Jan Lukasiewicz（二）

4. 命题逻辑

4.1 命题逻辑的发现

卢卡谢维奇卢卡谢维奇最初沿袭怀特海和罗素的“演绎理论”的命题逻辑，也出现在他们的著作和弗雷格的著作中。1921年，卢卡谢维奇发表了一篇开创性的文章《二值逻辑》，其中他整合了逻辑代数中关于真假两个真值的结果。与弗雷格一样，卢卡谢维奇将真假解释为句子或命题所指代的内容；但与弗雷格不同的是，他引入了常量命题符号“1”和“0”。他打算将这篇文章作为三值逻辑专著的第一部分，但该专著从未完成，可能是因为卢卡谢维奇对这种相当混合的方法感到不满，这种方法已经因他的快速发展而显得过时。这篇文章因几项创新而引人注目。它运用源自库图拉和皮尔斯的符号系统，引入了公理拒绝的概念以及公理断言的概念，后者当然在弗雷格、怀特海和罗素那里很常见。常数“0”和“1”也出现在被断言和被拒绝的公式中，实际上建立了真值表的对象语言版本。为了说明这一点，我们使用了卢卡谢维奇后来的无括号符号（参见补充文献《卢卡谢维奇的无括号符号或波兰符号》），并用符号“⊢”表示断言，“⊣”表示拒绝，分别读作“我断言”和“我拒绝”。逻辑的第一原则就是⊢1和⊣0，但为了表示蕴涵的制表，必须遵循以下原则：⊢C00、⊢C01、⊣C10、⊢C11。当卢卡谢维奇使用命题变量时，他以皮尔士的方式对其进行量化，用“Π”表示全称量词，“Σ”表示特称量词。

卢卡谢维奇和他的学生们对命题演算的研究独辟蹊径：他们在1920年至1930年间取得的成果发表在1930年的一本联合著作中。 Łukasiewicz 和 Tarski 的论文《关于命题演算的研究》（Untersuchungen über den Aussagenkalkül）。他继续研究经典（二值）和多值演算。关于 Łukasiewicz 在其成熟时期如何处理经典命题演算的最清晰、最完整的论证，出现在他 1929 年基于课堂笔记编写的学生教科书《数理逻辑要素》中。该系统遵循弗雷格的思想，仅基于蕴涵 (C) 和否定 (N)，并包含优雅的公理集

CCpqCCqrCpr

CCNppp

CpCNpq

以及三条推理规则：肯定前件、用公式统一替换命题变量的规则以及定义替换规则。在此基础上，卢卡谢维奇使用一种极其压缩的线性证明符号，与弗雷格占用空间的证明截然相反，仅用19页就证明了大约140个定理。

卢卡谢维奇在其学生和同事（不仅有塔斯基，还有阿道夫·林登鲍姆、耶日·斯武佩茨基、博莱斯瓦夫·索博钦斯基、莫德查伊·瓦伊斯伯格等人）的协助和怂恿下，不仅研究了完整的（功能完备的）命题演算（以不同的连接词集为基础，包括谢弗函子D），还研究了部分演算，特别是纯蕴涵演算（仅基于C）和纯等价演算（仅基于E）。他们努力寻找满足一系列规范标准的公理集：公理应尽可能少、尽可能短、相互独立，并包含尽可能少的原语。毫无疑问，在寻求更完善的公理体系的过程中，尤其是在尝试为各种体系寻找单一公理时，存在着竞争的因素。这种做法常常被嘲笑，甚至被贬低为一项单纯的“运动”。但波兰人对改进公理体系的执着，是对逻辑完美的追求，这正是扬·沃伦斯基所说的“为逻辑而逻辑”的体现。曾经有人认为，只有波兰人才能参与竞争，这并非毫无道理。塔斯基曾祝贺美国逻辑学家埃米尔·波斯特成为唯一一位对命题逻辑做出奠基性贡献的波兰外籍人士，波斯特回答说，他出生于奥古斯图夫，母亲来自比亚韦斯托克。后来，卢卡谢维奇在爱尔兰数学家卡鲁·梅雷迪思身上发现了一位值得尊敬的波兰外籍人士，他的公理简洁性甚至胜过波兰人（参见梅雷迪思，1953 年）。卢卡谢维奇利用多值矩阵建立了弗雷格、罗素等人系统中逻辑公理的独立性。他证明了完全演算、蕴涵演算和等价演算的完备性，并证明了等价演算可以基于单一公理EEpqErqEpr，并进行等价性的代换和分离，并进一步证明了任何更短的公理都不能成为该系统的唯一公理。塔斯基于1925年证明，纯蕴涵演算可以基于单个公理，但瓦伊斯伯格和卢卡谢维奇的一系列改进，最终导致卢卡谢维奇于1936年发现公式CCCpqrCCrpCsp可以作为单个公理，且没有更短的公理可用，尽管这一结果直到1948年才得以发表。

