连通逻辑（三）

3.7 语义视角

多值语义和模型论语义学是连接逻辑的核心方法，它以真值或真值支持度以及假值条件支持度来阐述。正如 Omori 和 Wansing 2019 所解释的那样，一些连接逻辑的语义可以描述为：(i) 修改某些条件句的某些标准真值条件（支持度），或将标准真值条件与更复杂的模型结构相结合；或 (ii) 调整某些常见蕴涵式的标准假值条件（支持度）。鉴于连接逻辑种类繁多，以及结合标准真值条件（支持度）调整假值条件的灵活性，这种分类提供了一种通用的视角。

这一分类工作的一个关键观察来自 Omori 和 Sano (2015) 的论文，其中描述了一种机械程序，用于将使用一级蕴涵逻辑 (FDE) 的四个广义真值（参见真值与关联逻辑条目以及 Omori 和 Wansing (2017) 的论文）的真值表转换为包含或不包含经典真值 0 和 1 的正负条件对。然后，在 McCall 的系统 CC1 中，连通条件 A → B 在模型中接收指定值（为真），仅当 (i) A 未接收指定值或 B 接收指定值，并且 (ii) 0 属于 A 的值当且仅当它属于 B 的值。从这个意义上讲，Angell-McCall 的连通蕴涵是通过在布尔蕴涵的真值条件中添加一个条件获得的。

Pizzi (1977, 1991, 1993, 1996, 2004,2005、2008、2018）以及Pizzi和Williamson（1997、2005）验证了亚里士多德的论题，但未能验证波爱修斯的论题。因此，它仅在弱意义上具有连接性，但由于结果蕴涵是一个严格条件，需要满足某些额外条件，因此结果蕴涵逻辑也符合语义视角提供的分类方案。下表是对 Omori 和 Wansing 2019 年总结概述的略微扩展（并附有指向本条目相关章节的链接），其中双线以上的方法调整（支持）真值条件（或在标准真值条件中添加语义机制），而双线以下的方法则微调（支持）假值条件：

条件否定 后果关系

Angell-McCall，第 4.1 节 材料 + 微调 经典标准

Routley，第 4.2 节 相关 + “代际关系” 明星标准

Priest，第 4.3 节 严格 + 微调 经典 非标准

Jarmużek 和 Malinowski，第 4.4 节 材料 + 双管齐下分析 经典标准

Pizzi，第 5 节 严格 + 微调 经典标准

Wansing，第 4.5 节 各种类型 德·摩根标准

Rahman 和 Rückert 2001 年提出了关于连接逻辑的对话语义处理。

4. 连接逻辑系统逻辑

4.1 代数连通逻辑

虽然连通逻辑的基本思想可以追溯到古代，但对具有连通蕴涵的形式系统的探索似乎直到19世纪H. MacColl (1878) 的著作中才开始，另见Rahman and Redmond 2008。连通蕴涵的基本思想也由E. Nelson (1930) 阐明，而对连通逻辑系统的最新形式研究始于20世纪60年代。在 1966 年的 McCall 论文中，S. McCall 提出了一个命题连接逻辑系统的公理化，该系统由 Angell (1962) 语义引入，并基于某些四值矩阵。McCall 逻辑 CC1 的语言包含一元连接词 ~（否定）以及二元连接词 ∧（连接）和 →（蕴涵）作为原语（符号已调整）。析取 ∨ 和等价 ↔ 的定义与通常相同。 CC1 的示意图公理和规则如下：

A1 (A → B) → ((B → C) → (A → C))

A2 ((A → A) → B) → B

A3 (A→ B) → ((A ∧ C) → (B ∧ C))

A4 (A ∧ A) → (B → B)

A5 (A ∧ (B ∧ C)) → (B ∧ (A ∧ C))

A6 (A ∧ A) → ((A → A) → (A ∧ A))

A7 A → (A ∧ (A ∧ A))

A8 ((A → ~B) ∧ B) → ~A

A9 (A ∧ ~(A ∧ ~B)) → B

A10 ~(A ∧ ~(A ∧ A))

A11 (~A ∨ ((A → A) → A)) ∨ (((A → A) ∨ (A → A)) → A)

A12 (A → A) → ~(A → ~A)

