内涵逻辑（一）

一个术语所指称的内容与其含义之间存在着明显的区别。至少，这种区别是显而易见的。在某种程度上，含义决定了指称，但并不等同于指称。毕竟，“晨星”和“暮星”都指称金星，但含义并不相同。内涵逻辑试图研究指称和含义，并探究它们之间的关系。

1. 这是关于什么的？

2. 简史

2.1 弗雷格

2.2 丘奇

2.3 卡尔纳普

2.4 马库斯

2.5 蒙塔古、季奇、布雷桑和加林

3. 一种特殊的内涵逻辑

3.1 命题模态逻辑

3.2 移至一阶

3.3 添加内涵

3.4 语义形式

3.5 部分内涵对象

3.6 刚性问题

4. 意义即算法

4.1 启发性示例

4.2 语法

4.3 外延

4.4 意义

4.5 算法不必高效

参考书目

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相关文章

1. 这是关于什么的？

如果你不熟悉口语天文学，而我告诉你晨星是昏星，那么我已经给了你信息——你的知识已经改变了。如果我告诉你晨星就是那颗晨星，你可能会觉得我在浪费你的时间。然而，在这两种情况下，我都告诉你金星是自同的。这其中肯定还有更多的东西。我们可能会天真地说，晨星和昏星在某一方面相同，而在另一方面又不同。“晨星”和“昏星”这两个短语可能指的是同一个物体，但它们的含义并不相同。从这个意义上来说，常常被称为内涵，而指定的东西则被称为外延。内涵语境中只要有外延就叫做外延，而内涵语境中只有外延不够的叫做内涵。数学通常自始至终都是外延的——我们很乐意写“1+4=2+3”，即使所涉及的两个术语的含义可能不同（稍后会详细介绍）。“众所周知……”是一个典型的内涵语境——“众所周知 1+4=2+3”在涉及小孩子的知识时可能不正确。因此，数学教学不同于真正的数学。内涵语境的其他例子有“人们相信……”，“有必要……”，“有启发性……”，“据说……”，“令人惊讶的是……”等等。通常，内涵语境在天真应用时可以通过等式替代性的失败来识别。因此，晨星等于昏星；你知道晨星等于晨星；然后用等号替换等号，你就知道晨星等于暮星。请注意，这种知识源于纯粹的逻辑推理，并不涉及任何对天空的探究，这应该引起一些怀疑。在知识语境中替换同指术语是有问题的——毕竟，这样的语境是内涵语境。诚然，这有点循环论证。我们不应该在内涵语境中使用外延相等性，而内涵语境是这种替换不起作用的语境。

上面使用的例子涉及复杂的术语，伪装成明确的描述。但同样的问题也出现在其他地方，通常以更难以正式处理的方式出现。专有名词就是一个众所周知的难点。“西塞罗”和“塔利”指代的是同一个人，所以“西塞罗就是塔利”为真。专有名词通常被认为是固定的，一旦指定就不会改变。这实际上使“西塞罗就是塔利”成为必然真理。那么，怎么会有人不知道呢？“超人就是克拉克·肯特”则更加难以处理，因为这两个名字并没有指代任何实际的人。因此，虽然这个句子为真，但人们不仅可能不知道，而且完全可能相信克拉克·肯特的存在，也就是说“克拉克·肯特”指代了某个事物，却不相信超人的存在。存在性问题与内涵问题以复杂的方式交织在一起。此外，刚才在底层概述的问题沿着类型层次向上延伸。等边三角形的性质与等角三角形的性质同延，尽管含义明显不同。那么，有人可能会说：“等边三角形是等边三角形是显而易见的”，但也有人可能会否认“等边三角形是等角三角形是显而易见的”。

