内涵逻辑（二）

Bressan 在某种程度上希望为物理学提供一个逻辑基础。它与物理学的联系在于：例如，当我们说某物具有某某质量时，我们的意思是，如果我们进行了某些实验，我们就会得到某些结果。这并不意味着我们确实进行了这些实验，因此出现了替代状态（或 Bressan 所称的“情况”）。因此，需要一种丰富的模态语言，其本体论不仅包含数字，还包含物理对象。Bressan 在 1972 年开发了一个精巧的模态系统，其完整的类型层次结构包含数字，就像《数学原理》中提到的那样。

Montague 的工作主要发表在 Montague 1960 年和 1970 年的著作中，其主要动机是自然语言。处理方式是语义的，但在 Gallin 1975 年提出了一个公理系统。Gallin 公理化的逻辑是一个完整的类型论系统，包含每种类型的内涵对象。其完备性是相对于 Henkin 模型的类似物来证明的，该模型在高级类型经典逻辑中很常见。

Tichý 创建了一个与 Montague 非常相似的内涵逻辑系统，最初以英语发表于 Tichý 1971 年，并在 Tichý 1988 年进行了详细的介绍。遗憾的是，他的工作并未广为人知。与 Montague 的语义学一样，Tichý 的形式化工作基于一个类型层级结构，其内涵将世界映射到每个类型层级的外延，但在某些方面，它超越了 Montague 的理论。首先，内涵不仅依赖于世界，还依赖于时间。其次，除了内涵和外延之外，Tichý 还考虑了构造。其思想是，表达式决定内涵和外延，而这本身就是一个形式化的过程，复合表达式运用构成它们的更简单的表达式来行动；换句话说，这是构造层面的组合性。利用这种形式机制，“1+4”和“2+3”规定了不同的构造；它们的意义并非像本文所讨论的那样，仅仅通过它们的内涵表征来捕捉。

3. 一种特殊的内涵逻辑

正如前文多次提到的，形式内涵逻辑已经发展出一个包含更高类型的完整层级结构，例如 Church、Montague、Bressan 和 Tichý。此类逻辑可能相当复杂，但卡尔纳普的思想通常（当然并非总是）是此类逻辑的核心，这些思想很简单，足以讨论几个常见的内涵问题。不知何故，基于其含义（内涵，意义），一个指示性短语可以在不同条件 - 不同状态下指示不同的东西。例如，在古代，“行星的数量”被认为是 6（包括地球）。在 1781 年发现天王星后不久，“行星的数量”被认为是 7。如果我们将古人构想的宇宙与 1781 年后构想的宇宙作为认识论状态，在一种状态下“行星的数量”是 6，而在另一种状态下则是 7。在这两种状态下，人们对行星概念的理解都没有错，错的只是对构成宇宙的事物状态的理解。如果我们忽略所有关于意义如何确定、意义如何反过来选择指称以及关于什么算作一种可能事物状态的问题，也就是说，如果我们将所有这些都抽象化，那么每个指称项的共同特征就是指称可能随着状态而变化——因此，它可以被一个从状态到对象的函数形式化。这种简单的方法足以处理许多原本难以解决的问题。

