皮尔斯的演绎逻辑（一）

查尔斯·桑德斯·皮尔斯是一位哲学家，但由于其著作范围广泛，很难将他归类为哲学家。（请参阅“查尔斯·桑德斯·皮尔斯”条目的目录。）逻辑是皮尔斯写作的主要主题之一。然而，如果我们专注于逻辑，就会发现皮尔斯的逻辑概念和逻辑研究工作都比他的前辈、同时代人和我们的要广泛得多。首先，皮尔斯将逻辑置于他庞大的哲学体系中，这就是为什么有些人坚信，如果不理解他的实用主义和符号学（仅举他的另外两项贡献），就无法正确理解皮尔斯的逻辑。即使在传统的逻辑学领域，皮尔斯的贡献也多得令人难以置信，无法在一篇文章中一一列举。

鉴于这项几乎不可能完成的任务，我们挑选出皮尔斯对现代逻辑的诸多贡献的共同主题——扩展逻辑，其特征体现在三个不同的维度上：

形式主义的范围（从单子到关系），

系统类型（从符号到图解系统），以及

语义值（从二值到三值）。

本文的主要目标不仅是展示皮尔斯在这三个扩展领域所取得的成就，更要探索这些新颖发展之间的关联（如果有的话）。本文的三个部分将分别探讨皮尔斯如何通过这三种方式拓展演绎逻辑的视野。皮尔斯在形式演绎逻辑方面的探索始于布尔演算和德·摩根的相对逻辑。布尔代数开辟了一条推广亚里士多德三段论的道路，而德·摩根对关系形式化的追求则开辟了一个新的领域。然而，皮尔斯的谓词逻辑既不是现有逻辑的机械扩展，也不是两者的简单结合。正如条目所解释的，皮尔斯对其当代逻辑的飞跃在本质上足以称其为现代演绎逻辑的奠基人。第一部分探讨了皮尔斯在其几篇著名论文中提出的谓词逻辑的发展，并探寻了皮尔斯引入量词和绑定变量的根源。虽然皮尔斯一阶逻辑的形式细节和符号可能令人眼花缭乱，但人们不应忽视皮尔斯寻求新逻辑的主要动机，而忽略了整体的视角。皮尔斯凭借新的形式符号征服了关系这一新领域，他的冒险之旅由此开启，进入了另一个维度——一种新的表征模式，即图解式表征。这正是第二部分的主题。虽然皮尔斯的存在图（以下简称“EG”）的两个系统被呈现，但以下观点是其背景：皮尔斯的存在图并非仅仅是作为随机替代方案而发明的，在逻辑上等同于他自己的谓词逻辑符号，而是皮尔斯对逻辑和形式化新方法的体现。随着皮尔斯对谓词逻辑的不懈尝试为我们带来了更强大的形式符号，皮尔斯对关系状态更好表征的探索也超越了他自身的符号系统。空间的，而非线性的，符号对我们中的一些人仍然不太熟悉，第二部分介绍了皮尔斯演绎逻辑的基本符号方面，并讨论了演绎逻辑与符号系统之间的根本区别。第三部分关于三值逻辑，探讨了皮尔斯的另一项新事业，不是在句法符号方面，而是在语义值方面。皮尔斯学者提出了皮尔斯三值语义学背后的各种动机，我们将简要讨论这些不同的观点。

虽然皮尔斯的第一项贡献，即从单子逻辑到谓词逻辑的扩展，使他与弗雷格一起成为现代逻辑的奠基人，但皮尔斯的其他成就却花了很长时间才引起逻辑学家或哲学家的重视。本文旨在绘制皮尔斯演绎逻辑之旅的路线图，以便人们认识到他的成就彼此紧密相连。更具体地说，皮尔斯在演绎逻辑方面的成就是累积的。在能够用新的符号表示法形式化多元关系之后，皮尔斯设计了一种全新的表示形式——图解系统。我们能够形式化的内容得到了扩展，而我们能够形式化的内容的形式化方法也得到了扩展。皮尔斯进一步探究了我们的形式化所代表的意义，并提出了一种比二进制真或假值更细粒度或更广阔的语义值领域。

