量子理论与数学严谨性（三）

分布是从测试函数到实数（或复数）的连续线性映射（参见下文 3.3.1.2 节）。换句话说，分布是其测试函数空间的对偶空间（记为 D′(Ω) 和 S′(Ω)）的元素。S′(Ω) 的元素称为缓和分布 (tempered distribution)。由于 D(Ω)⊂S(Ω) 且 D(Ω) 的收敛性强于 S(Ω)，因此 S′(Ω)⊂D′(Ω)，即缓和分布的数量少于缓和分布的数量。非缓和分布的一个例子是 ex，因为它为正数，且当 |x|→∞ 时不具有多项式界。测试函数空间越严格，分布就越“狂野”。缓和分布非常重要，因为它们允许将傅里叶变换从“标准函数”扩展到缓和分布。施瓦茨函数的傅里叶变换是施瓦茨函数，因此可以定义任何调和分布的傅里叶变换。调和分布具有“缓慢增长”的特性，因为它们的导数增长速度最多与某个多项式一样快。怀特曼场算子（参见下文 4.2 节）通常被假定为调和分布。还可以对试函数施加其他条件，例如要求它们是全纯的或解析的，但我们在此不讨论这些可能性。

3.3.1.2 分布

如上所述，分布将一个试函数映射到一个实数或复数，因此它被称为泛函。它不是一个函数，即使像“狄拉克δ函数”这样的分布在其名称中带有函数。[3]

试函数空间具有向量空间的结构。这意味着任意两个试函数可以相加 f+g 或乘以一个标量 λf 得到另一个试函数。分布需要遵循这些操作，并将诸如 f+g 或 λf 之类的测试函数映射到实数。线性泛函 u 将函数 f 和 g 映射到实数，如下所示：对于标量 λ 和 λ′，u(λf+λ′g)=λu(f)+λ′u(g)。[4] 分布将是测试函数集 D(Ω) 上的线性泛函。

由于总体目标是方便使用分布进行微积分，因此有必要表征分布如何收敛。该表征基于测试函数序列如何收敛的规范；分布应该以遵循测试函数序列收敛规范的方式收敛。考虑某个测试函数序列 fn，它在 n→∞ 的极限下收敛于 f，其中 f,fn∈C

∞

c

(Ω)。作用于每个 fn 的分布会将每个 fn 映射到一个数值，因此当 n→∞ 时，最终的数值应该与它赋予测试函数 f 的数值相同。换句话说，该分布应该是（序列）连续的。适当的连续性取决于测试函数空间的收敛类型。这些考虑衍生出一个合适的分布定义：如果 T 满足 (1) 线性且 (2) 连续，则 T:C

∞

c

(Ω)→R 为一个分布。所有分布的集合记为 D′(Ω)。测试函数的集合记为 D(Ω) 或 C

∞

c

(Ω) 是 D′(Ω) 的真子集，D(Ω)⊂D′(Ω)。这应该很直观，因为狄拉克 delta“函数”是分布而不是函数，所以它不可能是测试函数。分布的集合必须更大。或许并不令人意外，D′(Ω) 也是一个向量空间，因此分布可以相加，也可以与标量相乘。然而，D′(Ω) 不允许我们将分布相乘。

3.3.1.3 Schwartz 不可能性结果

定义分布向量空间 D′(Ω) 上的乘法运算的一种方法是将 D′(Ω) 嵌入到代数中。域上的代数是域上的向量空间，并附加一个称为乘法的二元运算，该运算具有结合律和分布律。

Schwartz 的“不可能性”结果旨在表明，在某些条件下，这种嵌入是不可能的。在 Schwartz 的分布理论中，光滑函数与分布的乘积始终是定义明确的。[5] Schwartz 不可能性结果表明，两个分布之间不存在结合积，从而扩展了定义明确的分布与光滑函数的乘积。Schwartz证明的基本思想是考虑一个由R上所有连续函数组成的代数，该代数具有逐点加法和逐点乘法，且0作为加法恒等元。考虑一个代数A，它包含所有连续函数。Schwartz结果的大多数表述表明，D′(Ω)不能嵌入到A中。[6] 假设A的乘积∘满足结合律，即f∘(g∘h)=(f∘g)∘h，且与连续函数代数的逐点乘法相一致，即(f∘g)(x)=f(x)g(x)，其中常数函数1使R中每个元素都赋值为1，是该代数的恒等元，即对于所有f∈A，f∘1=f=1∘f。

一个简单的例子表明，这将产生矛盾。狄拉克δ函数的一个性质是xδ(x)=0。[7]柯西主值分布p.v.(

1

x

)乘以x为1，即p.v.(

1

x

)x=1。如果存在分布的结合乘法，将光滑函数与分布的乘法扩展，则存在矛盾（参见Alvarez，第102-103页和Oberguggenberger，第26-27页）。由于xδ(x)=0，0=p.v. (

