定义（三）

2.6 隐式定义

上述观点允许传统解释将乍一看似乎与之相反的思想纳入其框架。有时有人提出，术语 X 可以通过公理化的方式引入，即通过将扩展语言 L+ 中的某些句子作为公理来规定。然后，这些公理被称为隐式定义 X。这种想法很容易融入传统解释中。设一个理论是扩展语言 L+ 中的一组句子。那么，说一个理论 T∗ 是 X 的隐式（规定性）定义，就是说 X 受以下定义支配：

ϕ=dfThe True，

其中 ϕ 是 T∗ 成员的合取。 （如果 T∗ 是无限的，那么对于 T∗ 中的每个句子 ψ，都需要一个上述形式的规定。）[11] 根据传统解释，只要该定义满足保守性和可消除性准则，它就是合法的。如果它确实满足这些准则，我们称 T∗ 是可接受的（对于 X 的定义而言）。因此，传统解释包容了理论可以规定性地引入新项的观点，但它提出了一个强烈的要求：这些理论必须是可接受的。[12]

为了具体起见，我们考虑古典一阶语言的特殊情况。设基础语言 L 就是这样一种语言，其解释是某些句子 T 的模型。我们假设

T∗ 是 X 的隐式语义定义，当且仅当对于 L 的每个解释 M，存在一个唯一的 T∗ 模型 M+，使得 M+ 是 M 的展开。

然后，根据范式定理，可以立即得出以下断言：

如果 T∗ 是可接受的，则 T∗ 是 X 的隐式语义定义。

也就是说，一个可采纳的理论会确定所定义术语在每种基础语言解释中的语义值。这一观察提供了一种自然的方法来证明一个理论不可采纳：

帕多阿方法。为了证明T∗不可采纳，只需构建两个T∗模型，它们是基础语言L的同一解释的展开。(Padoa 1900)

以下是帕多阿方法的一个简单且在哲学上有用的应用。假设L的证明系统是皮亚诺算术，并且L通过添加一个一元谓词Tr（表示“L的真句子的哥德尔数”）进行扩展。令H为由以下形式的所有句子（“塔斯基双条件句”）组成的理论：

Tr(s)↔ψ，

其中ψ是L的一个句子，s是ψ的哥德尔数的规范名称。 Padoa 的方法意味着 H 不适用于定义 Tr。因为 H 并不能在所有 L 的解释中确定 Tr 的解释。尤其是在标准模型中，H 不会这样做，因为 H 对 Tr 在非句子哥德尔数上的行为没有任何限制。（如果编码将每个自然数都转化为句子的哥德尔数，那么皮亚诺算术的非标准模型就提供了必要的反例：它有无穷多个展开式，这些展开式都是 H 的模型。）该论证的一个变体表明，塔斯基在 L+ 中表述的真理论不适用于定义 Tr。

Padoa 方法的逆向呢？假设我们可以证明，在基础语言的每一种解释中，理论 T∗ 都为定义的术语确定了一个唯一的语义值。我们能否得出 T∗ 是可接受的结论？这个问题在某些语义系统中会得到否定的答案，而在其他语义系统中会得到肯定的答案。（相比之下，只要语义系统不是高度人为设计的，Padoa 的方法就有效。）反之，例如，对于经典二阶语言，则不成立，但对于一阶语言则成立：

Beth 可定义性定理。如果 T∗ 是经典一阶语言中 X 的隐式语义定义，则 T∗ 是可接受的。

注意，即使 T∗ 是无限集，该定理仍然成立。该定理的证明，参见 Boolos、Burgess 和 Jeffrey 2002；另见 Beth 1953。

因此，隐式定义的想法与传统的解释并不冲突。冲突的产生在于该想法的哲学应用。19 世纪末 20 世纪初严格还原论纲领的失败促使哲学家们探索更为宽松的还原论。例如，弗雷格对数的定义被证明是不一致的，因此无法支持逻辑主义的论题，即算术原理是分析性的。然而，事实证明，算术原理无需弗雷格的定义即可推导出来。只需由此得出一个推论，即休谟原理：

