Jan Lukasiewicz（三）

为了得到一个尊重命题函子外延性的模态逻辑系统，Łukasiewicz采用了Meredith的C-N-δ命题演算公理

⊢CδpCδNpδq

并添加了一个公理断言和两个公理拒绝

⊢CpMp

⊣CMpp

⊣Mp

以及断言和拒绝的代换规则和分离规则，从而得到了他的逻辑。断言的原则与通常的相同，而拒绝的原则如下：

⊣代换：任何公式，如果其代换实例被拒绝，则该公式将被拒绝。

⊣ 分离：如果断言 Cab 成立且 b 被否定，则 a 被否定。

由此，他可以推导出所有所需的原理和外延性。

这就是逻辑 Ł。与标准模态逻辑不同，它具有一个有限特征矩阵，如下所示，其中，像 Łukasiewicz 一样，我们现在用一个新的符号“Δ”替换“M”。1 为指定值（真），4 为反指定值（假）：

C 1 2 3 4 N Δ

1 1 2 3 4 4 1

2 1 1 3 3 3 1

3 1 2 1 2 2 3

4 1 1 1 1 1 3

该矩阵的特征值由 Smiley 于 1961 年证明。必然函子 (Γ) 和合取函子可以用标准方式定义。更有趣的是，Łukasiewicz 指出，还有另一个可能性算子 ∇，其真值表如下：

K 1 2 3 4 Γ ∇

1 1 2 3 4 2 1

2 2 2 4 4 2 2

3 3 4 3 4 4 1

4 4 4 4 4 4 2

单独来看，这与 Δ 难以区分，但两个算子结合起来相互作用时却有所不同，因为 ⊣ΔΔp 和 ⊣∇∇p 都是 ⊢Δ∇p 和 ⊢∇Δp。Łukasiewicz 将它们比作双胞胎，分开时难以区分，但结合起来却可以区分。类似的孪生兄弟是必然算子Γ及其对应算子（值为3434），以及两个中间真值2和3。

该逻辑与卢卡谢维奇早期的多值系统截然不同，也与其他模态系统截然不同。它与卢卡谢维奇自己的系统不同之处在于，它是经典二值逻辑的扩展，包含所有二值重言式。当我们注意到标准联结词的四值矩阵仅仅是标准二值矩阵与其自身的笛卡尔积时，这一点就不足为奇了。模态算子才是区别所在。有几个特征使其与标准模态系统截然不同。其一是完全缺乏任何Γa形式的真值，更不用说定理了，这与卢卡谢维奇对“更高尊严”真理的拒绝一致。其他奇定理如下：

⊢CKΔpΔqΔKpq

所有可能的命题都是可共存的

⊢CEpqCΔpΔq

如果其中一个命题成立，则实质上等价的命题都是可能的

⊢CΔpCΔNpΔq

如果一个命题及其否定命题都是可能的，任何事物都是

卢卡谢维奇意识到了许多这些奇怪的后果，但他仍然坚持他的体系。尽管人们多次尝试理解这个体系，但普遍认为，由于这些怪异之处，它实际上并非一个模态逻辑体系。如果说其中一个主要原因，那就是卢卡谢维奇即使对模态算子也坚持外延性（真值函数性）原则，这迫使他对模态性的描述首先走向了多值化。

6. 逻辑史

6.1 斯多葛派命题逻辑

卢卡谢维奇的第三个重要成就，除了他对多值逻辑和命题逻辑的研究之外，是他在逻辑史方面的贡献。事实上，他可以被合理地视为现代逻辑史研究方法之父，用他关于亚里士多德三段论的著作的副标题来说，这种研究方法“从现代形式逻辑的角度”进行。我们看到，他早期关于亚里士多德矛盾律的著作就其本身而言相对不成功，尽管它展现了他深入古希腊文本核心的能力。