在经典的一阶逻辑中，内涵并不重要。它之所以被设计为外延的，是因为它主要是为了模拟数学中所需的推理而发展起来的。形式化自然语言或日常推理需要更丰富的内容。能够表示内涵特征的形式系统通常被称为内涵逻辑。本文探讨了内涵逻辑的历史和演化，旨在找到能够形式化地表示上述问题的逻辑。这并非易事，而且可能还没有一个提出的逻辑能够完全成功。本文将详细讨论一个相对简单的内涵逻辑，该逻辑可用于说明几个主要观点，并指出其中的难点，并给出其他更复杂方法的参考。

2. 简史

人们认识到指示性术语具有双重性质并非最近才有的。波特-罗亚尔逻辑使用了可翻译为“内涵”和“外延”的术语来表达这一点。约翰·斯图尔特·密尔使用了“内涵”和“外延”。弗雷格著名的术语是“意义”和“指称”，这两个词通常不翻译，但翻译后通常会变成“含义”和“指称”。卡尔纳普最终选择了“内涵”和“外延”。无论如何表达，以及作者的不同，其本质的二分法在于术语的含义与其所指称的内容之间的区别。 “行星的数量”指的是数字9（忽略近期关于太阳系外缘天体地位的争议），但它的含义并非数字9，否则早期科学家可能通过语言分析而非天文观测来确定行星的数量是9。在众多对内涵问题分析做出贡献的人士中，有几位尤为突出。其中，戈特洛布·弗雷格位列榜首。

2.1 弗雷格

对内涵问题和议题的现代理解始于戈特洛布·弗雷格的一篇基础性论文（Frege 1892）。该论文开篇回顾了相等性概念所带来的难题。弗雷格指出，在他早期的著作中，他将相等性理解为关联对象的名称或符号，而不是对象本身。否则，如果a和b指代同一个对象，那么a=a和a=b之间就没有认知差异。然而，前者是分析性的，而后者通常不是。因此，他曾经认为，相等性将指称同一事物的符号联系起来。但他现在意识到，这也不完全正确。符号的使用完全是任意的，任何东西都可以是任何事物的符号，因此在考虑a=b时，我们还需要考虑这两个符号的呈现方式——是什么将它们与它们所指称的事物联系起来。按照这种思路，相等性就变成了符号之间的关系，相对于它们的呈现方式。当然，呈现方式的概念有些模糊，弗雷格很快就将注意力转移到了其他地方。

符号既有指称，也有弗雷格所说的意义——我们可以将意义视为呈现方式的某种体现。从他的论文此处开始，意义成为讨论的对象，而呈现方式则逐渐淡出。名称表达其意义，并指称其指称。因此，“晨星”和“暮星”具有相同的名称，但表达了不同的意义，代表了不同的呈现方式——一个是早晨太阳遮蔽之前最后一次看到的天体，另一个是傍晚太阳不再遮蔽之后第一次看到的天体。弗雷格进一步引入了与符号相关的概念，使问题更加复杂，该概念不同于符号的意义和指称。但这种概念是主观的，因人而异，而弗雷格认为意义和指称并不以这种方式相互依赖。因此，概念也逐渐淡出，而意义和指称仍然是中心。

通常，当一个符号作为陈述句的一部分出现时，符号的指称才是重要的。“金星”和“晨星”指代的是同一个对象。句子“晨星在日出时出现在天空中”为真，当“晨星”替换为“金星”时，句子仍然为真。替换等同指示符号可以保留真值。但并非总是如此；有些情况下不会发生这种情况，即间接指称语境。一个典型的例子是，“乔治知道晨星在日出时出现在天空中”可能为真，而“乔治知道金星在日出时出现在天空中”可能为假。除了知识语境之外，当句子涉及“我相信……”，“我认为……”，“在我看来……”，“令人惊讶的是……”，“微不足道的是……”等等时，也会出现间接指称。弗雷格得出结论，在这样的语境中，意义而非指称才是核心。因此，由于“乔治知道……”是一个间接指称语境，意义就显得重要了。 “晨星”和“金星”这两个符号有不同的含义，我们并没有用一个等同的含义来替代它，因此不应期望真理能够得以保留。