为了简单起见，我们不考虑完整的类型层次结构——一阶逻辑足以理解基本概念。例如，Gallin 1975 逻辑的一阶片段就足够了。这里提出的具体表述来自 Fitting 2004，它扩展了 Fitting 和 Mendelsohn 1998。谓词字母是内涵性的，就像在 Kripke 式语义学的每个版本中一样，它们的解释依赖于可能世界。这里唯一考虑的另一个内涵项是个体概念——形式上由常量和变量表示，它们可以指代不同可能世界中的不同对象。相同的思想可以扩展到更高级的类型，但这些思想的贡献在这个相对简单的层面上已经显而易见。内涵逻辑通常只包含内涵——外延是推断出来的，但并不明确。然而，过于简化的方法可能会使情况变得困难，因此我们在这里明确允许对象和跨越对象的个体概念。每种类型的量化都有两种。外延对象和内涵对象都是一等公民。尽管公理系统和表象系统都存在，但基本思想是以语义而非理论证明的方式呈现的。即便如此，技术细节也可能变得繁琐复杂，因此我们将尽可能地将非正式呈现（足以理解总体思路）与形式呈现（更注重专业性）区分开来。本文假设读者对模态逻辑有大致的了解（尽管文中对符号进行了非常简短的讨论，但不同作者对此略有不同）。需要注意的是，模态语义在这里通常以两种不同的方式使用。人们通常会想到一个特定的克里普克模型，尽管它可能以非正式的方式指定。例如，我们可以考虑一个克里普克模型，其中的状态是当前时刻和所有过去时刻，并且可以通过先前时刻访问后续状态。例如，在讨论“法国国王”时，这样的模型很有启发性，即使“瞬间”的概念定义得有些模糊。但除了使用这种非正式指定的具体模型之外，还有形式化的克里普克语义，它在数学上是精确的。如果确定某个东西，比如 ◻(X⊃Y)⊃(◻X⊃◻Y)，在所有正式的克里普克模型中都有效，那么无论我们如何努力使它们更精确，我们都可以假设它在那些模糊指定的直观模型中也有效。非正式模型贯穿于我们的讨论——它们的基本属性来自形式语义。

3.1 命题模态逻辑

命题语言由命题字母 P、Q、… 构成，使用 ∧、∨、⊃、¬ 和其他命题连接词，以及 ◻（必然）和 ◊（可能）作为模态算子。这些算子可以被认为是真理算子、道义算子、时间算子和认知算子——最终哪种算子重要，但目前尚不明确。同样，◻ 也可能有多个版本，例如在具有多个认知者的知识​​逻辑中——这也不会造成任何本质区别。

命题模态逻辑的克里普克语义学如今已为人所熟知。这里简要介绍一下符号，并指出弗雷格的一个提议是如何适用的。更详细的介绍可以在本百科全书中的模态逻辑条目中找到。

3.1.1 非形式化版本

一个模型由一系列状态、确定哪些状态与哪些状态相关，以及对哪些命题字母在哪些状态下成立的规范组成。状态可以是现实世界在不同时间的状态，也可以是知识的状态，或者信念的状态，或者在情况不同的情况下现实世界可能的状态。我们在这里进行的是数学抽象。我们并非试图定义所有这些状态可能“意味着什么”，我们只是假设它们存在。然后，更复杂的公式将相对于某个状态被评估为真或假。在每个状态下，命题联结词都有其惯常的经典行为。对于模态算子而言，◻X，即必然X，在某个状态下为真，如果X本身在与该状态相关的每个状态（在所有可及状态下）都为真。同样，◊X，即可能X，在某个状态下为真，如果X在某个可及状态下为真。如果我们从认识论的角度思考事物，可及性代表兼容性，因此，如果X在与该状态兼容的所有状态下都成立，则X在某个状态下是已知的。如果我们从真理论的角度思考事物，一个可及状态可以被认为是一个替代现实，因此，如果X在所有可能的替代状态下都成立，则X在某个状态下是必然的。这些现在都是非常熟悉的概念了。

3.1.2 形式化版本

框架是一个结构⟨G,R⟩，其中G是非空集，R是G上的二元关系。G的成员是状态（或可能世界）。R是可达关系。对于Γ，Δ∈G，ΓRΔ读作“Δ可从Γ到达”。框架上的（命题）赋值是一个映射V，它将框架状态到真值（真或假）的映射赋值给每个命题字母。为简便起见，我们将V(P)(Γ)缩写为V(P,Γ)。命题模型是一个结构M=⟨G,R,V⟩，其中⟨G,R⟩是一个框架，V是该框架上的命题赋值。

