皮尔斯的演绎逻辑（二）

两个属性之间的乘法是另一个属性，是两个属性之间的交集， 关系与属性的乘法是另一个新属性，并且 关系之间的乘积产生了新的关系。 让我们尝试用现代术语来理解皮尔斯的相对乘积概念： 设 “w”为一元谓词，表示女性； “u”为一元谓词，表示小提琴手； “l”为二元谓词，表示……的爱人； “s”为二元谓词，表示……的仆人。 那么， w,u={x∣woman(x)∧violinist(x)}.[12] lw={x∣∃y(lover(x,y)∧woman(y))}. ls={⟨x,z⟩∣∃y(lover(x,y)∧servant(y,z))}. 在这个现代译本中，存在量词的存在显而易见，尽管皮尔斯本人在《DNLR》中根本没有提到它。 隐藏的量词含义在下面的对合运算中更加明显。 我将这样理解对合：xy 表示所有 y 个体对应的 x。因此，lw 表示每个女人的爱人。(DNLR [CP 3.77]) 也就是说，lw={x∣∀y(woman(y)→lover(x,y))}。这里，一个全称量词出现了！ 在深入探讨皮尔斯量词的细节之前，我们先来总结一下皮尔斯用来处理多元谓词的代数符号： 代数 符号 含义/ 运算 示例 −＜ 包含 w−＜u ∀x(woman(x)→violinist(x)) l−＜s ∀x∀y(lover(x,y)→servant(x,y)) +, 并集 w+,u {x∣woman(x)∨violinist(x)} l+,s {⟨x,y⟩∣lover(x,y)∨servant(x,y)} , 交集 w,u {x∣woman(x)∧violinist(x)} （无逗号）相对积 lw（某个人的情人）女人) {x∣∃y(lover(x,y)∧woman(y))} ls={⟨x,z⟩∣∃y(lover(x,y)∧servant(y,z)} xy x of every y lw (a lover of every woman) {x∣∀y(woman(y)→lover(x,y)} 让我们关注乘法和幂运算中隐藏但假定存在的量词：lw 被解释为“某个女人的情人”，lw 被解释为“每个女人的情人”。有趣的是，在引入多元谓词的过程中，皮尔斯最终引入了量词“some”和“every”。另一方面，考虑到亚里士多德的三段论有两个量词，皮尔斯用代数符号“some”和“every”来表示量词也就不足为奇了。然而，这一发展的一个关键方面是，布尔对存在命题（而非全称命题）的表述并不令人满意，这促使皮尔斯和他的学生O. H. 米切尔超越了布尔的逻辑。[13] 皮尔斯对相对乘积的解释方式——“lw”意为“某个女人的情人”——使得存在量词可以用乘法隐式地表达出来。 让我们看看皮尔斯为更明确地表示存在性陈述而探索的几种不同方法。在上面的“lw”中，存在量词的执行方式类似于将关系l应用于一元谓词“w”，但并非显式地执行。皮尔斯表达存在性陈述的方式有几种。其中一种方法是借用指数运算（将二元谓词应用于一元谓词，例如 lw），皮尔斯将存在性陈述表达为与全称陈述相矛盾： 特指[存在性]命题的表达方式是，它们与全称命题相矛盾。因此，由于 h,(1-b)=0 表示所有马都是黑色的，因此 0h,(1-b)=0 表示某些马不是黑色的；由于 h,b=0 表示没有马是黑色的，因此 0h,b=0 表示某些马是黑色的。(DNLR [CP 3.141]) 数字 1 表示全称类，0 表示零类。然而，皮尔斯以 0 为底的指数运算符号略有不同。让我们回顾一下皮尔斯的幂运算： lw={x∣∀y(woman(y)→lover(x,y))}。 然后， O0={x∣∀y(null-class(y)→null-relation(x,y))}。[注：底数 0 表示一种关系——零关系，指数 0 表示一种类——零类。] 不存在满足零类 (y) 的 y，因为没有任何东西可以属于零类。因此，空泛地，定义域中的每个对象都属于 0。也就是说，与零类无关的事物的类就是用 1 表示的宇宙类。因此，00=1。 假设 m≠0。 0m={x∣∀y(非零类 (y)→零关系 (x,y))}。 