真值（完结）

2.5 真值函数的一些方法

Arnon Avron 及其同事提出了一种推广真值函数概念的方法，即引入非确定性矩阵的概念（例如，参见 Avron and Konikowska 2005、Avron and Lev 2005、Avron and Zamansky 2010，以及更早的文献 Kearns 1981 和 Ivlev 1988）。上述标准估值系统依赖于组合性原理，即一个（复合）句子的真值由其各组成部分的真值唯一确定。然而，该原理在某些情况下可能过于强大，人们可以尝试通过允许（在某些情况下）从某个非空选项集中非确定性地选择句子的真值来削弱它。这样，我们得到了非确定性矩阵的概念。它与标准估值系统的区别在于，函数集 F = {fc1,…fcm} 中的每个真值函数现在都被定义为从 Vn 到 P(V)∖{∅} 的映射。因此，句子 ci(A1,…,赋值操作 a 引发的结果是（非确定性地）从一个非空值集合中取出。这种情况尤其可能发生在语言歧义的情况下，例如，当我们使用连接词“或”时，我们无法明确处理的是包含式析取还是排他式析取，参见 (Avron and Zamansky 2010)。如果两个析取操作都为真，我们就允许析取操作从集合 {T,F} 中取某个值。具体取哪个值可能取决于附加信息，即“或”是包含式还是排他式：

f∨ T F

T {T,F} {T}

F {T} {F}

非确定性矩阵已被证明在自动推理、近似逻辑、次相容逻辑、模糊逻辑等诸多领域都非常有用。目前有大量关于非确定性语义的研究，尤其包括模态逻辑的非确定性语义（例如，参见 Omori 和 Skurt 2016、2020、Coniglio、del Cerro 和 Peron 2019 以及 Pawlowski 和 Skurt 2024）。在 Omori 和 Skurt 2020 中，证明了存在具有非确定性语义但不具有标准 Kripke 语义的模态逻辑。

通常，在上下文中，句子被认为是通过各种关系连接的。从逻辑的角度来看，重要的是关注那些由句子真值关系决定的句子之间的关系。这种关系与真值函数相关。另一方面，每个函数都是一个关系。 Humberstone (2023) 讨论了将关系与给定函数联系起来的一种方法，即 n 位布尔真值函数 f: {T,F}n⟶{T,F} 与 f 的 n 位非特征关系

←

χ

(f) 的关联，其定义如下：

←

χ

(f):={⟨a1,…,an⟩∣f(a1,…,an)=T}。由于对于任何关系 R 及其特征函数，

←

χ

(

χ

(R))=R，并且对于任何函数，

χ

(

←

χ

(f))=f 可译为 {T,F}，因此函数视角和关系视角是可以互译的。亨伯斯通表明，关系视角在实践中仍然有用，例如，当真值间关系的考虑提升到命题语言公式间关系时，这些公式关系的获得取决于赋予公式的真值间的真值关系。给定一个赋值函数类 V，其取值于 {T,F} 且 v∈V，并将注意力限制在二元连接词 ♯ 上，则可以通过以下方式定义两种公式间的关系：

R

♯

v

(A,B) 当且仅当 v(A♯B)=T

R

♯

V

(A,B) 当且仅当对于所有 v∈V:R

♯

v

(A,B)，

其中，通常情况下，♯ 不必表示 V 上的真值函数，使得存在函数 g：{T,F}2⟶{T,F}，且对于所有 v∈V 和公式 A、B，v(A♯B)=g((v(A),v(B))。如果存在这样的函数 g，则第一项可以表述为 R

♯

v

(A,B) 当且仅当 ⟨v(A),v(B)⟩∈

←

χ

(g)。然后可以比较性质局部关系 R

♯

v

具有全局关系 R

♯

V

的性质。如果语义推论关系 ⊨V 关于 V 的定义通常为：对于任何公式集合 Γ∪{A} 且 v∈V，Γ⊨VA 当且仅当 v(A)=T 且 v(B)=T 时，对于每个 B∈Γ，则可以观察到，例如，一般而言，R