卢卡谢维奇作为逻辑史学家发展过程中的一个决定性事件是他发现了古代斯多葛逻辑。他似乎正在研究一篇关于斯多葛学派的论文，为了准备论文，他阅读了原文。于是，他发现，与当时普兰特尔、泽勒等人提出的标准观点相反，斯多葛逻辑并非一种删节版且有缺陷的亚里士多德三段论，而是一种早期的命题逻辑。因此，例如，第一个斯多葛学派的不可证明命题“如果第一，则第二；但第一，故第二”仅仅是条件句“如果”的肯定前件或分离式，而变量，不是用字母而是用序数词表示的，是命题变量，而不是项变量。他于1923年在利沃夫的一次会议上首次提出了这一观点，如今这当然已成为标准。1934年出版的《论命题逻辑史》是一部更系统的论述，它精彩地涵盖了斯多葛学派的广泛研究，包括关于条件句含义的古代争论、彼得·伊斯帕努斯和奥卡姆关于德·摩根定律的争论、中世纪后果论，以及弗雷格和现代命题演算。现代对斯多葛逻辑成就的欣赏始于卢卡谢维奇的澄清以及他对斯多葛学派，尤其是克利西普斯的毫不吝惜的赞扬。卢卡谢维奇意识到普兰特尔缺乏后弗雷格逻辑的先天优势，尽管普兰特尔错误地驳斥了斯多葛逻辑的许多“愚蠢”，但他至少提供了一些有用的资料。然而，卢卡谢维奇对以往逻辑史学家的评价却十分尖锐：

逻辑史必须重新书写，而且必须由一位精通现代数理逻辑的史学家来撰写。普兰特尔的著作虽然作为资料汇编很有价值，但从逻辑的角度来看，它实际上毫无价值……如今，仅仅成为一名哲学家不足以发表关于逻辑的观点。 (SW, 198)

6.2 亚里士多德

在1929年Łukasiewicz的逻辑教科书中，在论述了命题演算之后，他并没有像现在这样继续阐述谓词逻辑，而是简要地形式化地阐述了亚里士多德的范畴（非模态）三段论，并预设了命题演算的十二条定理。这比他1951年出版的《亚里士多德的三段论》早了22年。这部彻底改变了亚里士多德逻辑研究的书，亚里士多德三段论的诞生漫长而断断续续。1939 年在克拉科夫就此主题发表的演讲直到 1946 年才以波兰语出版。1939 年，武卡谢维奇准备了一本波兰语专著，但部分证明和手稿在华沙轰炸中被毁。1949 年，他应邀在都柏林大学学院讲授亚里士多德的三段论，这些讲稿构成了该书的基础，该书于 1950 年完成，并于次年出版，这是他的第一部英文著作。第一版只涉及范畴三段论。第二版完成于 1955 年，距他去世不到一年，武卡谢维奇增加了三章关于模态三段论的内容，运用了他在此期间发展的模态逻辑。第二版由Lejewski校对并编入索引，并于1957年出版。

卢卡谢维奇对亚里士多德三段论的理解基于两个具体的解释原则和一种普遍的态度。第一个原则是，亚里士多德的三段论并非像传统所认为的那样，是形式为“p，q，因此r”的推理图式，而是形式为“如果p且q，则r”的条件命题。这直接引出了第二个原则，即在词项逻辑的三段论处理背后，存在着一种更深层的逻辑，即命题逻辑，特别是对立逻辑，“并且”和“如果”，以及（在模态三段论中）“必然”和“可能”。卢卡谢维奇认为，亚里士多德偶尔会援引这一命题基础，例如在处理间接证明时，但大多数情况下都是默认的，因此他认为批评亚里士多德（与斯多葛学派不同）没有明确阐述其背后的命题逻辑是合理的。卢卡谢维奇尖锐而又颇具争议的观点引发了关于如何解读三段论的争论。虽然这些原则在帕齐格（1968）的早期确实赢得了拥护，但随后科克伦（1972、1974）以及斯迈利（1974）的独立批评明确指出，三段论并非命题而是推理，亚里士多德无需先验的命题逻辑。如今，这一观点在研究亚里士多德逻辑的学者中已广为流传。回过头来看，卢卡谢维奇似乎渴望将他自己（弗雷格式的）逻辑观（即基于命题逻辑的定理体系）寄托在亚里士多德身上。