由于没有任何东西可以与任何非零类的每个成员都具有零关系，因此 0m=0。因此，我们得到以下幂运算符号： 如果 x≠0，则 0x=0 如果 x=0，则 0x=1 利用此结果，我们来解释皮尔斯上述引文： 1 表示全集类，0 表示零类。（布尔符号） “h,(1-b)”表示非黑马的类。（交集的乘法运算） “h,(1-b)=0”表示没有非黑马。也就是说，每匹马都是黑的。（根据 1 和 2） “h,(1-b)≠0”表示并非所有马都是黑的。也就是说，有些马不是黑的。（根据 3） 由于 h,(1-b)≠0,0h,(1-b)=0（根据上述 (*)） 类似地，“h,b=0”表示没有黑马。因此，“h,b≠0”表示某匹马是黑色的。因此，“0h,b=0”（即指数不为零）表示某匹马是黑色的。 DNLR [CP 3.141] 中提出的方法之所以有趣，有几个原因。首先，皮尔斯秉承了布尔的命题，即所有命题都表示为方程式。其次，皮尔斯利用了全称命题和存在命题之间的矛盾关系。更有趣且更重要的是，皮尔斯引入了他的指数符号，即关系与属性之间的指数（即二元谓词与一元谓词之间的指数），来表达存在性陈述。在对存在性陈述进行了相当复杂的阐述（重点放在指数部分）之后，皮尔斯提出了另一种更简单的表达存在性陈述的方法，即使用不等号： 特定的[存在性]命题也可以用不等号来表示。例如，有些动物是马，可以写成a,h＞0。(DNLR [CP 3.143]) 皮尔斯采用的另一种方法是使用符号−<表示包含，符号 ¯ 表示补集。即： 所有a都是b。a−＜ 没有a是b。a−＜ ˉ b 有些a是b。 ¯ [a−＜ ˉ b ] 有些a不是b。 ¯ [a−＜b] 然而，这些处理存在性陈述的明确方法仅限于一元谓词或亚里士多德三段论，无法超越它们。相反，我们想更仔细地考察皮尔斯在关系和属性之间使用的乘法和指数表达式。回想一下，lw 的意思是“某个女人的爱人”，而 lw 的意思是“每个女人的爱人”。这里，皮尔斯关于个体术语的建议得到了运用，以便更明确地表达存在量词和全称量词。皮尔斯建议个体用大写字母表示（DNLR [CP 3.96]）。例如，对于一元谓词 w，如果 w＞0，则 w=W′+,W″+,W‴+,⋯，其中 W′、W″、W‴、… 分别表示一个女性个体。因此， lw = l(W′+,W″+,W‴+,⋯) =lW′+,lW″+,lW‴+,⋯ lw = l(W′+,W″+,W‴+,⋯) =lW′,lW″,lW‴,… =lW′,lW″,lW‴,…（lW=lW，W 为独立项。） 在此，皮尔士建立了以下联系：(i) 存在性陈述与符号 Σ（作为逻辑加法）；(ii) 全称陈述与 Π（作为逻辑乘法）。以下段落为后续论文中出现的符号奠定了基础： Π′−＜Σ′其中 Π′ 和 Σ′ 表示使用逗号分隔的加法和乘法。由此可知 sw−＜sw.(DNLR [CP 3.97]) 现在我们已经非常接近现代量词的符号。Dipert 强调了 Peirce 在 DNLR 中所使用的符号的重要性： C. S. Peirce 是逻辑史上第一个使用类似量词的变量绑定运算符的人（他曾在 1870 年短暂使用，W2, 392f，早于弗雷格的《概念文字》（1879 年）。(Dipert 2004: 290) 十年后，在一篇更全面、更具综述风格的论文《论逻辑代数》（1880 年）中，我们发现 Peirce 的 DNLR 思想更加严谨、系统地​​展现出来。下面我们将总结皮尔斯在《关系代数简述》（1882a）、《关系逻辑》（1883a）和《论逻辑代数：对符号哲学的贡献》（1885a 和 1885b）中提出的量化发展。 首先，他修改了先前用单个项表示属性的想法，并将其扩展到关系。在《DNLR》（1870）中，“w”表示属性“是女人”，表示为 w=W′+W″+W‴+⋯ （其中 W′,… 表示每个女人）。然而，在 1882a 中，皮尔斯用系数表示了一个一元谓词：对于每个一元谓词 x 以及论域中的每个对象 a，皮尔斯按以下方式定义系数 (x)a。 继续以一元谓词 w 为例，假设其定义域包含对象 A、B、C……[14]。有些对象是女性，有些则不是。