1

x

)∘((xδ(x))。根据乘法的结合律，

0 = p.v.(

1

x

)∘((xδ(x))

=(p.v.(

1

x

)x)∘δ(x)

=1∘δ(x)

=δ(x)，

所以δ(x)=0。但δ(x)≠0。

分布的一个重要性质涉及微分，因此最好为A定义一个类似的算子D，它与连续函数上定义的导数相一致，并且如果f有一个导数（假设x≠0），则Dx=1。D也满足莱布尼茨规则：D(fg)=(Df)g+f(Dg)。[8] Schwartz观察到，不可能存在一个既满足莱布尼茨规则又能与狄拉克定理共存的结合乘法运算。 δ函数。以下是这种不兼容性的一个例子（参见 Nedeljkov 等人（1998 年，第 3 页）。设 H∈A 具有以下性质：H∘H=H。则 H 为常数，即 DH=0。如果将 H(x) 设为 Heaviside 函数，则 DH(x)=0。但在分布理论中，DH(x)=δ(x)，将两个结果结合起来意味着 δ(x)=0。

然而，Oberguggenberger（第 28-29 页）和 Colombeau（1992 年，第 8 页）指出，Schwartz 的结果并不依赖于分布的乘法。相反，该证明实际上表明，对连续函数进行乘法和微分时，不可能只有一个奇异对象，即狄拉克 delta 函数，作为 A 中的一个元素。正如 Oberguggenberger（第 28 页）所写：“更有利的解释是，该结果只是表明在广义函数的结合代数中，乘法和微分不能同时无限制地扩展相应的经典运算。” Nedeljkov 等人（1998 年，第 3 页）写道，“没有办法在所有 D′ 上定义一个“合理”的乘积，并且它仍然在 D′ 中有值。” 基于 Oberguggenberger（1992），Grosser 等人（2001 年，第 3 页）提出有三种方法可以逃避 Schwartz 的不可能结果：（1）常规内在运算，（2）不规则内在运算，以及（3）包含分布的外在乘积和代数。在 (1) 中，分布的乘法限制在 D′ 的子空间中，其中乘法是经典定义的。然而，以这种方式定义的乘法并不适用于所有 D′。 (2) 将乘积运算符分配给 D′，但仅适用于某些分布对。选择对的方法有很多种，尽管得到的乘法通常不连续或不结合。(1)和(2)都存在一个缺点，即乘积运算并非在所有D′上都定义。3.3.2 哥伦布代数

为了绕过“不可能”证明，一个标准策略是修改或删除证明中的一个或多个假设。[9] Schwartz 证明中的许多假设看似自然，因此保守的方法是修改一个假设。哥伦布 (1992, 1984) 发展了一个广义函数的结合代数，它包含分布，但不保留连续函数的乘积。

哥伦布代数（参见 Colombeau (1992)，第 2 页和第 8 章）是广义函数 G(Ω) 的结合微分代数。Ω 上所有无限可微函数的代数，即 C∞(Ω)，也是微分代数。既然 D′(Ω) 不是代数，它如何适应这种情况？ C∞(Ω)、D′(Ω) 和 G(Ω) 都是向量空间，它们的元素集具有以下关系：C∞(Ω)⊂D′(Ω)⊂G(Ω)。G(Ω) 在 D′(Ω) 上诱导出它的加法、标量乘法和微分性质，但不诱导出它的乘法性质。G(Ω) 在 C∞(Ω) 上诱导出 C∞(Ω) 已有的所有常见性质，包括乘法，因此 C∞(Ω) 是 G(Ω) 的子代数。D′(Ω) 中的两个分布可以用 G(Ω) 中的乘法运算相乘，但结果可能不是分布！相反，两个分布的乘积将是 G(Ω) 的一个元素（即广义函数），但不一定是 D′(Ω) 的一个元素（即分布）。

