皮尔斯的演绎逻辑（四）

多重解读法是否存在冗余？例如，上述第 4(b) 条对于第 3 条和第 4(a) 条而言是否可有可无？

这种新的解读是否表明 Alpha 系统就像一个包含各种连接词的命题语言？

让我们通过以下示例来回答这些问题。

示例

下图可转化为以下四个公式：

一个椭圆包含两个不相交的椭圆；一个包含字母 R，另一个包含字母 S

1. ¬(¬R∧¬S) 内推法读法

2. 多重读法中的 R∨S 4(d)

3. 多重读法中的 ¬R→S 3 和 4(c)

4. 多重读法中的 ¬¬R∨¬¬S 3 和 4(b)

内推法读法只能得到第一个读法，但多重读法可能会得到不同的句子。当然，所有这些句子在逻辑上都是等价的。这里有一个有趣的观点：在符号系统中，我们需要使用推理规则来证明上述句子之间的等价性。但是，在 Alpha 系统中，当采用多重读法时，推导过程是不必要的。[30]因此，除了第3条和第4条(a)之外，增加上述第4条(b)并非多余，而是突出了Alpha系统与包含各种连接词的符号语言之间的根本区别（参见Shin 2002：§§4.3.2、4.4.4和4.5.3）。

由于我们拥有命题逻辑的语义，并且我们的阅读方法将Alpha图翻译成命题语言，因此我们可以不需要直接的语义。然而，如果坚持直接语义：

语义

设 v 是一个真值函数，它将 t 或 f 赋值给每个句子字母，并将 t 赋值给一个空格。现在，我们将此函数扩展为

¯

v

如下：

¯

v

(D)=v(D)，若 D 是句子符号或空格。

¯

v

([D]) = t，当且仅当

¯

v

(D) = f。

¯

v

(D1D2) = t，当且仅当

¯

v

(D1)=t 且

¯

v

(D2) = t。

我们还想强调，这并不是接近皮尔斯 EG 的唯一方法。例如，有人声称皮尔斯预示了博弈论语义学，并主张从博弈论的角度对博弈论进行更动态的理解 (Burch 1994; Hilpinen 1982; Hintikka 1997; Pietarinen 2006)。

皮尔斯明确表示，他的博弈论是一个配备推理规则的演绎系统：

存在图系统 (EG) 是一类允许进行某些变换的图。(1903a [CP 4.414])

Alpha 系统的推理规则如下：(1903a [CP 4.415])[31]

权限代码

权限 1：在每个特殊问题中，可以根据特定问题的条件，在断言表上书写此类图。

许可号2：声明书上的任何图表均可擦除，但完全空白的附件除外。

许可号3：无论声明书上允许书写什么图表，都可以在声明书的任何空白处书写，无论声明书上已有的内容如何。

许可号4：声明书双切口内侧区域书写的任何图表均可在声明书上书写。

许可号5：可以在断言表上画双切口；并且，任何在断言表上绘制的图形都可以在断言表上任何双切口的内部区域绘制。

许可号6：任何在断言表上允许的变换的逆变换，都可以在断言表上任何切口的区域上进行。

许可号7：每当我们被允许在断言表上绘制任何我们喜欢的图形时，我们就有权声明该特殊问题的条件是荒谬的。

Shin 强调了擦除与插入以及偶数切割与奇数切割的对称性，并重写了规则 (Shin 2002: 84–85)：

重新表述的变换规则

RR1：在 E 区域[32]中，例如区域 a，

我们可以擦除任何图形，并且

如果在同一区域（即区域 a）或

区域 a 的下一个外部区域中存在 X 的标记，则我们可以绘制图形 X。

RR2：在 O 区域[33]中，例如区域 a，

如果在同一区域（即区域 a）或

区域 a 的下一个外部区域中存在另一个 X 的标记，则我们可以擦除图形 X，并且

我们可以绘制任何图形。

RR3：可以擦除或围绕图形的任何部分进行双切割。

有关演绎序列的示例，请参阅Roberts (1973: 45–46) 和 Shin (2002: 91)。

2.3 Beta 系统

在§1.1中，我们表明，形式化关系是皮尔斯新逻辑——一阶逻辑——背后的一个关键动机。在§2.1中，我们建立了皮尔斯自身的实用主义准则与他对关系的图形表示之间的联系。皮尔斯的目的并非通过发明图形系统来呈现一种新的逻辑，而是为量词和绑定变量所执行的逻辑提供另一种新的符号。他几乎理所当然地认为，用图形表示关系有助于我们更有效地观察其后果。因此，Beta系统可以被视为皮尔士漫长旅程的最后一站，他一直在寻找更好的关系逻辑符号，这段旅程最迟始于1870年。[34]

