连通逻辑（一）

许多著名的非经典逻辑系统都是通常所说的“经典逻辑”的子系统。连通逻辑系统是反经典的，因为它们既不是经典逻辑的子系统，也不是其扩展。连通逻辑拥有标准的逻辑词汇，并包含某些非经典逻辑定理作为论题。由于经典命题逻辑是后完备的，其语言中的任何附加公理都会产生平凡系统，因此任何非平凡的连通逻辑系统都必须省略一些经典逻辑定理。 “连接逻辑”这一名称由斯托尔斯·麦考尔（Storrs McCall，1963, 1964）提出，表明连接逻辑系统是由一些关于有效推理的前提与结论之间，或有效蕴涵式的前件与后件（结果）之间的连贯性或联系的思想所驱动的。这里所讨论的连贯性类型与蕴涵式和否定式的含义有关（参见直陈条件句、条件逻辑、反事实和否定式）。一个基本思想是，没有任何公式能够可证明地蕴涵其自身，或被其自身的否定所蕴涵。这一概念可以表达为：对于每个公式 A，

⊬ ~A → A 和 ⊬ A → ~ A，

但通常其背后的直觉表达为：某些示意性公式是定理：

AT: ~(~A → A) 和

AT′: ~(A → ~A)。

第一个公式通常被称为亚里士多德论题。如果这个非经典逻辑定理被发现是合理的，那么第二个原理 AT′ 似乎也具有同等程度的合理性。事实上，AT′ 有时也被称为亚里士多德论题，例如 Routley 1978、Mortensen 1984、Routley and Routley 1985 和 Ferguson 2016。正如 McCall (1975, p. 435) 所解释的那样，

[c] 连接逻辑可以被视为一种尝试，旨在形式化 Chrysippus 所推荐的蕴涵类型：

那些引入连接概念的人认为，当一个条件句的后件与其前件相矛盾时，该条件句是合理的。 （塞克斯都·恩披里库斯，Kneale and Kneale 1962，第129页译）

仅使用直觉上可接受的方法，命题AT和AT′在演绎能力上与另一对图式等价，后者在既定术语中被称为（斯特朗）波爱修斯的命题（参见Routley 1978），并且与其逆命题一起，可以被视为捕捉了克吕西普斯的思想：

BT：(A → B) → ~(A → ~B) 和

BT′：(A → ~B) → ~(A → B)。

“亚里士多德的命题”和“波爱修斯的命题”这两个名称当然并非随意选择。关于AT，亚里士多德在《前分析篇》57b14中论证道，如果非A，那么A是不可能的，参见Łukasiewicz 1957，第129页。 50. 然而，请注意，Łukasiewicz 和 Kneale (1957, p. 66) 认为亚里士多德在这里犯了一个错误。此外，Boethius 据说在 De Syllogismo Hypothetico 843D 中认为“如果 A 则非 B”是“如果 A，则 B”的否定（“他说 Si est A, est B 的否定是 Si est A, non est B”，Kneale and Kneale 1962，p.191）。如果我们看一下 De Syllogismo Hypothetico 843C-D，我们会发现：

Sunt autem假设命题，aliae quidem 肯定，aliae negativae […] 肯定，ut cum dicimus，si est a，est b； si 非 est a，est b；否定，si est a，非est b，si non est a，非est b。 Ad consequentem enim suggestem respiciendum est,ut an affirmativa an negativa sit propositio judicetur。（请注意，米涅1860年的版本中有一个印刷错误，上面引用中第一次出现的“si non est a, est b”被写成了“si non est a, non est b”。）

波爱修斯在此区分了肯定条件句和否定条件句，并解释说否定条件句的形式是“如果a，则非b”和“如果不是a，则非b”。这一表述与尼尔和尼尔的解读截然不同。请注意，在A → A为定理且肯定前件为可采纳推理规则的逻辑中，AT由BT′推出，AT′由BT推出。

设L是一个包含一元连接词~（否定）和二元连接词→（蕴涵）的语言。如果一个扩展了L语言的逻辑系统，AT、AT′、BT和BT′是定理，并且蕴涵是非对称的，即(A → B) → (B → A)不是定理（因此→很难被理解为双条件），则该逻辑系统被称为连通逻辑。这是连通逻辑的现行标准概念。连通逻辑系统中的连接词→被称为连通蕴涵。