弗雷格指出，一个表达式可能具有含义，但没有指称。他给出的一个例子是“最不快速收敛的级数”。当然，一个对象可能有多个符号来指称它，但含义不同。弗雷格将含义/指称的二分法扩展得相当远。特别是，陈述句被认为既有含义又有指称。含义是它所表达的命题，而指称是它的真值。那么，逻辑上等价的句子具有相同的指称，但可能具有不同的含义。在间接语境中，重要的是含义，而不是指称，因此我们可能知道自然数的良序原理，但不知道数学归纳法原理，因为：虽然它们在真值上等价，但它们的含义不同。

弗雷格在1892年并没有提出处理含义（而非指称）的形式机制。但弗雷格定义了进一步讨论所依据的术语。含义和指称是两个截然不同但又相互关联的概念。相等性起着根本性的作用，而一个核心问题是相等事物对相等事物的替代性。名称、符号、表达式在指称上可以相等，但在含义上却不相等。上下文既有直接的或外延的，也有间接的或内涵的，指称对于前者很重要，而含义对于后者至关重要。

2.2 丘奇

弗雷格给出了内涵性理论的轮廓，但没有提出任何形式意义上的内涵逻辑。有人试图补充他的轮廓。阿隆佐·丘奇（1951）对此进行了非常直接的阐述。本文提出了一种形式逻辑，其中术语既有含义，也有外延。它们被简单地视为不同的类型，并且对它们提出了最低要求。尽管如此，逻辑仍然相当复杂。弗雷格为其数学基础著作所创建的形式逻辑是类型无关的。罗素证明了他著名的悖论适用于弗雷格的系统，因此它是不一致的。为了解决这个问题，罗素发展了类型理论，该理论体现在《数学原理》中。丘奇对简单的类型理论给出了优雅而精确的表述（Church 1940），并将其融入到他关于内涵性的工作中，这也是其形式复杂性的原因之一。

丘奇使用了一个他称之为“概念”的概念，其中任何作为某物名称意义的东西都可以作为该某物的概念。并未尝试使其更精确——事实上，如何做到这一点并不十分清楚。概念显然与语言无关，甚至可能是不可数的。存在一个类型 ο0，它包含两个真值。然后，存在一个类型 ο1，它包含 ο0 成员的概念，这些概念被称为命题概念。存在一个类型 ο2，它包含 ο1 成员的概念，等等。存在一个类型 ι0，它包含 ι0 成员的概念，一个类型 ι1，它包含 ι1 成员的概念，等等。最后，对于任何两个类型 α 和 β，存在一个类型 (αβ)，它包含从 β 类型项到 α 类型项的函数。Church 对函数类型做了一个简化假设。为了便于表述，他引入了一些特殊符号：如果 α 是一个类型符号，例如 ((ι3ο2)(ο5ι4))，那么 α1 就是每个下标加 1 的结果，在我们的例子中，我们得到 ((ι4ο3)(ο6ι5))。（对于每个正整数 n，αn 也有类似的定义，但这里不需要。）Church 假设函数类型 (αβ) 的成员概念是类型 (α1β1) 的成员。在此假设下，任何类型 α 的成员概念都是类型 α1 的成员。

引入了量化和蕴涵，或者更确切地说，引入了适用于各种类型的版本。λ 抽象符号存在。最后，对于每个类型 α，假设存在一个 α 类型事物的概念与该事物本身之间的关系；这是 α1 类型成员与 α 类型成员之间的关系。这记为 Δ，并带有相应的类型标识下标。

Church 的一个基本问题是，当两个名称（lambda 项）具有相同的含义时，它们的含义如何。我们考虑了三种可能性。这三种方案的共同点在于，它们都假设在绑定变量重命名（通常的自由度条件）和β约化条件下，意义保持不变。除此之外，方案0略显技术性，仅作了简要提及；方案1则较为细化，尽可能区分意义；而方案2则规定，只要两个术语之间的相等性具有逻辑有效性，它们的意义就相同。这些方案的正确定义是公理化的，总共引入了大约53个公理方案的各种组合，但均未进行详细研究。显然，Church提出的是调查研究，而非完整的结果。

