皮尔斯的演绎逻辑（三）

如上一节所述，皮尔士二十年孜孜不倦的研究成果包括：在代数表达式中加入关系（而不仅仅是性质），将全称量词表示为乘积（即π），将存在量词表示为和（即Σ）。鉴于施罗德的著作是当时数理逻辑学生最流行的逻辑教科书，我们很容易认为皮尔士的遗产依然存在。佩克豪斯在研究弗雷格和施罗德的量化理论之间的微妙关系时，指出了施罗德现代量化理论的起源：

这个（施罗德的《逻辑代数导论》是他从弗雷格的《概念文字》中学习现代量化理论的成果）看似简单，却又似是而非。施罗德从未声称他的量化理论有任何先例，但他也没有从弗雷格那里学到。施罗德本人将Σ和Π的使用归功于查尔斯·S·皮尔士及其学生奥斯卡·霍华德·米切尔（Schröder 1891, 120–121）。 （Peckhaus 2004: 12）

后来著名的数学家和逻辑学家，勒文海姆、斯科勒姆和策梅洛，都使用了皮尔斯-施罗德符号。皮亚诺也非常熟悉皮尔斯-施罗德代数逻辑。普特南也将怀特海纳入了这一传统：

这部著作（怀特海的《普遍代数》）完全继承了布尔、施罗德和皮尔斯所属的传统，这一传统将一般代数和逻辑视为同一学科。（Putnam 1982: 298）

有趣的是，普特南指出，怀特海的这部分工作是在他与罗素合作之前完成的，并且在这一早期时期，怀特海的著作，尤其是关于量词的著作，提到了皮尔斯及其学生，但没有提到弗雷格。显然，我们需要等到罗素把我们的注意力引向弗雷格，但“皮尔士似乎已经为整个世界逻辑界所熟知”（Putnam 1982：297）。普特南将皮尔斯群称为量词的“有效”发现者，将弗雷格称为量词的发现者，或许可以解决“弗雷格优先”与“皮尔斯优先”之争。

尽管许多人关注量词的发展，但值得注意的是，塔斯基在其1941年的论文《论关系演算》[20]中提请我们注意关系代数的重要性。正如皮尔斯在其1870年的《DNLR》论文中所做的那样，塔斯基承认了德·摩根的贡献：德·摩根首先意识到了表示关系和性质的必要性，并努力突破了传统逻辑的局限性。塔斯基充分肯定了皮尔斯在关系演算方面取得的坚实进展。

关系理论创始人的头衔原本属于C. S. 皮尔斯。在1870年至1882年间发表的几篇论文中，他引入并明确了关系理论的所有基本概念，并阐述和建立了其基本定律……尤其是，他的研究表明，关系理论的很大一部分可以表示为一种演算，这种演算在形式上与G. Boole和W. S. Jevons发展的类演算非常相似，但在表达的丰富性上远远超过了后者，因此从演绎的角度来看，它更加引人入胜。（Tarski 1941: 73）

这段文字不仅将皮尔斯的逻辑成就置于逻辑代数传统的语境中，还将皮尔斯的工作描述为布尔和杰文斯单子逻辑的延伸。（有关皮尔斯在布尔传统中地位的更多详情，请参阅“逻辑代数传统”条目。）)

一些皮尔斯学者也声称，皮尔斯量词的发明是他自身逻辑哲学的产物，这与弗雷格的逻辑哲学不同 (Brady 1997; Burch 1997; Iliff 1997; Merrill 1997)。Hintikka (1997) 提出的解释弗雷格和皮尔斯对现代逻辑贡献的主要区别的建议颇具吸引力。van Heijenoort 追溯弗雷格自己对推理演算 (calculus reciprocator) 与特征语言 (lingua characterica) 的区分，为这两种对立的逻辑观点增添了新的维度，超越了弗雷格所提及的内容 (van Heijenoort 1967：脚注 1，第 329 页)。[21] 弗雷格强调命题逻辑和量词逻辑之间的区别，而 van Heijenoort 则指出了其在整体性理解上的差异。布尔的传统并未对整体做出任何本体论承诺，但它“可以随意改变”（1967：325）。另一方面，弗雷格的语言关乎宇宙。欣蒂卡借用范·海耶诺特对布尔逻辑作为演算与弗雷格逻辑普遍性之间的区分，将皮尔斯置于布尔阵营，并称之为模型论传统。与弗雷格的宇宙观不同，模型论传统允许我们重新解释一种语言，从而为量词赋予不同的宇宙。欣蒂卡认为，皮尔斯对模态逻辑的发展是一个很好的证据，足以证明皮尔斯理解量词的方式是多么富有成果（欣蒂卡，1997）。在下一节介绍皮尔斯的图系统时，我们将重新探讨这个问题。