休谟原理：F的数量=G的数量，当且仅当F与G之间存在一一对应关系。

如果我们将休谟原理添加到公理化的二阶逻辑中，就能得到一个一致的理论，由此我们可以分析地推导出二阶皮亚诺算术。（该论证的要点已在弗雷格1884年著作中找到。）新弗雷格主义的核心论点是，休谟原理是对函数表达式“……的数量”的隐式定义（参见Hale and Wright 2001）。如果这个论点能够得到辩护，那么关于算术的逻辑主义就能得到维持。然而，新弗雷格主义的论点与传统的定义论证相冲突，因为休谟原理同时违反了保守性和可排除性。该原理允许人们证明，对于任意n个对象，至少存在n个对象。

另一个例子：针对理论概念（例如物理学概念）的还原论纲领旨在解决这些概念所引发的认识论问题。该纲领旨在将理论语句简化为（一类）观察语句。然而，事实证明，这种简化即使并非不可能，也难以维持。因此，有人提出，或许理论中的非观察性成分可以被视为对理论术语的隐含定义，而无需任何简化。对非观察性成分的精确描述可能因具体认识论问题而异。但这必然会违反保守性和可排除性这两个标准中的一个或两个。[13]

最后一个例子：根据塔斯基定理，我们知道，对于上述皮亚诺算术语言，没有任何理论能够成为真值谓词Tr的可接受定义。尽管如此，我们或许仍然可以将理论H视为Tr的隐式定义。（保罗·霍维奇对普通的真值概念提出了一个密切相关的建议。）在这里，传统解释所施加的界限再次受到压力。H满足保守性标准，但不满足可排除性标准。

为了评估这些哲学应用对传统解释提出的挑战，我们需要解决当前哲学争论中存在的问题。其中一些问题如下。(i) 显然，某些违反保守性的行为是不合法的：例如，不能通过规定水星大于金星来使其成立。现在，如果一个哲学应用要求某些违反保守性的行为合法，我们就需要区分这两类情况：合法的违反保守性的行为和不合法的违反保守性的行为。并且我们需要理解是什么使得其中一种情况合法，而另一种情况不合法。(ii) 可排除性也存在类似的问题。似乎并非所有旧理论都能成为术语 X 的隐式定义。（该理论可能只包含重言式。）如果是这样，那么我们再次需要区分哪些理论可以用于隐式定义一个术语，哪些理论不能。并且我们需要解释这种区分的原理。(iii) 哲学应用的关键在于隐式定义能够确定被定义术语的含义。因此，我们需要解释这种意义是什么，以及隐式定义如何确定它。在传统解释下，包含被定义项的公式可以被视为从基础语言的公式中获得其意义。（鉴于句子的首位性，这确定了被定义项的意义。）但在自由化的隐式定义概念下，这种做法行不通。那么，在设想背离传统解释的情况下，我们应该如何思考公式的意义？（iv）即使前三个问题得到令人满意的解决，仍然存在一个重要的问题。假设我们允许一个物理学理论T可以规定性地定义其理论项，并赋予这些项特定的含义。问题在于，如此赋予的意义是否与理论术语在物理学中实际运用的意义相同（或足够相似）。如果隐式定义要发挥其哲学功能，就必须对这个问题做出肯定的回答。援引隐式定义的目的是为了解释我们日常判断的合理性、先验性或分析性，而不是为了解释某些以某种方式赋予日常符号的特殊判断。

新弗雷格主义的文献就这些问题提供了一个有趣的案例研究。关于新弗雷格命题的大部分争论，可以有效地理解为关于保守性和实用性标准的范围和精确表述的争论。例如，所谓的“尤利乌斯·凯撒”反驳（源于弗雷格，1884）认为休谟原则不能成为“数量”的合法定义，因为它并不能决定该表达式在混合身份语境中的用法，例如“Fs=尤利乌斯·凯撒的数量”。其他经典的反驳（Field，1984，Boolos，1997）则聚焦于休谟原则的非保守性。Boolos，1990提出了一个尤为尖锐的观点，即“坏伙伴问题”。与休谟原则同类的定义被称为抽象原则。Boolos提出的抽象原则本身自洽，但与休谟原则结合时却不一致。这种病态的情况在保守的定义中从未出现过。因此，“坏伙伴问题”说明了违反保守性要求时可能出现的问题。

新弗雷格主义的支持者以各种方式回应了这些反驳。Wright (1997) 认为抽象原则只需满足保守性的受限版本，而完全不必满足可消除性。（然而，Wright 的提议遭遇了“坏伙伴”问题的报复：参见 Weir (2003)。）相比之下，Linnebo (2018) 则主张对抽象原则提出更为严格的要求。他只认可谓词抽象原则，这些原则在适当的语境下既满足保守性也满足可消除性。Mackereth 和 Avigad（即将出版）则持有一种中间立场。他们认为，抽象原则必须满足非限制意义上的保守性，但不必满足可消除性。此外，Mackereth 和 Avigad 还指出，在缺乏可消除性的情况下，对保守性的精确表述（例如句法还是语义）会产生很大的影响。具体来说，休谟原则的非直言版本在语义上是保守的，但在句法保守性方面似乎并非如此。