如前所述，本文的主要参考文献是Church 1951的著作，但还有其他几篇重要论文，包括Church 1973、Church 1974以及Church 1944的导论，其中对其中一些思想进行了非正式的讨论。此外，Anderson的阐释性论文也颇具启发性（Anderson 1984、1998）。值得注意的是，丘奇的著作与卡尔纳普的著作之间存在着联系，下文将对此进行讨论。丘奇的思想最初出现在一篇摘要中（Church 1946），随后卡尔纳普的著作问世（Carnap 1947）。几年后，丘奇的论文扩展了他的摘要（Church 1951）。卡尔纳普著作的第二版于1956年出版。丘奇和卡尔纳普彼此影响，两位作者之间的参考文献也相互交织。

2.3 卡尔纳普

丘奇只是（！）形式化了内涵的行为方式，但没有说明它们究竟是什么。鲁道夫·卡尔纳普则以其内涵与外延的方法更进一步，并提出了一种语义学，其中将非常具体的模型论实体等同于内涵（Carnap 1947）。事实上，其目标是为每个有意义的表达式提供内涵和外延，而这一方法对后来的许多研究产生了深远的影响。

尽管卡尔纳普曾参加过弗雷格的课程，但他的主要思想基于维特根斯坦（1921）。在《逻辑哲学论》中，维特根斯坦引入了可能世界语义学的先驱。存在着一些事态，它们可以被等同于所有真值的集合，“(1.13) 逻辑空间中的事实就是世界。” 据推测，这些事实是原子性的，可以独立变化，“(1.21) 每一项都可以是事实，也可以不是事实，而其他一切保持不变。” 因此，存在许多可能的事态，其中包括实际状态，即现实世界。在某种程度上，对象不仅涉及事态的实际状态，还涉及所有可能的状态，“（2.0123）如果我认识一个对象，那么我也知道它在事态中所有可能出现的情形。（所有这些可能性都必须是该对象本质的一部分。）新的可能性无法在之后被发现。” 卡尔纳普正是基于这些思想发展了他的论述。

卡尔纳普从一种固定的形式语言入手，其细节我们现在无需赘述。这种语言中有一类原子语句，每个原子语句恰好包含一个 A 或 ¬A，构成一个状态描述。在每个状态描述中，该语言中每个句子的真假都遵循通常的真值函项规则来确定——量词被替换处理，并且该语言被假定具有“足够”的常量。因此，真值是相对于状态描述的。现在，卡尔纳普引入了一个比真值更强的概念，L-真值，旨在“阐明哲学家们所说的逻辑真、必然真或分析真”。最初他以一种非正式的方式提出了这一点，“一个句子在状态描述 S 中为真，如果它在 S 中为真，并且其真值可以仅基于系统 S 的语义规则建立，而无需参考任何（语言以外的）事实。” 但这很快被一个更精确的语义版本所取代：“一个句子在每一个状态描述中都成立，那么它就是 L-真。”