然而，哥伦布代数 G(Ω) 并不包含连续函数代数 C(Ω) 作为子代数。换句话说，哥伦布代数的乘法运算并不扩展连续函数的乘法运算，而 Schwartz 在扩展代数 A 中却假设了这一点。如果两个连续函数是 G(Ω) 的元素，并且使用 G(Ω) 的乘法运算符将它们相乘，则结果不必与 C(Ω) 中这两个连续函数的乘法给出相同的答案。两次乘法之间的差异是“无穷小的”，因为只要乘积不乘以某个“无穷量”，例如 δ(0)，结果就没有差异。这在 G(Ω) 中是允许的，但在 C(Ω) 中是不允许的。因此，当 G(Ω) 中的乘法运算符限制为 C(Ω) 时，将在 C(Ω) 的经典分析中给出相同的结果。根据 Colombeau (1992，第 8.1 节) 的说法，分布是从测试函数 D′(Ω) 到 R 或 C 的线性映射。分布的乘积看起来像从测试函数 D′(Ω) 到 R 或 C 的非线性映射。考虑 f1,f2∈C∞(Ω)。假设它们被视为分布。对于测试函数 ϕ∈D(Ω)，每个 f1,f2 都会通过 ∫Ω f1(x)ϕ(x)dx 和 ∫Ω f2(x)ϕ(x)dx 将其映射到某个实数（或复数）。假设取 f1,f2 的乘积是合理的，那么它们的乘积就是从测试函数 ϕ∈D(Ω) 到某个实数或复数的映射，该映射由 ∫Ωf1(x)ϕ(x)dx ∫Ωf2(x)ϕ(x)dx 给出。如果我们将它们的经典乘积视为 f1,f2∈C(Ω)，那么分布看起来就像从测试函数 ϕ∈D(Ω) 到 ∫Ω f1(x)f2(x​​)ϕ(x)dx 的映射。一般来说，∫Ωf1(x)ϕ(x)dx ∫Ωf2(x)ϕ(x)dx 的结果与∫Ω f1(x)f2(x​​)ϕ(x)dx 的结果不同。然而，如果使用商 I，则这两个乘积可能相同，即：

∫Ωf1(x)ϕ(x)dx ∫Ωf2(x)ϕ(x)dx+I=∫Ωf1(x)f2(x​​)ϕ(x)dx+I。

粗略地说，广义函数代数至少必须完成两个任务：(1) D′(Ω) 嵌入其中；(2) 存在一个理想的 I，使得上述两个乘积相等。为了实现 (1)，考虑测试函数空间 C∞(D(Ω)) 上所有无限可微函数的集合。回想一下，D(Ω)（或 C

∞

c

(Ω)）是所有在 Ω 中具有紧支撑集的无限可微函数的集合，D(Ω)⊂D′(Ω)，并且 D′(Ω) 的一个元素是从 D(Ω) 到实数或复数的映射。C∞(D(Ω)) 的一个元素是从 D(Ω) 到实数或复数的映射。当 C∞(D(Ω)) 具有向量空间运算、乘法和偏导数时，它是一个微分代数。假设存在一组分布

T1(ϕ),T2(ϕ),…,Tm(ϕ)∈D′(Ω)，

可能存在函数

f(T1(ϕ),T2(ϕ),…,Tm(ϕ)),g(T1(ϕ),T2(ϕ),…,Tm(ϕ))∈C∞(D(Ω))

使得f与g的乘积定义明确。这似乎足以涵盖所有非线性分布函数。虽然需要进行一些数学计算，但D′(Ω)可以嵌入微分代数C∞(D(Ω))中，从而完成任务(1)。更多详细信息，请参阅Colombeau (1992)的第八章。

为了找到满足 (2) 的理想，我们将通过构造一个“中等”函数 f∈C

∞

M

(D(Ω)) 的子代数来缩减 C∞(D(Ω)) 的大小，也就是说，对于任何试函数 ϕ∈D(Ω)，当 ϵ→∞ 时，无限可微函数 f 及其偏导数的上界为某个常数乘以 (

1

ϵ

)N。可以证明分布 D′(Ω)⊂C

∞

M

(D(Ω))。最后，我们要求两个广义函数等价于它们所有导数都很小的函数，记为 N(D(Ω))。N(D(Ω)) 是 C

∞

M

(D(Ω)) 的一个理想。差值

∫Ωf1(x)ϕ(x)dx ∫Ωf2(x)ϕ(x)dx−∫Ωf1(x)f2(x​​)ϕ(x)dx

属于 N(D(Ω))，因此两个乘积等价，从而完成任务 (2)。一个（特殊的）哥伦布代数 Gs(Ω) 定义为：[10]

Gs(Ω)=

C

∞

M

(D(Ω))

N(D(Ω))

.

