗雷格可以一步完成类似的演绎。关于弗雷格推理规则威力的类似评论也适用于其他利用“基本法”公式可以以多种方式解析为子成分和超成分这一事实的规则（例如，广义假言三段论、广义对立论和广义困境）。

弗雷格允许同时多次应用广义肯定前件的广义形式。因此，如果我们已经证明：

判断条件 {项 \Delta} {项 条件项 \Gamma 项 \Theta}

然后我们同时证明“判断 \(\Delta\)”和“判断 \(\Gamma\)”，我们就可以同时消去这两个子成分。用双水平线标记过渡（1893/1903：§14）。

3.4.2 广义假设三段论

下一个推理规则是广义假设三段论（这又是一个新术语——弗雷格将此规则称为“推断(b)”）：

如果相同的符号组合在一个命题中作为超成分出现，而在另一个命题中作为子成分出现，则可以推断出一个命题，其中后者的超成分作为超成分，而两者的所有子成分（除上述成分外）均作为子成分。但是，在两者中都出现的子成分只需写一次。 (1893/1903: §15)

这是广义的、更强大的规则假设三段论版本，它利用了子成分的“相等”地位：给定一个基本法命题，以及第二个命题，其上成分是第一个命题的子成分，我们可以推断出用第二个命题的子成分替换第一个命题中相关子成分后得到的命题。例如，如果我们同时推导出：

条件判断 {项 \Delta} {项 条件项 \Gamma 项 \Theta} 和条件判断 {项 \Gamma} {项 条件项 \Sigma 项 \Delta}

那么我们可以将它们合并得到：

条件判断 {项 \Sigma} {项 条件项 \Gamma 项 \Theta}

注意，我们将两次出现的“\(\Gamma\)”合并为一次出现。广义假设三段论的应用用新型过渡符号——虚线水平线“—– – –”表示，广义假设三段论的多个同时应用用双虚线水平线“= = = =”表示。广义假言三段论是概念文字逻辑中公理2的一种更强大的基于规则的形式。

3.4.3 广义对立

推理的第三条规则是广义对立（弗雷格将此规则简称为“对立”）。

只要同时反转每个子成分的真值，就可以用超成分置换一个子成分。(1893/1903: §15)

广义对立允许我们将《基本法》命题的超成分与其任意子成分“交换”，只要“同时反转每个子成分的真值”。回想一下弗雷格将否定描述为“一个符号，通过它将每个真值转化为它的对立面”（1893/1903：§6），这相当于在每个公式中添加一个否定，或者从中移除一个否定（如果至少存在一个否定）。因此，如果我们推导出：

条件判断 {项 \Delta} {条件项 {非项 \Gamma} {项 \Theta}}

那么广义对立式可以让我们得到以下任意一种：

条件判断 {非项 \Theta} {条件项 {非项 \Gamma} {非项 \Delta}}

(a)

条件判断 {项 \Delta} {条件项 {非项 \Theta} {非非项 \Gamma}}

(b)

条件判断 {项 \Delta} {条件项 {非项 \Theta} {项 \Gamma}}

(c)

条件判断 {非项 \Theta} {非项 \Gamma} {项 \Theta}} {非项 \Delta}

(d)

广义对立式的应用用过渡符号“\(\Large \times\)”表示。广义对立是概念文字逻辑中公理4的一个基于规则的更强大的版本。

3.4.4 广义困境

推理的第四条规则是广义困境（弗雷格称之为“推断(c)”）：

如果两个命题在其超成分上一致，而其中一个命题的子成分与另一个命题的子成分仅在一个前缀否定笔划上有所不同，那么我们可以推断出一个命题，其中共同的超成分具有超成分的特征，并且两个命题的所有子成分（除上述两个之外）都具有子成分的特征。在这种情况下，两个命题中都出现的子成分只需写出一次。 (1893/1903: §16)

因此，如果我们推导出如下形式的《基本法则》命题：

条件判断 {项 \Delta} {项 条件项 \Gamma 项 \Theta}

(a)

条件判断 {项 \Sigma} {项 条件项 {非项 \Delta} {项 \Theta}}

(b)

我们可以推断：

条件判断 {项 \Gamma} {项 条件项 {项 Sigma 项 \Theta}}

广义困境用点划线“\(\cdot\!-\!\cdot\!-\!\cdot\!-\!\cdot\)”表示。

广义困境是《基本法》逻辑中唯一一个除了明确涉及值域的公理或规则之外，在《概念文字》逻辑中没有明确（即使弱得多）对应关系的正式公理或规则（假设我们将公理5和6至少视为《基本法第四》的非常松散的对应关系——见上文），尽管该规则的对应关系当然可以在早期体系中推导出来（用当代术语来说）。在《概念文字》序言中，弗雷格指出他已将推理限制在尽可能少的公理和规则上，之后他写道：

这并不排除后来从多个判断过渡到一个新的判断的可能性，而这些过渡只能通过这种单一的推理模式以间接的方式实现。为了简化，这些表达式被转换成直接的表达式。事实上，这对于以后的应用可能是明智的。这样一来，更多的推理模式就会出现。（1879a：序言）

然而，在《基本法》的前言中，弗雷格指出了一个相当显著的策略转变：