连通逻辑（二）

3. 连通逻辑的视角

连通逻辑体系可以从不同的视角来理解和理解。尽管其中一些观点密切相关，但简要概述一下它们或许会有所帮助。

3.1 连通性和相关性

Routley (1978)，另见Sylvan 1989（2000，第5章），提出了一种不同于McCall的连通逻辑概念。如果将有效蕴涵的前提和后续项之间的连通性要求理解为内容连通，并且前提和后续项彼此相关时内容连通成立，那么“连通逻辑和相关逻辑的一般类别是相同的”（Routley 1978，第393页），另见Sarenac和Jennings 2003，其中研究了McCall连通系统CC1（见第4.1节）与相关性保持之间的连通性。

因为经典逻辑词汇表中每个非平凡的连接逻辑系统都必须省略一些经典的重言式，并且因为可以通过拒绝连接简化来避免不相关的、实质性蕴涵的标准悖论，即 (A ∧ B) → A 和 (A ∧ B) → B，所以 Routley 要求连接逻辑拒绝或限定连接简化（或等效图式）。尽管根据 Routley (1978, Routley et al. 1982) 以及 Routley 和 Routley (1985) 的观点，否定作为取消的思想（参见 3.3 和 4.3 节）导致了连接简化以及 AT’ 和 BT 的失败，但 Routley 1978 年发展的连接逻辑的模型论语义（参见 4.2 节）利用了后来被称为 Routley 星号否定的思想，参见否定词条。

如果假设对立规则和一致代换，并且蕴涵是传递性的，那么连接简化和亚里士多德的论题的结合会导致否定不一致，即：存在公式 A，使得 A 及其否定 ~A 均为定理，例如参见 Woods 1968 和 Thompson 1991。非平凡的否定不协调逻辑（具有传递后验关系）必定是副协调的。Mortensen (1984) 使用某些三值真值表指出，存在同时满足 AT′ 和简化的不一致但非平凡的系统。满足合取简化的非平凡不一致连接逻辑系统的例子将在第 4.5 节中给出。鉴于基于带有简化的连通逻辑系统的 Zermelo-Fraenkel 集合论是不一致的（参见 Wiredu 1974），我们可以认识到此类连通系统的有效性。Mortensen (1984) 也指出，在 Anderson 和 Belnap 的关联逻辑 R 中添加 AT′ 会产生琐碎化效果，Routley 等人 1982 也证明了这一事实。

连通逻辑与关联逻辑之间的关系也可以如下理解。设 A 和 B 是经典命题逻辑的偶然公式，即既不是恒定为假也不是恒定为真的公式。众所周知，经典逻辑中存在以下关系：

非：~A ⊢ A

如果 A ⊢ B，则非：A ⊢ ~B

如果 A ⊢ B，则 A 和 B 共享某个命题变量（句子字母）。

如果将性质 (iii) 推广到任意公式 A 和 B，则称为变量共享性质或变量共享原则，这通常被视为逻辑成为相关逻辑的必要条件（参见条目逻辑：相关性）。所谓的包含逻辑（也称为 Parry 系统或解析蕴涵系统，参见 Parry 1933、Anderson and Belnap 1975、Fine 1986、Ferguson 2015），满足强相关要求，即如果 ⊢ A → B，那么B的每个命题变量也是A的命题变量。变量共享属性表示如果B可从A推导（或者，在语义上，A蕴涵B），则A与B之间存在内容连接。属性(i)和(ii)可以被视为以否定的方式表达了对可推导关系的内容连接要求。如果想用对象语言公式的可证明性来表达这些约束，自然会想到亚里士多德和波爱修斯的论点。

Omori 2016a 和 Francez 2019 研究了连接关联逻辑，这种逻辑结合了关联逻辑的三元框架语义和沿用关联逻辑C（参见4.5.1节）的假性条件调整（参见4.2节和4.5节）。

3.2 条件逻辑

联结逻辑的原理已在条件逻辑中得到讨论（参见词条逻辑：条件逻辑），始于拉姆齐（1929）对现称为拉姆齐检验（Ramsey Test）的评论。例如，McCall 2012 和 Ferguson 2014 指出：

如果两个人争论“如果 p 是否会导致 q？”，并且双方都对 p 存有疑问，那么他们就假设性地将 p 添加到他们的知识库中，并在此基础上争论 q；因此，从某种意义上说，“如果 p，q”和“如果 p，~q”是矛盾的（符号已调整）。