1. 从单子逻辑到多元逻辑

1.1 关系和量化的形式化

1.2 布尔传统——代数和模型论

2. 从符号表示到像似表示

2.1 实用主义准则应用于关系逻辑

2.2 阿尔法系统

语法

词汇

格式良好的图表

内孔阅读算法

多重阅读算法

示例

语义

重新表述的转换规则

2.3 Beta 系统

3. 从二值逻辑到三值逻辑

3.1 三值系统的真值表

3.2 为什么需要第三个值？

参考文献

A. 主要来源：本条目引用的 C. S. Peirce 的著作

B. 次要来源

学术工具

其他网络资源

相关文章

1. 从一元逻辑到多元逻辑

Peirce 和 Frege 各自独立地将我们从传统的亚里士多德逻辑带到了现代逻辑——这是一个巨大的飞跃。形式化的力量无人能否认，它引领 20 世纪早期的数学家取得了令人瞩目的成就和成果。[1] Peirce 和 Frege 的这一飞跃的本质是什么？这仅仅是引入新的形式符号（例如量词和变量），以便我们能够轻松地形式化推理吗？如果是这样，那么现代逻辑只不过是用量词/变量修饰亚里士多德逻辑而已。这将皮尔斯在逻辑学方面的主要贡献之一等同于形式词汇的丰富。

量词/绑定变量的采用对逻辑和数学世界的巨大影响不容否认。然而，这不应掩盖皮尔斯在新的扩展形式主义背后的洞见。本节将探讨皮尔斯对关系逻辑的新颖性的确信如何促使他引入量词/变量。因此，在皮尔斯看来，量化理论并非形式词汇的线性扩展，而是向与亚里士多德逻辑所涵盖的内容在性质上不同的领域的扩展。同时，我们不应忘记，皮尔斯以布尔逻辑代数的精神扩展了逻辑的领域。

在《布尔逻辑演算的改进》（1867）中，皮尔斯暗示了改进布尔逻辑的必要性。不是在谓词逻辑的背景下，而是在其无法在词项逻辑的背景下表达存在性语句。他在 1870 年的论文“从对布尔演算概念的扩展中得出的相对逻辑符号的描述”（DNLR）表明了他想要将布尔的代数符号与德·摩根在关系表示方面的努力结合起来的野心。许多人都认为这篇论文在历史上第一次引入了一阶谓词逻辑的基本词汇。随后，皮尔士在“论逻辑代数”（1880 年）中研究了两种关系运算——相对和与相对积——而发表在他编辑的《约翰·霍普金斯大学成员的逻辑研究》（1883 年）一书中的“相对逻辑”（称为“注释 B”）表明在量化方面取得了重大进展，这受到了 O. H. Mitchell（他是他的学生）工作的影响。最后，皮尔斯1885年的论文《论逻辑代数：对符号哲学的贡献》被认为是皮尔斯完整呈现其量化理论的起点。

第一小节从DNLR开始，考察皮尔斯的后续步骤，直至他在1885年的论文《论逻辑代数：对符号哲学的贡献》中提出其一阶逻辑的最终形式。（关于这两篇论文之间的一些手稿，请参阅Beatty 1969；Dipert 2004：297-299；以及Merrill 1978。）第二小节将皮尔斯的一阶谓词逻辑工作置于更大的语境中。

1.1 关系与量化的形式化

皮尔士在其1885年的论文《论逻辑代数：对符号哲学的贡献》中，以全面的方式阐述了他的量化理论，并结合了类似公理的“符号”。皮尔斯通往现代逻辑的漫长旅程始于他试图扩展形式化领域的尝试。在这一过程中，皮尔斯受到了德·摩根为关系表示而奋斗的启发，同时，布尔演算也赋予了皮尔斯力量，布尔演算将亚里士多德的项逻辑形式化。也就是说，皮尔斯将德·摩根的雄心壮志作为指引方向的路线图，同时运用布尔的方法和符号来实现这一目标。本小节将追溯皮尔斯的旅程，通过考察他的主要成就，了解他是如何到达目的地的。

皮尔斯于1870年发表的论文《基于布尔演算概念的扩展：关系逻辑符号的描述》（DNLR）的标题在论文开头是这样阐述的：

探究布尔逻辑代数是否能够扩展到整个形式逻辑领域，而不是局限于该学科中最简单、最无用的部分——绝对项逻辑，这很有趣……本文旨在表明可以对这个问题给出肯定的答案。（DNLR [CP 3.45]）

皮尔斯指出，如果我们想要覆盖整个形式逻辑领域，布尔逻辑就需要进行“扩展”。皮尔斯所说的“整个形式逻辑领域”是什么意思？皮尔斯回答道：“如果不研究关系逻辑，就无法真正理解演绎逻辑。”（1911a [CP 3.641]）[2]

