弗雷格的逻辑（七）

为了获得更大的灵活性并避免篇幅过长，我默许自己使用子成分（条件）的置换和相等子成分的融合，并且没有将推理和推论模式降至最低。任何熟悉我的小书《概念文字》的人都会从中看出，在这里人们也能满足最严格的要求，而且这还会导致范围的显著扩大。（1893/1903：序言）

弗雷格在这里想到的可能是广义困境。

3.4.5 凹性引入

弗雷格的下一个推理规则，我们将（在讨论概念文字逻辑中的类似规则之后）称之为“凹性引入”（弗雷格称此规则为“罗马字母转化为德语字母”），它支配着《基本法》中两种表达普遍性的手段——罗马字母普遍性手段和凹性——之间的相互作用：

一个罗马字母只要出现在一个命题中，就可以被同一个德语字母替换。同时，后者必须被置于一个凹性之上，该凹性位于一个这样的超成分之前，而罗马字母不会出现在该超成分之外。如果在这个超成分中，包含一个德语字母的范围，并且罗马字母出现在这个范围内，那么为后者引入的德语字母必须与前者不同。(1893/1903: §17)

从机制上讲，这与概念文字逻辑中给出的凹性引申版本相同。用于标记凹性引申应用的过渡符号为“\(\raise 1ex{\underparen{\hspace{1.5em}}}\)”。

3.4.6 罗马字母消去

虽然凹性引申允许我们从用罗马字母表达的普遍性转移到用凹性表达的普遍性，而基本定律II（结合广义肯定前件）允许我们从用凹性表达的普遍性转移到用罗马字母表达的普遍性，但目前我们还没有办法从表达普遍性（任何一种）的命题转移到具体的事例（概念文字逻辑不包含名称，因此这一缺陷在该早期系统中并非缺陷）。弗雷格通过引入我们称之为罗马字母消除规则（弗雷格称此规则为“引用命题”）来纠正这一点，他对此的描述如下：

当用标签引用一个命题时，我们可以通过将命题中的罗马字母统一替换为相同的专名或相同的罗马宾语标记来实现简单的推理。

同样，我们可以将命题中所有出现的罗马函数字母“\(f\)”、“\(g\)”、“\(h\)”、“\(F\)”、“\(G\)”、“\(H\)”替换为带有一个或两个参数的一级函数的相同名称或罗马标记，具体取决于罗马字母表示的是带有一个或两个参数的函数。

当我们引用定律 (IIb) 时，我们可以将两次出现的“\(M_\beta\)”替换为带有一个第二类参数的二级函数的相同名称或罗马标记。 (1893/1903: §48)

罗马字母消除法有两种应用方式。第一种，也是最简单的一种，涉及用专有名词统一替换特定的罗马字母。但罗马字母消除规则也允许我们用罗马宾语标记替换单个罗马字母。因此，利用此规则，我们也可以通过将罗马字母“\(x\)”替换为罗马宾语标记“非 \(y\)”，从“判断 \(\Phi(\) 非 \(y)\)”得到“判断 \(\Phi(\) 非 \(y)\)”。同样，给定形式为“判断 \(f(\Delta)\)”的 Grundgesetze 命题，我们可以推断出“判断不 \(\Delta\)”（通过将罗马字母“\(f\)”替换为函数名“判断不”或“判断不 \(g(\) not \(\Delta)\)”（通过将罗马字母“\(f\)”替换为罗马函数标记“not \(g\) not ”）。罗马字母消去规则最明显和最重要的应用之一是引入公理的“实例”，因为弗雷格并不要求我们明确地写出公理。相反，我们可以引用通过将罗马字母消去规则（一次或多次）应用于公理本身而得到的公理的任何“实例”。

这种推断没有过渡符号，因为它应用于将先前导出的公式用作前提来应用其他公式之一的情况以上列出的规则。

我们对弗雷格《概念文字》和《基本法》中逻辑系统的考察到此结束。但这远非弗雷格逻辑思想的结论。尽管弗雷格最终根据罗素悖论放弃了他的逻辑主义方案，以及他的逻辑体系中导致矛盾的部分（基本定律V和VI，以及更广义的值域概念），但他仍然继续教授逻辑课程多年。对弗雷格后来的观点感兴趣的读者可以查阅补充文章《弗雷格悖论之后的逻辑》。