人们可以使用可能世界语义学在 L-真中识别出一个必然真值版本。由于没有可及性关系，因此它所捕获的内容更像 S5，而不是其他模态逻辑。但它也不是 S5 语义学，因为存在一组由语言本身决定的固定状态描述。（如果 P 是任何命题原子，则某个状态描述将包含 P，因此◊P 将得到验证。）尽管如此，这显然是对可能世界语义学的预期。但我们这里关注的是卡尔纳普如何在这种环境下处理指称项。考虑谓词 P 和 Q。对于卡尔纳普来说，如果∀x(Px≡Qx) 是 L-真，即在每个状态描述中，P 和 Q 具有相同的外延，则它们在内涵上等价。卡尔纳普对此并未明确阐述，但他提出，谓词的内涵是将其外延分配给每个状态描述——内涵同一性意味着外延在所有状态描述中都相同，而不仅仅是在实际状态描述中。因此，谓词“H”（人类）和谓词“FB”（无毛双足动物）具有相同的外延——在实际状态描述中，它们适用于相同的生物——但它们的内涵并不相同，因为在其他状态描述中，它们的外延可能有所不同。类似地，我们可以对个体表达式进行建模：“个体表达式的外延就是它所指代的个体。” 因此，“斯科特”和“《威弗利》的作者”具有相同的外延（在实际的状态描述中）。卡尔纳普建议将个体表达式的内涵称为个体概念，这样一来，在每个状态描述中，它就能识别出该状态描述中所指的个体。因此，“斯科特”和“《威弗利》的作者”拥有不同的内涵，因为正如我们大多数人乐于说的那样，它们本来可以不同，也就是说，在某些状态描述中，它们是不同的。（在这个例子中，我忽略了非指称的问题。）

卡尔纳普的基本思想是，对于任何正在考虑的实体，内涵都可以作为状态函数赋予精确的数学体现，而外延则与单个状态相关。后来的研究者对此进行了进一步发展，当然，其中还加入了现代可能世界语义学。卡尔纳普的方法并非唯一，但它确实带领我们深入内涵的丛林。即使它不能完全帮助我们理解，它也将是本文讨论的主要版本，因为它具体、直观，并且在运行时自然。

2.4 Marcus

卡尔纳普的工作主要侧重于语义，其结果是一种逻辑，与迄今为止研究过的任何形式系统都不对应。公理化呈现的命题模态逻辑已经非常成熟，因此重要的是要研究如何（或是否）将其扩展到包含量词和等式。问题在于量词的范围，以及等式之间可替代性。奎因的模态反对意见需要得到解决。露丝·巴肯·马库斯（Ruth Barcan Marcus）于1946年开启了一条发展之路，她正式扩展了C. I. 刘易斯（C. I. Lewis）的命题系统S2，使其包含量化，并以《数学原理》的风格对其进行了公理化发展。显然，除了S2之外，其他标准模态逻辑也可以使用，并且S4被明确讨论。巴肯公式的形式为◊(∃α)A⊃(∃α)◊A，首次出现在1946年[1]中，尽管对其重要性的完全理解还有待于可能世界语义学的发展。对本文尤其重要的是，她的系统在1947年被进一步扩展，允许抽象和恒等式。恒等式的两种版本被考虑，取决于事物是否具有相同的属性（抽象）或必然具有这些属性。在S2系统中，这两个版本被证明是等价的，而在S4系统中，这两个版本被证明是必然等价的。在后来的一篇论文（Marcus 1953）中，演绎定理的基本作用也得到了充分探讨。

Marcus 证明，在她的体系中，如果真，身份是必要的，对于区别性也是如此。她在后续著作（主要是 Marcus 1961）中强有力地论证了，尽管如此，晨星/昏星问题仍然能够避免。名称被理解为标签。它们的名称可能通过最初使用明确的描述或其他方式来指定，但除此之外，名称没有任何意义，仅仅是一个名称。因此，它们的行为不像明确的描述，后者不仅仅是标签。好吧，被“晨星”标记的对象和被“昏星”标记的对象是相同的，并且对象之间的身份从来都不是偶然的。

要点已经阐明。人们可以开发包含量词和等式的形式模态系统。这些思想具有连贯性。目前仍然缺少一种有助于理解形式主义的语义学，但这很快就会出现。

2.5 Montague、Tichý、Bressan 和 Gallin

Carnap 的思想由 Richard Montague、Pavel Tichý 和 Aldo Bressan 分别扩展和形式化。他们都使用了某种版本的 Kripke/Hintikka 可能世界语义学，而不是 Carnap 更专业的结构。他们都以函数式的方式处理内涵。