本文将不深入探讨Beta系统的形式细节，而是参考Shin的第五章，其中详细讨论了三种略有不同的Beta图方法——Zeman、Roberts和Shin的方法。Zeman的解读全面而正式，而Roberts的方法似乎更倾向于对系统进行更直观的理解。Shin借鉴了这两部现有著作的优点，开发了一种新的Beta图解读方法，并重新表述了该系统的转换规则。[35] 她的方法侧重于Beta图的视觉特征，并强调了符号系统与图解系统之间的根本区别。在条目的剩余部分，我们将探讨关系逻辑的本质如何在 Beta 系统中以图形方式表示，以便读者能够将关系代数 (EG) 置于 Peirce 的更广阔的背景下进行思考。

量词和绑定变量的引入被认为是符号系统中一阶逻辑的关键步骤之一。正因如此，一些逻辑学家将 Peirce 1885 年的论文《论逻辑代数：对符号哲学的贡献》视为现代逻辑的发源地。如果真是这样，那么 Peirce 如何在 Beta 图中表示量词和绑定变量呢？

有趣的是，当 Peirce 考虑一个图形系统时，他首先关注的是关系的表示，而不是量词的表示。正如我们在 §3.1 中所说，为了全面理解关系，皮尔斯提出了一种基于化学分子类比的图解表示法。因此，谓词的元数由从谓词项辐射出的线的数量表示。接下来，皮尔斯扩展了用线连接谓词的用法：

在许多推理中，有必要写出一个系动词命题，其中两个成员与同一个体相关，以便区分这些成员……它们的符号实际上必须连接起来。没有比下图所示的方法更能体现这种象征意义的了：

短语“A大于”通过一条线连接到另一个短语“大于B”

(1903b [CP 4.442])

皮尔斯将连接两个表示同一对象的谓词的线称为同一线。也就是说，同一性在贝塔图中得到了直观的体现。[36]对于符号语言，我们可以采用同一种量化变量类型来表示同一性。例如，上图表示 ∃x(x<A ∧ B<x)，因此变量类型 x （大致）对应于同一性线。然而，在其他情况下，相同的变量类型不足以表达同一性，例如 ∃x(x<A ∧ B<x)→∃x(x<C)。

Beta 系统中全称和存在性语句的表示方式凸显了图形系统和符号系统之间的区别。皮尔斯没有采用另一种句法手段进行量化，而是依赖于以下视觉特征：

[A]任何最外层均匀包围的同一性线都指向某物，任何最外层奇数包围的同一性线都指向任何可能存在的东西。(1903b [CP 4.458][37])

我们借用罗伯茨（1973: 51）的以下两幅图：[38]

第一幅图由短语“好”和“丑”组成，并用一条线连接起来。第二幅图与第一幅图相同，只是第二个短语被一个椭圆包围，而整体被另一个椭圆包围。

第一幅图（其中线的最外部分被均匀地（零）包围）表示好的东西是丑陋的，而第二幅图（其中最外部分被一次包围）表示所有好的东西都是丑陋的。[39]

当使用多个量词时，会出现范围问题吗？在符号系统中，线性顺序可以解决这个问题。皮尔斯对EG的解决方案是读出另一种视觉性：线的最外部分包围得越少，线的范围就越大。

Roberts 的以下示例很好地说明了范围问题 (1973: 52)：

第一个图包含三个短语，“adores”通过一条线连接到“is a woman”，并且两个短语都包含在一个椭圆中；“is Catholic”通过一条线连接到“adores”，三个短语都包含在第二个椭圆中。第二个图与第一个图相同，只是少了椭圆，一个椭圆包含“adores”，另一个椭圆包含“is Catholic”和第一个椭圆。短语“is a woman”位于两个椭圆之外。

第一个图表示：

∀x(Catholic(x)→∃y[Adores(x,y)∧Woman(y)])

第二个图表示：

∃y(Woman(y)∧∀x[Catholic(x)→Adores(x,y)])。

在第一个图中，最外层奇数闭合的线比最外层均匀闭合的线闭合得少。因此，全称量词的作用域比存在量词更大。在第二个图中，情况正好相反。让我们总结一下 Beta 系统的三个有趣特征：