2. 从符号表征到像似表征

至此，我们已经论证，皮尔士对关系的洞见促使他将逻辑领域从一元、非关系、命题逻辑扩展到多元、关系、量化逻辑。这就是我们所知的现代逻辑的开端。本节将从另一个角度来解读皮尔斯的冒险历程——将表示形式从符号系统扩展到图解系统，并讲述他两种不同的扩展方式——一种是从非关系到关系，另一种是从符号到图解——是如何相互联系的。

皮尔斯以图解的方式呈现了命题逻辑、量化逻辑和模态逻辑，并发明了三种存在图（EG）系统——Alpha、Beta 和 Gamma。尽管皮尔斯本人将存在图评价为“我的杰作”，但存在图却等了半个世纪才被理解，直到两位哲学家——唐·罗伯茨和杰伊·泽曼——发表了他们令人瞩目的著作。 20世纪80年代，由于约翰·索瓦（John Sowa）在《概念结构》（1984）中将情绪生成理论（EG）应用于知识表示的新颖性，情绪生成理论（EG）受到了计算机科学和人工智能等新兴学科的关注。近来，20世纪末，多模态推理的跨学科研究将我们的注意力引向了非符号系统（例如，参见Barwise & Allwein [eds] 1996和Barwise & Etchemendy 1991），而情绪生成理论（EG）不出所料地占据了榜首。在此背景下，Shin (2002) 关注符号系统与图解系统之间的差异，并提出了一种理解EG系统的新方法，尽管这在Pietarinen (2006) 中受到了批评。

虽然皮尔斯在其1870年至1885年的正式著作中主要采用线性表达[22]，但弗雷格在1879年《概念文字》中采用的符号更具标志性；它至少不像皮尔斯在上述时期的符号那样线性。然而，皮尔斯，而不是弗雷格，他发明了一套成熟的非符号式一阶逻辑系统——存在图。皮尔斯的EG，而非他的线性一阶符号，被呈现为一个包含推理规则的演绎系统。随着对EG系统的研究越来越深入，关于皮尔斯发明该系统的哲学问题也随之提出。EG的力量和新颖性的发现自然而然地将我们引向了皮尔斯哲学的其他部分。EG的发明缘何而来？又是如何产生的？EG揭示了皮尔斯对逻辑和表征的哪些看法？

许多人指出，皮尔斯的符号理论是皮尔斯EG最重要的理论背景，该理论将符号分为三类——符号、指标和像元。[23] 例如，正如下文所示，椭圆、线条以及字母是皮尔斯EG的基本词汇。皮尔斯对图标的兴趣与他发明的图解系统自然而然地联系在一起，而且这种联系是真实存在的（Shin 2002: 22-35）。然而，要准确界定图标的特征以及皮尔斯图解系统的图标性，需要付出比我们​​直觉所能提供的更多努力。此外，皮尔斯对图标[24]的讨论与他发明的成熟图解系统之间存在着巨大的差距；要解释皮尔斯如何从最初的图标理念一路发展到他的图解系统（EG），必须引入其他因素。

从略微不同且更宏观的角度来看，范·海耶诺特对布尔的“推理演算”（calculus reciprocator）与弗雷格的“特征语言”（lingua charactera）的区分可能与此主题相关。我同意欣蒂卡和戈德法布对皮尔斯属于布尔传统的评价，Shin 发现了逻辑的模型论观点（布尔和皮尔斯的立场）与 EG 的诞生之间的联系（参见 Shin 2002: 14–16 和 Pietarinen 2006）。然而，皮尔斯对语言重新诠释的认识对于他追求不同的表征形式而言是必要的，但并非充分的。虽然皮尔斯对各种系统的规划预设了对给定系统存在不同模型的可能性的承认，但并非所有布尔人都提出过多重系统。布尔本人

非常清楚“解诠释”的概念，即将数学系统用作算法，纯粹机械地转换符号，而不依赖于任何意义。 （Putnam 1982: 294）

另一方面，Burris 和 Legris 的条目向我们展示了布尔的逻辑代数传统如何引领我们发展模型论（参见关于逻辑代数传统的条目）。

2.1 实用主义准则应用于关系逻辑

在不挑战皮尔斯代数理论现有解释的情况下，在本条目中，我们想介绍皮尔斯通往代数理论的旅程中一个被忽视但至关重要的方面，以便我们的故事能够部分解答皮尔斯整体哲学的谜题。皮尔斯对新逻辑的追求始于如何表示关系，这促使他发明了量词和绑定变量，正如我们在上一节中讨论的那样。我们认为，同样的承诺，即在逻辑系统中表示关系，是皮尔斯寻找一种新的符号系统——关系的象似表示——的主要动机。 Peirce 在欧拉/维恩图方面的工作为我们提供了另一个证据，支持了我们的观点，即欧拉/维恩图背后的主要动机是表示关系。在改进维恩系统的同时，皮尔斯意识到以下缺陷无法消除：

