内涵逻辑（三）

例如，状态可能是宇宙构成的各种方式，并且在每个状态下，f挑选出行星的数量，当然，行星的数量可以是0。假设P是一个一位关系符号——P(f)应该是什么意思？一方面，它可能意味着内涵 f 具有属性 P，另一方面，它可能意味着 f 所指代的对象具有属性 P。这两个版本都很有用，并且与我们日常所说的事情相对应。我们会同时考虑这两种情况，但第二种版本需要进行一些整理。假设 P(f) 的意思是 f 所指代的对象（在某个状态下）具有属性 P。那么我们该如何解读◊P(f)？在什么情况下我们应该认为它在状态 Γ 为真？它可以理解为断言 f 在 Γ 所指代的事物（称之为 fΓ）具有“可能的 P”属性，因此在某个替代状态 Δ 下，我们有 fΓ 具有属性 P。这就是对偶解读，其中将可能的属性归因于某事物。另一种理解◊P(f)的方式是以可能性算子为前提的：说公式在Γ处为真，意味着在某个替代状态Δ处，我们有P(f)，因此在Δ处，f所指定的对象（称之为fΔ）具有属性P。这是de dicto的解读，可能性适用于句子。当然，没有特别的理由说明为什么fΓ和fΔ应该相同。de re和de dicto的解读是不同的，都需要表示，而我们无法用传统的语法来处理这一点。

我们将使用一种抽象机制来消除语法歧义。de re的解读将用符号表示为[λx◊P(x)](f)，de dicto的解读将用符号表示为◊[λxP(x)](f)。（不完全）表达式[λxX]通常被称为谓词抽象；我们可以将其视为从公式 X 抽象出来的谓词。在 [λx◊P(x)](f) 中，我们断言 f 具有可能的 P 性质；而在 ◊[λxP(x)](f) 中，我们断言 f 具有 P 性质的可能性。抽象可以消除歧义。我们关于 ◊ 的论述当然同样适用于 ◻。需要注意的是，我们可以简单地将抽象视为一种范围指定机制，这一传统可以追溯到罗素，他在处理确定性描写时就运用了这种机制。模态逻辑中的抽象可以追溯到 Carnap 1947 年，但其方式忽略了上述问题。目前的用法来自 Stalnaker & Thomason 1968 年和 Thomason & Stalnaker 1968 年。

3.4 形式语义

现在开始更技术性的部分。变量有两种：一是像前面提到的对象变量，二是内涵变量，或者说是个体概念变量，f,g,g1,g2,…。有了这两种变量，原子公式的形成就变得稍微复杂一些。从现在开始，关系符号不仅仅是某个 n 的 n 位元，它还具有与之关联的类型，其中类型是一个 n 元组，其条目是 {O,I} 的成员。原子公式是形式为 P(α1,…,αn) 的表达式，其中 P 是一个关系符号，其类型为 ⟨t1,…,tn⟩；对于每个 i，如果 ti=O 则 αi 是对象变量；如果 ti=I 则 αi 是内涵变量。在关系符号中，我们仍然有 E，它现在是类型 ⟨O⟩；还有 =，类型为 ⟨O,O⟩。

公式通常由原子公式构建而成，使用命题连接词、情态运算符和两种量词：对象变量量词和内涵变量量词。除了通常的公式创建机制外，我们还有以下内容。如果 X 是公式，x 是对象变量，f 是内涵变量，则 [λxX](f) 是一个公式，其中自由变量的出现次数是 X 中除 x 之外的自由变量的出现次数，以及 f 的显示次数。

为了区分此处描述的模型与 3.2.2 节中的模型，这些模型将被称为 FOIL 模型，即一阶内涵逻辑。它们将在 (Fitting 2004) 中更详细地讨论。FOIL 模型是一个结构 M=⟨G,R,DO,Di,I⟩，其中 ⟨G,R,DO,I⟩ 满足 3.2.2 节的条件，此外，Di 是从 G 到 DO 的非空函数集；它是内涵域。

FOIL 模型 M 中的一阶赋值是一个映射，它像之前一样为每个对象变量分配一个 DO 成员，并为每个内涵变量分配一个 Di 成员。如果 f 是内涵变量，我们将 v(f)(Γ) 写为 v(f,Γ)。现在，在模型 M 的状态 Γ 下，关于估值 v 的真值定义满足第 3.2.2 节中列出的条件，此外还满足以下条件：

