连通逻辑（四）

(a) ◊τ(A) ∧ □(τ(A) ⊃ τ(B))；

(b) ◊τ(A) ∧ ◊¬τ(B) ∧ □(τ(A) ⊃ τ(B))。

Ferguson (2015) 观察到，Priest 逻辑变体 (a) 的语义后果关系与 Bochvar 三值逻辑（参见多值逻辑条目）的否定、合取、析取片段的交集，可以得到一个已知的包含逻辑系统，即 Johnson 1976 年提出的 RC 系统。尽管Priest的联结逻辑的语义简单明了，但其潜在的减法否定思想却并非毫无问题。Priest（1999, 146）提到了一些强易错论者，他们“认可自己的每一种观点，但也认可某些观点是错误的”。事实上，他们相互矛盾的观点并非毫无内容，因此否定的取消性解释，以及由此产生的基于减法否定的联结逻辑系统，似乎缺乏充分的动机。Skurt和Wansing（2018）认为，作为取消性的否定这一隐喻性概念在概念上并不清晰，而Routley（Routley等，1982）提出的在广义算术中用作为减法的否定概念来取代它的建议，至少在尚未详细阐述的情况下，也并不清晰。

4.4 布尔连通关联逻辑

Jarmużek 和 Malinowski (2019a) 的布尔连通逻辑是在关联逻辑（关联逻辑的泛化）的框架下获得的。关联逻辑是 Sylvan (1989, p. 166) 所说的“双管齐下”蕴涵分析的一个例子，这种分析在真值条件的基础上添加了一个额外的“筛子”或“过滤器”，以加强先行词和后继词之间的关系。如果这种关系是指关联关系，那么这就是 Schurz (1998) 所说的“效度后关联性”的例子，与关联逻辑所研究的“效度中的关联性”相对。布尔连通逻辑通过关联蕴涵→w，使用合取、析取和布尔否定扩展了经典命题逻辑的语言。→w 的语义受所有公式集合上的二元关系 R 约束。因此，模型是一对 ＜v,R＞，其中 v 是经典的估值函数。关联蕴涵的真值条件施加了关联性约束：

＜v,R＞ ⊨ A → w B 当且仅当 [(＜v,R＞ ⊭ A 或 ＜v,R＞ ⊨ B) 且 R(A, B)]

并且定义了关于关系 R 的有效性概念：R ⊨ A 当且仅当对每个赋值 v, v,R ⊨ A。

为了获得连通逻辑，Jarmużek 和 Malinowski 在二元关系 R 上引入了以下条件：

(a1) R 是 (a1) 当且仅当对任何 A：非 R(A, ~A)

(a2) R 是 (a2) 当且仅当对任何 A：非 R(~A, A)

(b1) R 是 (b1) 当且仅当对任意 A 和 B：(i) 如果 R(A, B) 则非 R(A, ~B) 且 (ii) R((A → w B), ~(A → w ~B)) (b2) R 满足 (b2) 当且仅当对于任意 A 和 B：(i) 如果 R(A, B) 则非 R(A, ~B) 且 (ii) R((A →w ~B), ~(A →w B))。

这些条件足以验证亚里士多德和波爱修斯的论题。如果要求关系 R 在否定下闭合，即对于所有公式 A 和 B，R(A, B) 蕴涵 R(~A, ~B)，则亚里士多德和波爱修斯的论题与 R 的条件之间具有一一对应关系。那么，

(a1) R 为 (a1) 当且仅当 R ⊨ ~(A →w ~A)

(a2) R 为 (a2) 当且仅当 R ⊨ ~(~A →w A)

(b1) R 为 (b1) 当且仅当 R ⊨ (A →w B) →w ~(A →w ~B)

(b2) R 为 (b2) 当且仅当 R ⊨ (A →w ~B) →w ~(A →w B)。

然而，这些对应关系是有代价的。Jarmużek 和 Malinowski 指出，对于任何关系 R，施加否定闭包可以验证原本可反驳的公式 ~((A →w B) ∧ ~B ∧ ~(~A →w ~B))。Jarmużek 和 Malinowski 还表明，这五个条件彼此独立，因此可以推导出 25 种不同的逻辑。两个连通逻辑（在 Jarmużek 和 Malinowski 的术语中也称为“真连通逻辑”），即通过条件 (a1)、(a2)、(a3) 和 (4) 定义的逻辑，以及通过另外要求否定闭包定义的逻辑，也是 Kapsner 强的。此外，Jarmużek 和 Malinowski 为这 25 种逻辑提供了完善的表演算。