有关这些问题的进一步讨论，请参阅 Horwich 1998，尤其是第 6 章；Hale and Wright 2001，尤其是第 5 章；以及其中引用的文献。

2.7 恶性循环原则

另一个背离传统理论的地方在于，该理论并非过于严格，而是过于宽松，允许一些不合理的定义。因此，传统理论允许对“说谎者”和自然数类 N 分别做出如下定义：

(22)

z 是说谎者 =df z 断言的所有命题均为假；

(23)

z 属于 N =df z 属于每个归纳类，其中，当一个类包含 0 且在后继运算下封闭时，该类是归纳类。罗素认为，这样的定义包含一种微妙的恶性循环。罗素认为，第一个定义的定义项援引了所有命题的总体，但该定义如果合理，其结果将只能通过参考这一总体来定义。同样，第二个定义试图通过参考所有类（包括正在定义的类 N）来定义类 N。罗素认为这样的定义不合理。他对定义和概念提出了以下要求——即所谓的“恶性循环原理”。（亨利·庞加莱也提出过类似的观点。）

恶性循环原理：“凡是包含一个集合所有元素的事物，都一定不是该集合中的一员（罗素，1908，63）。”

罗素对该原理的另一种表述是：

恶性循环原理（变体表述）。 “如果某个集合有一个总数，其成员只能用该总数来定义，那么该集合就没有总数 (Russell, 1908, 63)。”（Russell, 1908, 63） 。

在附加的脚注中，Russell 解释说：“当我说一个集合没有总数时，我的意思是关于其所有成员的陈述都是无稽之谈。”

Russell 提出恶性循环原理的主要动机是逻辑和语义悖论。在某些不利条件下，“真”、“命题”和“类”等概念会产生自相矛盾的结论。因此，如果 Cheney 断言自己是骗子，并且他所断言的所有其他命题实际上都是假的，那么“Cheney 是个骗子”这个断言（其中“骗子”的理解与 (16) 中的相同）就会得出自相矛盾的结论。Russell 认为恶性循环原理意味着，如果“Cheney 是个骗子”表达了一个命题，它不能属于(16)式中定义项的量词范围。更一般地说，罗素认为，对所有命题和所有类别进行量化都违反了恶性循环原理，因此是不合法的。此外，他还认为，“真”和“假”之类的表达式并不表达一个独特的概念——用罗素的术语来说，一个独特的“命题功能”——而是表达一个不同等级的命题功能层级中的一个概念。因此，罗素从这些悖论中得出的教训是，意义的领域比通常看起来的更为狭窄，传统的概念和定义的解释需要更加严格，才能排除(16)和(17)之类的情况。

必须指出，在应用于普通的、非正式的定义时，恶性循环原理并没有提供一种清晰的方法来区分有意义和无意义。定义 (16) 被认为是不合法的，因为在其定义式中，量词涵盖了所有命题的总体。我们被告知，这是被禁止的，因为如果允许这样做，所有命题“将只有根据总体来定义”。然而，除非我们更多地了解命题的性质以及定义它们的方法，否则不可能确定 (16) 是否违反了该原理。像“切尼是个骗子”这样的命题——或者，举一个争议较少的例子，“切尼要么是骗子，要么不是”——或许可以给出一个不诉诸所有命题总体的定义。例如，如果命题是可能世界的集合，那么这样的定义似乎是可行的。

然而，恶性循环原理作为对合法概念和定义进行特定解释的有效动机，即罗素的分支类型理论所体现的解释。这里的想法是，从一些不涉及对命题、概念等进行量化的无问题资源开始。这些资源使我们能够定义例如各种一元概念，从而确保这些概念满足恶性循环原理。因此，对这些概念的量化必然是合法的，并且可以添加到语言中。这同样适用于命题和其他类型的概念：对于每种类型，可以添加一个量词，其范围涵盖可使用初始无问题资源定义的（该类型的）项。新的量化资源使我们能够定义每种类型的更多项；这些项也遵循该原理，并且同样，范围涵盖扩展总体的量词可以合法地添加到语言中。新的资源允许定义更多项。如此反复。结果就是我们得到了一个由各种顺序的命题和概念组成的层次结构。类型层次结构中的每种类型都会分化成多种不同的顺序。这种分化确保了在最终语言中表述的定义必然遵循恶性循环原理。能够在此框架范围内定义的概念和类被称为谓词性的（就该词的一种含义而言）；其他的则被称为非谓词性的。