M,Γ⊨v∀fX⇔ M,Γ⊨wX，对于 v 的任意 f 变量 w

M,Γ⊨v∃fX⇔ M,Γ⊨wX，对于 v 的某个 f 变量 w

M,Γ⊨v[λxX](f)⇔ M,Γ⊨wX，

其中 w 与 v 相似，只是 w(x)=v(f,Γ)。

为了方便，我们约定将 [λx[λyX](g)](f) 缩写为 [λxyX](f,g)。假设 f 是“晨星”的内涵，g 是“暮星”的内涵。可以推测 f 和 g 是不同的内涵。即便如此，[λxyx=y](f, g) 在现实世界中是正确的——f 和 g 都指代同一个对象。

以下是另一个例子，可能有助于更清楚地区分 de re / de dicto。假设 f 是“最高的人”的内涵，g 是“最年长的人”的内涵，并且假设此刻，这两个人恰好是同一群人。同样，让我们​​从认识论的角度来理解 ◻。我们不太可能说 ◻[λxyx=y](f, g) 成立。我们可以将 ◻[λxyx=y](f, g) 理解为，我们知道 f 和 g 相同。它断言，在所有认识论的替代方案下——所有与我们所知相容的世界可能存在的方式——f 和 g 都指代同一个对象，而这显然并非事实。然而，我们确实有 [λxy◻(x=y)](f, g)，我们可以将其理解为，我们知道 f 和 g，也就是说，它们的外延，它们是相同的，而事实可能确实如此。它断言，在所有认知替代状态中，f 和 g 所指代的对象都将是相同的。在所描述的设置中，f 和 g 确实指代同一个对象，并且对象的同一性在不同状态之间延续。

需要注意的是，刚才给出的指代术语的例子都是明确的描述。它们很自然地在不同的可能世界中挑选出不同的对象。专名和数学的情况有所不同。稍后将在 3.6 节中讨论。

3.4.1 正式示例

以下示例将以技术方式展示语义学的运作方式。如果内涵是常数，且在任何状态下都相同，则该内涵是刚性的。我们可以将刚性内涵视为一个伪装的对象，用其常数值来标识它。因此，对于刚性内涵而言，真实（de re）和口述（de dicto）之间的区别消失也就不足为奇了。事实上，我们可以展示一些更强的概念。与其说是刚性，不如考虑 Fitting 和 Mendelsohn 1998 中提出的一种较弱的概念，即局部刚性：如果内涵在某个状态下的指称与它在所有可访问状态下的指称相同，则该内涵在该状态下是局部刚性的。因此，说 f 在某个状态下是局部刚性的，就等于断言 [λx◻[λyx=y](f)](f) 在该状态下为真。某个状态下的局部刚性意味着真实（de re）/口述（de dicto）的区别在该状态下消失。为了说明形式语义如何运作，这里验证了以下公式的有效性：

[λx◻[λyx=y](f)](f)⊃([λx◊X](f)⊃◊[λxX](f))

类似地，可以验证以下公式的有效性：

[λx◻[λyx=y](f)](f)⊃[◊[λxX](f)⊃[λx◊X](f)]

由此可知以下公式的有效性：

[λx◻[λyx=y](f)](f)⊃([λx◊X](f)≡◊[λxX](f))

这直接表明局部刚性意味着 de re / de dicto 的区别消失。

假设 (2) 不成立。那么就存在一个模型 M=⟨G,R,DO,Di,I⟩，它的状态为 Γ，以及其中的估值 v，且满足：

M,Γ⊨v[λx◻[λyx=y](f)](f)

M,Γ⊨v[λx◊X](f)

不是 M,Γ⊨v◊[λxX](f)

由 (6) 式可知，其中 w 是 v 的 x 变量，且 w(x)=v(f,Γ)。

M,Γ⊨w◊X

由 (8) 式可知，存在一个 Δ∈G，且 ΓRΔ，使得：

M,Δ⊨wX

然后，根据 (7) 式，

不满足 M,Δ⊨v[λxX](f)

因此，我们得到以下定理，其中 w′ 是 v 的 x 变量，满足 w′(x)=v(f,Δ)。

不满足 M,Δ⊨w′X

现在由 (5) 可知，由于 w(x)=v(f,Γ)，我们有

M,Γ⊨w◻[λyx=y](f)

因此

M,Δ⊨w[λyx=y](f)

从而

M,Δ⊨w″x=y

其中 w″ 是 w 的 y 向量，且 w″(y)=w(f,Δ)。

我们声称 w 和 w′ 的赋值相同，这意味着 (9) 和 (11) 相互矛盾。由于两者都是 v 的 x 向量，因此只需证明 w(x)=w′(x)，即 v(f,Γ)=v(f,Δ)，这直观上符合局部刚性的定义。形式化地讲，v(f,Γ)=w(x)=w″(x)，因为 w″ 是 w 的 y 向量，所以它们在 x 上一致。我们还有 v(f,Δ)=w″(y)。最后，根据 (14)，w″(x)=w″(y)。