系数 (w)a 定义如下： 如果 A 是女性，则 (w)aA =1。 如果 A 不是女性，则 =0。 则： w = (w)aA+(w)bB+(w)cC+⋯ =Σi(w)iI。 一元谓词可以成功地表示为个体之和。接下来讨论二元谓词：关系由一对对象建模：[15] 二元关系词（二元谓词），例如“爱人”、“恩人”、“仆人”，是表示一对对象的通用名称。(1883a [CP 3.328]) 他将一对对象表示为“A:B”，其中 A 和 B 是单独的对象。设 l 代表“爱人”。皮尔士为每对有序对象定义一个系数，如下所示： (l)i,j(Ai:Aj) =1（如果 Ai 是 Aj 的爱人）。 =0（如果 Ai 不是 Aj 的爱人）。 那么， l = (l)1,1(A1:A1)+(l)1,2(A1:A2)+(l)2,1(A2:A1)+(l)2,2(A2:A2)+⋯ =ΣiΣj(l)i,j(Ai:Aj)。 Peirce 对一元谓词 x 和二元谓词 l 的推广如下 (1883a [CP 3.329])： x =Σi(x)iI (1882a [CP 3.306]) l =ΣiΣj(l)i,j(I:J) (1883a [CP 3.329]) 这正是 Peirce 在写下“每个词项（谓词）都可以被理解为个体的无限逻辑和” (1880 [CP 3.217]) 时所想表达的意思。我们只取系数为 1 的对象。假设 A、B 和 D 都是女性。应用皮尔斯符号“+”表示包含或，w={A,B,D}。假设 A 是 C 的情人，B 是 D 的情人。那么 l={(A:C),(B:D)}。[16] 下一个任务是如何利用这个工具来表达一个存在性命题。如果论域中至少有一个女性，比如 K，则至少有一个系数 wk 为 1。因此，论域中所有个体的系数之和大于 0。即 Σiwi＞0。如果没有女性，则 Σiwi=0。对于“每个人都是女性”这个全称命题，只要有一个系数为 0，即有一个人不是女性，系数的乘积就为 0。即 Πiwi=0。当每个人都是女性时，Πiwi=1。 虽然量词的布尔方法仅限于词项逻辑，这种处理量词的方式非常普遍，我们可以将其直接应用于关系，如下文所述： 任何命题都等价于说，这些数值系数的集合[和]与乘积的某个复数大于零。因此， ΣiΣjlij＞0 表示某物是某物的爱人；而 ΠiΣjlij＞0. 表示一切事物都是某物的爱人。(1883a [CP 3.351]) 皮尔士建议删除“>0”部分： 然而，在写出不等式时，我们自然会省略“＞0”，因为它终止了所有不等式；以上两个命题将表示为 ΣiΣjlij 和 ΠiΣjlij。 (1883a [CP 3.351]) 回顾皮尔士1883年的论文，我们见证了两个重要的进步：一是指数下标的运用至关重要，二是Σ和Π的交替使用。在去掉“＞0”之后，皮尔士提请我们注意下标的作用： 以下是其他例子： ΠiΣj(l)ij(b)ij 表示万物既是其爱者又是其施者。 ΠiΣj(l)ij(b)ji 表示万物既是其自身的施者又是其爱者。(1883a [CP 3.352]) 指数下标的顺序对于区分这两个命题至关重要。另一方面，“每个人都爱某个女人”和“有一个女人每个人都爱”之间的区别取决于π和Σ的顺序： πiΣj(l)ij(w)j vs.ΣjΠi(l)ij(w)j。 最后，在《论逻辑代数：对符号哲学的贡献》（1885a）中，所有这些发展——(i) 对某些元素使用Σ（和），对所有元素使用π（积），(ii) 利用系数及其下标来省略个体符号（例如，从(l)ij(Ai:Aj) 到(l)ij），(iii) 混合Σ和π，以及(iv) 省略“＞0”部分——都已正式确立： 一般而言，根据1885a [CP 3.393]: Σixi 表示 x 对 i 所指的某个个体成立，或 Σixi=xi+xj+xk+等。 同理，Πixi 表示 x 对所有这些个体成立，或 Πixi=xixjxk 等。 如果 x 是简单关系 [二元谓词]， ΠiΠjxi,j 表示每个 i 与每个 j 都处于这种关系； ΠjΣixi,j 表示每个 j 中的某个 i 或其他 i 处于这种关系； ΣiΣjxi,j 表示某个 i 与某个 j 处于这种关系。 