4.2 变量命题函子

标准命题演算既不使用量词，也不使用变量函子。变量函子是指一个或多个位置的函子，它们接受命题论证，但与N或C等常量函子不同，它们没有固定的含义。这类变量函子的作用类似于一阶谓词逻辑的谓词，只是它们接受命题论证而非名词论证。因此，它们增强了逻辑的表达能力。 Leśniewski 在命题逻辑中加入了量词以及绑定命题和函子变量，并将由此产生的理论称为原型理论 (protothetic)。保留前缀全称量词，原型理论的一个论点是：

CEpqCδpδq

其中 δ 是一个单元命题函子，其句法稳定性与否定或必然性相同。该论点是对命题表达式外延性定律的表达。如果用复杂表达式 x 和 y 替换 p 和 q，则该论点可用于使定义以蕴涵形式 Cδxδy 给出。

如果用复杂表达式的前半部分（例如 Cq 或 CCq0）替换 δ，那么只需连接一个变量（例如 p）即可得到 Cqp 或 CCq0p。但是，如果变量要插入的“间隙”不在末尾（例如 Cpq），或者变量要插入多次（例如 CCp0p），则这种简单的替换程序将不起作用。Leśniewski 通过引入辅助定义来解决这个问题，该定义只需一次即可将所需的变量槽移动到正确的位置。但 Łukasiewicz 认为这种方法既不直观又浪费资源。他的偏好——实际上呼应了弗雷格的做法——是允许任何单个命题变量可以自由地充当δ之类的函子的替代项，并用撇号标记δ的参数应该插入的位置，因此在我们的例子中，C'q 是 CC'0'。这种更为自由的“用撇号替换”使得定义能够具有令人满意的简单蕴涵形式。例如，在基于蕴涵和命题常数 0 的命题演算中，否定可以简单地定义为 CδNpδCp0。使用变量函子并进行自由替换，可以使许多命题逻辑原理获得极其简洁而优雅的表述，例如二值原理，其形式为

Cδ0CδC00δp

可以理解为“如果某事物对一个假命题为真，那么如果它对一个真命题为真，那么它对任何命题也为真”（C00 为真命题）。使用变量函子进行压缩的巅峰成就是由 Meredith 取得的，他证明了（据Łukasiewicz引用，引用一篇显然未发表的论文）所有带有变量函子的经典命题逻辑都可以基于单一公理

CδpCδNpδq。

更令人震惊的是，Meredith (1951) 证明了，所有带有量词和变量函子的二价命题演算都可以基于单一公理公式

Cδδ0δp，运用代换、分离和量词规则推导出来。

Łukasiewicz 钦佩地将这一成就描述为“演绎艺术的杰作”。

4.3 直觉主义逻辑

Łukasiewicz 对直觉主义逻辑很感兴趣，尤其是因为它与他自己的逻辑一样，都拒绝排中律。在1952年发表的一篇晚期文章中，他给出了一个包含十条公理的优雅公理化方案，其中分别用字母F、T和O表示直觉主义连接词蕴涵、合取和析取，以避免因连接词“竞争”而引起的冲突。有趣的是，他保留了这两个系统的惯用否定形式。随后，他展示了如何将经典蕴涵定义为NTpNq，并使用变量函子作为蕴涵，以此表述该定义