[维恩的]系统无法展现以关系或抽象为核心的推理。它无法扩展到关系逻辑。(Peirce 1911b [CP 4.356])

同样，我们认为这并非创造关系逻辑（EG）的关键要素，但却是与他的符号理论和模型论逻辑观完美契合的关键要素之一。

皮尔斯的图形表示最早出现在他1897年的论文《关系逻辑》中。在他自己的新线性符号于1885年问世（如上所示）之后，为什么皮尔斯会重新审视关系逻辑？论文第一段给出了直接的答案：

我希望表达一些关于新逻辑的概念，以及两种“代数”，即利用字母和其他符号进行图解表示的系统，或多或少类似于算术代数的系统，是如何被发明用于研究关系逻辑的，并且……（1897a [CP 3.456]）

需要注意两点。一是皮尔斯也将图解系统称为“代数”。也就是说，根据皮尔斯的说法，代数并不局限于符号系统。二是皮尔斯明确指出，两种不同的代数形式可以实现新逻辑，而不是新的逻辑。

在思考关系逻辑的范围时，问题出现了：为什么皮尔斯觉得需要另一种不同于1885年符号的表示形式？ “我必须清楚地表明什么是关系”（1897a [CP 3.456]）。皮尔斯认为，对“关系”的清晰理解是他探索不同形式逻辑系统的指南。在此，我们想提请读者注意皮尔斯著名的论文《如何使我们的思想清晰》（1878），其中三节分别论述了意义的三个层次（参见皮尔斯符号理论条目）。

对“关系”一词的第一层理解源于我们的日常经验，第二层理解则需要更抽象、更概括的定义式理解。根据皮尔斯的观点，这不足以完全理解“关系”一词。最后，皮尔斯的实用主义准则将我们引向第三层清晰的理解：

因此，获得第三层清晰理解的规则如下：思考我们设想我们概念的对象会产生哪些可能具有实际意义的影响。那么，我们对这些影响的整体概念就是我们对对象的整体概念。(1878 [CP 5.402])

为了理解关系是什么，我们需要知道由此得出的结果。接下来的问题是，我们如何知道其后果是什么。皮尔斯在1897a年的论文中就“关系”一词给出了如下答案：

第三级清晰度在于，对某个概念的表述能够使其进行富有成效的推理，并能够应用于解决棘手的实际问题。(1897a [CP 3.457])

因此，如何表述关系对于理解关系状态的后果至关重要。更好的表述将产生更多“富有成效的推理”，从而更有助于解决实际问题。显然，皮尔斯在论文中旨在寻找更理想的表述方式。重要的是，在第四部分讨论“关系”含义的第三级清晰度时，关系的图解表示首次出现。

受A. B. 的影响肯普的图形表示[25] 皮尔斯在关系和化合物之间找到了类比：

化学原子很像一个亲戚，它有一定数量的松散末端或“不饱和键”，与亲戚的空白相对应。(1897a [CP 3.469])

化学分子由化学原子组成，原子之间的连接方式取决于每个原子的松散末端数量。例如，化学原子H有一个松散末端，化学原子O有两个。因此，以下组合是可能的，它是水分子H2O的表示：

字母O与两个不同的字母H之间有连接线

关系逻辑的类比如下：一个句子由名称（专名或指标）和谓词组成，每个谓词都有固定的元数。例如，谓词“爱”需要两个名称，“给予”需要三个。因此，以下图解表示符合语法，并且是命题“约翰爱玛丽”的表示。

“爱”一词，其与“约翰”和“玛丽”一词之间用线连接。

皮尔斯通过采用价理论作为类比的关键要素，在化学和关系逻辑之间建立了一种新颖且富有成效的表示类比，如上两图所示。皮尔斯认为，这种图形表示方式有助于我们更有效地理解给定关系的后果或影响[26]，因此提出了实体图（EG）的前身——实体图（EG）。[27]

实体图（EG）保留了此处发展的关系表示，并一直是皮尔斯最终且最受推崇的关系逻辑符号（1903a）。实体图由三部分组成：Alpha、Beta 和 Gamma，分别对应于命题的、一阶的、和模态逻辑。在形式化地介绍 Alpha 系统之后，我们将讨论 EG 的 Beta 系统，重点介绍 Peirce 将命题图系统扩展为量化图系统的创新思想。更多详细信息，我们推荐 Roberts、Zeman、Sowa 和 Shin 等人关于 EG 的著作。

