真值（三）

Δ⊨VA 当且仅当 ∀a[(∀B∈Δ:va(B)∈D)⇒va(A)∈D]。

一对 M=⟨V,va⟩，其中 V 是一个（n 值）估值系统，va 是 V 中的估值，可以称为基于 V 的（n 值）模型。每个模型 M=⟨V,va⟩ 都具有相应的蕴涵关系 ⊨M，即通过定义 Δ⊨MA 当且仅当 (∀B∈Δ:va(B)∈D)⇒va(A)∈D。

假设 L 是一个句法定义的逻辑系统 L，其后果关系 ⊢L 被定义为 L 的幂集与 L 之间的关系。那么，当 Δ⊨VA 当且仅当 Δ⊢LA 时，一个赋值系统 V 被称为 L 的严格特征（参见 Dummett 1981: 431）。反之，人们说 L 被 V 所特征化。因此，如果说一个赋值系统决定了一个逻辑，那么严格来说，该赋值系统本身并非逻辑，而仅仅是某个逻辑系统的语义基础。赋值系统通常被称为（逻辑）矩阵。请注意，在 (Urquhart 1986) 中，矩阵指定元素的集合 D 必须非空；在 Dunn & Hardegree 2001 中，D 必须为 V 的非空真子集。为了在语义上定义多值逻辑，这些限制非常自然，并且已在 (Shramko & Wansing 2011) 和其他文献中得到采用。然而，对于后果关系的刻画（参见补充文献 Suszko 的论文），这些限制并不适用。

这样，弗雷格逻辑，即经典逻辑，就可以表示为由一个基于两个元素的特定赋值系统所确定：Vcl=⟨{T,F},{T},{f∧,f∨,f→,f∼}⟩，其中 f∧,f∨,f→,f∼ 由经典的合取、析取、实质蕴涵和否定。

作为一个基于两个以上要素的评价系统的例子，考虑两个著名的评价系统，它们分别确定了克莱尼的（强）“不确定性逻辑”K3和普里斯特的“悖论逻辑”P3。在没有蕴涵的命题语言中，K3由克莱尼矩阵K3=⟨{T,I,F},{T},{fc:c∈{∼,∧,∨}}⟩表示，其中函数fc定义如下：

f∼

T F

I I

F T

f∧ T I F

T T I F

I I I F

F F F F

f∨ T I F

T T T T

I T I I

F T I F

普里斯特矩阵P3与K3的唯一区别在于D={T,I}。K3和P3中的蕴涵关系均由公式(3)定义。

在 K3 和 P3 中，I 分别被自然地直观解释为欠定值和过定值——真值缺口和真值过剩。形式上，这些解释可以通过将值表示为经典真值集合 {T,F} 的某些子集来建模。这样，T 变为 T={T}（理解为“仅真”），F 变为 F={F}（“仅假”），在 K3 中，I 被解释为 N={}=∅（“既非真也非假”），在 P3 中，I 被解释为 B={T,F}（“既真又假”）。（请注意，Asenjo (1966) 也考虑了相同的真值表，但将第三个值解释为“矛盾的”。）在这两种情况下，真值的指定性都可以理解为包含经典 T 作为其成员。

如果将所有这些新值组合到一个联合框架中，就能得到由 Dunn (1976) 和 Belnap (1977a, b) 引入的四值逻辑 B4。Gentzen 风格的公式可以在 (Font 1997: 7) 中找到。该逻辑由 Belnap 矩阵 B4=⟨{N,T,F,B},{T,B},{fc:c∈{∼,∧,∨}}⟩ 确定。其中函数 fc 定义如下：

f∼

TF

B B

N N

F T

f∧TBN F

TTBN F

B B B F F

N N F N F

F F F F F F

f∨TBN F

T T T T T

B T B T B

N T T N N

F T B N F

将定义 (3) 应用于贝尔纳普矩阵，可确定 B4 的蕴涵关系。该蕴涵关系形式化为 Anderson & Belnap (1975) 提出的著名“一级蕴涵”(Efde) 逻辑（另见 Omori and Wansing 2017）。

单一结论后果关系的句法概念已得到波兰逻辑学派代表的广泛研究，其中最著名的是阿尔弗雷德·塔斯基，他实际上开创了这一研究方向（参见 Tarski 1930a,b；另参见 Wójcicki 1988）。鉴于标准后果关系的某些关键特征，任何如上定义的蕴涵关系 ⊨V 都具有以下结构性质，这一点非常引人注目且重要（参见 Ryan and Sadler 1992: 34）：