由于矛盾，我们得出结论，(2) 必定成立。

3.4.2 可能的额外要求

在模型中，内涵的定义域是从状态到对象的函数的非空集合。我们故意模糊了哪些函数是必须满足的。我们可能希望要求满足一些条件。以下是一些类似的考虑，首先介绍一个方便的缩写。

D(f,x) 缩写为 [λyy=x](f)

（其中 x 和 y 是不同的对象变量）。

根据FOIL语义，M,Γ⊨vD(f,x) 仅在 v(f,Γ)=v(x) 的情况下为真。因此，D(f,x) 表示内涵 f 指称对象 x。

公式 ∀f∃xD(f,x) 在FOIL模型中有效，正如目前所述。它只是表示内涵总是指称。另一方面，没有先验理由相信每个对象都被某个内涵指称，但在特殊情况下，我们可能需要这样做。我们可以将自己限制在具有以下有效性的模型中来实现：

∀x∃fD(f,x)

如果我们要求 (16)，则对象的量化可以简化为内涵量化：

∀xΦ≡∀f[λxΦ](f)。

更准确地说，蕴涵 (16)⊃(17) 在FOIL语义中有效。我们或许还想要求选择函数的存在性。假设我们以某种方式将一个对象 dΓ 与模型的每个状态 Γ 关联起来。如果我们选择 dΓ 的方式可以用语言公式来指定，我们或许想说我们已经指定了一个内涵。要求以下公式的有效性似乎与在 FOIL 模型中施加这样的存在条件最为接近。对于每个公式 Φ：

◻∃xΦ⊃∃f◻[λxΦ](f)。

3.5 部分内涵对象

“1700 年的法国国王”表示一个对象，路易十四，他并不存在，但确实存在过。“现在的法国国王”根本不表示这个对象。为了处理这类事情，内涵的表示可以从状态到对象的全函数推广到部分函数。我们经常谈论不存在的对象——谈论1700年的法国国王毫无问题。但关于现任法国国王，我们无话可说——根本不存在这样的人。这将成为我们语义学中真值条件的指南。

3.5.1 修改语义

语言保持不变，但内涵变量现在由状态集上的偏函数解释——这些函数的定义域可以是状态集的真子集。因此，如果 M=⟨G,R,DO,Di,I⟩ 与 3.4 节中的情况相同，只是 Di 的成员是从 G 到 DO 的偏函数，则它就是一个偏 FOIL 模型。给定一个偏 FOIL 模型 M 及其赋值 v，如果 Γ 在 v(f) 的定义域内，则内涵变量 f 表示该模型中状态 Γ 处关于 v 的值。

基于关于现任法国国王无话可说的理念，我们将 3.4 节中的条件 (1) 分解为两部分。给定一个部分FOIL模型M及其估值v：

若f不指定Γ处关于v的值，并非 M,Γ⊨v[λxX](f)

如果 f 在 Γ 处相对于 v 表示，则

M,Γ⊨v[λxX](f)⇔M,Γ⊨wX

其中 w 与 v 类似，只是 w(x)=v(f,Γ)

因此，表示项的行为与之前相同，但对于非表示项，则无法真正断言。

回想一下，我们引入了一个公式 (15)，将其缩写为 D(f,x)，表示 f 表示 x。利用这一点，我们引入另一个缩写。

D(f) 缩写为 ∃xD(f,x)

这表明 f 表示。顺便说一句，我们也可以使用 [λxx=x](f)，从而避免量化。

区分存在和表示非常重要。正如本文所述，存在是对象的属性，但指称实际上适用于形式语言中的术语，并适用于语境。以 Fitting 和 Mendelsohn 1998 年著作中的时间概念为例，通常意义上的“乔治·华盛顿”指代一个不存在的人，尽管他曾经存在过；而“乔治·华盛顿的长子”则完全不指称任何事物。内涵变量 f 指代一个存在对象，可以用抽象表达式 [λxE(x)](f) 来表达。不过，我们必须对不存在的情况稍加注意。f 指代一个不存在的事物并非简单地否定前面的表达式 ¬[λxE(x)](f)。毕竟，[λxE(x)](f) 表示 f 指代一个存在事物，因此它的否定要么是说 f 不指代，要么是它指代一个不存在的事物。为了表达 f 指称存在，但又指称不存在，我们需要 [λx¬E(x)](f)。公式 ∀f([λxE(x)](f)∨¬[λx E(x)](f)) 成立，但 ∀f([λxE(x)](f)∨[λx¬E(x)](f)) 不成立——人们可以很容易地构建部分 FOIL 模型使其失效。我们确实有以下重要公式：