有关恶性循环原理的进一步讨论，请参阅 Russell 1908、Whitehead 和 Russell 1925、Gödel 1944 和 Chihara 1973。有关分支类型理论的正式介绍，请参阅 Church 1976；有关更非正式的介绍，请参阅 Hazen 1983。另请参阅类型论和《数学原理》的条目，其中包含更多参考文献。

2.8 循环定义

这些悖论也可以用来推导出与罗素完全相反的结论。考虑以下一位谓词 G 的定义：

Gx=dfx=苏格拉底∨(x=柏拉图&Gx)

∨(x=亚里士多德&∼Gx)。

这个定义本质上是循环的；它不能以标准形式化简为 1。尽管如此，它直观地为 G 的使用提供了实质性的指导。例如，该定义指出苏格拉底属于 G，并且除了上述三位古代哲学家之外，没有任何人属于 G。该定义仅未确定两个对象的地位，即柏拉图和亚里士多德。如果我们假设柏拉图属于G范畴，则定义得出柏拉图确实属于G范畴（因为柏拉图满足定义），从而证实了我们的假设。如果我们假设相反，即柏拉图不属于G范畴，也会发生同样的事情；我们的假设再次得到证实。对于亚里士多德来说，任何试图确定他是否属于G的尝试都会让我们陷入更加危险的境地：如果我们假设亚里士多德属于G范畴，则根据定义，我们会得出结论，他不属于G范畴（因为他不满足定义）；相反，如果我们假设他不属于G范畴，则我们会得出结论，他属于G范畴。但即使在柏拉图和亚里士多德身上，G的行为也并不陌生：G在这里的行为方式，就像真理概念在说真话的人（“我现在说的是真的”）和撒谎者（“我现在说的不是真的”）身上的行为方式一样。更一般地说，真理概念的行为与循环定义所定义的概念的行为之间存在很强的相似性。两者在一系列情况下通常都有明确的定义，而在另一些情况下则表现出各种不同寻常的逻辑行为。事实上，真概念中所有令人困惑的逻辑行为，也都存在于循环定义所定义的概念中。这种强烈的平行性表明，既然真显然是一个合法的概念，那么像(18)这样的循环定义所定义的概念也同样合法。根据这种观点，这些悖论并不质疑真概念的合法性。它们仅仅表明循环概念的逻辑和语义与非循环概念的逻辑和语义不同。这种观点在定义的修正理论中得到了发展。

在该理论中，循环定义赋予被定义项一种假设性的意义；被定义项的语义值是一种修正规则，而不是像非循环定义那样是一种应用规则。再次考虑(18)。与任何定义一样，如果给出了定义项中非逻辑常量的解释，那么(18)就确定了被定义项的解释。 (18) 的问题在于，定义项 G 出现在定义项中。但假设我们任意赋予 G 一个解释——比如，我们让它成为论域中所有对象的集合 U（即，我们假设 U 是满足 G 的对象的集合）。那么很容易看出，定义项恰好对苏格拉底和柏拉图成立。因此，该定义表明，在我们的假设下，G 的解释应该是集合 {苏格拉底，柏拉图}。对于任何关于 G 解释的假设，都可以进行类似的计算。例如，如果假设是 {色诺克拉底}，则定义得出结果 {苏格拉底，亚里士多德}。简而言之，即使 (18) 式没有明确界定哪些对象属于 G，它也确实产生了一条规则或函数，当给定一个假设解释作为输入时，会产生另一个解释作为输出。修正理论的基本思想是将此规则视为修正规则：输出解释优于输入解释（或至少同样好；此限定将被视为已读）。定义赋予被定义术语的语义值并非外延——它并非将论域划分为属于定义术语和不属于定义术语的对象。语义值是一种修正规则。

修正规则解释了循环概念的常见和异常行为。设 δ 为定义产生的修正规则，V 为对定义术语的任意假设解释。我们可以尝试通过反复应用规则 δ 来改进我们的假设 V。得到的序列，