4.5 基于 FDE 的连接逻辑（美式方案）

基本的次协调逻辑 FDE 的一级蕴涵蕴涵缺乏原始的蕴涵连接词，因此可以添加一个蕴涵连接词，该蕴涵连接词通过使用 BTe′ 所表达的蕴涵的假性条件来验证亚里士多德和波爱修斯的论点。这是可能的，因为否定是按照“美式方案”处理的，即使用四个语义值：T（“仅被告知为真”）、F（“仅被告知为假”）、N（“既未被告知为真也未被告知为假”）和 B（“既被告知为真也被告知为假”），因此对真值的支持和对假值的支持作为两个独立的语义维度出现：

当且仅当 t 支持 A 的真值但不支持 A 的假值时，A 在状态 t 处获得值 T；

当且仅当 t 支持 A 的假性但不支持 A 的真性时，A 在 t 处获得值 F；

当且仅当 t 既不支持 A 的真性，也不支持 A 的假性时，A 在 t 处获得值 N；

当且仅当 t 同时支持 A 的真性和假性时，A 在 t 处获得值 B。

否定被理解为从支持真到支持假，反之亦然。调整（支持）假性条件的方法可以应用于许多不同的条件句，从构造性、相关性和实质性（布尔）蕴涵，到借助所谓的 Segerberg 框架在条件逻辑中研究的非常弱的蕴涵。

4.5.1 基于 FDE 的构造性连通逻辑

Wansing (2005) 提出了一种连通逻辑系统，该系统使用世界之间的二元关系，具有直观可信的可能世界语义。本文观察到，修改David Nelson具有强否定性的构造性四值逻辑的可能世界模型中否定蕴涵的证伪条件，可以得到一种名为C的连接逻辑，它继承了Nelson逻辑的一种解释，即信息状态的解释，这些信息状态由这些状态的可能扩展关系预先排序。关于Nelson的构造性逻辑，例如，参见Almukdad和Nelson 1984、Gurevich 1977、Nelson 1949、Odintsov 2008、Routley 1974、Thomason 1969、Wansing 2001以及Kamide和Wansing 2012。

获得C的关键观察很简单：在双重否定引入律存在的情况下，只需验证BT′及其逆~(A → B) → (A → ~B)即可。换句话说，需要对蕴涵的证伪条件进行一种与标准条件不同的解释。在Nelson的构造性逻辑系统中，双重否定律成立，并且这些逻辑的关系语义使得公式的证伪和验证分开处理。系统N4通过直觉蕴涵扩展了FDE，然而，蕴涵的证伪条件是由模式~(A → B) ↔ (A ∧ ~B) 表达的经典条件。因此，为了获得连接蕴涵，只需假设蕴涵的证伪条件的另一种解释，即由BTe′: (A → ~B) ↔ ~(A → B) 表达的解释。

考虑基于可枚举命题变量集的语言L := {∧, ∨, →, ~}。等价↔的定义与通常相同。逻辑 C 的概要公理和规则如下：

a1 直觉主义正则逻辑的公理

a2 ~~A ↔ A

a3 ~(A ∨ B) ↔ (~A ∧ ~B)

a4 ~(A ∧ B) ↔ (~A ∨ ~B)

a5 ~(A → B) ↔ (A → ~ B)

R1 肯定前件

显然，a5 是 C 中唯一的反经典公理。后果关系 ⊢C（C 中的可导性）的定义与通常相同。 C 框架是一对 F = ＜W, ≤ ＞，其中 ≤ 是非空集 W 上的自反和传递二元关系。设 ＜W, ≤ ＞+ 为所有 X ⊆ W 的集合，并且如果 u ∈ X 且 u ≤ w，则 w ∈ X。C 模型是一个结构 M = ＜W, ≤, v+, v− ＞，其中 ＜W, ≤ ＞ 是 C 框架，v+ 和 v− 是从命题变量集到 ＜W, ≤ ＞+ 的估值函数。直观地，W 是一组信息状态。函数 v+ 将命题变量 p 发送到 W 中支持 p 为真的状态，而 v− 将 p 发送到支持 p 为假的状态。M = ＜W, ≤, v+, v− ＞ 被称为基于框架 ＜W, ≤ ＞ 的模型。关系 M, t ⊨+ A（“M 支持 A 在 t 时刻为真”）和 M, t ⊨− A（“M 支持 A 在 t 时刻为假”）的归纳定义如下：

M, t ⊨+ p 当且仅当 t ∈ v+(p)

M, t ⊨− p 当且仅当 t ∈ v−(p)

M, t ⊨+ (A ∧ B) 当且仅当 M, t ⊨+ A 且 M, t ⊨+ B

M, t ⊨− (A ∧ B) 当且仅当 M, t ⊨− A 或 M, t ⊨− B

M, t ⊨+ (A ∨ B) 当且仅当 M, t ⊨+A 或 M, t ⊨+ B

M, t ⊨− (A ∨ B) 当且仅当M, t ⊨− A 且 M, t ⊨− B

M, t ⊨+ (A → B) 当且仅当对于所有 u ≥ t (M, u ⊨+ A 蕴含 M, u ⊨+ B)