Δ∪{A} ⊨VA（自反性）

如果 Δ⊨VA 则 Δ∪Γ ⊨VA（单调性）

如果对于每个 A∈Γ ，Δ⊨VA 成立

且 Γ∪Δ⊨VB 成立，则 Δ ⊨VB 成立（截断）

此外，对于每个 A∈L、每个 Δ⊆L 以及 L 上的每个一致替换函数 σ，以下替换性质成立（σ(Δ) 代表 {σ(B)∣B∈Δ}）：

Δ⊨VA 蕴涵 σ(Δ)⊨Vσ(A)。

（一致代换函数 σ 定义如下。设 B 是 L 中的一个公式，p1,…,pn 是 B 中出现的所有命题变量，其中 A1,…,An 有 σ(p1)=A1,…,σ(pn)=An。则 σ(B) 是由 B 同时用 A1,…,An 分别代换所有出现的 p1,…,pn 而得到的公式。）

如果将条件 (4)–(6) 中的 ⊨V 替换为 ⊢L，则得到通常所说的塔斯基后果关系。如果后果关系还具有代换性质 (7)，则称其为结构性的。因此，任何为给定赋值系统 V 定义的蕴涵关系，都代表了后果关系的一个重要示例，因为 V 是具有结构塔斯基后果关系的逻辑系统 L 的严格特征。

总体而言，赋值系统框架不仅完美契合逻辑作为真值科学的概念，而且被证明是解决现代逻辑中各种复杂而重要问题（例如可靠性、完备性、公理独立性等）的有效技术工具。

2.3 真值、真度和模糊概念

“真度”一词由 Gottwald 和许多其他作者使用，表明真值是逐渐形成的，这些真度可以被视为广义上的真值。真作为分级概念的思想已被应用于模糊谓词的建模，并用于解决堆悖论（参见“堆悖论”条目）。然而，将多值逻辑应用于模糊性问题的成功性却备受争议。例如，蒂莫西·威廉姆森 (Timothy Williamson, 1994: 97) 认为高阶模糊性现象“使得大多数关于多值逻辑的研究与模糊性问题无关”。

无论如何，概念的模糊性在哲学中一直备受争议（参见关于模糊性的词条），并且它是模糊逻辑发展的主要动机之一（参见关于模糊逻辑的词条）。20 世纪 60 年代，Lotfi Zadeh (1965) 引入了模糊集的概念。集合 X 的特征函数是定义在 X 的超集 Y 上的映射，它指示元素在 X 中的成员资格。经典集合 X 的特征函数值域为二元素集 {0,1}（可视为经典真值集合）。该函数将 X 中的元素赋值为 1，将 Y 中所有不属于 X 的元素赋值为 0。模糊集的隶属函数取值范围为实数区间 [0, 1]。诸如“远早于 1963 年 3 月 20 日”、“很漂亮”或“是一堆”之类的模糊谓词，可视为表示模糊集。因此，用“远早于1963年3月20日”表示的模糊集的隶属函数g，会将区间[0, 1]内的值（视为真值度）赋给各个时刻，例如g(2006年8月1日下午1点) =0，g(1963年3月19日凌晨3点) =0，g(1960年4月9日上午9点16分) =0.005，g(1943年8月13日下午2点) =0.05，g(1278年12月2日上午7点02分) =1。

Joseph Goguen (1969) 建议将连续统值逻辑应用于连锁推理悖论。所谓条件形式的索里特悖论，是通过在如下论证中反复运用肯定前件推理而得到的：

100,000 粒沙子的集合是一堆。

如果 100,000 粒沙子的集合是一堆，那么 99,999 粒沙子的集合也是一堆。

如果 99,999 粒沙子的集合是一堆，那么 99,998 粒沙子的集合也是一堆。

……

如果 2 粒沙子的集合是一堆，那么 1 粒沙子的集合也是一堆。

因此：1 粒沙子的集合是一堆。

虽然所有前提似乎都可以接受，因为第一个前提为真，而且一粒沙子的数量不会影响一堆沙子是否是一堆，但结论当然是不可接受的。如果谓词“是堆”表示模糊集，并且条件在Łukasiewicz的连续统值逻辑中被解释为蕴涵，那么就可以避免Sorites悖论。Łukasiewicz蕴涵式 → 的真值函数 f→ 定义为：若 x≤y，则 f→(x,y)=1，否则 f→(x,y)=1−(x−y)。假设“500粒沙子的堆积是一堆”这句话的真值为 0.8，“499粒沙子的堆积是一堆”这句话的真值为 0.7，那么蕴涵式“如果500粒沙子的堆积是一堆，那么499粒沙子的堆积是一堆”这句话的真值为 0.9。此外，如果一个陈述的可接受性被定义为当0＜j＜1时，其值大于j，并且堆垛悖论的所有条件前提都不低于j，那么肯定前件推理就不能保持其可接受性，因为堆垛悖论的结论被求值为0，是不可接受的。