R1 如果 ⊢ A 且 ⊢ (A → B)，则 ⊢ B（肯定前件）

R2 如果 ⊢ A 且 ⊢ B，则 ⊢ (A ∧ B)（伴随）

在这些公理模式中，只有 A12 是反经典的。系统 CC1 的特征在于以下四值真值表，其值分别为 1 和 2：

~

1 4

2 3

3 2

4 1

∧ 1 2 3 4

1 1 2 3 4

2 2 1 4 3

3 3 4 3 4

4 4 3 4 3

→ 1 2 3 4

1 1 4 3 4

2 4 1 4 3

3 1 4 1 4

4 4 1 4 1

McCall 强调，逻辑 CC1 只是众多满足亚里士多德和波爱修斯命题的可能系统之一。尽管 CC1 是一个连通逻辑系统，但其代数语义似乎只是一种形式工具，几乎没有解释能力。在 CC1 中，常数真值函数 1、2、3 和 4 可以定义如下（McCall1966，第 421 页）：对于某个句子字母 p，1 := (p → p)，2 := ~(p ↔ ~p)，3 := (p ↔ ~p)，4 := ~(p→ p)。正如 Routley 和 Montgomery（1968，第 95 页）指出的那样，CC1“可以通过将矩阵值 1 与逻辑必然性关联起来而赋予语义，值 4 表示逻辑不可能，值 2 表示偶然真，值 3 表示偶然假。然而，这会导致许多异常情况，例如两个偶然真理的结合产生一个必然真理”。此外，McCall 指出，如果“连接逻辑”这一名称旨在反映在有效蕴涵 A → B 中，前件 A 和后件 B 之间存在某种形式的联系，那么 CC1 的某些性质就难以自圆其说。例如，公理 A4 在这方面就很糟糕。另一方面，CC1 可以说是欠生成的，因为 (A ∧ A) → A 和 A → (A ∧ A) 不是 CC1 的定理。Routley 和 Montgomery (1968) 证明，将后一个公式仅添加到 CC1 的某个子系统会导致不一致。有关 Angell 的 PA1 对抗 Routley 和 Montgomery 批判性观察的辩护，请参阅 Bode 1979。

这些观察很可能在当时分散了许多非经典逻辑学家对连接逻辑的注意力。如果尽管亚里士多德和波爱修斯的《论题》与连通逻辑截然不同，但上述批评的破坏性尚不明确。为了构建更令人满意的连通逻辑系统，McCall（1975）定义了连通代数和连通模型的概念，并提出了一个公理系统CFL，其特征是所有连通模型的类。然而，在CFL的语言中，每个蕴涵都是一级的，即不允许→的嵌套。McCall引用了R. Meyer的结果，该结果证明CFL的有效蕴涵构成有效实质等价集合的一个子集，并简要讨论了放弃对一级蕴涵的句法限制。Meyer (1977) 证明，正则模态逻辑 S5 的一级片（实际上，所有介于 KT 和 S5 之间的正则模态逻辑，参见入口逻辑：模态）与 CFL 在以下意义上等价：若连通蕴涵 A → B 定义为 □(A ⊃ B) ∧ (A ≡ B)，其中 ⊃ 和 ≡ 分别是经典蕴涵和等价，则所有 CFL 定理均可在 S5 中证明；若 □A（“A 必然”）定义为 (~p ∨ p)→A，则所有 S5 的一级定理均可在 CFL 中证明。总而言之，可以公平地说，作为 20 世纪 60 年代和 70 年代对连通逻辑研究的结果，连通逻辑尽管有着古老的根源，却似乎成为了非经典逻辑的一种奇特分支。

近期，Cantwell (2008) 提出了一种用于连接逻辑系统的真值表语义，并对其进行了证明论刻画。否定和蕴涵的真值表取自 Belnap (1970)，但 Cantwell 的条件句三值真值表已可在 William Cooper (1968) 的论文中找到。与 Cantwell 一样，Cooper 也希望正式建模直陈式条件句（以“如果-那么”形式表达）在日常英语对话中的使用方式。（Cantwell 将整个三元素真值集作为命题变量赋值函数的陪域，而 Cooper 将赋值函数限制为从命题变量集到经典真值二元素集的映射。）Cantwell 考虑了一种包含常假命题 ⊥ 的语言，以及以下用于否定、合取、析取的三值真值表：以及赋值 T 和 − 的蕴涵（其中 T 代表真，F 代表假）：