皮尔斯受到布尔逻辑代数的鼓舞，同时又认真对待其父亲本杰明·皮尔斯教授对逻辑的负面看法[3]，探索了将布尔方法应用于更大推理领域的方法，从而将关系形式化。什么是关系？为什么它们如此特殊？让我们比较三个句子：“约翰是美国人”、“约翰比汤姆高”和“约翰在汤姆和玛丽之间”。第一个句子有一个一元谓词“是美国人”，第二个句子有一个二元谓词“比汤姆高”，第三个句子有一个三元谓词“在……和……之间”。一元谓词代表属性或性质，而二元或三元谓词代表关系。如果一个一阶逻辑系统只有一元谓词，我们称它是单元的。否则，谓词逻辑被假定为具有二元或其他更高级的谓词。

当我们从单元逻辑转向多元逻辑时，会发生实质性的变化。以下三个变化是最重要的。首先，从属性到关系的转变是一种领土扩张。鉴于亚里士多德三段论仅限于一元谓词，人们期望多元逻辑能够代表亚里士多德三段论所涉及的推理，即词项逻辑。其次，单子逻辑是可判定的，而多元逻辑不可判定，正如丘奇定理所证明的那样。从某种意义上说，随着领域的扩展，我们正在失去对它的掌控。第三，符号的变化是不可避免的，这需要现代量化理论的出现。皮尔士是如何处理这三个重要方面的？

关系领域是德·摩根在逻辑学中做出许多富有创造性和新颖性工作的前沿领域[4]。然而，他对这一主题的探究局限于传统三段论的模式[5]。更重要的是，德·摩根没有足够的工具来形式化这个新扩展的领域[6]。因此，德·摩根的关系仅限于适合三段论推理的特定群体，这并不奇怪。正如梅里尔指出的那样，德·摩根对关系逻辑的一般发展仅限于其可用于他所熟悉的三段论目的。这意味着他对可转换和/或及物的关系尤其感兴趣……（Merrill 1990: 113）

皮尔斯对关系逻辑的兴趣是否独立于德·摩根在此主题上的研究，这一点尚不明确，且存在争议。[7] 无论皮尔斯对关系的研究起源如何，许多人都一致认为，是皮尔斯（而非德·摩根）成功地形式化了关系逻辑。德·摩根学者梅里尔对此作了如下阐述：

这种命题观点（德·摩根处理关系论证的方式）最明显的问题是它似乎不够具有普遍性。如果我们可以通过关联将两个词项合并为一个命题，那么为什么不能合并三个、四个或十个词项呢？德·摩根对关系三段论的关注似乎阻碍了这种普遍性；但原则上没有理由认为它无法实现。不过，为此，我们必须等待弗雷格和皮尔斯的著作。（Merrill 1990: 110）

有趣的是，皮尔斯在1870年《非关联逻辑推理》（DNLR）之前的著作表明，皮尔斯也尝试用传统的三段论推理规则来解决关系论证[8]，但《非关联逻辑推理》采用的方法完全不同——不是在三段论框架内，而是引入了布尔代数符号。皮尔斯一定意识到了布尔符号所能提供的泛化能力。布尔的代数形式化了亚里士多德的范畴三段论，并为词项逻辑的泛化开辟了道路[9]。皮尔斯对布尔对亚里士多德三段论的数学处理印象深刻，因此毫不奇怪地致力于将这种方法应用于关系论证。从这个意义上说，现代谓词逻辑始于皮尔斯1870年的开创性工作。因此，皮尔斯项目的目标——即拓宽逻辑形式化的范围——是引入量词和绑定变量新词汇的主要动机。如果真是这样，皮尔斯早期对关系推理重要性的洞见，正是理解皮尔斯和弗雷格在一阶逻辑发展上的差异的关键因素。[10] 此外，下一节将展示皮尔斯对关系逻辑的痴迷如何促使他发明了存在图。

关系逻辑比单子逻辑形式化了更大的领域，但获得额外的表达能力是有代价的：单子逻辑是可判定的，而多元逻辑则不是。尽管我们需要等到丘奇定理才能看出一阶谓词逻辑的不可判定性，但皮尔斯直觉地意识到非关系逻辑与关系逻辑之间存在根本区别。以下是皮尔斯在比较单子逻辑和关系逻辑时提出的一些富有启发性的观点：

关系逻辑形式多样；其特点是无数的直接推理，以及从同一组前提得出各种不同的结论。(1883a [CP 3.342])

并且：

旧的三段论推理可以用机械方法进行，但特征关系推理则不能用任何单纯的机械规则来完成。(1896: 330)

正如迪珀特正确指出的那样，皮尔斯的评论揭示了他“对关系给逻辑带来的丰富性和复杂性的理解”(Dipert 1984a: 63)。[11]