♯

V

的传递性并不意味着关系 R

♯

v

的传递性，同样，R

♯

V

的对称性并不意味着关系 R

♯

v

的对称性。亨伯斯通采用真值关系视角的动机在于其解释价值。例如，通过援引诸如二元素集合上的任何自反关系都是传递性的等事实，可以使某些证明更加明显。

3. 真值之间的排序关系

3.1 逻辑顺序的概念

一旦人们承认真值伴随赋值系统而来，就很自然地会假设该系统的元素之间存在某种关联。事实上，经典逻辑的赋值系统已经构成了一个众所周知的代数结构，即二元素布尔代数，其∩和∪为交算子和并算子（参见布尔代数的数学部分）。反过来，这个布尔代数形成一个格，其偏序定义为a≤tb，当且仅当a∩b=a。这个格可以称为TWO。很容易看出，TWO的元素排序如下：F≤tT。这种排序有时被称为真值排序（由相应的下标表示），因为它直观地表达了真值的增加：F 比 T“更不真实”。它可以用所谓的哈斯图（Hasse-diagram）来表示，如图 1 所示。

图 1：格二

众所周知，克莱尼逻辑和普里斯特逻辑的真值都可以排序形成格（格三），如图 2 所示。

图 2：格三

这里 ≤t 对 T、I 和 F 进行排序，使得中间值 I 比 F“更真实”，但比 T“更不真实”。

关系 ≤t 也被称为逻辑排序，因为它可以用来确定关键的逻辑概念：逻辑联结词和蕴涵关系。也就是说，如果给定估值系统 V 的元素形成一个格，那么关于 ≤t 的交和合运算通常被看作是合取和析取的函数，而否定可以用该顺序的反转来表示。此外，我们可以将 V 的蕴涵关系视为表示与真值顺序一致的关系，也就是说，结论至少应与前提合在一起同样真实：

Δ⊨B 当且仅当 ∀va[Πt{va(A)∣A∈Δ}≤tva(B)]，

其中 Πt 是对应格的格交。

上面考虑的 Belnap 矩阵 B4 也可以表示为一个偏序赋值系统。B4 的真值集合 {N,T,F,B} 构成了一个特定的代数结构——图 3 所示的双格 FOUR2（参见 Ginsberg 1988、Arieli and Avron 1996、Fitting 2006 等文献）。

图 3：双格 FOUR2

该双格具有两个偏序关系；除了真值顺序之外，还有信息顺序 (≤i)，据说它根据所考虑的值所提供的关于它们被赋予的公式的信息对它们进行排序。格关于≤t的交和并对应于Belnap矩阵B4中的函数f∧和f∨，f∼是真值顺序的反转，并且恰好与矩阵蕴涵一致的蕴涵关系定义为(8)。FOUR2由两种结构组合而成：近似格A4和逻辑格L4，它们在Belnap 1977a和1977b中进行了讨论（另见Anderson、Belnap和Dunn 1992: 510–518）。

3.2 真值作为结构化实体。广义真值

弗雷格（1892: 30）指出了“真值内部存在部分区分”的可能性。尽管他立即指出“部分”一词在这里是“以特殊意义”使用的，但基本思想似乎仍然是真值不是无定形的东西，而是具有某种内部结构。弗雷格对这一观点的认真程度尚不明确，但其似乎表明真值可以被解释为复杂的、结构化的实体，这些实体可以分解成多个部分。

存在几种语义构造方法，其中真值被表示为由一些原始成分构成。例如，在对直觉逻辑的克里普克模型的一些阐释中，命题（在模型结构中等同于“世界”的集合）可以被理解为某种类型的真值。然后，空命题被解释为值假，而最大命题（结构中所有世界的集合）被解释为值真。此外，人们可以将最大命题的非空子集视为中间真值。显然，如此构想的直觉真值是由一些更简单的元素组成的，因此它们最终会变成复杂的实体。

结构化真值的另一个突出例子是范畴论中拓扑斯模型中的“真值对象”（参见范畴论条目）。对于任何拓扑结构 C 和一个 C 对象 Ω，我们可以将 C 的真值定义为箭头 1→Ω（“C 的子对象分类器”），其中 1 是 C 中的终端对象（参见 Goldblatt 2006: 81, 94）。如此定义的真值集在 C 的逻辑结构中起着特殊的作用，因为形式为 1→Ω 的箭头决定了给定拓扑结构的核心语义概念。而且，这些真值显然具有某种内在结构。