2.2 Alpha 系统

Peirce 的 Alpha 图可以绘制在黑板、白板或纸上。其基本单位是一个简单句子，不包含任何句子连接词，例如否定、合取、析取或条件等。以下是一个基本 Alpha 图的示例，用于断言“天气晴朗”。

句子：天气晴朗。

当我们想要断言“天气晴朗且有风”时，我们会按以下方式并列两个基本 Alpha 图：

句子“天气晴朗。”与句子“有风。”并列。

为了使 Alpha 图具有布尔函数完备性，我们只需要表示否定。以下 Alpha 图通过将上图用一个切口括起来，表示“天气晴朗”的情况并非如此：

句子“天气晴朗”被画在一个椭圆形中。

当存在否定和合取时，保持正确的顺序非常重要。“天气晴朗且无风”不同于“天气晴朗且有风”的情况并非如此。因此，“天气晴朗且有风”这句话是模棱两可的，这取决于“天气晴朗且有风”的范围。在句子逻辑中，括号可以避免这种模棱两可：¬(S∧W) 与 ¬S∧W。皮尔斯的警告如下：

存在图的解释是内在的，即向内进行的；因此，巢穴会将意义从外部吸向内部，就像海绵吸收水分一样。（皮尔斯 1910a: 18，Ms 650）

因此，以下 Alpha 图不应读作“¬P∧¬Q”，而应读作“¬(P∧¬Q)”：

字母 Q 位于一个椭圆内，另一个椭圆包围着第一个椭圆和字母 P。

这种理解 Alpha 图的方式本身并无错误，但却给人一种错误的印象，认为 Alpha 系统等同于一个包含两个连接符号（否定和合取）的句子系统。我们都倾向于使用比这两个符号更多的连接词，尤其是在使用语言时。本节探讨了对 Alpha 图的另一种解读，它超越了否定和合取，且不引入任何新的句法手段。

下面我们将介绍 Alpha 图作为一个形式系统，并配备其语法和语义。由于 Peirce 无法使用这些工具，本演示旨在表明 Peirce 的 EG 与其他形式系统并无本质区别。同时，为了将皮尔斯的图系统置于传统的、成熟的逻辑话语中，需要有一个中间阶段，即将皮尔斯的图解读成符号语言。这将使皮尔斯的图更容易理解，同时也支持了我们的观点，即皮尔斯扩展了表示形式，其逻辑范围与符号表示相同。

语法

词汇

句子符号：A1、A2……

切割

椭圆形

合式图

空白处是合式图。

句子符号是合式图。

如果D是合式图，那么D的单个切割也是合式图（我们写为“[D]]”）。

如果D1和D2是合式图，那么D1和D2的并列也是合式图（写为“D1 D2”）。

其他任何图都不是合式图。

这里我们为系统提供了两种等效的读取方法。Endoporeutic 读取算法是基于 Peirce 自己的建议（如上所述）形式化的，是理解EG的传统方法。最近提出了一种替代的解读方法，即多重解读算法，以便更有效地处理EG。[28]

内孔解读算法

如果D是空格，则将其翻译成⊤。

如果D是句子字母，例如Ai，则将其翻译成Ai。

假设D的翻译是α。那么，[D]被翻译成(¬α)。

假设D1的翻译是α1，D2的翻译是α2。

那么，D1 D2的翻译是(α1∧α2)。

多重解读算法

如果D是空格，则将其翻译成⊤。

如果D是句子字母，例如Ai，则将其翻译成Ai。

假设D的翻译是α。那么，[D]被翻译成(¬α)。

假设 D1 的翻译为 α1，D2 的翻译为 α2。

D1D2 的翻译为 (α1∧α2)，

[D1D2] 的翻译为 (¬α1∨¬α2)，

[D1 [D2]] 的翻译为 (α1→α2)，

[[D1][D2]] 的翻译为 (α1∨α2)。

这两种解读各有其优势。[29] Endopreutic 的解读使我们确信 Alpha 系统在真值功能上是完备的，因为它能够表达合取和否定。然而，这种传统方法在一定程度上导致了关于 Alpha 图的以下两个错误判断：

Alpha 系统与只有两个连接词 ∧ 和 ¬ 的命题语言之间并没有太大区别，只是 Alpha 图使用的是切割而不是符号连接词。

说到实际应用，正如我们不想在一种语言中只使用两个连接词一样，我们没有理由采用 Alpha 系统，而放弃那些包含更多连接词的命题语言。

挑战这些误解，多重解读算法表明，Alpha 图不必仅用“∧”和“¬”读成句子，也可以直接用其他连接词读出。由此引出两个问题：