贯穿卢卡谢维奇论述的普遍态度是，亚里士多德的著作具有足够的精确性和权威性，足以保证并经得起使用最严谨的现代逻辑方法和概念的阐释。换句话说，现代逻辑的发展虽然可能凸显亚里士多德逻辑的缺陷和不足，但实际上比以往的传统或语文学研究更清晰地展现了其优点、创新和天才之处。无论是否认同亚里士多德具体的解释原则，卢卡谢维奇的态度在研究亚里士多德逻辑的学者中一直盛行，如今已深入人心。

在阐述亚里士多德处理三段论的基本原理之后，卢卡谢维奇批评了早期的评论家，并指出亚里士多德创立“弃用形式”方法的目的不仅在于表明哪些是有效的三段论，也在于证明哪些是无效的三段论。之后，卢卡谢维奇提出了他对范畴三段论的形式化，基于以下逻辑表达式

表达式 含义

Aab 所有 a 都是 b（或 b 属于所有 a）

Eab 没有 a 是 b（或 b 不属于任何 a）

Iab 某些 a 是 b（或 b 属于某些 a）

Oab 某些 a 不是 b（或 b 不属于某些 a）

以 A 和 I 为本原，定义 E=NI 和 O=NA，添加到命题演算中的公理为

⊢Aaa

⊢Iaa

⊢CKAbcAabAac（第一幅图中的 Barbara）

⊢CKAbcIbaIac（第二幅图中的 Datisi）

以及肯定前件和项变量的代换规则。这实际上是 Łukasiewicz 在其 1929 年教科书中提出的系统。正如第二条公理所示，Łukasiewicz 在此遵循亚里士多德的思想，假设所有项都表示。被拒绝的形式可以添加：卢卡谢维奇从第二个图形得出

⊣CKAcbAabIac 和

⊣CKEcbEabIAc

这些形式加上对拒绝的抽离和替代，就得到了亚里士多德所有被拒绝的232种情态。卢卡谢维奇对亚里士多德直言三段论的评价是：尽管它狭隘，但它“是一个精确性甚至超越数学理论的体系，这是它永恒的价值”。(AS, 131)

另一方面，根据卢卡谢维奇的观点，模态三段论的研究很少，这既因为它远低于直言三段论的完善标准，也因为缺乏一个“普遍接受的模态逻辑体系”，而卢卡谢维奇和卢认为他自己现在已经建立了这个体系。卢卡谢维奇自己的论述并非权威，尽管它为后续研究提供了素材，我们在此不再赘述。有趣的是，亚里士多德在《前分析篇》第一卷第十五章中尝试写道：建立论题

CCpqCLpLq

CCpqCMpMq

卢卡谢维奇认为亚里士多德式的理论认可模态算子和范畴算子的外延性原理。

7. 哲学立场

卢卡谢维奇早期哲学中最重要、最具影响力的立场是其逻辑中的反心理主义。这种立场受到了弗雷格、胡塞尔和罗素的影响。在术语学上，卢卡谢维奇用“句子”（zdanie）一词取代了特瓦多斯基使用的传统术语“sąd”（判断）。这种视角和术语的转变被后来的波兰逻辑学家们普遍采用。1920年后，卢卡谢维奇在哲学和哲学问题的论述中非常谨慎。我们已经注意到他对非决定论的坚定信仰。他的主要评论，甚至愤怒，都针对那些批评数理逻辑（或当时称为逻辑学）在哲学和普遍思想中地位的人。他注意到利沃夫-华沙学派与维也纳学派在方法和风格上存在某些趋同之处，但批评后者墨守成规，拒绝一切形而上学，并试图将实质性问题转化为语言问题。尽管逻辑抽象，但它并不比任何其他科学更脱离现实，而且它必须符合世界的各个方面。他坚信决定论是错误的，这驱使他拒绝二价逻辑。在坚持逻辑形而上学中立性的同时，他在20世纪30年代后期承认，他以前是名义主义者，但现在是柏拉图主义者。这一信念的根源在他1937年的论战《为逻辑辩护》的结尾有所阐述：