在 Beta 系统中，关系以图形而非符号的方式表示，即用一条线来表示。我们认为，皮尔斯的实用主义准则最终体现了这种替代性的表示方式。

全称语句与存在性语句之间的区别，可以通过一个视觉事实来体现：一条线的最外层位于奇数个还是偶数个切口所围成的区域内。

量化顺序的视觉性体现为：线越封闭，其范围就越广。

3. 从二值逻辑到三值逻辑

Fisch 和 Turquette (1966) 从皮尔斯的《逻辑笔记本》（1865-1909，Ms 339）中发现了三个至关重要的页面。[40] 这表明，皮尔斯发明的三值句子逻辑比 Jan Lukasiewicz 和 Emil Post 在同一主题上的成就至少早了十年。这三页包含了三元逻辑的基本要素，以及一段关于皮尔斯三元逻辑背后动机的引人入胜的文字。如果我们用当代的术语来看待皮尔斯对三元逻辑的发展，皮尔斯似乎正在向非标准逻辑领域拓展。如果是这样，那么这次冒险与我们在前几节中讨论的另外两次冒险有着本质的不同。

当皮尔斯发展出关系逻辑时，形式化的领域得到了极大的扩展。新的词汇，以及新的句法规则和语义规则，都被加入了进来。我们自然欢迎形式化的领域，因此无需理论论证。从句子逻辑到关系逻辑——这在字面意义上是一种延伸：我们并没有丢弃先前的结果——因此它们被保留了下来——但我们所做的只是扩展它们。

另一方面，在扩展到非符号语言的情况下，逻辑本身保持不变，没有增加或减少，但引入了一种新的表示形式。也就是说，扩展的不是表示什么，而是表示方式。有些人可能不认为需要各种表示形式，也不相信图形系统的必要性。然而，在理论层面，皮尔士的图形系统并不需要冗长的理论论证。从某种意义上说，实践出真知：这个新的图形系统能否执行与现有符号系统相同的任务？如果可以，哪个系统更易于使用？哪个系统更高效？我们可能无法达成明确的共识，但讨论或多或少是可以预见的。

然而，当在T（真）和F（假）上再增加一个语义值时，逻辑就不再保留了。当语义被扩展或改变时，新的逻辑既不是逻辑领域的单调扩展，也不是现有符号系统的一种替代句法表示形式。三元逻辑通过引入一个语义值，背离了基于二值性的标准逻辑。在此，排中律（“Q 或非 Q”）的地位动摇了。矛盾律也随之动摇。任何非标准逻辑都有责任证明其非标准性：为什么是第三个值？第三个值是什么？未知？如果是，这是一个认识论问题吗？是不确定的吗？如果是，这是否需要形而上学的解释？

第一小节总结了皮尔斯的三元逻辑演算，第二小节简要讨论了皮尔斯自身创建三元逻辑的动机。

3.1 三值系统的真值表

引入了三个值 V、L 和 F，其中 V 为真，L 为不确定，F 为假。句子逻辑的传统语义域（真与假）被扩展至包含“不确定”。基于这一扩展的语义领域，Peirce 提出了几个句子运算符的语义，一个是一元运算符，其他是二元运算符。我们对 Peirce 的呈现方式进行了略微修改，使其在不改变内容的情况下更接近我们传统的真值表风格，并给出了这三个运算符的真值表。

一元运算符的语义，对应于否定：

x

ˉ

x

V F

L L

F V

以下列出六个二元连接词的语义：

x y Φ(x,y) Θ(x,y) Ψ(x,y) Z(x,y) Ω(x,y) Γ(x,y)

V V V V V V V V

L V V V V L L L

F V V V F F F V

V L V V V L L L

L L L L L L L

F L F L F F L L

V F V V F F F V

L F F L F F L L

F F F F F F F F

为什么是六个？这些连接词语义背后的原理是什么？理解它们的一种方法是找出三个值之间的支配等级。

对于 Φ，

如果至少有一个是 V，则 Φ(x,y) 为 V；

否则，如果至少有一个是 F，则 Φ(x,y) 为 F；

否则 Φ(x,y) 为 L。

也就是说，V 占主导地位，F 次之，L 占主导地位。

出现了六种层次模式：

Φ V＞F＞L

Θ V＞L＞F

Ψ F＞V＞L

Z F＞L＞V

Ω L＞F＞V

Γ L＞V＞F

皮尔斯的 Θ 是我们熟悉的析取和皮尔斯的 Z 合取。

3.2 为什么是第三个值？

用皮尔斯自己的话说：

三元逻辑是这样一种逻辑，它虽然没有完全拒绝排中律，但却承认每个命题“S 是 P”要么为真，要么为假，或者具有一种较低的存在模式，即它既不能确定地是 P，也不能确定地非 P，​​而是处于 P 与非 P 之间的界限。（Ms 339，摘自 Fisch & Turquette 1966: 75）