Alasdair Urquhart (1986: 108) 强调

将精确的数值附加到诸如“毕加索的格尔尼卡很美”之类的句子上，其性质极其人为。

为了克服为模糊概念的谓词赋值精确值的问题，Zadeh (1975) 引入了模糊真值，以区别于 [0, 1] 范围内的数值真值。模糊真值是集合 [0, 1] 的模糊子集，可以理解为真、非常真、不太真等等。

用模糊集理论来解释连续统值逻辑，长期以来一直被视为数学模糊逻辑领域的定义。Susan Haack (1996) 将这类数学模糊逻辑系统称为模糊逻辑的“基础逻辑”，并将“模糊逻辑”一词保留给真值本身为模糊集的系统。Zadeh 后一种意义上的模糊逻辑，因其“方法论上的夸张”和语言上的错误，遭到了 Haack (1996) 从哲学角度的彻底批判。Haack 强调，她对模糊逻辑的批评并不适用于基础逻辑。此外，需要指出的是，如今对数学模糊逻辑的研究并非首先是作为连续统值逻辑，而是作为与剩余格相关的多值逻辑（参见 Hajek 1998；Cignoli 等人 2000；Gottwald 2001；Galatos 等人 2007），而广义上的模糊逻辑在很大程度上与某些工程方法相关。

关于模糊谓词的语义处理的一个基本问题是，充分语义是否应该是真值函数的，即复杂公式的真值是否应该在函数上依赖于其子公式的真值。尽管数学模糊逻辑是真值函数式的，但威廉姆森（Williamson，1994: 97）认为“任何推广真值函数式的方法都无法捕捉模糊性的本质”。根据威廉姆森的说法，合取、析取或条件句的真度并非模糊组成句真度的函数。例如，“约翰醒了”和“约翰睡着了”这两个句子可能具有相同的真度。根据真值函数式，“如果约翰醒了，那么约翰醒了”和“如果约翰醒了，那么约翰睡着了”这两个句子的真度相同，这在威廉姆森看来表明了程度函数式的失效。

在某种意义上，对模糊性进行非真值函数式推理的一种方式是超值主义。超值方法由亨利克·梅尔伯格 (Henryk Mehlberg) (1958) 和巴斯·范·弗拉森 (Bas van Fraassen) (1966) 发展而来，后来被基特·费恩 (Kit Fine) (1975)、罗莎娜·基夫 (Rosanna Keefe) (2000) 等人应用于模糊性。

范·弗拉森的目标是为包含非指称单数词的句子发展一种语义学。即使承认原子句包含非指称单称词项，并且某些模糊谓词的归属既非真也非假，似乎也不排除某些包含非指称词项或模糊谓词的复合句为真或为假，例如“如果 A，则 A”形式的句子。超值语义学为这个问题提供了一种解决方案。将 a 三值赋值到 {T,I,F} 中可以为模糊句子“毕加索的格尔尼卡很美”赋予真值间隙（或者更确切地说是值 I）。任何经典赋值 a′，如果每当 a 赋值 T 或 F 时都与 a 一致，则可以看作是 a 的精确化（或超赋值）。如果一个句子在 a 的每个精确化 a′ 下都为真，那么就可以说它在赋值 a 下是超真的。因此，如果 a 是 {T,I,F} 的三值赋值，而 a′ 是 {T,F} 的二值赋值，且若 a(p)∈{T,F}，则 a(p)=a′(p)，则称 a′ 为 a 的超赋值。由此可知，若 a 是扩展到克莱尼矩阵 K3 的赋值函数 va 的赋值，则对于 K3 语言中的每个公式 A，若 va(A)∈{T,F}，则 va(A)=va′(A)。因此，函数 va′ 可以称为 va 的超赋值。如果一个公式在 va 的每个超赋值 va′ 下都为真，即，如果对于 va 的每个超赋值 va′，va′(A)=T，则称该公式在 K3 的赋值函数 va 下为超真。超假性质的定义类似。