Gs(Ω) 的一个关键点在于它保留了无限可微函数的乘积，即 C∞(D(Ω))×C∞(D(Ω))，但不保留连续函数的乘积，即 C(D(Ω))×C(D(Ω))，这是 Schwartz 不可能结果中的一个假设。

3.3.3 哥伦布代数在物理学中的应用

哥伦布代数已应用于物理学的多个领域。Colombeau (1992) 提供了其在弹性和弹塑性（表征冲击波和进行碰撞的数值模拟）以及声学（声音在具有不连续特性的介质中的传播）中的应用。在这些情况下，哥伦布代数提供了分析具有奇异系数的非线性偏微分方程的工具，从而提供了数值解的工具。

另一个应用领域可能是扰动量子场论。量子场论中扰动展开式中的一些项可能涉及时间序分布的乘积，这可能导致计算中的发散。Epstein 和 Glaser 发展了因果扰动量子场论来处理这个问题，他们要求分布满足因果关系要求（有关此方法的概述，请参阅 Scharf (2014)）。这与对 Schwartz 不可能结果的最初回应在本质上类似，该结果涉及正则内在运算，其中分布的乘积被限制在满足某些条件的分布子集中。在 Wightman 的公理量子场论中（见下文 4.2 节），这些场是算子值化的缓和分布，真空期望值（n 点函数）的计算涉及这些缓和分布的乘积，因此能够将分布相乘至关重要。Colombeau 利用 Colombeau 代数在数学上阐明了量子场的海森堡-泡利正则形式，该形式在后来的论文中得到了进一步发展，包括 Colombeau (2007)、Colombeau 等人 (2007) 以及 Colombeau 和 Gsponer (2008)。

近年来，Colombeau 代数被用于解决广义相对论和量子力学中的问题。Grosser 等人 (2001) 展示了如何在可微流形上为广义和狭义相对论创建微分同胚不变的 Colombeau 代数。这种“非线性分布几何”为存在奇点的非线性全局分析提供了一个严格的数学框架。在非相对论量子力学的背景下，哥伦布代数已被用来解决一个在标准希尔伯特空间或操纵希尔伯特空间中都无法解决的问题。角和角动量算符不交换，因此不可能在平面旋转器上对这对可观测量进行精确的同时测量。这引出了一个问题：是否有可能找到平面旋转器的最小不确定函数。Fuss 和 Filinkov (2014) 指出，Holevo (2011) 证明了此类状态在标准希尔伯特空间中不存在。随后，他们证明了它们在操纵希尔伯特空间中不存在，但在单位圆上的哥伦布代数的状态空间中存在。

在 Colombeau 等人 (2008) 的论文中，作者在结束讨论时指出：“一个全面的方法应该讨论许多悬而未决的问题，这些问题与格林函数的性质、渐近态的定义、闭式解和微扰解的推导、重正化等有关。此外，非线性广义函数的含义应该与为量子场论提供公理基础所做的大量努力相联系。” 迄今为止，尚无任何出版物能够兑现这一承诺，将哥伦布代数与公理量子场论的操纵希尔伯特空间框架或代数量子场论的可观测量代数联系起来。

4 数学严谨性：两条路径

4.1 代数量子场论

1943年，盖尔凡德和诺伊马克发表了一篇关于一类重要的赋范环的重要论文，这类赋范环现在被称为抽象C∗-代数。他们的论文受到了上一节讨论过的 Murray 和 von Neumann 关于算子环的研究的影响。在他们的论文中，Gelfand 和 Neumark 将注意力集中在抽象赋范 ∗-环上。他们证明了任何 C∗-代数都可以在希尔伯特空间中给出一个具体的表示（该表示不必是可分的）。也就是说，存在一个 C∗-代数元素到希尔伯特空间有界算子集的同构映射。四年后，Segal (1947a) 发表了一篇论文，通过指定构造抽象 C∗-代数的具体（希尔伯特空间）表示的确定性程序，完成了 Gelfand 和 Neumark 的工作。它被称为 GNS 构造（以 Gelfand、Neumark 和 Segal 命名）。同年，Segal (1947b) 发表了量子力学的代数表述，它在很大程度上受到了冯·诺依曼（1963，第III卷，第9期）量子力学代数公式的影响（尽管略有不同），该公式在上一节中被引用。值得注意的是，尽管C∗-代数满足Segal公设，但由其公设指定的代数是一种更一般的结构，称为Segal代数。每个C∗-代数都是Segal代数，但反之则不成立，因为Segal公设不需要定义伴随运算。如果Segal代数同构于C∗-代数所有自伴随元素的集合，则它为一个特殊的或例外的Segal代数。尽管Segal代数的数学理论已经相当成熟，但C∗-代数仍然是满足Segal公设的最重要的代数类型。

冯·诺依曼和西格尔发展的量子力学代数公式并没有改变量子力学的研究方式。然而，它们确实对两个相关的领域产生了重大影响：量子场论和量子统计力学。导致这种影响的关键区别在于适用范围。量子力学的领域由有限量子系统组成，这意味着量子系统具有有限数量的自由度。而在量子场论和量子统计力学中，我们特别感兴趣的系统——分别是热力学极限下的量子场和粒子系统——是无限量子系统，这意味着量子系统具有无限数量的自由度。狄拉克（1927）是第一个认识到无限量子系统对量子场论的重要性的人，这一观点由施温格（1958）转载。