M, t ⊨− (A → B) 当且仅当对于所有 u ≥ t (M, u ⊨+ A 蕴含 M, u ⊨− B)

M, t ⊨+ ~A 当且仅当 M, t ⊨− A

M, t ⊨− ~A 当且仅当 M, t ⊨+ A

如果 M = ＜W, ≤, v+, v− ＞ 为 C 模型，则 M ⊨ A（“A 在 M 中有效”）当且仅当对于每个 t ∈ W, M, t ⊨+ A。F ⊨ A（“A 在 F 上有效”）当且仅当 M ⊨ A对于基于 F 的每个模型 M，一个公式是 C 有效的，当且仅当它在每个框架上都有效。对于任意公式，真值支持和假值支持相对于信息状态可能扩展的关系 ≤ 是持久的。也就是说，对于任何 C 模型 M = ＜W, ≤, v+, v− ＞ 和公式 A，如果 s ≤ t，则 M, s ⊨+ A 意味着 M, t ⊨+ A 且 M, s ⊨− A 意味着 M, t ⊨− A。很容易证明否定范式定理成立。逻辑 C 的特征在于所有 C 框架的类：对于任何 L 公式 A，⊢C A 当且仅当 A 是 C 有效的。此外，C 满足析取性质和可构造假性。如果⊢C A ∨ B，则⊢C A 或⊢C B。如果⊢C ~(A ∧ B)，则⊢C ~ A 或⊢C ~B。 C 的可判定性源于其忠实地嵌入到正直觉主义命题逻辑中。

与 Nelson 的四值构造性逻辑 N4 类似，C 是一种次协调逻辑（参见入门逻辑：次协调）。需要注意的是，C 包含矛盾，例如：⊢C ((p ∧ ~p) → (~p ∨ p)) 和 ⊢C ~((p ∧ ~p) → (~p ∨ p))。从以上表述可以明显看出，C 与 N4 的区别仅在于蕴涵式的证伪（或支持假性）条件。与 N4 类似，可证强等价关系是一种一致性关系，即集合 {A : ⊢C A} 在规则 A ↔ B，~A ↔ ~B / C(A) ↔ C(B) 下闭合。 Wansing (2005) 还引入了 C 的一阶扩展量子逻辑。Kamide 和 Wansing (2011) 提出了 C 的健全且完备的序贯演算，并证明了切割规则是可接受的，这意味着可以省略它。

公理 a5 从右到左的方向可以通过拒绝“如果 A 蕴含 B 且 A 不一致，则 A 蕴含任何公式，特别是 B”的观点来证明，而从左到右的方向似乎相当强。如果蕴涵的验证条件是动态的（指除了求值状态之外的其他状态），那么 a5 表明蕴涵的证伪条件也是动态的。因此，(A → B) 的假性蕴涵了如果 A 为真，则 B 为假。然而，有人可能会疑惑，为什么不要求 (A→ B) 的假性蕴涵了如果 A 为真，则 B 不为真？这无法用只有一个否定 ~ 的语言来表达，因为 ~ 表示的是假，而不是真（经典的求值状态或直觉主义的在所有相关状态下都是如此）。如果在 C 中添加进一步的公理 ~A → (A → B) 以获得 Nelson 三值逻辑 N3 的连通变体，直觉主义否定 ¬ 可以通过以下方式定义：¬A := A → ~A。那么 a5 可以替换为

a5′: ~(A → B) ↔ (A → ¬B)。

由于 A → ¬~A 和 ~A → ¬A 是定理，因此所得系统满足 AT、AT′、BT 和 BT′。例如，对于 BT，我们有：

1. A → B 假设

2. B → ¬~B 定理

3. A → ¬~B 1, 2，→ 的传递性

4. (A → ¬~B) → ~(A → ~B) 公理 a5′

5. ~(A → ~B) 3, 4，R1

6. (A → B) → ~(A → ~B) 1, 5，演绎定理

然而，该逻辑是由所有 L-公式组成的平凡系统（这一事实在 Wansing 2005（第 6 节）中没有提及，但在该论文的在线版本中有所指出）。

系统 C 是正向直觉逻辑的保守扩展。在C语言中，强否定的解释方式是，将其无否定子语言的直觉蕴涵转化为连通蕴涵。类似地，强否定可以添加到正对偶直觉逻辑中，得到一个具有连通蕴涵的系统；对于双直觉逻辑，或者与 Wansing 2016a 中的逻辑 2Int 进行比较，该逻辑也包含一个蕴涵和一个共蕴涵连接词，从而得到同时具有连接蕴涵和连接共蕴涵的系统，参见 Wansing 2008、2016b 以及 Kamide 和 Wansing 2016。