连通逻辑系统的产生和发展源于不同的考虑。其中一个动机来自关联逻辑以及语义后果是一种内容关系的思想，参见3.1节。此外，连接逻辑的原理已在条件逻辑中进行了讨论，参见第 3.2 节和指示条件、条件逻辑和反事实的条目，在否定的不同说明中，参见第 3.3 节和否定的条目，以及在反经典逻辑的方法中，参见第 3.4 节。另一个动机源于对自然语言中否定条件句解释的实证研究，以及充分建模这些研究所揭示的语义直觉的目标，参见第 3.5 节。

Richard Angell 在其关于连接逻辑的开创性论文（1962 年）中，旨在发展一种虚拟反事实条件句的逻辑，其中他所谓的“虚拟对立原则”∼((A → B) ∧ (A → ~B)) 是可证明的。他的证明系统 PA1 包含 BT 作为公理。Kapsner 和 Omori（2017 年）也认为连接蕴涵适用于形式化反事实条件句，而 Cantwell（2008 年）等则提出了一种连接逻辑系统来形式化指示性自然语言条件句。根据McCall (1975, p. 451) 的说法，“对连接蕴涵最自然的解释之一是将其视为一种物理蕴涵或‘因果’蕴涵”。McCall (2014) 则认为，“因果条件和虚拟条件的逻辑是……连接性的，因为‘如果X掉落，它会掉到地上’与‘如果X掉落，它不会掉到地上’相矛盾。” 波爱修斯的“BT论题”的确出现在所有“前因果”连接词都应满足的一系列原则中，参见Urchs 1994。然而，McCall (2012, p. 437) 也承认，“因果逻辑在很大程度上仍是一个正在进行的研究项目，尚未形成一个公认的表述。”此外，van Rooij 和 Schulz 在 2019 年和 2020 年提出的典型连接原则也适用于分析条件句、类属句和处置语句。

连接逻辑系统的进一步发展动力来自更多的工具性研究。在 McCall 1967 年的论文中，连接蕴涵的动机在于，用一阶语言重现亚里士多德三段论的所有有效语气（参见词条“亚里士多德的逻辑”）。具体而言，经典上无效的“所有 A 都是 B”到“某些 A 是 B”的推论，是通过将“某些 A 是 B”翻译为 ∃x(~(A(x) → ~B(x))) 得到的，其中 → 是连接蕴涵。在 Wansing 2007 的著作中，连接蕴涵的动机在于，在范畴语法中引入否定连接词，以表达关于句法范畴成员资格的否定信息（参见词条“类型逻辑语法”）。例如，考虑不及物动词的句法范畴（类型）（n → s），即与名称（类型 n 的表达式）组合形成句子（类型 s 的表达式）的表达式。这个想法是，一个表达式的类型为 ~(n → s) 当且仅当它与一个名称结合时，它产生的表达式不是句子。换句话说，一个表达式属于类型 ~(n → s) 当且仅当它是 (n → ~s) 类型。在 Besnard 2011 的短文中，亚里士多德的论点 AT′ 的动机是表达知识表示中基于规则的系统的规则一致性概念。另一个动机源于道义逻辑中条件义务的建模问题。Weiss (2019) 建议将验证亚里士多德论文和 Boethius 论文的弱版本（参见第 2 节和 3.2 节）的某个蕴涵理解为表达条件义务运算符。另一个动机源于道义逻辑中条件义务的建模问题。在应用方面，另一个动机来自非经典数学。关于基于非经典逻辑的数学理论的文献有很多，包括直觉逻辑、模糊逻辑、相关逻辑、以及线性算术和次协调集合论。在连通逻辑领域，早期的贡献包括 McCall 于 1967 年提出的连通类理论，以及 Wiredu 于 1974 年发表的关于连通集合论的论文。Ferguson（2016 年，2019 年）接受了研究连通数学前景的挑战，并探讨了连通算术的可行性。