给定一个命题模型 M=⟨G,R,V⟩，公式 X 在状态 Γ 下为真的概念记为 M,Γ⊨X，并由以下标准规则刻画，其中 P 为原子。

M,Γ⊨P ⇔V(P,Γ)=真

M,Γ⊨X∧Y ⇔M,Γ⊨X 且 M,Γ⊨Y

… ⇔…

对于任意满足 ΓRΔ 的 Δ∈G，M,Γ⊨◻X ⇔M,Δ⊨X

对于某个满足 ΓRΔ 的 Δ∈G，M,Γ⊨◊X ⇔M,Δ⊨X

假设我们使用内涵/外延的区别来思考公式。给定一个模型 M，我们可以将每个公式 X 关联到一个函数 fX，该函数将状态映射到真值，其中，当 M,Γ⊨X 成立时，我们设 fX(Γ) = 真。

将函数 fX 视为公式 X 的内涵意义——实际上，可以将其视为公式所表达的命题（当然，是相对于特定模型而言）。在状态 Γ 下，fX(Γ) 是真值——可以将其视为 X 在该状态下的外延意义。这种思维方式可以追溯到弗雷格，他得出结论：句子的指称应该是真值，而其意义应该是命题。他对命题的构成概念有些模糊——刚才提出的形式化提供了一个自然的数学实体来满足这一目的，而卡尔纳普正是为此目的而明确提出的。显然，该数学结构确实在一般意义上捕捉到了弗雷格思想的某些部分。顺便说一句，我们可以毫无损失地用集合 {Γ∈G∣fX(Γ)=true} 替换状态函数 fX。函数 fX 只是该集合的特征函数。在模态逻辑领域，这类集合通常被称为命题。因此，从技术角度来看，弗雷格关于这一特定主题的思想已成为共识。

3.2 转向一阶

首先，我们讨论一些背景直觉，然后介绍形式语义学。内涵将在第 3.3 节正式介绍。此处讨论的内容可以在 Fitting 和 Mendelsohn 1998、Hughes 和 Cresswell 1996 等著作中找到更详尽的阐述。

3.2.1 现实主义和可能性主义

如果我们要将内涵理解为在不同情况下指代不同事物，我们需要事物。在命题层面，真值扮演着事物的角色，但在一阶层面，还需要更多的东西。在经典逻辑中，每个模型都有一个定义域，即该模型的事物，量词被理解为涵盖该定义域的成员。当然，事物的构成尚待确定——任何类型的集合都可以作为定义域。这样，如果有人出于哲学或数学方面的考虑而对某些限制有所顾虑，也可以予以考虑。由此可见，经典逻辑的有效性在设计上尽可能具有普遍性——无论我们选择什么作为定义域，无论我们的事物是什么，它们都是真的。

Kripke 1963 年为模态逻辑引入了类似的方法。定义域是存在的，但它们可能由什么组成尚待确定。但有一个在经典方法中没有对应的复杂问题：在克里普克模型中存在多个状态。整个模型应该只有一个定义域，还是每个状态都有单独的定义域？这两种方法都有其自然的直觉。

考虑一个版本的克里普克模型，其中模型的每个状态都与一个单独的定义域相关联。在每个状态下，量词被认为是覆盖与该状态相关联的定义域。这被称为现实主义语义学。将与某个状态相关联的定义域视为在该状态下实际存在的事物。因此，例如，在所谓的现实世界中，胡夫金字塔位于定义域中，但亚历山大灯塔不在。如果我们考虑1300年的世界，两者都将位于定义域中。在现实主义方法中，我们需要决定如何处理包含对存在于其他状态但不存在于我们正在考虑的状态中的事物的引用的公式。有几种可行的方法；例如，我们可以认为这些公式为假，也可以认为它们毫无意义，但这似乎限制性太强。毕竟，我们确实会说“亚历山大灯塔不再存在”之类的话，并且我们认为它是真的。因此，看似最有用的形式化版本将量词视为逐个状态地覆盖域，但除此之外，允许术语指代任何域的成员。由此产生的语义通常被称为变域语义，也被称为现实主义语义。