~

T F

F T

− −

∧ T F −

T T F −

F F F F

− − F −

∨ T F −

T T T T

F T F −

− T − −

→ T F −

T T F −

F − − −

− T F −

在这个作为条件否定系统引入的系统中，CN, (A → ~B) 和 ~(A → B) 在对命题变量赋予任何真值的情况下都具有相同的值。因此，Cantwell 的系统验证了 BTe 和 BTe′，并且它被证明是 Wansing 2005 提出的连通逻辑 MC（见第 4.5.3 节），并通过排中律进行了扩展，A ∨ ~A。 Olkhovikov (2002)、2016 和 Omori (2016c) 分别研究了 CN 的某种扩展，参见第 4.5.3 节。

Estrada-González (2008) 提出了一种三值逻辑 MRSP，它能验证亚里士多德的论题，但不能验证波爱修斯的论题，并且具有次最小连通性，并且 Kapsner 在其 Estrada-González & Ramirez-Cámara (2016) 的术语中表现出色。MRSP 正是这种逻辑的典型代表。Estrada-González & Ramirez-Cámara (2016) 以 Cantwell 的三值连通逻辑 CN 和 Mortensen (1984) 的三值连通逻辑（McCall (2012) 将其命名为 M3V）为背景，讨论了 MRSP。

McCall (2014) 提出了一种用于连接逻辑系统（他称之为“连接Gentzen”）的无截断序列演算。该演算具有非标准特性，即使用非逻辑真值的公理对。使用下标注释可以在推导过程中消除对这些非标准公理的依赖。所得系​​统与CC1的不同之处在于，p → (p ∧ p) 和 (p ∧ p)→ p 是可证的，并且已被证明对于某些四值矩阵是合理的。Wansing (2008) 和 Kamide 和 Wansing (2011) 首次提出了针对某些构造型和模态连通逻辑的健全且完备的无截断序列演算。

4.2 基于关联逻辑三元框架的连通逻辑（澳大利亚方案）

20 世纪 70 年代末至 80 年代，基于关联逻辑三元框架的连通逻辑受到了语义研究，研究使用了 Routley 星号否定，该否定是“基于澳大利亚方案”逻辑所特有的，参见 Meyer 和 Martin (1986)。Routley (1978) 利用公式 A 和可能世界 s 之间的“生成关系”G，对亚里士多德的命题 AT′ 和波爱修斯的命题 BT 进行了语义刻画。语义采用模型结构F = ＜T, K, R, S, U, G, *＞，其中K是可能世界的非空集，T ∈ K是特定世界（“现实世界”），R、S和U是K上的三元关系，G是生成关系，*是K上的函数，将每个世界s映射到其“对立面”或“逆向”s *。估值是一个函数v，它将世界和命题变量对发送到{0,1}，满足以下遗传条件：如果R(T, s, u)和v(p, s) = 1，则v(p, u) = 1。直观地说，G(A, t)应该意味着世界t中成立的一切都是由A隐含的。模型是一个结构M = ＜F, v＞。关系 M, t ⊨ A（“A 在 M 中的 t 时刻为真”）的归纳定义如下：

M, t ⊨ p 当且仅当 v(p, t) = 1

M, t ⊨ ~A 当且仅当 M, t* ⊭ A

M, t ⊨ (A ∧ B) 当且仅当存在 s, u，且 Stsu M, s ⊨ A 且 M, u ⊨ B

M, t ⊨ (A ∨ B) 当且仅当存在 s, u，且 Utsu M, s ⊨ A 或 M, u ⊨ B

M, t ⊨ (A → B) 当且仅当对于所有 s, u，如果 Rtsu 且 M, s ⊨ A，则 M, u ⊨ B

[注：当歧义可能性较小时，我们将 R(x, y, z) 替换为Rxyz。]

此外，要求对于每个公式 A 和世界 t，G(A, t) 蕴涵 M, t ⊨ A。公式 A 在模型 M 中为真当且仅当 M, T ⊨ A；且 A 对于一类模型有效，若 A 在该类的所有模型中都为真。AT′ 在语义上由以下模型性质表征：∃t (R(T*, t, t*) 和 G(A, t))，而 BT 则由 ∀w∃s, t, u (R(w, s, t), R(w*, s, u), G(A, s) 和 R(T, t, u*)) 表征。