Angell（1966, 1967a, 1978）将 AT′ 称为条件非矛盾律。通常，阿伯拉尔的第一原理 ~((A → B) ∧ (A → ~B)) 被认为是一个条件不矛盾的原理，因此得到了一些哲学家的认可，例如吉巴德 (1981, p. 231)、洛 (1995, p. 47) 和贝内特 (2003, p. 84)，但他们并未提及任何关联逻辑。然而，条件不矛盾却不成立，在 Stalnaker (1968) 和 Lewis (1973) 提出的语义学中，这应是一个有效的原则，参见 Unterhuber (2013) 的讨论。Weiss (2019) 提出的用于验证亚里士多德命题 BTw 和 BTw′ 的限制性连通逻辑继承了 Stalnaker 和 Lewis 的传统，并被赋予了一种基于 Nute (1980) 条件逻辑代数语义的代数语义。

John Cantwell (2008) 从条件逻辑的角度提出了连通逻辑的另一个动机，但他没有指出所引入的命题逻辑是一个连通逻辑系统。 Cantwell 探讨了自然语言中指示条件句的​​否定，并认为，例如，否定条件句“如果奥斯瓦尔德没有杀死肯尼迪，那么杰克·鲁比就杀死了肯尼迪。”就等于断言：如果奥斯瓦尔德没有枪杀肯尼迪，那么杰克·鲁比也没有。这表明 (A → ~B) 在语义上与 ~(A → B) 等价。此外，Claudio Pizzi 关于结果蕴涵逻辑的研究也受到条件逻辑的启发，参见 Pizzi 1977 及其第五节。

3.3 否定

由于典型的连接原则展现了一个蕴涵和一个否定连接词，因此，从否定概念的角度来理解连接逻辑也就不足为奇了。出现了两种不同的观点，即否定作为取消（擦除、中和或减法），否定作为假。 “否定即取消”这一否定概念可以追溯到亚里士多德的《前分析篇》，并经常与斯特劳森联系在一起。斯特劳森认为，“矛盾会自行取消，不留任何余地”（1952，第3页）。Routley（1978，Routley et al. 1982），Routley and Routley 1985，以及 Priest 1999 使用减法否定的概念来阐明连接原理。Routley 和 Routley (1985, p. 205) 提出了否定的取消观点，如下所示：

∼A 删除、中和、擦除、取消 A（类似地，由于关系是对称的，A 擦除 ∼A），因此 ∼A 与 A 合取后什么也没有，没有任何内容。A 与 ∼A 的合取没有说明任何内容，因此没有更具体的推论。具体而言，A ∧ ∼A 既不蕴涵 A，也不蕴涵 ∼A。

需要注意的是，如果一个逻辑实现了否定的取消观点，它也将是次相容的，因为 (A ∧ ∼A) ⊢ B 的矛盾可逆原则将失效。 （Wagner 1991 讨论了“矛盾即无”的推论。）根据 Routley 夫妇的观点，否定的减法论述与亚里士多德的命题 AT′ 之间的联系如下（Routley 和 Routley 1985，第 205 页）：

蕴涵是指逻辑内容的包含。因此，如果 A 蕴涵 ~A，它将包含与其中和的 ~A 作为其内容的一部分；在这种情况下，它什么也不蕴涵，因为它没有内容。因此，并非 A 蕴涵 ~A，即亚里士多德的命题 ~(A → ~A) 成立。

因此，对于鲁特利（Routley et al. 1982, p. 82）而言，联结主义有两个主要论点，即：

1. 简化（A ∧ B → A，A ∧ B → B）不成立，其使用……正是蕴涵悖论的根源……

2. 每个陈述都是自洽的，符号上为 A ◇ A，其中与蕴涵的一致性关系（符号为 ◇）以标准方式与蕴涵相联系：A ◇ B ↔. ~(A → ~B)。

否定的取消观点在 Wansing 和 Skurt 2018 年的著作中受到了严厉批评，这里强调，连接逻辑可以与否定作为擦除的概念以及连接简化的失败区分开来。

与否定作为无真值的概念相反，否定作为确定的假的概念，并不支持连接简化的失败，而是支持ex contradictione quodlibet的失败，如果将其与将推理理解为信息流相结合，因为对于任何B，A ∧ ~A的信息并不一定给出B的信息。这表明需要分别处理（支持）真值和（支持）假值条件，这使得能够采用BTe′所表示的蕴涵的假值条件。