每当我研究哪怕是最不重要的逻辑问题时，例如，当我寻找命题演算的最短公理时，我总是感觉自己面对着一个强大、最连贯、最坚韧的结构。我感觉这个结构就像一个具体的、有形的物体，由最坚硬的金属制成，比钢铁和混凝土坚固一百倍。我无法改变它；我没有凭自己的意志创造任何东西，但通过艰苦的努力，我不断在其中发现新的细节，并最终获得不可动摇的永恒真理。（SW，249）

很少有人如此雄辩地阐述柏拉图主义的动机。

在逻辑哲学中，卢卡谢维奇最根深蒂固的信念之一，也是他与华沙学派其他逻辑学家共同持有的信念，是逻辑必须是外延的，它研究的不是语言意义或心理判断的演算，而是真值，无论真值是经典的二值还是多值。他的观点是，句子表示真值，逻辑是研究这些逻辑值的科学，而不是研究句子（语法）或判断（心理学），或命题表达的内容，或一般对象（本体论）的科学。他并没有论证这一立场，而只是接受并假定了它。正如我们所见，这对他对模态逻辑的处理产生了深远的影响，迫使模态逻辑成为多值逻辑。

除了他从特瓦尔多夫斯基那里继承的对科学哲学的一般态度之外，卢卡谢维奇关于逻辑的一些其他哲学立场还有一个可识别的来源，或者如果不是来源，至少也是一个趋同信念的观点。一是拒绝超越普通真理的“超真理”。这在模态逻辑Ł中尤为明显。二是他偏爱介于真（1）和假（0）之间的可能性程度，这与非量化的第三种可能性（或在Ł中是双重的第三种可能性）形成对比。在迈农1915年发表的巨著《超越可能性与真理》中，可以找到两种可能性——“不可增加的”（无程度）和“可增加的”（具有无限程度）——之间完全相同的区分。与Łukasiewicz一样，迈农并不赋予命题高于真理的必然性尊严。尽管迈农拥有哲学史上最丰富的本体论，但他的对象理论缺乏被描述为必然的对象：他从未提及上帝，他认为诸如数字之类的理想对象是自存的，而不是存在或必然存在的。或许并非偶然，1910年，卢卡谢维奇在格拉茨访问后返回利沃夫时，谈到了排中律。他认为，排中律如同矛盾律一样，并非根本律，其实际意义大于逻辑意义。他推测，排中律不适用于像一般三角形这样既非等边也非不等边的一般对象。迈农接受了这类他称之为“不完全”的对象，事实上，他从卢卡谢维奇的老师特瓦尔多夫斯基那里采纳了这一思想。卢卡谢维奇还认为，排中律在现实对象中的应用“与现象的普遍决定论有关，不仅适用于现在和过去的现象，也适用于未来的现象。如果有人否认所有未来现象在今天就已经在各个方面被预先确定，那么他可能无法接受这个原则。”三值逻辑的种子早在1910年格拉茨之行后就已萌芽。

迈农运用可增可能性的多值来描述概率。虽然卢卡谢维奇在其1913年专著中的方法基于不同的理念，但他仍然倾向于认为无限值逻辑或许能够阐明概率。最迟在1935年，随着塔斯基发表了一篇关于概率和多值逻辑的短文，他意识到最直接的方法，即用0到1之间的真值来识别概率，是行不通的。原因在于，由于概率依赖性，概率不具有外延性：如果p是“明天都柏林会下雨”的命题，Np是它的否定，则矛盾合取KpNp的概率为0，但如果p的真值度为1

2

，Np的真值度也为2，如此等等。 |KpNp|=

1

2

在Ł3和Łℵ0中都是如此。尽管如此，直到1955年，Łukasiewicz仍然会沉思：

我一直认为只有两种模态系统可能具有哲学和科学意义：最简单的模态系统，其中可能性被认为完全没有度数，即我们的四值模型系统；以及ℵ0值系统，其中存在无限多的可能性度数。进一步研究这个问题将会很有趣，因为我们可能会在这里找到模态逻辑与概率论之间的联系。(AS, 180)