由于每个超值都是古典赋值，因此每个古典重言式在K3中的每个赋值函数下都是超真。然而，超值论对于超值而言并非真值函数。例如，析取项的超值并不依赖于析取项的超值。假设 a(p)=I。则对于 va 的每个超赋值 va′，a(¬p)=I 且 va′(p∨¬p)=T。因此，(p∨¬p) 在 va 下是超真，而 p∨p 则不是，因为存在 a 的超赋值 a′，且 a′(p)=F。MacFarlane (2008) 提出了一个反驳超赋值主义要求连接词具有非真值函数语义的论点（另见该文中的其他参考文献）。

尽管在超赋值主义中，从有效推理的前提到结论，都保留了超真，尽管人们可能倾向于将超真视为一个独立的抽象对象，但似乎从未有人提出过以这种方式将超真实体化，类似于弗雷格的“真”。在三值赋值v下超真句子，在v的每个超赋值下都取弗雷格值“真”。关于不要将超真与“真”相混淆的建议，可参见Belnap (2009)。

2.4 Suszko的论题和反指定值

人们或许会认为，多值逻辑的存在本身就表明存在无限多个，实际上是不可数的真值。然而，这一点并不明确（回想一下Gottwald所倡导的更为谨慎的术语使用）。

20世纪70年代，Roman Suszko (1977: 377) 宣称多值逻辑是“一个宏伟的概念骗局”。Suszko实际上声称“只有两个逻辑值：真和假”（Caleiro et al. 2005: 169），这一论题现在被称为Suszko的论题。对于苏斯科来说，多值逻辑的逻辑矩阵中假定的真值集是一组公式的“可接受的指称项”（称为“代数值”），而非一组逻辑值。而代数值是代数结构的元素，也是公式的指称项，逻辑值真用于定义有效推论：如果所有前提都为真，则（至少其中一个）结论也为真。另一个逻辑值假则沿相反方向保留：如果（所有）结论为假，则至少有一个前提为假。因此，逻辑值可以通过将代数值集二分表示为一组指定值（真）及其补集（假）。

Dummett (1959) 在一篇颇具影响力的论文中提出了本质上相同的想法，他提出了以下问题：

区分一个陈述可能为真的不同方式或可能为假的不同方式，或者，我们可以说，区分真假的程度，究竟有何意义？ （Dummett 1959: 153）

Dummett 观察到，首先，

句子的意义完全取决于它具有指定值的情况和具有未指定值的情况；

此外，

不同指定值或不同未指定值之间的更细微区分，无论它们如何自然地出现，只有在需要对通过算符形成复杂语句进行真值函式描述时，才有道理。（Dummett 1959: 155）

Suszko 的主张显然呼应了 Dummett 的这一观察。

Suszko 的论点由一个严格的证明（Suszko 归约）证实，该证明表明，每个结构塔斯基后果关系，以及因此每个结构塔斯基多值命题逻辑，都以二价语义为特征。 （还请注意，Richard Routley（1975）已经证明，每个基于λ-范畴语言的逻辑都具有合理且完整的二价可能世界语义。) 指定值与非指定值的二分法及其在蕴涵定义中的运用在苏斯科归约中起着至关重要的作用。尽管将指定值集解释为经典真值T在某些重要角色上的概括似乎很自然，但将非指定值集解释为经典真值F的概括并不总是恰当的。关键在于，与经典逻辑不同，在多值逻辑中，“非真”并不总是意味着“假”（例如，参见上文对克莱尼逻辑的解释，其中句子既不能为真也不能为假）。

在多值逻辑的文献中，有时会提出考虑一组反指定值，它们不一定构成指定值集的补集（例如，参见Rescher 1969、Gottwald 2001）。反指定值集可以被视为表示广义的假性概念。这种区分为既非指定也非反指定的值，甚至既指定又反指定的值留下了空间。

Grzegorz Malinowski (1990, 1994) 利用这一提议，为 Suszko 的论点提供了一个反例。他定义了单结论准后果（q-后果）关系的概念。q-后果的语义对应物称为 q-蕴涵。单结论 q-蕴涵的定义是，如果不存在反指定的前提，则结论是指定的。Malinowski (1990) 证明了，对于每个结构 q-后果关系，都存在一个特征类 q-矩阵，这些矩阵除了包含指定值的子集 D+ 之外，还包含一个不相交的反指定值的子集 D-。并非所有 q-结果关系都具有二价语义。

在补充文献“Suszko 的论点”中，介绍了 Suszko 的归约，概述了 Malinowski 针对 Suszko 论点的反例，并对这些结果进行了简要分析。

能否提供逻辑值多重性的证据？更具体地说，是否存在多个逻辑值，每个逻辑值都可以用于确定其自身（独立的）蕴涵关系？通过将真值视为结构化实体，并凭借其内部结构在值集上产生自然的偏序，可以对这个问题给出肯定的答案。