1. 连通性的分歧概念和补充概念

2. 连通逻辑的历史

3. 连通逻辑的视角

3.1 连通性和关联性

3.2 条件逻辑

3.3 否定

3.4 反古典性

3.5 经验视角

3.6 证明理论视角

3.7 语义视角

4. 连通逻辑系统

4.1 代数连通逻辑

4.2 基于关联逻辑三元框架的连通逻辑（澳大利亚方案）

4.3 基于减法否定的连通逻辑

4.4 布尔连通关联性逻辑

4.5 基于有限差分方程的连通逻辑（美国方案）

4.6 连通模态逻辑

5. 连通逻辑和后果逻辑

6. 总结

参考文献

学术工具

其他互联网资源资源

相关文章

1. 连通性概念的分歧和补充

连通性逻辑存在一些进一步的和一些分歧的概念。尤其是在21世纪的第二个十年，（不幸地）出现了许多令人困惑的连通性概念和不统一的术语。McCall (1966) 引入了连通性逻辑，其范围从没有命题蕴涵或被其自身否定蕴涵的逻辑，到BT可证明（以及蕴涵的非对称性）的逻辑。同样，Mares 和 Paoli (2019) 将连通性逻辑描述为具有AT、AT′、BT中的部分或全部的系统，和 BT′ 在其定理中（没有明确要求蕴涵的非对称性）。在 McCall (2012) 中，AT′ 和 BT 被称为连通逻辑的显著标志，但请注意，由于 Angell (1962) 和 MacCall (1966) 的贡献，AT 和 BT′ 在系统 CC1 中也是有效的。在 Wansing、Omori 和 Ferguson (2016) 中，AT、AT′、BT 和 BT′ 中部分但不是全部可证明（或有效）的逻辑被称为“半连通的”（没有明确要求蕴涵的非对称性），在 Jarmużek 和 Malinowski (2019a) 中被称为准连通的。 Kneale 和 Kneale (1962) 将 (A → B) 的否定等同于 (A → ~B)，这归因于 Boethius，表明 BT 和 BT′ 应被强化为以下等价关系：

BTe：(A → B) ↔ ~(A → ~B)，以及

BTe′：(A → ~B) ↔ ~(A → B)。

Sylvan (1989) 将 BTe 称为超连通逻辑的原理。BTe 和 BTe′ 原理是连通逻辑的特征，这些逻辑是在 Wansing (2005) 定义连通逻辑 C 及其量化版本 QC 之后发展起来的。根据 McCall (2012) 的观点，BT 的逆（BTe 从右到左的方向）在他看来是英语中的反例，因此非常不符合直觉。反驳参见 Wansing 和 Skurt 2018。

Kapsner (2012, 2019) 提出了一种逻辑，它满足 AT、AT′、BT 和 BT′，并且还满足以下要求：

Unsat1：在任何模型中，A → ~A 都不能满足（对于任何 A），并且 ~A → A 都不能满足（对于任何 A）；

Unsat2：在任何模型中，A → B 和 A → ~B 都不能同时满足（对于任何 A 和 B），

因此，该系统是强连通的；而如果 Unsat1 和 Unsat2 条件不同时满足，则该系统仅被称为弱连通的。Kapsner 通过两个直觉推理解释了这些额外的条件：即公式 A 不应该蕴涵或被其自身的否定所蕴涵，并且如果 A 蕴涵 B，则 A 不蕴涵非 B（并且如果 A 蕴涵非 B，则 A 不蕴涵 B）。然而，这些直觉也可以被看作分别激发 ⊬ ~​​A → A 和 ⊬ A → ~ A (A →B) ⊬ (A → ~B) 和 (A → ~B) ⊬ (A → B)，而不是 Unsat1 和 Unsat2。此外，强加 Unsat1 和 Unsat2 会排除满足变量共享属性（即 Routley (1989) 术语中的广义相关或联想逻辑，对于该逻辑，它认为如果 A → B 是一个定理，则 A 和 B 共享至少一个命题变量）并满足演绎定理的系统。到目前为止，仅已知少数满足蕴涵非对称性条件的强连通逻辑，即系统 CC1，然而它“在很多方面都是一个笨拙的系统”（McCall 2012，第 429 页），参见第 4.1 节，以及 Jarmużek 和 Malinowski 2019a 提出的布尔连通关联逻辑，参见第 4.4 节。在 Wansing 和 Unterhuber 2019 中，仅以规则形式验证 Boethius 命题的逻辑（(A → B) ⊢ ~(A → ~B) 和 (A → ~B) ⊢ ~(A → B)) 被称为弱连通逻辑。Weiss (2019) 考虑了一种具有经典否定 ¬、经典蕴涵 ⊃ 和另一个二元条件 → 的语言（符号已调整）。如果一个逻辑能够验证弱波爱修斯命题，他就称其为半连接逻辑：

BTw：(A → B) ⊃ ¬(A → ¬B)，且

BTw′：(A → ¬B) ⊃ ¬(A → B)，

并且，如果一个逻辑还能够验证 → 和 ¬ 的 AT 和 AT′，他就称其为连接逻辑。弱波爱修斯命题 BTw 在 1977 年被引入，被称为“条件波爱修斯命题”，指的是连接蕴涵被视为反事实条件句。

在 Kapsner 2019 年的文章中，强连通性要求被评价为“过于严格”，并引入了简单谦卑连通性的概念，将亚里士多德论题、波爱修斯论题、Unsat1 和 Unsat2 限制于可满足的前提条件。术语补编对文献中使用的术语和各种连通性概念进行了综述。除了既定的连通逻辑概念之外，所有概念是否都有用还有待观察。