在这方面，我们还可以提到多值逻辑的所谓“因子语义”，其中真值被定义为经典真值的有序 n 元组（T-F 序列，参见 Karpenko 1983）。例如，值 3/5可以解释为长度为 5 的 T-F 序列，其中 T 恰好出现 3 次。这里，经典值 T 和 F 被用作非经典真值的“构建块”。

此外，真值作为复合实体的思想与上文在三值逻辑（Kleene, Priest）和四值逻辑（Belnap）中将真值建模为经典真值集合的某些子集的做法完美契合。后一种思路主要源于 Dunn (1976)，他提出了经典真值函数概念的推广，以获得所谓的“欠定”和“超定”估值。也就是说，Dunn 认为估值不是从句子到集合 {T,F} 元素的函数，而是从句子到该集合子集的函数（另见 Dunn 2000: 7）。通过发展这一思想，我们得到了广义真值函数的概念，它是从句子到某个基本真值集合子集的函数（参见 Shramko 和 Wansing 2005）。广义真值函数的值可以称为广义真值。

运用广义真值函数的思想，我们可以从经典逻辑中估值系统的某个集合论表示开始，获得一个估值系统的层次结构。该表示建立在一个初始值之上，该初始值作为所得估值系统的指定值。更具体地说，考虑将单例 {∅} 作为基本集，并进行进一步的泛化。从集合论的角度看，该基本集可以作为下文介绍的估值系统 V

∅

cl

的全集（空集的补集）。在第一阶段，∅ 没有具体的直观解释，重要的是将其视为某个不同的单位。然后考虑 {∅} 的幂集，该幂集恰好由两个元素组成：{{∅},∅}。现在，这些元素可以解释为弗雷格的真与假，从而可以构建一个经典逻辑的赋值系统，V

∅

cl

=⟨{{∅},∅},{{∅}},{f∧,f∨,f→,f∼}⟩，其中函数 f∧,f∨,f→,f∼ 定义如下（对于

X,Y∈{{∅},∅}）：f∧(X,Y)=X∩Y；

f∨(X,Y)=X∪Y；

f→(X,Y)=Xc∪Y；

f∼(X)=Xc。

不难看出，对于任何相对于 V

∅

cl

的赋值 a，以及任何公式 A 和 B，都有以下成立：

va(A∧B)={∅} ⇔va(A)={∅} 且 va(B)={∅}；

va(A∨B)={∅} ⇔va(A)={∅} 或 va(B)={∅}；

va(A→B)={∅} ⇔va(A)=∅ 或 va(B)={∅}；

va(∼A)={∅} ⇔va(A)=∅。

这表明 f∧,f∨,f→ 和 f∼ 精确地确定了经典逻辑的命题联结词。我们可以方便地用经典标签 T 和 F 来标记价值体系 V

∅

cl

中的元素 {∅} 和 ∅。需要注意的是，在 V

∅

cl

中，考虑到经典逻辑的真值虚拟一元论特征，将 ∅ 与假关联起来是完全合理的。它不将假视为独立实体，而仅仅将其视为真值的缺失。

然后，通过将这些古典值的集合 2={F,T} 作为下一个价值体系的基本集，可以得到贝尔纳普逻辑的四个真值，它们是古典值集 P(2)=4 的幂集：N=∅、F={F}(={∅})、T={T}(={{∅}}) 和 B={F,T}(={∅,{∅}})。如此，贝尔纳普四值逻辑便成为具有两个弗雷格真值的古典逻辑的某种推广。在贝尔纳普逻辑中，真与假被视为完全自足的实体，因此∅现在不应被解释为假，而应被解释为一个真实的真值缺口（既非真也非假）。Belnap 的真与假与其经典类似物之间的差异，可以通过从相应的经典值转移到它们的单例集来自然地表达出来，从而表明它们的新解释仅为真或仅为假。Belnap 对四个真值的解释已在 (Lewis 1982) 和 (Dubois 2008) 中进行了批判性讨论（另见 Wansing 和 Belnap 2010 对 Dubois 的回复）。

