连通逻辑（五）

R1 肯定前件

逻辑 MC 可以忠实地嵌入到正则经典逻辑中，因此 MC 是可判定的。 Omori 2016c 给出了以下 MC 真值表，其中考虑了一种具有经典否定的语言，从而形成了一个名为“辩证贝尔纳普·邓恩逻辑”（dBD）的系统：

~

T F

B B

N N

F T

∧ T B N F

T T B N F

B B B F F

N N F N F

F F F F F

∨ T B N F

T T T T T

B T B T B

N T T N N

F T B N F

→ T B N F

T T B N F

B T B N F

N B B B B

F B B B B

公式 ~(A → B) → (A ∧ ~B) 当然不是 MC 定理。与 C 类似，MC 是一个包含矛盾的次协调逻辑。连通逻辑 MC 与 Avron 1991 年提出的四值逻辑 HBe 不同，它使用了上述保证 BTe′ 有效性的子句，即

M ⊨ ~(A → B) 当且仅当 M ⊭ A 或 M ⊨ ~B

，而不是子句

M ⊨ ~(A → B) 当且仅当 M ⊨ A 且 M ⊨ ~B。

如前所述，Cantwell 的三值连通逻辑 CN 可以通过用排中律扩展 MC 得到，并且在语义上要求对于每个命题变量 p 和每个模型 M，M ⊨ p 或 M ⊨ ~p。还有另一种严格强于 CN 的三值联结逻辑，即 Omori 2016c 所研究的“悖论辩证逻辑”（dLP），其结果被证明与 Olkhovikov 2002 提出的 LImp 系统（2016 年出版英译本）等价。Olkhovikov 在 LImp 语言中使用一元运算符 L（理解为一种必然性运算符），而 Omori 在 dLP 语言中使用一元一致性运算符 ○。联结词 L 在 dLP 中可定义，联结词 ○ 在 LImp 中可定义。Omori 2016c 表明，dLP 是不一致的、定义完备的，并且是 Post 完备的。 Omori (2016c) 和 Olkhovikov (2016) 分别考虑了 dLP 和 LImp 的一阶扩展。

4.5.4 连通条件逻辑

从 David Nelson 的逻辑 N4 出发，很容易得到基于 FDE 的连通逻辑，因为后者系统的直觉蕴涵是满足肯定前件和演绎定理的最弱条件。在 Robert Stalnaker 和 David Lewis 的传统条件下，条件逻辑中研究的条件句通常写为“□→”，比直觉蕴涵或相关蕴涵要弱得多。 Wansing 和 Unterhuber (2019) 开展了以 Brian Chellas (1975) 提出的条件逻辑基本系统 CK 为出发点，以获得连通条件逻辑的项目，Kapsner 和 Omori (2017) 也考虑了类似的方法。Kapsner 和 Omori (2017) 的 Lewis-Nelson 模型的语义在非空状态集上使用二元关系 RA，对于每个公式 A，Wansing 和 Unterhuber (2019) 采用的 Chellas-Segerberg 语义在非空状态集上使用二元关系 RX，对于所有状态集合的子集 X。这两个版本的语义都可以配备完善的 tableau 演算（尽管 Kapsner 和 Omori 只给出了模型），但 Chellas-Segerberg 语义更适合于开发纯结构对应理论，其理论基础是与语言无关的关系属性，只要它们不被相对化为公式。

当且仅当 W 为非空集（直观地理解为信息状态的集合），且 R ⊆ W × W × ℘(W)）时，一对 ＜W, R＞ 为 Chellas 框架（或简称为框架），其中 ℘(W) 是 W 的幂集。通常将 Rww′ X 写成 wRXw′。设 W, R 为一个框架，且对于所有 X ⊆ W 且 w, w′ ∈ W，wRXw′ 蕴涵 w′ ∈ X。则 M = ＜W, R, v+, v−＞ 为连通条件逻辑 CCL 的一个模型，当且仅当 v+ 和 v− 是从命题变量集合到℘(W) 的赋值函数。命题变量、否定公式、合取和析取的真值支持和假值支持条件的定义与 C 模型相同，并且：