例如，根据 1885a [CP 3.394]： 令 lij 表示 i 是 j 的爱人，bij 表示 i 是 j 的恩人。 令 gi 表示 i 是狮鹫，ci 表示 i 是嵌合体。 那么 ΠiΣj(l)ij(b)ij 意味着一切事物都同时是某事物的爱者和施恩者；并且 [即 ∀x∃y[Lover(x,y)∧Benefactor(x,y)]，意味着每个人都是某人的爱者和施恩者。] 而 ΠiΣj(l)ij(b)ji 意味着一切事物都是其自身施恩者的爱者。 [即 ∀x∃y[Lover(x,y)∧Benefactor(y,x)]，意味着每个人都是其自身施恩者的爱者。] 我们发现自己已经进入了现代逻辑的领域。同时，我们意识到一阶逻辑的关键概念和词汇在他之前讨论的著作中已经形成。我们还注意到，1885 年论文第一部分概述的目标与他在 1870 年论文中提出的建议大致相同：“首先是将逻辑代数的力量扩展到其整个固有领域”（1885a [CP 3.364]）。此外，他几乎重申了他在 1870 年感到“遗憾”的该项目的局限性：“我无法将代数学完善到足以提供得出逻辑结论的简便方法”（1885a [CP 3.364]）。也就是说，我们不应该期望本文能够提出一个成熟的演绎系统。但“我只能给出一种方法，通过这种方法可以得出任何合理的结论，并避免任何错误的结论”（1885a [CP 3.364]）。他在论文第三节“§3. 关系的第一意向逻辑”[17]中兑现了自己的承诺，提出了一系列转化方法。他并非想声称这份清单是详尽无遗的，而是“在我看来，这是总体上最有用的工具”（1885a [CP 3.396]）。以下是一些涉及量词的规则：[18] ∀xϕ(x)∧∀yϕ(y) =∀x∀y(ϕ(x)∧ϕ(y)) ∃xϕ(x)∧∀yϕ(y) =∃x∀y(ϕ(x)∧ϕ(y)) ∃xϕ(x)∧∃yϕ(y) =∃x∃y(ϕ(x)∧ϕ(y)) ∀x∀yχ(x,y) =∀y∀xχ(x,y) ∃x∃yχ(x,y) =∃y∃xχ(x,y) ∀x∃y(ϕ(x)∧ψ(y)) =∃y∀x(ϕ(x)∧ψ(y)) ∀x∃yχ(x,y) ≠∃y∀xχ(x,y)，但 ∃x∀yχ(x,y) ⇒∀y∃xχ(x,y) ∃x∀yχ(x,y)=∃x∀y(χ(x,y)∧χ(x,x)) 尽管弗雷格的《概念文字》（1879年）和皮尔士1885年发表的量化理论之间相隔六年，但这两位逻辑学家都获得了赞誉。我们称他们为现代逻辑的奠基人，因为皮尔士当时并不知道弗雷格在这方面的研究成果。另外，值得注意的是，弗雷格提出了一个包含公理和规则的逻辑系统，而皮尔斯的著作并未对此进行探讨。 1.2 布尔传统——代数和模型论 布尔试图用代数系统来表达逻辑，这一愿望启发了许多致力于连接逻辑和数学这两门学科的数学家和逻辑学家。如上一节所述，皮尔斯显然是其中之一。他通过两种方式进一步推进了布尔的代数系统思想：一是改进布尔对特定命题（例如“某些 A 是 B”）的表示，使传统的亚里士多德三段论能够适应代数系统。另一种是不仅要表示性质，还要表示关系，从而使新的代数系统能够超越传统的三段论。在此过程中，量词和变量的新符号被发明。 皮尔士二十年的研究在两个重要方面对逻辑代数传统做出了重大贡献。首先，皮尔士引入量词和变量本身就是形式逻辑的重大进步，接近于我们所知的谓词逻辑。其次，皮尔士和他的学生O. H. 米切尔和C. 拉德（后来的拉德-富兰克林）在新的符号和扩展逻辑的基础上，对数理逻辑进行了重要的研究。在皮尔士发表《论逻辑代数》十年后（1885年），恩斯特·施罗德出版了三卷本的数理逻辑著作《逻辑代数导论》（1890-1905年）。[19]他的工作完全遵循布尔代数传统，本书的两个重要方面反映了皮尔斯的影响：他采用了皮尔斯的符号（而非弗雷格的符号），第三卷专门讨论了关系逻辑。戈德法布富有洞察力的论文以如下方式表达了皮尔斯对这两个方面的影响： 施罗德在皮尔斯早期著作的基础上，在其《逻辑代数讲座》第三卷[1895]中发展了关系（即关系）演算。量词被定义为对个体或其他关系的某些可能无限的和与积。 （Goldfarb 1979: 354）