∀f[D(f)≡([λxE](f)∨[λx¬E(x)](f))]

换句话说，指称存在的内涵项必须指称存在或不存在的事物。

3.5.2 明确描述

在本文前面部分，内涵和部分内涵的例子包括“现任法国国王”、“最高的人”和“最年长的人”。此外，还可以添加“人数”和“x²−9=0 的正解”。所有这些都是用明确描述来指定的。在时间模型中，前三个定义部分内涵（曾经有过没有人的时刻）；第四个定义非部分内涵；第五个定义固定内涵。

到目前为止，我们一直在非正式地讨论，但正式发展明确描述概念有两种等效的方法。伯特兰·罗素（Bertrand Russell，1905；Whitehead and Russell，1925）提出的方法广为人知，这里可能无需赘述。可以说，它可以毫无困难地扩展到内涵场景。在这种方法中，引入了一个类似项的表达式ιyϕ(y)，其中 ϕ(y) 是一个公式，y 是一个对象变量。它被解读为“y 使得 ϕ(y)”。这个表达式没有独立的含义，但有一种方法可以在适当的语境中将其转化掉。因此，[λxψ(x)]ιyϕ(y)) 被用来缩写公式 ∃y[∀z(ϕ(z)≡z=y)∧ψ(y)]。（标准方法是写成 ϕ(z) 来表示 ϕ(y) 的替代实例，该实例由 z 的出现替换 y 的自由出现，并在必要时修改绑定变量以避免偶然捕获 z。）这里使用 λ 的抽象符号并非罗素的，但他使用了一种等效的作用域限定方法。正如他所指出的，罗素的方法使我们能够区分“法国现任国王不是秃头，”为假，因为不存在现任法国国王；而“现任法国国王并非秃头”，为真，因为“现任法国国王是秃头”为假。这变成了[λx¬Bald(x)](ιyKing(y))和¬[λxBald(x)](ιyKing(y))之间的区别。

一个有吸引力的替代方案是，我们可以将明确的描述转化为一等事物。扩展语言，使得如果φ(y)是一个公式，其中y是对象变量，则ιyφ(y)是一个内涵项，其自由变量是φ(y)中除y之外的自由变量。然后修改公式的定义，允许这些新的内涵项出现在我们之前允许内涵变量出现的位置。这会导致情况复杂化，因为内涵项包含公式，而公式可以包含内涵项。事实上，公式和内涵项必须同时定义，但这并不是真正的问题。

从语义上讲，我们可以用部分内涵来建模确定性描述。我们称术语ιyϕ(y) 表示部分FOIL模型M在状态Γ下关于估值v的函数，如果M,Γ⊨wϕ(y) 恰好满足v的一个y向量w。那么，第3.5.1节中的条件可以扩展如下。

如果ιyϕ(y)不指代Γ关于v，则

M,Γ⊨v[λxX](ιyϕ(y))不成立

如果ιyϕ(y)指代Γ关于v，则

M,Γ⊨v[λxX](ιyϕ(y))⇔M,Γ⊨wX

其中w是v的y向量，且M,Γ⊨wϕ(y)

可以证明，罗素方法与刚才概述的方法大致相同。但是，如果明确的描述作为语言的形式部分，而不仅仅是上下文中可移除的缩写，则可以看出它们决定了由公式指定的内涵（可能是部分的）。

属性不必具有相应的明确的描述，即[λxϕ(x)](ιxϕ(x)) 不一定有效。这仅仅是因为确定性描述可能不指称。但是，如果它指称，它必须具有其限定性属性。事实上，我们有以下有效性：

D(ιxϕ(x))≡[λxϕ(x)](ιxϕ(x))

必须注意确定性描述与模态算符之间的相互作用，就像它们与否定之间的相互作用一样。例如，D(ιx◊ϕ(x))⊃◊D(ιxϕ(x)) 有效，但其逆则无效。举一个更具体的模态/描述相互作用的例子，假设 K(x) 是一个公式，表示 x 是法国国王。在当前状态下，[λx◊E(x)](ιxK(x)) 为假，因为确定性描述没有指定；但◊[λxE(x)](ιxK(x)) 为真，因为存在另一种（更早的）状态，其中确定性描述指定了一个存在对象。

3.6 刚性问题

有人指出，对于刚性项，de re/de dicto 的区别不成立。事实上，如果 f 和 g 是刚性的，则 [λxy x=y](f,g)、◻[λxy x=y](f,g) 和 [λxy ◻x=y](f,g) 都是等价的。这个问题限制了迄今为止提出的卡尔纳普式逻辑所能处理的范围。两个众所周知的难点是数学和专名，尤其是在认知环境中。