M, w ⊨+ (A □→ B) 当且仅当对于所有 u ∈ W，使得 wR[[A]]u，M, u ⊨+ B

M, w ⊨− (A □→ B) 当且仅当对于所有 u ∈ W，使得 wR[[A]]u，M, u ⊨− B，

其中 [[A]] 为支持 A 真值的状态集。

设 ＜W, R＞ 为 Chellas 框架，则三元组 ＜W, R, P＞ 被称为 CCL 的 Segerberg 框架（或一般框架），前提是 P 是℘(W) 上的二元关系，且满足一定的闭包条件。五元组 M = ＜W, R, P, v+, v−＞ 则为 CCL 的一般模型，前提是 ＜W, R, P＞ 是 CCL 的一般框架，＜W, R, v+, v−＞ 是 CCL 的模型，且对于每个命题变量 p，[[p]],[[~p]] ∈ P。P 上的闭包条件恰好是保证对于每个公式 A，[[A]]，如果对于每个命题变量 p，[[p]],[[~p]] ∈ P，则 [[~A]] ∈ P。如果将 [[A]],[[~A]] 视为由 A 表达的命题，则 CCL 的通用模型足够丰富，可以保证每个用公式表达的命题都可用。这对于纯结构对应理论是必要的。例如，公式 A □→ A 在通用框架上有效，当且仅当它满足框架条件：

CA □→ A：对于所有 X ⊆ W 且 w，w′ ∈ W，wRXw′ 意味着 w′ ∈ X。

CCL 的通用框架需要满足条件 CA □→ A，以确保波爱修斯的论题确实有效。 Unterhuber 和 Wansing (2019) 提出了适用于 CCL 和较弱系统 cCL 的健全且完备的 tableau 演算。cCL 验证了亚里士多德的论题，但不验证波爱修斯的论题，并且是通过放弃 CA □→ A 获得的。Wansing 和 Unterhuber (2019) 将这些结果扩展到通过在 cCL 和 CCL 语言中添加构造性蕴涵而获得的系统。

McCall (2012) 将他称之为阿伯拉尔第一原理和亚里士多德第二论题（参见第二节）的原理归类为连接原理。Wansing 和 Skurt (2018) 认为，由于亚里士多德第二论题和阿伯拉尔第一原理都涉及连接，因此人们可以从否定即取消的思想以及由否定的擦除模型所证实的简化失败中获得动机。与本节讨论的其他连通逻辑一样，CCL 是一个阿伯拉尔第一原理和亚里士多德第二论题均不成立的系统。

4.6 连通模态逻辑

关于连通逻辑模态扩展的文献越来越多。在 Wansing 2005 中，连通逻辑 C 的语言通过模态算子 □ 和 ◊（“有可能”）进行扩展，从而定义最小正态模态逻辑 K 的连通且可构造的类似物 CK。系统 CK 被证明可忠实地嵌入到 QC 中，具有可判定性，并具有析取性和可构造的假性。

众所周知，直觉主义命题逻辑可以忠实地嵌入到正态模态逻辑 S4 中，后者与 K 一样，基于经典命题逻辑（参见“逻辑：直觉主义”和“逻辑：模态”条目）。存在一个由哥德尔定义的翻译 γ，使得直觉主义逻辑公式 A 直觉有效，当且仅当 A 的 γ 翻译在 S4 中有效。特别地，直觉主义蕴涵被理解为严格实质蕴涵：γ(A → B) = □(γ(A) ⊃ γ(B))。 Kamide 和 Wansing (2011) 基于 MC 为连通逻辑 S4 定义了一个后继演算。该系统 CS4 被证明在关系可能世界语义上是完备的。该证明使用了 CS4 到正的、无否定的 S4 的忠实嵌入。此外，还证明了切割规则在 CS4 中是可接受的规则，并且构造型连通逻辑 C 之于 CS4 等同于直觉逻辑之于 S4。在忠实嵌入中，否定蕴涵的模态平移符合预期：γ(~(A → B)) = □(γ(A) ⊃ γ(~B))。Odintsov 和 Wansing (2010) 使用了类似的平移，将 C 嵌入到 Belnap 和 Dunn 四值逻辑的模态扩展 BS4 中。

在 CS4 中，情态运算符 □ 和 ◊ 是彼此的句法对偶： □A 和 ~◊~A 之间以及 ◊A 和 ~□~A 之间的等价性是可证明的。Kamide 和 Wansing (2011) 还提出了一种无截断序列演算，用于 S4 的连接构造版本 CS4d–，该版本不具有 □ 和 ◊ 之间的句法对偶性。CS4d– 的关系可能世界语义并非完全组合性的，参见 Odintsov 和 Wansing (2004)。CS4d– 可以忠实地嵌入到正 S4 中，并且可判定。此外，C 也可以忠实地嵌入到 CS4d– 中。