对于命题“S 是 P”，我们何时获得值 L（不确定）？有时是 S，皮尔斯认为，存在一种较低的存在模式P，并且处于P与非P之间的界限。问题的关键在于如何解释“存在较低的存在模式P”和“处于P与非P之间的界限”这两个短语。现有文献提供了两种不同的解释——模态性与连续性。

菲什和图尔奎特在发现皮尔斯关于三元逻辑的笔记后，将不确定性的根源定位于潜能性。也就是说，不确定性是赋予未实现情境的语义值；因此，我们此时既不能说“S是P”，也不能说“S不是P”。根据这种观点，潜能性无法被二元逻辑所捕捉。如果是这样，皮尔斯的三元逻辑就与模态论直接相关，菲施和图尔奎特得出的结论是：

皮尔斯的本质似乎是说，三元逻辑可以被解释为一种模态逻辑，旨在处理皮尔斯称之为“潜能”和“现实可能性”的存在模式所产生的不确定性。在这种解释下，二元逻辑成为三元模态逻辑的一个极限情况，它消除了不确定性，完全由“现实性”决定。(Fisch & Turquette 1966: 79)

根据模态解释，皮尔斯的“较低存在模式P”意味着P不是现实的，而皮尔斯的第三个值L，即潜能，是“介于P（即T）和非P（即F）之间的界限”。在论文的后半部分，作者们提出了皮尔士三元逻辑与麦科尔蕴涵（而非实质蕴涵）之间可能存在的关系，并提出了一个有趣的评论：

考虑到麦科尔对罗素实质蕴涵的拒绝，值得注意的是，麦科尔的“Def. 13”给出了现在被称为“C. I. 刘易斯的严格蕴涵”。（Fisch & Turquette 1966: 83）

尽管他们的论文中没有进一步探讨这种联系，但人们不禁意识到，他们的模态解释因与麦科尔蕴涵式的关联而得到了加强，因为C. I. 刘易斯的严格蕴涵式是模态逻辑的开端。然而，将皮尔士的三元逻辑等同于模态逻辑，模态观点需要解释皮尔士1903c年的Gamma图讲座（关于模态）与1909年撰写的三元逻辑笔记（[Ms 339] 340v, 341v, 344r）之间的关系。Gamma图中探讨的模态逻辑是对经典逻辑的扩展，这需要新的词汇，例如断切（broken cuts）和染色（tincture）。模态逻辑不一定是非标准的。另一方面，三元逻辑没有添加任何词汇，但带来了不同的解释，并成为非标准逻辑。菲施和图尔凯特的观点略有不同，他们认为皮尔斯的三元论（即不确定性是现实的一部分）是皮尔斯发明三元逻辑的动机。如果是这样，皮尔斯的三元逻辑就反映了他自身的形而上学。

罗伯特·莱恩挑战了模态观，提出了皮尔斯三元逻辑的连续性解释。莱恩认为，皮尔斯的不确定值L与模态无关，因此，皮尔斯对三元逻辑的发展并非模态逻辑的另一种机制，而是皮尔斯的联喻——即“一切存在都是连续的”的信条（约1897b [CP 1.172]）！皮尔斯的连续性哲学如何论证第三个值？

首先，莱恩区分了排中律（PEM，下称其为“真”）和不适用于某个命题的情况。如果PEM为真或为假，则意味着该原理适用于该命题。Lane 声称 PEM 仅适用于非普遍性和非模态命题，并引用了 Peirce 的以下段落：

任何事物只要排中律不适用于它，就是普遍性的；只要矛盾律不适用于它，就是模糊性的。(1905: 488 [CP 5.448])

一个断言被称为以“必然性模态”做出，当且仅当，如此断言的肯定和否定可以想象地同时为假。因此，如果一个人说“明天肯定会下雨”，那么“肯定会下雨”和“肯定不会下雨”可能同样为假。(1910b: 26–28, Ms 678)

如果一个命题是普遍性的或表达了必然性，PEM 就不为假，但不适用。因此，Lane 着眼于个体和非模态命题，将我们引向 L-命题中谓词的一种特殊性质。Lane 将导致 L-命题的那种属性称为“边界属性”。以下是 Peirce 自己给出的边界属性示例：

因此，在纸上画一个污点。纸上的每个点都既不是黑色的，也不是黑色的。但是，边界线上有一些点，这些点既不会变成黑色也不会变成黑色，因为这些谓词指的是关于 S 的面积，而一条线关于其上任何一点都没有面积。（Ms 339: 344r，引自 Lane 1999: 294）