FδNTpNqδCpq

并证明了，在这个版本中，只要分离仅限于C-N公式，基于C和N的经典二价逻辑就包含在直觉主义逻辑中。经典的合取和析取可以按照通常的方式分别定义为NCpNq和CNpq。通过区分直觉主义与经典联结词，他的观点颠覆了直觉主义命题演算在定理方面比经典命题演算更贫乏的常见观点：在Łukasiewicz的表述中，情况恰恰相反。

5. 多值逻辑

5.1 可能性与第三值

卢卡谢维奇最著名的成就是他发展了多值逻辑。这一革命性的发展是在讨论模态性，尤其是可能性的背景下产生的。对于习惯于将模态逻辑嫁接到经典二值逻辑上的现代逻辑学家来说，这似乎有些奇怪。但让我们来思考一下卢卡谢维奇是如何得出这一想法的。设p为任意命题，则令Lp表示p是必然的，Mp表示p是可能的。这两个模态算子由通常的等价关系ENLpMNp连接起来。每个人都接受蕴涵CLpp和CpMp。卢卡谢维奇假设人们也接受逆蕴涵CpLp和CMpp，就像从确定性的角度那样。这给出了等价关系EpLp和EpMp，它们有效地瓦解了模态区别。现在，我们再引入可能性是双面的这一概念：如果某事可能，那么它的否定也同样可能：EMpMNp。由此可知，EpNp 是可能的，而这在二值逻辑中是自相矛盾的。正如 Łukasiewicz 所阐述的，解决之道在于打破模态区分，并非通过拒绝上述任何原则，而是通过找到 EpNp 为真的情形。我们设想，当 p 既非真也非假时，命题 Mp 为真。除了真值 (1) 和假 (0) 之外，还允许第三个值，即可能值，我们将其记为“

1

2

”，这样，当 p 既非真也非假时，它是可能的，它的否定 Np 也是可能的，因为如果 Np 为真，p 就为假，反之亦然。如果当 p 和 q 具有相同的真值时 Epq 为真，那么当 p 可能时（我们将 p 的真值记为 |p|，因此 |p|=

1

2

）我们有

|EpNp|=|E

1

2

1

2

|=1

稍作修改后，卢卡谢维奇在其关于该主题的第一篇论文《论可能性概念》中引入第三值的方式。这篇短文基于1920年6月5日在利沃夫的一次演讲。两周后，在同一地点，卢卡谢维奇又进行了一次演讲，题目更通俗易懂，为《论三值逻辑》。在这篇演讲中，卢卡谢维奇阐述了涉及第三值的蕴涵和等价原则。这实际上决定了以下连接词的真值表[2]：

C 1 ½ 0

1 1 ½ 0

½ 1 1 ½

0 1 1 1

E 1 ½ 0

1 1 ½ 0

½ ½ 1 ½

0 0 ½ 1

结合否定、与合、或的假设定义，分别为：

Np =Cp0

Apq =CCpqq

Kpq =NANpNq

由此可得以下连接词的真值表：

N

1 0

½ ½

0 1

A 1 ½ 0

1 1 1 1

½ 1 ½ ½

0 1 ½ 0

K 1 ½ 0

1 1 ½ 0

½ ½ ½ 0

0 0 0 0

Łukasiewicz 自豪地宣称“三值逻辑首先具有理论意义，因为它是创建非亚里士多德逻辑的首次尝试”（PL，18；SW，88）。他认为，其实际意义尚待观察，为此，我们需要“将非决定论观点的后果与经验进行比较，而非决定论观点是新逻辑的形而上学基础”（同上）。