系统 C 和 QC 是连接性的，但不是 Kapsner 强的。这并不奇怪，因为这些逻辑是次协调的，并且允许公式 A 和 ~A 同时满足可满足性，即一个状态及其所有可能的展开式可以同时支持 A 和 ~A 的真值。因此，A → ~A 和 ~A → A 是可满足的。如果 A → ~A 和 ~A → A 不可满足，则强连通性与同时满足演绎定理和将语义后果定义为真值支持的保持相冲突：A → ~A 将蕴涵 ~(A → ~A)，~A → A 将蕴涵 ~(~A → A)，且公式 (A → ~A) → ~(A → ~A) 和 (~A → A) → ~(~A → A) 将有效，而非不可满足。

4.5.2 基于 FDE 的连通性关联逻辑

Hitoshi Omori (2016a) 定义基本关联逻辑 BD（参见词条逻辑：关联性）的连通性扩展的出发点是找到一个按照美国方案处理否定的 BD 扩展的证明理论。 Priest 和 Sylvan (1992) 将此问题视为一个开放性问题，Omori 通过定义 BD 的一个连通变体 BDW 给出了部分解决方案。其语义使用基于三元框架的模型。存在一个基状态 g，四个真值表示为经典真值集合 {0,1} 的子集，解释则采用 Dunn 的风格定义（参见 Omori 和 Wansing 2017）。模型是四元组 ＜g, W, R, I＞，其中 W 是非空集（状态集），g∈W，R 是 W 上的三元关系，且 Rgxy 当且仅当 x = y，其中 I 是将由状态和命题变量组成的对映射到 {0,1} 子集的函数。然后，将解释函数 I 扩展为所有公式在各个状态下的真值分配，如下所示：

1 ∈ I(w, ~A) 当且仅当 0 ∈ I(w, A)

0 ∈ I(w, ~A) 当且仅当 1 ∈ I(w, A)

1 ∈ I(w, A ∧ B) 当且仅当 [1 ∈ I(w, A) 且 1 ∈ I(w, B)]

0 ∈ I(w, A ∧ B) 当且仅当 [0 ∈ I(w, A) 或 0 ∈ I(w, B)]

1 ∈ I(w, A ∨ B) 当且仅当 [1 ∈ I(w, A) 或 1 ∈ I(w, B)]

0 ∈ I(w, A ∨ B) 当且仅当 [0 ∈ I(w, A) 且 0 ∈ I(w, B)]

1 ∈ I(w, A → B) 当且仅当对所有 x, y ∈ W：若 Rwxy 且 1 ∈ I(x, A)，则 1 ∈ I(y, B)

0 ∈ I(w, A → B)，当且仅当对于所有 x, y ∈ W：若 Rwxy 且 1 ∈ I(x, A)，则 0 ∈ I(y, B)

BDW 的公理化可以通过在 BD 的公理系统中添加 BTe′ 得到。与构造性连通逻辑 C 类似，连通相关逻辑 BDW 是不一致的，但非平凡的。

4.5.3 实质连通逻辑

在系统 C 中添加排中律会产生平凡化效果，而在 C 中添加排中律并不能得到一个包含正则经典命题逻辑片段的逻辑。然而，如果蕴涵 A → B 被理解为实质性的布尔蕴涵，那么对假性条件的单独处理又可以引入一个连通逻辑系统。由此产生的系统 MC 可以称为实质性连通逻辑系统。其语义非常明显：模型 M 只是一个从所有文字（即命题变量或否定命题变量）的集合到经典真值集合 {1, 0} 的函数。模型 M (M ⊨ A) 中公式 A 的真实性定义如下：

M ⊨ p 当且仅当 v(p) = 1

M ⊨ (A ∧ B) 当且仅当 M ⊨ A 且 M ⊨ B

M ⊨ (A ∨ B) 当且仅当 M ⊨ A 或 M ⊨ B

M ⊨ (A → B) 当且仅当 M ⊭ A 或 M ⊨ B

M ⊨ ~p 当且仅当 v(~p) = 1

M ⊨ ~~A 当且仅当 M ⊨ A

M ⊨ ~(A ∧ B) 当且仅当 M ⊨ ~A 或 M ⊨ ~B

M ⊨ ~(A ∨ B) 当且仅当 M ⊨ ~A 且 M ⊨ ~B

M ⊨ ~(A → B) 当且仅当 M ⊭ A或 M ⊨ ~B

一个公式有效，当且仅当它在所有模型中都为真。（或者，可以使用 C 的语义，并要求框架的状态集为单例。）所有有效公式的集合由以下一组公理图式和规则公理化：

a1c 经典正则逻辑的公理

a2 ~~A ↔ A

a3 ~(A ∨ B) ↔ (~A ∧ ~B)

a4 ~(A ∧ B) ↔ (~A ∨ ~B)

a5 ~(A → B) ↔ (A → ~B)