皮尔斯的演绎逻辑（五）

边界线上的这些点既不是黑色的，也不是非黑色的。考虑命题“点 O 是黑色的”和“点 O 不是黑色的”（其中点 O 位于黑色污点的边界线上）。它们既非真，亦非假。这些是皮尔斯L命题的典型例子。使用皮尔斯在上一节中自己的真值表，让我们计算“点 O 是黑色或点 O 不是黑色”的真值。

令 α 为“点 O 是黑色”的值，即 L。

α

ˉ

α

Θ(α,

ˉ

α

)

L L L

注意，这里应用了 PEM，但并非真值，仅此而已。

莱恩的以下结论会受到许多皮尔斯学者的欢迎：

边界命题对皮尔斯很重要，因为连续性对他很重要；……这（认为实际的连续性破坏既不具备与该破坏相关的边界属性，也不具备任何属性）导致他认为边界命题既非真亦非假。我认为，皮尔斯进行三元逻辑实验的动机，就是将此类命题，以及连续性现象，纳入形式推理的范畴。 （Lane 1999: 304）

无论是否认可连续性理论，有些人可能并不欢迎形而上学进入逻辑领域。此外，如果皮尔斯的通喻理论不被接受，皮尔斯的三元逻辑（Lane 认为它是对连续性现象进行形式化的尝试）可能会失去其影响力。

前两节表明，皮尔斯的关系逻辑和图系统推动了我们在逻辑运用方式和逻辑实现方式上的进一步发展，使我们能够进行更多形式化，并以更多样化的方式进行形式化。正如本节开头所解释的，三元逻辑既不是为了进一步发展而进行的单调扩展，也不是为了达到相同目的而进行的替代选择。通过扩展语义实体，我们得到了一种不同的逻辑，例如，PEM 不为真。这就是为什么我们称三元逻辑为非标准逻辑。然而，皮尔斯引入第三个值的方式让我们有些犹豫。首先，与当代三元逻辑不同，皮尔斯并没有完全抛弃排中律：

三元逻辑……并非完全拒绝排中律，……（Ms 339: 344r，摘自 Fisch & Turquette 1966: 75）

我并非说排中律完全错误；（1909: 21–22 [NEM 3/2: 851]，引自 Fisch & Turquette 1966: 81）

对于某些（并非全部）属性，由于事物的本质，我们发现自己处于明显P和明显非P之间的界限。如果我们也想形式化这些情况，就需要第三个值L来表达边界情况的不确定性。因此，皮尔斯本人并不认为三元逻辑是一种新的逻辑，而是对现有二元逻辑的补充或扩展：

承认[在肯定的肯定和肯定的否定之间存在一个与它们同样实在的中间基础]并不意味着对现有逻辑的否定，而是对现有逻辑的重大补充。(1909: 21–22 [NEM 3/2: 851]，转引自 Fisch & Turquette 1966: 81)

如果我们从字面上接受皮尔斯的观点，他的三元逻辑并非一种典型的非标准逻辑，而是皮尔斯与关系逻辑一起扩展逻辑领域的另一种方式。