3.4 反古典性

Humberstone (2000) 将一种逻辑称为反古典逻辑，因为并非所有逻辑中可证明的公式都能在经典逻辑中证明（此外，他还提出了一种要求更高的反古典逻辑概念，即要求无法通过转换其联结词来获得经典逻辑的子系统）。反古典逻辑有多种不同的类型，例如包含公理模式 ((A → B) → B) → A) 的阿贝尔逻辑、联结逻辑和逻辑双格逻辑。例如，Arieli 和 Avron (1996) 的双格逻辑 BL⊃ 中的否定、真值序合取、弱蕴涵和信息序析取片段，就是包含否定、合取、析取和条件句的标准命题词汇。这是一种非平凡但不一致的逻辑，因此是反古典的。

Omori 和 Wansing (2018) 描述了一种获取反古典逻辑的方法，Estrada-Gónzalez (2019) 对此进行了更详细的讨论。参照 4.5.1 节中联结逻辑 C 的呈现模式，其基本思想是保留逻辑运算的一些标准真值条件（支持真值），并修改其（支持真值的）假值条件。从双边主义的角度来看，真值与假值以及可证明性与可反证性或可反驳性分别被视为独立的语义维度和证明理论维度，并且彼此平等。联结逻辑也存在保留逻辑运算的一些标准假值条件（支持真值），并修改其（支持真值的）真值条件的策略。联结逻辑可以被视为对反古典性道路的探索。

3.5 实证视角

在 McCall 2012 的研究中，我们可以看到一些结果，这些结果测试了英语指示条件句以具体形式给出的联结原则（AT′、BT 和作为规则陈述的 BT）的认可度，该研究对象为加拿大麦吉尔大学的一组 89 名非专业哲学学生。这些发现支持了以下直觉：英语门外汉在相当高的程度上认同这些连接原则：AT′ 的认同率为 88%，BT 规则形式的认同率为 85%，BT 的认同率为 84%。

Pfeifer (2012)、Pfeifer 和 Tulkki (2017) 以及 Pfeifer 和 Yama (2017) 对亚里士多德的论点进行了实证研究。在 Pfeifer (2012) 提出的一项实验中，样本包括奥地利萨尔茨堡大学的 141 名心理学学生（110 名女性和 31 名男性）。AT 和 AT′ 都作为抽象和具体的直陈条件句进行了测试。在第二个实验中，40 名未接受过逻辑训练的学生（20 名女性和 20 名男性）必须用英语解决涉及具体直陈条件句的任务。在这个实验中，排除了由条件句否定引起的范围歧义。两个实验都提供了证据，反对将英语中的指示性条件句解释为布尔蕴涵，并支持对亚里士多德论题所表达的否定蕴涵进行连接性解读。Pfeifer 认为这些发现是将指示性条件句解释为条件事件的有力证据。这种解读预测人们应该坚信亚里士多德论题有效，因为对这些论题唯一一致的评估是概率值 1。

Pfeifer 和 Tulkki (2017) 在芬兰赫尔辛基大学的 60 名学生（30 名女性和 30 名男性）中测试了虚拟条件句和指示性条件句的解读，发现对 AT 和 AT′ 的认可度（分别为 72% 和 77%）之间没有统计学上的显著差异。 Pfeifer 和 Yama (2017) 提出的另一项实验在大阪市立大学文学与人类行为科学研究生院的 63 名日本大学生中测试对 AT 和 AT′ 的认可程度时发现，西方样本和东方样本之间没有文化差异，分别有 65% 和 76% 的参与者认可 AT 和 AT′。

Khemlani 等人 (2014) 报告了一项实验，测试了 21 名以英语为母语的参与者对具体自然语言条件句的否定（以 Johnson-Laird 的心理模型理论为背景，假设采用古典逻辑）。结果显示，28% 的参与者根据古典逻辑认可否定条件句，而 34% 的参与者根据 Boethius 的论题 BT 认可否定条件句。

Egré 和 Politzer (2013) 提出了另一项关于指示条件句否定的实验。他们考虑将~(A → B)的经典连接理解弱化为(A ∧ ~B)，并将连接理解弱化为(A → ~B)，即(A ∧ ◊ ~B)，分别为(A → ◊ ~B)。Omori (2019) 利用3.7节和4.5节中提出的“调整错误条件”连接逻辑方法的灵活性，通过适当调整蕴涵式(A → B)的错误条件，在Odintsov和Wansing (2010)提出的模态逻辑BK的一个变体中解释了(A → ◊ ~B)，使得~(A → B)可证明地等价于(A → ◊ ~B)。

3.6 证明论视角

现代模态逻辑始于C.I.的句法研究。刘易斯定义了一系列公理系统来捕捉严格蕴涵的概念。类似地，刘易斯的学生E.纳尔逊也提出了一个公理系统，亚里士多德和波爱修斯的论题可以从中推导出来。 Mares 和 Paoli (2019) 将该系统称为 NL，其公理和推理规则如下所示（此处我们使用示意性字母表示任意公式，而不是命题变量，并使用不同的符号表示否定）：