8. 遗产

Łukasiewicz曾有些不谦虚地宣称，多值逻辑的发现堪比非欧几何的发现(SW 176)。无论其意义如何，Łukasiewicz对此类逻辑的希望并没有像他预期的那样实现。多值逻辑的语义学和纯数学蓬勃发展，导致了MV代数的发展，并用于Łukasiewicz逻辑的代数语义。无限值逻辑或模糊逻辑有其独特的数学，其开发者中，捷克数理逻辑学家Petr Hájek尤为突出，他的工作受到了Łukasiewicz的影响。模糊逻辑在许多实际应用中都有应用，用于处理模糊性、不精确性或知识匮乏，无论这些是相同还是不同。但Łukasiewicz在模态分析中对多值性的倡导几乎遭到了普遍的拒绝，模态逻辑不可避免地走向了其他道路，主要是二值的、非外延的道路。他的最终逻辑Ł一直未能达成共识性的解释，往好了说是异类，往坏了说是死路一条。

卢卡谢维奇及其学生在命题演算的逻辑和元逻辑领域所取得的杰出成就，以及波兰人对越来越短的公理等研究的专长，如今已属于逻辑学的昔日英雄时代。事实上，自动定理证明器偶尔能超越其成果。另一方面，尽管卢卡谢维奇大量运用真值，但对逻辑语义学的重视，已经将人们的兴趣从公理学的精湛技艺中转移开来。

在逻辑史上，卢卡谢维奇的开创性研究开辟了过去与现在之间全新且更富有成果的互动，而“在现代形式逻辑的光照下”对逻辑历史中重要概念的重新发现和重新解读，至今仍在继续，尽管卢卡谢维奇本人关于如何理解亚里士多德或斯多葛学派的观点并非全部经受住了时间的考验。他的工作也启发了克拉科夫天主教传统的逻辑史学家，其中最著名的是扬·萨拉穆哈（Jan Salamucha）和约瑟夫·博琴斯基（Józef Bocheński），他们将现代方法应用于研究哲学史中的逻辑问题和论证。

在华沙学派的鼎盛时期（1920-1939），卢卡谢维奇在培养下一代逻辑研究者方面发挥了关键作用，他用方法、成果和问题激励着他们。即使是他作为练习题随口说出的想法也改变了逻辑学，例如，1929年，他建议将基于假设的非正式证明程序形式化，这促成了斯坦尼斯瓦夫·亚斯科夫斯基（Stanisław Jaśkowski）于1934年提出的自然演绎体系，这在本质上就是如今教授学生逻辑学的主要方式。战争不可避免地中断了他们的工作。卢卡谢维奇的几位最优秀的学生是犹太人，他们在纳粹死亡集中营中被杀害。 1944年后，卢卡谢维奇流亡波兰，在流亡期间，他几乎没有机会继续从事教学工作，而是在一个没有逻辑传统的国家，一家非教学机构担任研究员。他与同时代人的交流少之又少，主要通过书信。当时与卢卡谢维奇有过交流的一位著名逻辑学家是亚瑟·普赖尔（Arthur Prior），他的工作与卢卡谢维奇在兴趣（时间、模态、多值性）和态度（逻辑对哲学的重要性）上都有交集。普赖尔是唯一一位采用波兰符号的逻辑学家，也为寻找Ł系统的合理解释付出了比任何人都多的努力。也可以说，在华沙逻辑学家的主要人物中，卢卡谢维奇受到的评论家和历史学家的关注最少。关于卢卡谢维奇的专著和论文相对较少，与利沃夫-华沙学派其他重要人物的专著和论文相比。

尽管有诸多遗憾，卢卡谢维奇的成就和发明确保了他在数学和哲学逻辑史上占据永久而尊贵的地位。卢卡谢维奇对波兰逻辑学家在两次世界大战期间取得的杰出成就感到无比自豪，他完全值得在华沙大学图书馆入口处为亚当·米亚克（Adam Myjak）创作的四座利沃夫-华沙学派杰出成员雕像之一，以示纪念。