Jarmużek 和 Malinowski (2019b) 研究了模态布尔连通关联逻辑；Kamide (2019) 引入了一种“双经典”次协调连通逻辑的模态扩展；Odintsov、Skurt 和 Wansing (2019) 研究了作为 MC 扩展的 FDE 的各种模态扩展的连通变体。

5. 连通逻辑与后果逻辑

亚里士多德和波爱修斯的论题似乎表达了一些关于否定和蕴涵之间意义关系的前理论直觉。但一种语言是否必须只包含一个否定运算和一个蕴涵，这一点尚不明确。双直觉逻辑的语言包含两个否定，Wansing 2016b 和 Kamide & Wansing 2016 中的双直觉连接逻辑的语言包含三个否定，结果蕴涵系统的语言包含两个蕴涵连接词和一个否定，参见 Pizzi 1977、1991、1993、1996、1999、2004、2005、2008、2018，Pizzi and Williamson 1997、2005。Pizzi (2008, p. 127) 考虑了结果相关性的概念，即“真条件句的前件和后件不能具有不相容的模态状态”，并建议通过要求在任何真条件句 A → B 中，(i) A严格意味着 B 并且 (ii) A 和 B 具有相同的模态状态，即 □A ⊃ □B、□B ⊃ □A、◊A ⊃ ◊B，且◊B⊃◊A为真，其中⊃为实质蕴涵。此外，要求□A⊃◊A始终为真。

Pizzi和Williamson（1997）将满足（i）和（ii）的条件称为解析后验蕴涵，并定义了解析后验蕴涵的正规系统的概念。“正规”在这里是指这样的系统包含某些公式，并且在某些规则下封闭。满足AT的最小正规后验逻辑称为CI。或者，CI也可以表征为满足弱波爱修斯论题的最小正规系统，即(A→B)⊃¬(A→¬B)，其中→为后验蕴涵，¬为经典否定。 Omori 和 Wansing (2019) 提出了 CI 的语义，其方式表明，后件条件的语义是通过调整具有序列可及性关系的 Kripke 模型中严格蕴涵的真值条件而获得的（因此 □A ⊃ ◊A 有效）。标准真值条件通过要求前件和后件具有相同的模态状态来补充。

Pizzi 和 Williamson (1997) 证明，CI 可以忠实地嵌入到正则模态逻辑 KD 中，反之亦然。分析结果蕴涵可根据以下平移函数φ进行解释：

φ(A → B) = □(φA ⊃ φB) ∧ (□φB ⊃ □φA) ∧ (◊φB ⊃ ◊φA)

正如Pizzi和Williamson（1997，第571页）指出的那样，他们的研究“对介于结果蕴涵逻辑和连接逻辑之间的逻辑模态处理做出了贡献”。他们强调，将结果蕴涵视为真正的蕴涵连接词存在困难，因为他们指出，在任何允许肯定前件式进行结果蕴涵推理且包含BT的正常结果逻辑系统中，以下公式是可证明的：

(a) (A → B) ≡ (B → A)，

(b) (A → B) ≡ ¬(A → ¬B)

其中 ≡ 是经典等价关系。由于 (A → B) ↔ ~(A → ~B) 是 C 和其他连通逻辑的定理，因此从该系统的角度来看，更成问题的事实是 (a) 的可证明性。Pizzi 和 Williamson 还证明，在任何包含 BT 的正常后果逻辑系统中，如果 (A → B) ⊃ (A ⊃ B) 可证明，则公式 (A → B) ≡ (A ≡ B) 可证明；换句话说，如果 (A → B) ⊃ (A ⊃ B) 可证明，则后果蕴涵关系坍缩为经典等价关系。 Pizzi (2008) 探讨了在结果蕴涵系统中亚里士多德对立方的构造及其与亚里士多德立方的组合。Pizzi (2018) 讨论并比较了两种结果蕴涵。

6. 总结

总而言之，尽管连通逻辑在很多方面都具有反古典性和独特性，但它并非仅仅是一个形式游戏或噱头。连通逻辑系统种类繁多，语义和证明体系也各不相同，而在21世纪，这一学科正在经历复兴。连通逻辑系统所捕捉的直觉可以追溯到古老的根源，其应用范围从亚里士多德的三段论到范畴语法、因果蕴涵的研究以及连通数学。