Mortensen (1984) 考虑了 AT′，他解释说 Routley 对 AT′ 的刻画“在直观上并不是特别具有启发性”，并指出在某些具有三元关系模型语义的逻辑中，AT′ 有另一种刻画，即对于每个模型 M，集合 CA := {s : M, s ⊨ A 和 M, s ⊭ ~A} 非空。与 Routley 的非递归要求 G(A, t) 蕴涵 M, t ⊨ A 一样，Mortensen 的条件也不是一个纯结构条件，因为它提到了真值关系 ⊨。Mortensen (1984, p. 114) 认为条件 CA ≠ ∅“最接近我们对亚里士多德的思考方式”，并强调对于自相矛盾的命题 A，集合 CA 必须为空，因此 AT′ 应被否定。 Mortensen 还批判性地讨论了在关联逻辑 E 中添加 AT′ 的问题。在这种情况下，AT′ 相当于在世界 T* 中不存在任何蕴涵为真的条件。

Brady 1989 年提出了一种更规则的语义，用于扩展基本关联逻辑 B（不要与读作“既真又假”的真值混淆），该扩展使用了 AT′ 或 BT。在该语义中，合取以标准方式定义，并且存在一个非空的世界子集 O ⊆ K。集合 O 包含用于在模型中定义真值的特有元素 T。扩展模型结构包含一个函数 ℑ，它将世界集（特别是公式（也称为命题）I(A) 的解释）映射到世界集，使得公式 A 在世界 t 处为真，当且仅当 t ∈ ℑ(I(A))。这使得 Brady 能够表述捕获 AT′ 和 BT 的模型条件如下：

AT′：若 t ∈ O，则对于任何命题 f，(∃x, y ∈ ℑ(f)) Rt*xy*；

BT：对于任何命题 f 和任何 t ∈ K，(∃x,y ∈ ℑ(f)) (∃z ∈ K) (Rtxz 和 Rt*yz*)。

请注意，这些子句仍然不是纯粹的结构条件，而是公式解释的条件。此外，对基于三元框架的连通逻辑的研究，似乎并未使连通逻辑成为非经典逻辑的一个完全认可的分支。

4.3 基于减法否定的连通逻辑

尽管根据Routley (1978)、Routley等人(1982)以及Routley和Routley (1985)的论述，连通逻辑与否定作为取消的概念之间存在密切的联系，但Routley提出了一种在关联逻辑中使用生成关系和三元框架中的星号否定的语义，而Priest (1999)则直接基于否定的取消观点提出了连通逻辑。Priest (1999)将一个强制执行矛盾零内容说明的蕴涵定义直接转化为求值子句。模型是一个结构 M = ＜W, g, v＞，其中 W 是可能世界的非空集合，g 是与 W 不同的元素，v 是从命题变量集到经典真值集 {1, 0} 的估值函数。考虑两个用于评估可能世界蕴含的子句（符号已调整）：

(a) M, s ⊨ A → B 当且仅当 (i) 存在一个世界 u，且 M，u ⊨ A 且 (ii) 对于每个世界 u, M, u ⊨ A 则 M, u ⊨ B；

(b) M, s ⊨ A → B 当且仅当 (i) 存在一个世界 u 且 M, u ⊨ A；(ii) 存在一个世界 u 且 M, u ⊭ B；以及 (iii) 对于每个世界 u, M, u ⊨ A 则 M, u ⊨ B。

条件 (i) 确保不可满足的先行词不蕴含任何内容。其他连接词的求值子句是经典的。公式 A 在模型 (M ⊨ A) 中为真，当且仅当 M, g ⊨ A；且 A 有效，当且仅当 A 在所有模型中都为真。条件 (ii) 确保对立律有效。公式集合 Δ 在模型中为真，当且仅当 Δ 中的每个元素在该模型中都为真。

蕴涵 (Δ ⊨ A) 有两种概念，一种包含子句 (a)，另一种包含子句 (b)：

(a) Δ⊨ A 当且仅当 Δ 在某个模型中为真，且 Δ 为真的每个模型都是 A 为真的模型；

(b) Δ⊨ A 当且仅当 Δ 在某个模型中为真，~A 在某个模型中为真，且 Δ 为真的每个模型都是 A 为真的模型。

这两个连通逻辑直接源于否定即取消的思想。它们既不是单调的，也不是在一致替换下封闭的。它们的证明系统和判定程序可以通过将 τ 直接忠实地翻译成模态逻辑 S5 来获得，参见入口逻辑：模态。对于蕴涵 A → B，翻译定义如下，其中 ⊃ 为实质蕴涵，¬ 为经典否定：