5.2 非决定论与第三价值

这最后一句话揭示了卢卡谢维奇力图用新的三值逻辑取代旧的二值逻辑的动机。他是为了捍卫非决定论和自由。事实上，这个想法早在三年前就已实现。1918年，卢卡谢维奇被任命为教育部行政职务，即将无限期离开学术界。3月17日，卢卡谢维奇在华沙大学发表了一场“告别演讲”，在演讲中他戏剧性地宣布：“我已向一切限制人类自由创造活动的强制手段宣战。”在卢卡谢维奇看来，这种强制手段的逻辑形式是亚里士多德逻辑，它将命题限制在真或假之间。他在这场战争中所使用的武器是三值逻辑。回顾其1910年的专著，他指出：

即使在那时，我也曾努力构建非亚里士多德逻辑，但却徒劳无功。现在我相信自己已经成功了。二律背反指引了我的方向，它证明了亚里士多德的逻辑存在缺陷。填补这一缺陷促使我改变了传统的逻辑原理。对这个问题的探讨是我最后几堂课的主题。我已经证明，除了真假命题之外，还存在着可能的命题，客观可能性是除存在和非存在之外的第三种可能性。这催生了一套三值逻辑体系，我去年夏天对其进行了详细的研究。这套体系与亚里士多德的逻辑一样连贯一致，并且在定律和公式方面更加丰富。这种新的逻辑通过引入客观可能性的概念，摧毁了之前基于必然性的科学概念。可能的现象没有原因，尽管它们本身可以成为因果序列的开端。一个富有创造力的个体的行为可以是自由的，同时又可以影响世界的进程。（SW，86）

由于卢卡谢维奇直到1919年底才参与政府事务，因此直到1920年，他1917年的发现才被更广泛的学术界所知。1922年10月16日，卢卡谢维奇在就任华沙大学校长的就职演讲中再次讨论了决定论这个主题。那场演讲没有笔记，后来被记录下来，并被重新修改。尽管并非主要内容，但直到1946年才得以出版。该书于1961年在他去世后才以《论决定论》为名出版。卢卡谢维奇区分了逻辑决定论和因果决定论，他认为，如果对未来偶然事件（例如某个行动）的预测在做出预测时为真，则该事件必然发生，因此，挽救行动者行动自由的唯一方法是否认该预测为真，并赋予其可能性的第三个真值。

此处不便深究卢卡谢维奇论证中存在的问题。只需说明，EpLp原则无需被决定论者接受，而其他考虑在逻辑中添加第三个真值的逻辑学家，例如（卢卡谢维奇所不知道的）奥卡姆的威廉，得出结论，没有理由在维护自由的同时拒绝二值性。这甚至还没有考虑相容论的观点。

5.3 多值逻辑

二值逻辑的魔咒一旦被打破，下一步自然就是考虑多值逻辑。1922年，卢卡谢维奇（Łukasiewicz）指出，如何根据以下原则，为具有有限或无限多个真值的系统中的标准联结词建立真值表，其中真值是区间[0,1]中的数字：

|Cpq| ={

1，如果|p|≤|q|

(1−|p|)+|q|，如果|p|>|q|

|Np| =1−|p|

卢卡谢维奇提出了具有无限多个真值的逻辑，从而发明了后来（确切地说是43年后）被称为“模糊逻辑”的逻辑。 1930年，卢卡谢维奇在评论这些系统时写道：

我从一开始就很清楚，在所有多值系统中，只有两个系统可以声称具有哲学意义：三值系统和无限值系统。因为如果将“0”和“1”以外的值解释为“可能”，那么只有两种情况可以合理地区分：要么假设可能性的程度没有变化，从而得到三值系统；要么假设相反的情况，在这种情况下，最自然的假设是，像在概率论中一样，存在无限多种可能性程度，从而导致无限值命题演算。我认为后一种系统优于所有其他系统。遗憾的是，该系统尚未得到充分研究；尤其是无限值系统与概率演算之间的关系有待进一步探究。（SW，173）