假设我们使用现实主义语义，因此每个状态都有一个与之相关的实际存在事物的域，但假设我们允许量词不加区分地覆盖任何域的成员，这意味着量词在每个状态下都覆盖同一集合。这个集合的成员是什么？它们是在某个状态下存在的事物，因此在每个状态下它们都是可能存在物——可能存在的事物。将这些独立的域合并到一个单一的量化域中，实际上意味着我们正在对可能性进行量化。因此，如果语义学中存在一个量词范围单一、且每个状态都相同的域，通常被称为可能性主义语义学，或者当然，常量域语义学。

可能性主义语义学比现实主义语义学更容易处理——我们只有一个域而不是多个量词可以覆盖。事实证明，如果我们采用可能性主义方法，现实主义语义学是可以模拟的。假设我们有一个单一的量化域——可能性，以及一个特殊的谓词 E，我们认为它在每个状态下都为真，即在该状态下实际存在的事物。如果∀是可能性域上的量词，我们可以将相对化量词∀x(E(x)⊃…)视为对应于现实主义量化。（我们需要假设在每个状态下，E对某事物都为真——这相当于假设域非空。）这给出了现实主义语义到可能主义语义的嵌入，该结果可以正式表述和证明。这里将使用可能主义语义，并假设存在谓词E可用。

3.2.2 可能主义语义学，形式上

所用的语言是命题模态语言的直接一阶扩展。它包含一个无限的对象变量列表，x,y,x1,x2,…，以及一个包含所有元数的关系符号列表，R,P,P1,P2,…。其中包括一位数符号E和二位数符号=。可以添加常量和函数符号，但让我们保持相对简单，并保持相对性。如果 x1,…,xn 是对象变量，P 是 n 位关系符号，则 P(x1,…,xn) 是一个原子公式。我们将 x=y 代替 = (x,y)。更复杂的公式可以使用命题连接词、情态算符和量词 ∀ 和 ∃ 以通常的方式构建。变量的自由出现和有界出现具有标准特征。

一阶模型是一个结构 ⟨G,R,DO,I⟩，其中 ⟨G,R⟩ 是一个框架，如第 3.1 节中所述，DO 是一个非空对象域，I 是一种解释，它将每个 n 位关系符号 P 赋值为一个从 G 到 D n

O 子集的映射 I(P)。我们将 I(P,Γ) 写成 I(P)(Γ) 的更易读版本。要求对于每个状态Γ，I(=,Γ) 是 DO 上的相等关系；对于每个Γ，I(E,Γ) 非空。模型中的一阶赋值是一个映射 v，它将 DO 的一个成员赋值给每个变量。需要注意的是，一阶赋值并不像解释那样依赖于状态。如果 v 和 w 在所有变量（可能除了 x 之外）上一致，则一阶赋值 w 是赋值 v 的 x 变量。对于模型 M=⟨G,R,DO,I⟩ 的状态 Γ，关于一阶赋值 v，真值具有如下特征，其中 P(x1,…,xn) 为原子公式：

M,Γ⊨vP(x1,…,xn) ⇔⟨v(x1),…,v(xn)⟩∈I(P,Γ)