1.1 A → A

1.2 (A|B) → (B|A)

1.3 A → ~~A

1.4 (A → B) → (A ◦ B)

1.5 (A ≠ B ≠ C) → (((A → B ) ∧ (B → C )) → (A → C ))

1.6 (A ∧ B) = (B ∧ A)

1.7 ((A ∧ B ) → C ) → ((A ∧ ~C ) → ~B )

R1 如果 ⊢ A 且 ⊢ (A → B)，则 ⊢ B（肯定前件）

R2 如果⊢ A 且 ⊢ B，则 ⊢ (A ∧ B)（伴随）

其中 ◦ 是原始二元一致性运算符，(A|B)（不一致性）定义为 ~(A ◦ B)，A = B 定义为 (A → B) ∧ (B → A)，A ≠ B 定义为 ~ (A = B)，A ≠ B ≠ C 是 (A ≠ B) ∧ (B ≠ C) ∧ (A ≠ C) 的缩写。

为自然语言提供健全且完整的语义是连通逻辑中一个悬而未决的问题。Angell (1962) 的公理证明系统 PA1 也可以被视为属于证明论传统，因为它相对于 Angell 提出的真值表而言是不完备的。然而，Angell 证明了 PA1 相对于这些真值表是可靠的，从而首次为联结逻辑的形式系统提供了非平凡性证明。为 PA1 提供直观的、可靠的、完备的语义是联结逻辑中另一个悬而未决的问题。（Routley [1978, p. 409] 承认，他的描述“在直观上并不十分令人满意：目前的建模相当复杂，建模条件的数量超过了它们所建模的公设，而像 Boethius 这样的基本联结公设，其条件并非以自然的方式得到验证，而是相当难以处理。”）

在证明论语义学中，适当形式的证明系统被视为提供一种意义理论，参见“证明论语义学”条目。本着这一精神，Francez (2016) 提出了两种针对具有否定和蕴涵的命题语言的自然演绎证明系统。一种系统中，AT、AT′、BT 和 BT′ 是可证明的；另一种系统中，AT、AT′ 以及 Boethius 命题的以下变体是可证明的：

B3：(A → B) → ~(~A → B) 和

B4：(~A→ B) → ~(A → B)。

Francez 通过某些自然语言论述和一个“对偶拉姆齐检验”来论证这些原则。“对偶拉姆齐检验”通过假设在“如果 p 将 q？”的论证过程中，~p 被假设性地添加到知识库中，从而修改了拉姆齐检验。Francez 的自然演绎规则是通过修改 David Nelsons 的四值构造性逻辑 N4 中否定和蕴涵部分的自然演绎规则直接获得的，参见 Kamide 和 Wansing 2012。其方式类似于从 N4 引向 Wansing 2005 的构造性连通逻辑 C（参见 4.5.1 节）。在 Francez 2019 中，给出 AT、AT′、BT 和 BT′ 的自然演绎系统，如同相关逻辑 R 蕴涵部分的自然演绎证明系统一样，通过引入下标进行记账，避免引入空洞、不相关的蕴涵。Omori (2016b) 在 Francez 2016 的语言中加入了合取和析取，为可以证明 B3 和 B4 的自然演绎系统提供了公理化和特征语义，并观察到尽管 AT 和 AT′ 有效，但 BT 和 BT′ 无效，这促使他将可证明的等价关系 ~(A → B) ↔ (~A → B) 称为“半连通的”。

Wansing 2016b 中的自然演绎证明系统可以被视为对某些连通逻辑的双边主义证明论语义学的贡献，这些连通逻辑以可证性和可反驳性条件的形式给出。除了将可证性概念内化到对象语言中的连通蕴涵之外，还有一个将可反驳性关系内化的连通共蕴涵。由此产生的双连接逻辑 2C 是 Wansing 2016a, 2018 中提出的双直觉逻辑 2Int 的连接变体。Kamide 2017 提出了一种满足亚里士多德论题的量子逻辑的自然演绎演算。

根据 Schroeder-Heister 2009 的说法，Gentzen 的后继演算比自然演算“更充分的假设推理形式模型”，并且针对各种后继演算也发展出了证明论语义学。连接逻辑的后继系统可以在 Wansing 2007、Wansing 2008、McCall 2014、Kamide 和 Wansing 2011, 2016、Kamide 等文献中找到。Shramko 和 Wansing 2017，以及 Kamide 2019。