我们将在下文讨论这种哲学态度。

5.4 公理和定义

一旦建立了多值逻辑的真值表或矩阵方法，就很自然地要考虑它们的公理化。Łukasiewicz 的学生在这方面提供了帮助。 1931年，Wajsberg通过以下论题将三值系统Ł3公理化：

CpCqp

CCpqCCqrCpr

CCNpNqCqp

CCCpNppp

Wajsberg还证明了Łukasiewicz的一个猜想：可数无限值系统Łℵ0可以通过以下论题公理化：

CpCqp

CCpqCCqrCpr

CCCpqqCCqpp

CCCpqCqpCqp

CCNpNqCqp

这些系统都不是函数完备的：有些联结词无法仅基于C和N来定义。其中可定义的联结词包括可能性M：早在1921年，塔斯基就证明它可以定义为CNpp。 1936年，Słupecki证明，通过添加一个函子T，使它对p的所有值均可指定为|Tp|=

1

2

，所有联结词都可以在Ł3中定义。为了公理化这个函数完备的系统，公式

CTpNTp

CNTpTp

必须添加到Wajsberg的公理中。

Adolf Lindenbaum证明，当且仅当n-1是m-1的除数时，Łn包含在Łm（n<m）中。因此，如果两者都不能整除另一个，那么它们各自的重言式就完全重叠，但两个集合都不包含在另一个集合中。无限值系统 Łℵ0 的重言式包含在所有有限值系统的重言式中。

5.5 关于模态性的再思考：系统 Ł

自1917年以来，Łukasiewicz 一直对三值逻辑感到满意，认为它能够充分表述模态概念，并特别倾向于无限值系统，认为其具有最佳精确性。大约在1951-52年，当他研究亚里士多德的模态逻辑时，Łukasiewicz 改变了主意。改变主意的原因有很多，但最容易确定的是 Łukasiewicz 担心在 Ł3 中存在形式为 Lα 的定理，例如 LCpp。既然大多数“标准”模态逻辑都承认“如果 α 是定理，那么 Lα 也是定理”，为什么还要担心这一点呢？Łukasiewicz 举了两个例子来证明这种担忧是合理的。如果 =ab 是 a 与 b 同一的命题，那么基于自同一性和外延性这两个公理，恒等式成立：

=aa

C=abCϕaϕb

那么，将 L=a’ 实例化为 ϕ 可得：

C=abCL=aaL=ab

如果我们接受 L=aa，就必然得出 L=ab 的结论。卢卡谢维奇认为这是错误的（SW 392, AS 171），他引用了奎因 (Quine) (1953) 的例子（由于数字已变，现已过时），指出虽然 9 = 行星数量为真，但这不一定正确，尽管 9 = 9 必然正确。对偶地，我们有：

CMN=abN=ab

也就是说，如果 MN=ab，则 N=ab。但假设 a 被替换为“本次掷骰子的结果”，b 被替换为“下次掷骰子的结果”，则前件可能为真，而后件可能为假。

奎因、克里普克等人随后对此类例子进行了大量的讨论，这些例子很难令人信服。但卢卡谢维奇拒绝将必然性作为定理还有另一个更普遍的原因：

人们普遍认为，确凿命题比相应的断言命题具有更高的权威性和可靠性。对我来说，这个结论并非显而易见。[…] 我倾向于认为，所有接受断言确凿命题的模态逻辑系统都是错误的。(SW 395–6)。

由于LCpp是迄今为止所有多值逻辑系统的定理，卢卡谢维奇需要提出一些新的东西。他在1953年的论文《模态逻辑系统》中做到了这一点。

卢卡谢维奇在论文开篇列出了模态逻辑需要满足的条件。这些公理包括公理拒绝和断言，如下所示：

⊢CpMp

⊣CMpp

⊣Mp

⊢CLpp

⊣CpLp

⊣NLp

⊢EMpNLNp

⊢ELpNMNp