M,Γ⊨vX∧Y ⇔M,Γ⊨vX 且 M,Γ⊨vY

… ⇔…

M,Γ⊨v◻X ⇔M,Δ⊨vX，对于任意 Δ∈G，ΓRΔ

M,Γ⊨v◊X ⇔M,Δ⊨vX，对于任意 Δ∈G，ΓRΔ

M,Γ⊨v◊X ⇔M,Δ⊨vX，对于任意 Δ∈G，ΓRΔ

M,Γ⊨v⊨xX ⇔M,Γ⊨wX，对于任意v 的 x 变量 w

M,Γ⊨v∃xX ⇔M,Γ⊨wX，其中 v 的某个 x 变量 w

如果一个公式在任何一阶模型的每个状态下，对于任何一阶赋值都成立，则称该公式有效，定义如下。有效值包括常见的模态函数，例如 ◻(X⊃Y)⊃(◻X⊃◻Y)，以及常见的量化函数，例如 ∀xX⊃∃xX。我们也有混合情况，例如巴肯公式和逆巴肯公式：∀x◻X≡◻∀xX，它们是常数域模型的特征，如 Kripke 1963 所示。由于处理相等性的方式，∀x∀y(x=y⊃◻x=y) 和 ∀x∀y(x≠y⊃◻x≠y) 均有效。关于行星数量与 9 的同一性（Quine 1963），或晨星与昏星的同一性（Frege 1892），以及这些同一性在模态语境中的表现，已经有很多论述。但这与本文无关。像“晨星”这样的短语具有内涵性，而迄今为止概述的语义学并未考虑内涵性问题。事实上，晨星和暮星是同一个物体，正如格特鲁德·斯坦因（Gertrude Stein）所说，“物体就是物体就是物体”。事物与其自身的必然同一性并不令人意外。内涵问题稍后会讨论。

量化是可能性的——定义域是恒定的。但是，正如3.2.1节所讨论的，可以通过使用存在谓词E间接引入不同的定义域，这使我们能够定义性地引入现实主义量化。设∀ExX缩写为∀x(E(x)⊃X)，设∃ExX缩写为∃x(E(x)∧X)。那么，虽然∀xϕ(x)⊃ϕ(y)有效，假设y对于ϕ(x)中的x是自由的，但我们不具有∀Exϕ(x)⊃ϕ(y)的有效性。我们所得到的是 [∀Exϕ(x)∧E(y)]⊃ϕ(y) 的有效性。

另一个关于可能性论与现实主义区别的例子，考虑 ∃x◻P(x)⊃◻∃xP(x)。使用可能性论量词，这是有效且合理的。它断言，如果某个可能性在所有替代状态​​下都具有 P 属性，那么在每一个替代状态下，某个可能性也都具有 P 属性。但是，当可能性论的量化被现实论的量化取代时，∃Ex◻P(x)⊃◻∃ExP(x)，结果就不再有效。举一个显而易见（但略显不规范）的例子，假设实际状态为Γ，P是存在于Γ状态的属性。那么，在Γ处，∃Ex◻P(x)表示实际存在的事物，在所有替代状态​​下，都具有存在于Γ状态的属性。这是正确的；事实上，对于Γ状态中存在的所有事物，这都是正确的。但是◻∃ExP(x)表示，在每一个替代状态下，都会有一个实际存在的对象也存在于Γ状态，但这并非必然。

3.3 添加内涵

在第3.2节中，我们概述了一个一阶模态逻辑，其中量化是针对对象的。现在，我们添加第二种量化，即针对内涵的量化。正如之前多次提到的，内涵对象或个体概念将由从状态到对象的函数建模，但现在我们要探讨的是应该允许哪些函数。内涵应该与意义相关。如果我们认为意义是人类建构的，那么内涵的构成要素或许应该受到限制。例如，内涵对象的数量不应超过能够指定意义的句子的数量，这将内涵限制为可数集。或者，我们可以将内涵视为“存在”，然后挑选出我们想要思考的对象，在这种情况下，基数的考虑就不适用了。这个问题可能无法一劳永逸地解决。相反，即将呈现的语义允许在不同的模型中进行不同的选择——并不要求所有从状态到对象的函数都存在。需要注意的是，虽然这种语义策略确实有哲学上的合理性，它也使得公理化成为可能。其基本要点与从一阶逻辑到二阶逻辑的转变相同。如果我们坚持二阶量词的范围涵盖所有集合和关系，那么公理化是不可能的。如果我们使用亨金模型，其中二阶量词的范围具有更大的自由度，那么公理化就变得可用。

公式的构造方式或多或少显而易见，使用两种而不是一种量化变量：外延变量和内涵变量。但是，句法机制中有一个非常重要的补充，需要进行一些讨论。假设我们有一个内涵f，它在每个状态下挑选出一个对象。