定义（完结）

V,δ(V),δ(δ(V)),δ(δ(δ(V))),…,

是 δ 的修正序列。对于所有可能的初始假设，δ 的修正序列总和就是由 δ 生成的修正过程。例如，(18) 的修正规则生成的修正过程包含以下修正序列：

U,{苏格拉底,柏拉图},{苏格拉底,柏拉图,亚里士多德},{苏格拉底,柏拉图},…

{色诺克拉底},{苏格拉底,亚里士多德},{苏格拉底},{苏格拉底,亚里士多德},…

观察我们这四位古代哲学家在此过程中的行为。经过一些初始修正阶段后，苏格拉底总是落入修正后的诠释中，而色诺克拉底总是落入修正后的诠释之外。（在这个特定例子中，两人的行为在初始阶段后固定不变；在其他情况下，（可能需要经过许多阶段的修订才能确定对象的状态。）修订过程对两位哲学家得出绝对判决：苏格拉底绝对属于 G，而色诺克拉底绝对不属于 G。修订过程未得出绝对判决的对象被称为是病态的（相对于修订规则、定义或定义的概念）。在我们的例子中，柏拉图和亚里士多德相对于 (18) 是病态的。亚里士多德的状态在任何修订序列中都是不稳定的。就好像修订过程无法对他做出决定一样。有时亚里士多德被裁定属于 G，然后过程反过来宣称他不属于 G，然后过程再次反过来。当一个对象在所有修订序列中都以这种方式表现时，它被称为是悖论的。柏拉图相对于 G 也是病态的，但他在修订过程中的行为不同。柏拉图在每个修订序列中都获得了稳定的状态，但他获得的状态取决于初始假设。

修订过程有助于为循环定义提供语义。[14] 它们可用于定义诸如“范畴真”之类的语义概念，以及诸如“有效性”之类的逻辑概念。我们获得的逻辑概念的特征关键取决于修订的一个方面：对象在修订过程中稳定到其常规行为之前的阶段数。一个定义被称为有限的，当且仅当它的修订过程必然只需要有限个这样的阶段。[15] 对于有限的定义，有一个简单的逻辑演算 C0，它对于修订语义来说是健全且完备的。[16] 对于非有限的定义，修正过程延伸至超限。[17] 这些定义可以为语言增添显著的表达能力。（当这些定义添加到一阶算术中时，它们使所有π

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个自然数集都变得可定义。）由于其表达能力，非有限循环定义的有效性一般概念并非公理化（Kremer 1993）。我们最多可以给出一个合理的逻辑演算，但并非一个完整的演算。这种情况类似于二阶逻辑的情况。

让我们观察一下定义修正理论的一些一般特征。(i) 在该理论下，非循环定义（即范式定义）的逻辑和语义与传统解释相同。引入和消去规则不受限制地成立，修正阶段可有可无。与传统解释的偏差仅发生在循环定义上。(ii) 在该理论下，循环定义不会扰乱基础语言的逻辑。包含定义术语的句子与基础语言的句子遵​​循相同的逻辑规律。(iii) 保守性成立。任何定义，无论其循环多么恶性，都不会在基础语言中引发任何新内容。即使是完全自相矛盾的定义

Gx=df∼Gx

也符合保守性要求。(iv) 可消除性不成立。扩展语言的句子通常不能简化为基础语言的句子。这种不成立有两个原因。首先，修正理论在断言和论证中固定了扩展语言句子的使用，但没有将句子简化为基础语言的句子。因此，该理论满足使用标准，但不满足更强的可消除性标准。其次，在该理论中，定义可以为基础语言增添逻辑和表达力。循环定义的添加可以导致新集合的可定义性。这也是可排除性失效的另一个原因。

有人可能会反对说，每个概念都必须有一个外延，必须有一个明确的、属于该概念的对象总体。如果这种说法正确，那么只有当谓词必然将世界清晰地划分为它适用的对象和它不适用的对象时，谓词才是有意义的——它表达了一个概念。因此，反对意见得出结论，任何具有本质上循环定义的谓词都不可能有意义。这个反对意见显然不是决定性的，因为它基于一个排除了许多普通且看似有意义的谓词（例如“秃头”）的前提。尽管如此，它仍然值得注意，因为它说明了关于意义和概念的一般问题是如何进入关于合法定义要求的辩论的。

修正理论的主要动机是描述性的。有人认为，该理论有助于我们更好地理解诸如真理、必然性和理性选择等日常概念。有人认为，这些概念的日常行为以及令人困惑的行为，都源于其循环性。如果这种说法正确，那么描述性和解释性定义就没有必要在逻辑上要求它们必须具有非循环性。

有关这些主题的更详细论述，请参阅 Gupta 1988/89、Gupta 和 Belnap 1993 以及 Chapuis 和 Gupta 1999。另请参阅关于真修正理论的条目。有关修正理论的批判性讨论，请参阅 Vann McGee 和 Donald A. Martin 的论文以及 Gupta 在 Villanueva 1997 中的回复。另请参阅 Shapiro 2006。