广义真值具有强大的直觉背景，尤其作为对不完全和不一致信息状态进行理性解释的工具。特别是，Belnap 将真值启发式解释为“已告知计算机”的信息（参见 Belnap 1977a,b；也转载于 Anderson、Belnap 和 Dunn 1992，§81），这一解释已得到广泛认可。正如 Belnap 指出的那样，计算机可以从各种（可能是独立的）来源接收数据。贝尔纳普的计算机必须考虑与给定句子相关的各种信息。除了标准（经典）情况外，当计算机获得句子为（1）真或（2）假的信息时，还可能出现另外两种（非标准）情况：（3）未提供任何关于句子的信息；或（4）信息来源提供的信息不一致，既包含句子为真的信息，也包含句子为假的信息。B4 中的四个真值自然对应于这四种情况：既没有句子为假的信息，也没有句子为真的信息（N）；仅有句子为假的信息（F）；仅有句子为真的信息（T）；既有句子为假的信息，也有句子为真的信息（B）。约瑟夫·坎普（Joseph Camp）在（2002：125-160）中提出了一种他称之为“混淆思维语义学”的理论，为贝尔纳普的四个价值观赋予了截然不同的直觉动机。设想一个理性的主体，他碰巧混淆了两个非常相似的对象（比如，a 和 b），并含糊地使用一个名称（比如，“C”）来指代它们。现在，让这样的主体断言某个陈述，例如，说 C 具有某种属性。如果 a 具有该属性而 b 不具有该属性，那么应该如何评估这个陈述？坎普反对将真值赋予此类陈述，并提出了一种“认知语义学”，即以“盈利性”和“成本性”作为句子的合适特征。如果一个人基于 S 的信念采取行动会获利，则称句子 S 是“盈利性的”；如果基于 S 的信念采取行动会产生成本（例如，以未能实现预期目标来衡量），则称句子 S 是“成本性的”。如果我们“困惑的主体”向一些外部观察者询问 C 是否具有所讨论的属性，则可能出现以下四种答案：​​“是”（将相应的句子标记为 Y）、“否”（标记为 N）、“不能说”（标记为 ?）、“是”和“否”（标记为 Y&N）。请注意，提供答案的外部观察者是“不困惑的”，并且考虑到所有可能相关的事实，他们对“C”的指称有不同的理解。坎普将这四种关于句子认识论属性的可能答案视为一种“语义值”，并对其进行如下解释：值 Y 表示盈利能力，值 N 表示成本高昂，值 ? 表示两者均不具有任何指示作用，而值 Y&N 既表示盈利能力，也表示成本高昂。这种“混淆推理的语义学”与贝尔纳普的四值逻辑之间有着严格的类比，这一点显而易见。事实上，正如坎普（2002: 157）所观察到的，根据他的语义学，有效的蕴涵集正是蕴涵系统Efde的蕴涵集。在（Zaitsev and Shramko 2013）中，他展示了真值的本体论和认识论方面如何在一个联合语义框架内进行结合。卡普斯纳（2019）扩展了贝尔纳普的框架，增加了两个值“有争议的真”和“有争议的假”，这使得值为B和N的语句之间的析取和合取能够产生新的结果。

广义真值的概念也具有其纯逻辑意义。如果继续构建并将广义真值函数的思想应用于贝尔纳普的四个真值，就能得到进一步的赋值系统，这些赋值系统可以用各种多格来表示。具体来说，我们得到了 SIXTEEN3——包含 16 个真值的三格，它可以被视为计算机网络逻辑的基础（参见 Shramko 和 Wansing 2005、2006；Kamide 和 Wansing 2009；Odintsov 2009；Wansing 2010；Odintsov 和 Wansing 2015；另见 Shramko、Dunn 和 Takenaka 2001）。多格和 SIXTEEN3 的概念在补充文献《广义真值和多格》中进行了进一步讨论。关于广义逻辑值概念的全面研究可参见 Shramko 和 Wansing 2011。

4. 结束语

戈特洛布·弗雷格的真值概念已成为标准哲学和逻辑术语的一部分。真值的概念是现实主义的、模型论的语义学方法中不可或缺的工具。事实上，真值在模型论语义学的应用中发挥着至关重要的作用，例如基于语义表的知识表示和定理证明，而这些领域在本条目中无法探讨。此外，对真值的思考引发了关于真值自身性质、事实本体论的可行性以及真值在此类本体论理论中的作用等深刻的本体论问题。此外，也存在一些基于良好动机的广义真值理论，这些理论远远超越了弗雷格的经典真值概念“真”与“假”。（有关真值领域进一步逻辑和哲学研究的各种方向，请参阅 Shramko & Wansing 2009b, 2009c。）