为了增加表达能力，皮尔士放弃了传统的三段论模式，引入了布尔逻辑代数。以下评论强调，皮尔斯对符号的选择与德·摩根对关系逻辑的追求截然不同：

德·摩根的方法论受三段论逻辑的支配，而皮尔斯的方法论则完全是代数的。这种从布尔那里继承下来的代数模型与德·摩根的方法截然不同。这种方法论上的差异反映了定义层面上的显著差异。（Brunning 1991: 36）

在意识到关系逻辑的复杂性之后，皮尔斯探索了超越布尔演算的新符号。以下段落预测了这一举动：

这些特性（相对逻辑的非机械性）的效果​​无法像布尔演算那样受到严格规则的约束。 (1883a [CP 3.342])

这是从单子逻辑到多元逻辑转变的第三个方面：关系给我们的推理带来的复杂性，显然促使皮尔斯发展了一种新的符号系统。正如本小节的其余部分所示，从《论逻辑代数》到《论逻辑代数》，这一过程历时15年，相当复杂。重要的是，皮尔斯引入量词和绑定变量可以看作是他雄心勃勃的目标的必然结果，即扩大形式化的范围以涵盖关系，正如梅里尔所说：“许多关系语句的量化复杂性迫切需要量词”（1997: 158）。

《论逻辑代数》的第三部分，正如标题“代数符号在逻辑中的应用”所述，是布尔代数符号与关系逻辑首次结合的地方之一。在第一小节中，皮尔斯明确表示他想要涵盖的领域是关系型的，他通过以下方式引入了多元谓词：

(DNLR [CP 3.63–64]；本条目采用的是我们现代的术语，而非皮尔斯的术语。

谓词 皮尔斯术语 字母 示例

一元绝对项 a,b,c,…（罗马字母）法国人 (f), 小提琴手 (u),…

二元简单关系项 a,b,c,…（斜体）妻子 (w)), 情人 (l), 所有者 (o),…

三元共轭项 a,b,c…（肯纳利 [Kennerley]）给予 — 的 — (g)

在第三部分的剩余部分，介绍了四种应用于这些谓词字母的代数符号：包含符号 (−＜)、加法符号 (+,)、乘法符号（并列或“,”）和对合符号（幂运算）。

首先，他将等号“=”和表示“小于”的符号 ＜ 结合起来，得到符号“−＜;”。表示包含：

因此，

f−＜m

表示“每个法国人都是男人”，而不说明是否存在其他男人。因此，

m−＜l

表示任何事物的所有母亲都是同一事物的爱人；尽管这种解释在某种程度上预示了以后将要达成的约定。(DNLR [CP 3.66])

请注意，“f−＜m”（与“f−＜m”不同）不符合语法，因为 m 是二元谓词，不能与一元谓词 f 存在包含关系。

对于加法的符号，皮尔斯引入了布尔符号“+”，但略有不同：

布尔采用加法的符号，因此

x+y

表示所有用 x 表示的事物，此外，还表示所有用 y 表示的事物……但如果存在任何事物同时用和式的两个项表示，则后者不再代表任何逻辑项，因为它意味着一个项所表示的对象要从另一个项所表示的对象中取出。例如，

f+u

表示所有法国人，除了所有小提琴手，因此被视为一个逻辑项。意味着所有法国小提琴手都与他们自己无关。仅仅因为这个原因……我更倾向于将逻辑上的常规加法视为一个不可逆过程，即

m+,b

代表所有男人和黑色物体，并不暗示黑色物体应该被排除在男人之外。(DNLR [CP 3.67])

因此，皮尔斯略加修改后的加法符号 +, 表示包含性析取。“f+,u”表示所有要么是法国人要么是小提琴手的人。这个符号并不意味着没有法国人是小提琴手，或者没有小提琴手是法国人。尽管皮尔斯的例子仅限于一元谓词，但我们可以将其扩展到二元谓词。使用现代符号，

l+,s={⟨x,y⟩∣lover(x,y)∨servant(x,y)}。

也就是说，它对应于关系的并集。

当乘法符号出现时，关系逻辑变得强大，皮尔斯对乘法的标志性解释如下：

我将采用关系的应用作为乘法的概念，例如，lw 表示任何女人的情人……那么，s(m+,w) 表示任何由男人和女人组成的类别中的仆人。(DNLR [CP 3.68])

当多元谓词出现时，如何构建新的关系变得更加有趣和复杂。这就是为什么相对乘积的乘法运算对于关系逻辑的进一步研究至关重要。两个谓词之间的乘法比两个谓词之间的加法更有趣，这取决于所涉及的谓词类型：