如果使用的语言中蕴涵不被视为原始蕴涵，而是用其他连接词来定义，那么连通逻辑也可能被视为与古典逻辑的正统观念背道而驰，因为它对这些连接词给出了不同的解释。McCall 1966 和 Angell 1967b 给出了关于连通蕴涵在否定、合取和必然性方面的定义。近期，Francez (2020) 提出了“多连通性”的概念，以强调对常见的合取和析取的虚假条件的修改（除了采用 BTe′ 所表达的蕴涵的虚假条件之外）。

2. 连通逻辑的历史

McCall (2012) 强调，连通蕴涵已有两千三百年的历史。关于连接逻辑的历史评论可以在以下文献中找到：Kneale and Kneale 1962、Sylvan 1989、Priest 1999、Nasti De Vincentis 2002、Nasti De Vincentis 2004、Nasti De Vincentis 2006、Estrada-González & Ramirez-Cámara 2020 和 McCall 2012。在后一篇综述中，McCall 将 ~((A → B) ∧ (~A → B)) 称为亚里士多德的第二论点，并按照 Martin 2004 的说法，将 Angell 的虚拟对立原理 ~((A → B) ∧ (A → ~B)) 称为阿伯拉尔的第一原理，后者在以下文献中被称为斯特劳森的论点：例如，Routley 1978 和 Mortensen 1984。亚里士多德的第二论点和阿伯拉尔的第一原理仅使用直觉主义原理即可分别与 BT 和 BT′ 相互推导。除了彼得·阿伯拉尔之外，另一位讨论和认可连通原理的中世纪哲学家是理查德·基尔沃德比，参见 Johnston 2019。El-Rouayheb (2009, p. 215) 报道了十三世纪阿拉伯哲学中关于亚里士多德不可能前提的论点 AT 的批判性讨论。现代连通逻辑始于 Nelson 1930、Angell 1962 和 McCall 1966，而 MacColl (1878) 可被视为先驱。从20世纪60年代到90年代，以S. McCall、R. Routley和C. Pizzi为主要贡献者，出现了少量的著作。到了21世纪，人们对连接逻辑产生了浓厚的兴趣。关于现代连接逻辑的历史评论可参见第三至第五节。

从历史角度来看，一个问题是释经的正确性。亚里士多德和波爱修斯的论题真的可以追溯到亚里士多德和波爱修斯吗？Lenzen（2020）认为，亚里士多德和波爱修斯以他们的名字命名的论题“仅适用于其前提不自相矛盾的‘正常’条件句”。他用模态命题逻辑的语言表述了亚里士多德命题的相应限制版本，根据伦岑 (Lenzen, 2019) 的观点，这些原理可以在莱布尼茨的著作中找到（莱布尼茨的术语逻辑转化为命题逻辑系统之后），其中符号经过调整后，↠ 代表严格蕴涵：

LEIB1 ◊A ↠ ~(A ↠ ~A)，以及

LEIB2 ◊~A ↠ ~(~A ↠ A)，

另见 Unterhuber 2016 年 AT′ 和 BT 的模态版本。Lenzen 指出，LEIB1 和 LEIB2 几乎是所有正态模态逻辑系统的定理，因此不能导出任何非经典的连通逻辑系统。Kapsner 2019 也发表了类似的观点。至于 Boethius，有人提出一个问题：将他的术语“逻辑”定义为命题逻辑是否恰当（参见 Martin 1991、McCall 2012），而 Bonevac 和 Dever（2012，第 192 页）认为阿伯拉尔的第一原理是 Boethius 最著名的论点，但他们指出，在 Boethius 的著作中并未找到该论点。然而，抛开这些释经问题不谈，连通逻辑的挑战依然存在，即定义非平凡且动机良好的逻辑系统，以验证亚里士多德和 Boethius 的论点，并满足蕴涵非对称性。另一个由连通逻辑的悠久历史引发的问题是，如今被称为经典逻辑的系统究竟在何种意义上才是真正的经典逻辑。Wansing 和 Odintsov (2016) 从次协调逻辑和连通逻辑的角度对经典逻辑的古典性进行了批判性探讨。

Angell (2002) 是一本在解决广泛悖论的背景下发展了连通逻辑系统的专著。自21世纪前二十年连通逻辑复兴以来，第一本专门研究连通逻辑的专著是 Francez (2021)，尽管它并非对连通逻辑的全面研究。Francez 从连通逻辑 C 和 QC 出发，探讨了诸如上文提到的“多连通性”概念、Boethius 论题的某些变体（参见第 3.6 节）以及连通类理论等主题。